Outils Mathématiques pour Biologistes et Géologues

Université Mohammed V-Agdal Année universitaire 2007-2008 Faculté des sciences

RABAT

Outils Mathématiques pour Biologistes et Géologues

I. Grandeurs physiques et leurs unités

I-1 Grandeurs mesurables

Mesurer une grandeur physique, c’est déterminer le rapport entre cette grandeur et une autre grandeur de même nature choisie comme unité. Le résultat de la mesure s’exprime à l’aide d’un nombre réel suivi d’une unité.

Exemple : la distance qui sépare deux points donnés est d = 3,12 m.

I-2 Grandeurs repérables

Les températures et les dates ne sont pas mesurables, mais repérables, par un thermomètre pour la température, et par un chronomètre pour les dates.

I-3 Grandeurs fondamentales et dérivées

Sept grandeurs fondamentales jouent un rôle majeur en physique. Les autres grandeurs sont des grandeurs dérivées. La vitesse par exemple est une longueur par un temps, son unité est donc m s^-1. Les grandeurs fondamentales et leurs définitions sont données dans le tableau I. les grandeurs dérivées sont données dans le tableau II.

Tableau I : les sept unités de base du SI

Grandeur Unité Symbole Définition

Longueur mètre m Le mètre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une durée de :1/299792458 de seconde.

Masse kilogramme kg Le kilogramme est égal à la masse du prototype international du kilogramme.

Temps seconde s La seconde est la durée de 9192631770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les 2 niveaux hyperfins de l’atome Cs-133.

Courant électrique ampère A L’ampère est l’intensité d’un courant constant qui, maintenu dans 2 conducteurs parallèles rectilignes de longueur infinie, de section circulaire négligeable et placés à une distance de 1 mètre l’un de l’autre dans le vide, produirait entre ces conducteurs une force égale à 2 10^-7 N.

Température thermodynamique

kelvin K Le kelvin est la fraction 1/273,16 de la température thermodynamique du point triple de l’eau.

Quantité de matière

mole mol La mole est la quantité de matière d’un système contenant autant d’entités élémentaires qu’il y d’atomes dans 0,012 kg de C-12.

Intensité lumineuse

candela cd La candela est l’intensité lumineuse, dans une direction donnée, d’une source qui émet un rayonnement monochromatique de fréquence 540.10¹² Hz et dont l’intensité énergétique dans cette direction est 1.683 Watt par seconde.

Tableau II : Exemples d’unités SI dérivées ayant des noms spéciaux et symboles particuliers.

Les physiciens ont l’habitude d’utiliser aussi des unités qui ne font pas partie du SI d’unités : Tableau III : grandeurs physiques et unités ne faisant pas partie de SI.

Grandeur Nom Symbole valeur Longueur Angström

Femtomètre ou Fermi

Å fm

10^-10 m 10^-15 m Angle Degré

Minute Seconde

°

’

"

180 π (rd)

60

degré (mn)

60 minute (s)

Force Dyne dyn 10^-5 N

Travail Erg erg 10^-7 J

Energie Watt-heure Electron-volt

Calorie

Wh eV cal

3600 J 1,6.10^-19 J 4,185 J

Pression Bar bar 10⁵ Pa

Viscosité dynamique Poise Po 0,1 Pa s

Viscosité cinématique Stokes St 10^-4 m² s^-1

Quantité d’électricité Ampère-heure Ah 3600 C Température Degré Celsius °C t = T-273,15 Induction magnétique Gauss G 1G = 10^-4 T Flux d’induction magnétique Maxwell Mx 1 Mx = 10^-8 Wb Masse Unité de masse atomique u (uma) 1 u = 1,6610^-27 kg

I-3 Multiples et sous-multiples décimaux des unités du SI

Une série de préfixes et de symboles de préfixes ont été adoptés pour former les noms et les symboles des multiples et sous-multiples décimaux des unités SI de 10^-12 à 10¹².

Tableau IV : Préfixes d’unités du SI

Remarques :

• Une grandeur dont la mesure s’exprime sans unité n’a pas de dimension.

• Deux grandeurs qui s’expriment à l’aide de la même unité sont de même dimension.

• On ne peut pas additionner des grandeurs de dimensions différentes.

• L’angle qui est un rapport de 2 longueurs est sans dimension même s’il est une grandeur qui a une unité. Pour les angles plans l’unité est le radian (rd), et pour les angles solides l’unité est le stéradian (sr).

I-4 Equations aux dimensions

Les grandeurs qui ont des unités sont des grandeurs dimensionnées. En mécanique on utilise 3 dimensions : la longueur [L], la masse [M] et le temps [T]. La vitesse qui est une grandeur dérivée a pour dimension [v] = LT^-1. Cette équation est l’équation aux dimensions de la vitesse. Son intérêt est de vérifier l’homogénéité d’une formule.

Exemple : vous ne vous rappelez plus laquelle des 2 formules suivantes donne la période d’un pendule de longueur l :

i) l

2 g

T= π ou ii)

g 2 l T= π

Où g est l’accélération gravitationnelle, [g] = [LT^-2], 2π n’a pas de dimension.

i)

[ ] [ ]

[ ]

^L

[ ]

^T1

T LT

2

- =

≠ faux

ii)

[ ] [ ]

[ ]

^LTL

^{[ ]}

^T

T = _-2 = correcte

I-5 Systèmes d’unités CGS, MKSA et SI

Le problème que posent les unités est celui de l’universalité et de la cohérence, d’où l’intérêt du choix d’un système international qui définit les unités étalonnées de façon identique en tout point du globe.

a) Le système CGS est fondé sur le Centimètre, le Gramme et la Seconde.

b) Le système MKSA est basé sur le Mètre, le Kilogramme, la Seconde et l’Ampère. C’est le système précurseur du système international d’unités (SI).

c) Les unités légales du système international (SI) : Le SI est fondé sur le MKSA à qui on a ajouté le kelvin (K), la mole (mol), la candela (cd), le radian (rd) et le stéradian (sr).

II. Erreurs et incertitudes

II-1 Erreur

Une erreur est toujours en relation avec quelque chose de juste ou considéré comme tel. Il y a deux sortes d’erreurs :

L’erreur accidentelle, qu’on élimine simplement en multipliant les opérations (faire 10 pesées au lieu de n’en faire qu’une).

L’erreur systématique est commise sans cesse et se renouvelle (erreur de zéro d’un appareil de mesure). Pour l’éliminer on doit refaire la mesure avec un autre appareil de mesure.

a) Erreur absolue

La valeur de la célérité de la lumière qui est considérée actuellement comme vraie est c0 = 299 792 km s^-1. Si un expérimentateur trouve lors d’une mesure c = 305000 kms^-1, il commet alors une erreur absolue∆c= c-c₀ =5208kms^-1.

b) Erreur relative :

Dans le cas de la mesure précédente, on définit l’erreur relative

par :

0 . 017

299792 5208 c

c

0

≈

∆ =

. C’est une valeur sans unité, elle indique l’exactitude du résultat obtenu et elle est exprimée en pourcentage :

∆ = 1 , 7 %

c

c

Remarque : on ne parle d’erreur que si l’on a à disposition une valeur de référence considérée comme vraie.

II-2 Incertitudes :

En physique, lors de la plupart des mesures, on ne possède pas de valeur de référence, on ne dispose que des valeurs expérimentales. Nous pouvons quand même estimer l’erreur commise qui dépend des instruments de mesure utilisés.

a) Incertitude absolue : Si on désigne par x la valeur la plus probable d’une grandeur G, par x0 la vraie valeur et par ∆x l’incertitude absolue, on a : x - ∆x < x0 < x + ∆x que nous pouvons écrire sous la forme : G=x±∆x.

b) Incertitude relative : est donnée par x

∆x

qui est sans unité et exprimée en pourcentage.

L’incertitude relative nous renseigne sur la qualité de la mesure.

II-3 Calcul d’incertitude

Si G = A + B et G’ = A - B alors ∆G = ∆G’ = ∆A + ∆B.

L’incertitude absolue sur une somme ou sur une différence est la somme des incertitudes absolues de chaque terme.

Si C

G= AB alors

C C B

B A

A G

G =∆ +∆ +∆

∆

L’incertitude relative sur un produit ou un quotient est la somme des incertitudes relatives de chaque terme.

Nous pouvons aussi utiliser la méthode des logarithmes : Exemples :

1) C

B G A

m

= n

On prend le logarithme de G : ^{ln G=ln A}

( ) ( )

^{n +ln Bm - ln C}

ln G=n ln A+m ln B - ln C En passant aux différentiels :

C dC B mdB A ndA G

dG = + −

Et enfin l’incertitude relative est donnée par : C

∆C B m ∆B A n ∆A G

∆G = + +

2)

2 2

G' L cosθ

=T

( )

ln G'=2 ln L 2 ln T− +ln cosθ dG' dL dT d(cosθ)

2 -2

G' = L T + cosθ

dG' dL dT sinθ

2 -2 dθ

G' = L T −cosθ

∆G' ∆L ∆T

2 2 tgθ θ

G' = L + T + ∆

III. Les approximations

Faire une approximation, c’est remplacer une formule exacte, mais d’application compliquée par une formule plus simple, mais mathématiquement inexacte. On applique en générale la formule du binôme.

(

^1+ε

)

^{n ≈1+nε} ε étant négligeable devant l’unité Cas où n=1/2 :

1 2 1+ε ≈ +ε

Cas où n = -1 : ε

ε ^{≈ −}

+ 1

1 1

Nous utilisons aussi en physique les équivalences des infiniment petits sin(ε)≈ ≈ε tan(ε) avec ε en radian

ε2

cos(ε) 1

≈ − 2 eε ≈ +1 ε ln(1+ ≈ε) ε

IV. Comment présenter un résultat

IV-1 Chiffres significatifs

Les chiffres significatifs (cs) d’un résultat de mesure sont un ensemble de chiffres dont on est certain en plus du dernier qui peut être douteux.

Exemple : d = 21,348 km le résultat comporte 5 cs dont un qui est douteux qui est le 8. C’est celui qui porte l’erreur.

Règle des zéros dans le dénombrement des cs d’un résultat : Les zéros placés à gauche d’un nombre ne sont pas des cs.

Exemple : d = 0,008 km ce résultat ne contient qu’un cs qui est le 8. En effet ce résultat peut s’écrire d = 8 m

Par contre les zéros qui sont placés à droite d’un chiffre sont tous des cs.

Exemples : L = 1,030 m ce résultat comporte 4 cs.

S = 25 000 m² comporte 5 cs.

R = 0,280 cm comporte 3 cs.

Si on indique l’incertitude absolue d’un résultat, le nombre de chiffres doit être cohérent avec celui de la grandeur.

Exemple : A = 123,45 ± 0,08 Bq et non A = 123,45 ± 0,082 Bq.

Si une mesure de longueur par exemple est donnée au millimètre près, a = 1,375 ± 0,001 m, il ne faut pas indiquer le résultat avec un nombre de cs insuffisant, a = 1,3 ± 0,001 car la précision obtenue nécessite l’indication du chiffre des millimètres.

Si un résultat est obtenu avec son incertitude relative, il ne faudra alors conserver que le nombre de chiffres vraiment significatifs.

Exemple : ν = 834,571 Hz à 1,1% et ∆ν = 9 Hz, alors ν = (835 ± 9) Hz.

V. Quelques rappels trigonométriques

a) sin(π-α)=sin(α) sin(-α)= −sin(α) cos(π-α)= −cos(α) cos( -α)=cos(α) sin(π α)+ = −sinα

cos(π α)+ = −cosα cos(π α) sin(α)

2− = π

sin( α) cos(α)

2− =

cos(π α) sinα

2+ = − π

sin( α) cosα

2+ =

b) Relation de transformation :

α β γ

π =180= 200 avec α en radian, β en degré et

γ

en grade.

c) Formules d’addition des arcs :

cos(a+b)=cos(a)cos(b) sin(a)sin(b)−

Si a = b alors ^cos(2a)=cos (a) sin (a)² − ² = −1 2sin (a)² =2cos²

( )

a −1 cos(a− =b) cos(a)cos(b) sin(a)sin(b)+

a) sin(b)cos(

b) sin(a)cos(

b)

sin(a+ = +

Si a = b alors sin(2a)=2sin(a)cos(a) a) sin(b)cos(

b) sin(a)cos(

b)

sin(a− = −

Nous pouvons retrouver ces relations en utilisant les formules suivantes :

eiθ =cosθ+isinθ e^-iθ =cosθ−isinθ d) formule de transformation :

* Produit en somme :

[ ]

cos(a)cos(b) 1 cos(a b) cos(a b)

= 2 + + −

[

^{cos(a b) cos(a b)}

]

2 b) 1

sin(a)sin( = − − +

[

^{sin(a b) sin(a b)}

]

2 b) 1

sin(a)cos( = + + −

* Somme en produit :

p q p q

cos(p) cos(q) 2cos( )cos( )

2 2

+ −

+ =

2 ) q )sin(p 2

q sin(p 2 cos(q)

cos(p)− =− + −

2 ) q )cos(p 2

q sin(p 2 sin(q)

sin(p)+ = + −

2 ) q )sin(p 2

q cos(p 2 sin(q)

sin(p)− = + −

VI. Valeurs de quelques constantes physiques

Tableau V : Quelques constantes importantes en physique

Constante Symbole Valeur Célérité de la lumière dans le vide c0 299 792 458m s^-1 ≈ 3.10⁸m.s^-1 Nombre d’Avogadro N 6,022.10²³ mol^-1

Constante gravitationnelle G 6,67.10^-11 N m² kg^-2 Charge électrique élémentaire e 1,602.10^-19 C Masse de l’électron me 9,1.10^-31 kg Masse du proton mp 1,672621.10^-27 kg Masse du neutron mn 1,674927.10^-27 kg Unité de masse atomique u (ou uma) 1,66.10^-27kg Permittivité diélectrique du vide ε0 8,854.10^-12 F m^-1 Permittivité magnétique du vide µ0 1,257.10^-6H m^-1 Constante de Planck h 6,625.10^-34J s^-1 Constante de Boltzmann k 1,38.10^-23J K^-1 Constante de Stefan σ 5,6687.10^-2 W m^-2 K^-4 Constante des gaz parfaits R 8,314 J mol^-1K^-1

VII. Dérivée d’une fonction

La dérivée d’une fonction y(x) est la limite de ∆y

∆x lorsque ∆x tend vers zéro. Elle est représentée par dy

dx.

∆ y α

y ∆ x

x

Graphiquement dy

dx est la pente de la tangente à la courbe au point y.

dy tgα dx =

Exemples de dérivées de quelques fonctions Tableau VI : Dérivées de quelques fonctions

f(x) xⁿ

x 1

xn

1 sinx cosx

dx df(x)

nx^n-1 ₂

x

− 1 n_n+1

−x cosx -sinx

f(x) tan(x) e^x a^x lnx log_a x

dx

df(x) 2

2

1 1 tg x

cos (x)= + e^x a^xlna

x 1

x

ae log

VIII. Dérivées de fonction à plusieurs variables

Soit une fonction f qui dépend de trois variables x, y et z

F = f(x, y, z)

La dérivée de F par rapport à x, en considérant y et z constants, est appelée dérivée partielle de F par rapport à x. Elle se note :

f (x, y, z) F

x x

∂ =∂

∂ ∂

La dérivée de F par rapport à y, en considérant x et z constants, est appelée dérivée partielle de F par rapport à y. Elle se note :

f (x, y, z) F

y y

∂ =∂

∂ ∂

La dérivée de F par rapport à z, en considérant x et y constants, est appelée dérivée partielle de F par rapport à z. Elle se note :

f (x, y, z) F

z z

∂ =∂

∂ ∂

La dérivée totale de F est la somme des dérivées partielles de F par rapport à x, y et z. elle se note : f (x, y, z) f (x, y, z) f (x, y, z)

dF dx dy dz

x y z

∂ ∂ ∂

= ∂ + ∂ + ∂

Exemple : Calculer la dérivée totale de :

2 2

F=f (x, y, z)=x yz+xy+yz f(x, y, z)

F 2xyz y

x x

∂ = ∂ = +

∂ ∂

2 2

f (x, y, z)

F x z x z

y y

∂ =∂ = + +

∂ ∂

f (x, y, z) 2

F x y 2yz

z z

∂ =∂ = +

∂ ∂

2 2 2

f (x, y, z) f (x, y, z) f (x, y, z)

dF dx dy dz

x y z

(2xyz y)dx (x z x z )dy (x y 2yz)dz

∂ ∂ ∂

= ∂ + ∂ + ∂

= + + + + + +

IX. Produit scalaire de deux vecteurs

On appelle produit scalaire de deux vecteurs

u G

et

v G

le produit algébrique :

α cos . . . v u v u G G =

, où

u

et

v

sont les longueurs des vecteurs

u G

et

v G

.

v u G G

.

n’est pas un vecteur mais un scalaire.

On a :

u G v G v G u G .

. =

et

u G . v G = 0

si

u G

et

v G

sont orthogonaux

α

k z j y i x

u G = G + G + G k z j y i x

v G G G G

' '

' + +

=

Z

u G . v G = xx ' + yy ' + zz '

k G

i G

X

i G . i G = G j . G j = k G . k G = 1

G j

i G . G j = G j . k G = k G . i G = 0

Y

v G

u G

Comme exemple du produit scalaire, citons le travail d’un vecteur constant fG

effectuant un déplacement rectiligne

l G

: f lG G⋅

X. Produit vectoriel de deux vecteurs

On appelle produit vectoriel de deux vecteurs

u ^G

^et

v ^G

un vecteur

w ^G

perpendiculaire à ces deux vecteurs, tel que le trièdre

u G v G w G

,

,

soit direct.

w v u G G G

=

∧

Le trièdre

u G v G w G ,

,

est dit direct si le sens

u ^G

^vers

v ^G

^vers

w ^G

se fait contrairement à celui des aiguilles d’une montre.

Le module de

u G v G

∧

est donné par :

θ sin . .v u v u G ∧ G =

θ

est l’angle que fait

u ^G

^avec

v ^G

^.

w ^G

v G

+

u ^G

Si on considère les coordonnées de chaque vecteur :

k z j y i x

u G = G + G + G k z j y i x

v G G G G

' '

' + +

=

k y x xy j

z x xz i

z y yz v

u G G G G G

) ' ' ( ) ' ' ( ) ' '

( − − − + −

=

∧

Le moment d’un vecteur

A B G

par rapport à un point O est un exemple du produit vectoriel :

B A A

O G G

G = ∧

Μ

XI. Intégrales

Le problème de physique fait généralement intervenir des courbes, des surfaces et des volumes. Le calcul intégral permet de déterminer ces éléments en faisant la somme des effets dus à ces éléments.

Soit la fonction y = f(x) représentée par la courbe suivante :

On montre que l’intégrale de la fonction y = f(x) dans l’intervalle (a,b) représente la surface comprise entre la courbe représentative de y , l’axe des x et les droites x = a et x = b.

= ∫

^a

b

dx x f

s ( )

Exemple : Calculer la surface S comprise entre la courbe y = sinx et l’axe des x entre x = 0 et x = π y=sinx

1

S

x 0 π

[ ^cos ] ^{cos cos 0 2}

sin

0 0

= +

−

=

−

=

= ∫ ^π

π π

x xdx

S

unités de surface

y

a b

x

S

f(x)

Exemples d’intégrales simples :

Tableau VII : Intégrales de quelques fonctions

F(x) ₂

x 1

x

1 _n

x cos(x) sin(x)

) x ( cos

1

2

dx

∫

F(x) ⁻_x^{1 +C 2 x +C} _n^xn₊⁺¹₁^+C sin(x)+C -cos(x)+C tan(x)+C

F(x)

) x ( in

1 s 2

e x

x

1 lnx 2

x

x e

e + ⁻

2

x

x e

e − ⁻

dx

∫

F(x) ^-cotanx+ _Cste ^{e +Cste x ln│x│+} _Cste ^xlnx-x _+Cste 2

x

x e

e − ⁻ +Cste

2

x

x e

e − ⁻

+Cste

Lorsque l’intégrale est difficile on peut, par des changements de variables, se ramener à des intégrales connues.

Exemple1 :

∫

^x

⁼ ∫

a

x

x dx dx x

tgx

0

cos

.

. sin

( )

sin x dx⋅ est la différentielle de -cos x. Posonscos x=u :

cos cos

cos cos

. ln ln cos

cos

x x

x a

a a

du a

tgx dx u

u x

− ⎡ ⎤

= = −⎣ ⎦ =

∫ ∫

Exemple2 :

∫ −

x

u du

0 2

1

,

x

^{< 1}

Posons

u = sin α

^,

Alors 1−u² =cos²α et du=cosα α⋅d

[ ] x

u d

x

du

arcsin

1

¹

1

0

1 0

0 2

= = = =

− ∫

∫

^α

^{α α}

^α

^α

XII. Equations différentielles

1) Equation différentielle du premier ordre linéaire et à coefficients constants

Une équation différentielle est une relation entre une fonction et ses dérivées. Elle est dite du premier ordre si la dérivée est première. Elle est linéaire si la fonction et sa dérivée figurent au premier degré.

a) Soit la fonction

y (t )

satisfaisant à l’équation différentielle : dy -ky

dt = t est le temps, k est une constante En séparant les variables on a :

dy y =-kt

y t

yo 0

dy -k dt y =

∫ ∫

L’intégration donne :

o

ln y -kt y = et y y e-kt

= o

b) Soit la fonction

y (t )

satisfaisant à l’équation différentielle : dy m-ky

dt = t est le temps, m et k sont constants Posons m

y- z

k = On a :

d(y-m)

dz k dy m-ky -k(y-m) -kz

dt = dt = dt = = k =

z z e-kt

= o Donc :

o

m m -kt

y +(y - )e

k k

=

2) Equation différentielle du second ordre

L’équation différentielle du second ordre contient des dérivées première et seconde :

0 '' + w

²

y =

y

w

²est un coefficient constant.

Multipliant par

2 y '

2 ' ''y y +w2⋅2yy'=0 Or (y')

'' d

y = dt et y ' d y = dt 2 'y d⋅ (y ')+w2⋅2y dy⋅ =0 L’intégration donne :

2 2 2 2

' c

y +w y = ; c est la constante d’intégration (positive car somme de 2 carrés) ² L’équation obtenue est du premier ordre, mais elle n’est pas linéaire.

Faisant une séparation de variables :

2 2 2

y' dy c -w y

= dt =

2 2 2

dy dt

c -w y

= Rappelons que :

x

2 0

du arcsinx 1-u

∫

=

Et en faisant le changement de variable

u c

wy =

:

2

dy dt

c 1-(wy) c

=

2

d(wy)

c wt

1-(wy) c

=

L’intégration donne : arcsin(wy) t

c =w +ϕ

ϕ

est la deuxième constante d’intégration y c sin( t )

w w ϕ

= +

c c

y ( cos ) sin tw ( sin ) cos tw

w ϕ w ϕ

= +

Posons c

A cos

w ϕ

= et c

B sin

w ϕ

= La solution générale est :

y=A sin tw +B cos tw

XIII. Angle plan et angle solide

a) définition de l’angle plan

L’angle plan se définit, dans l’espace à deux dimensions, par le rapport θ = l/R entre la longueur l interceptée par deux rayons sur le cercle, et le rayon R du cercle.

dl

dl=Rdθ

si R=1 ; dl=dθ :

L’angle en radian = longueur du cercle de rayon unité

total

θ =2πR =2π radians b) définition de l’angle solide

Dans l’espace la surface S est vue du point O sous l’angle solide Ω :

s S Ω

1

R

d θ

O

Par analogie à l’angle plan Ω a même mesure que l’aire s (de R=1) découpée par les génératrices du cône qui le forment sur la sphère de centre O et de rayon unité.

Ω = s exprimé en stéradians

Si l’on coupe le cône de sommet O par des sphères centrées en O et de rayons R₁ et R_{2 :}

Ω s S1 R2 S2

O R1

Les sphères étant homothétiques, les surfaces s, S1 et S₂ sont aussi homothétiques Les rapports ¹₂ ²_{2 2 2}

1 2

S S s s s Ω

R =R = R =1 = = sont indépendants de R.

Si l’angle solide balaye tout l’espace, Ω= 4π stéradians

Si l’angle solide balaye le demi-espace limité par un plan (demi- sphère), Ω= 2π stéradians

Expression scalaire de l’angle solide

ds

ds '

α

M

d s G

u G

r

d Ω

o

dS est vue de O sous dΩ. Le cône de sommet O qui s’appuie sur dS découpe sur la sphère centrée en O et de rayon OM= r, la surface dS’.

On a donc :

2 . 2

cos 2

'

r u s d r

ds r

d ds

G

= G

=

=

Ω α

et

3 . 2

.

r r s d r

u s d d

G G G

G =

= Ω

M

u G