Chercher la «meilleure » solution aux équations de l’élasticité

(1)

Helmut Klöcker Tél. : 0078

klocker@emse.fr Bureau : H3.13

(2)

(3)

Chercher la «meilleure » solution aux équations de l’élasticité

(((( ))))

satisfait approximativement

0 ^T

imposé

div f x

n t t x S^σσσσ

σ σσσσ σ

σ σ

σσσσ

+ = = ∀ ∈Ω + = = ∀ ∈Ω + = = ∀ ∈Ω + = = ∀ ∈Ω

= = ∀ ∈

(((( ))))

approximativement

1 2

T

imposé

U satisfait

u u x

u u u x S

εεεε ==== ∇ + ∇∇ + ∇∇ + ∇∇ + ∇ ∀ ∈Ω∀ ∈Ω∀ ∈Ω∀ ∈Ω

= = ∀ ∈

:

σ L ε

σ ε

σ ==== ε

ou

(4)

(((( ))))

^SA ⁰ ^SA^T ^SA

SA imposé

div f x

n t t x S^σσσσ

σσσσ σ σ σ σ σ σ σ σ σσσσ

+ = = ∀ ∈Ω

+ =+ = == ∀ ∈Ω∀ ∈Ω

+ = = ∀ ∈Ω

= = ∀ ∈

(((( ))))

1 2

CA CA CA T

CA imposé

U

u u x

u u u x S

εεεε ==== ∇∇∇∇ ++++ ∇∇∇∇ ∀ ∈Ω∀ ∈Ω∀ ∈Ω∀ ∈Ω

= = ∀ ∈

I. Champ de déplacement cinématiquement admissible et champ de contrainte statiquement admissible

S

σσσσ

t

u S

^U

Ω S

σσσσ

t

u S

^U

Ω

(5)

II. Equation des travaux virtuels II.1. Conservation de l’énergie

(((( ))))

énergie stockée dans le matériau

énergie fournie au matériau

:

U

SA CA SA T CA

T CA T T CA

S S U

CA SA

dv dv

u

d d f d

u S t u S u

t

σσσσ

σ ε

σ σ ε ε

σ ε σσσσ

σσσσ

Ω Ω

εεεε

Ω Ω

ΩΩ ΩΩ

====

= + + Ω

∀

∀ ∀

∀

L :

σ ε

σ ≠≠≠≠ ε

(6)

II. Equation des travaux virtuels

II.2. Principe des travaux virtuels des déplacements

S ^σσσσ

u ^S ^U

Ω

CA

0

U

u sur S

0 sur

u S

σσσσ

δδδδ ^≠≠≠≠

(((( ))))

1 2

CA CA CA T

CA imposé

U

u u x

u u u x S

εεεε ==== ∇∇∇∇ ++++ ∇∇∇∇ ∀ ∈Ω∀ ∈Ω∀ ∈Ω∀ ∈Ω

= = ∀ ∈

== == ∀ ∈∀ ∈

= = ∀ ∈

(7)

S ^σσσσ

u ^S ^U

Ω

CA

0

U

u sur S

0 sur

u S

σσσσ

δδδδ ^≠≠≠≠

(((( ))))

1 2

CA CA CA T

CA imposé

U

u u x

u u u x S

εεεε ==== ∇∇∇∇ ++++ ∇∇∇∇ ∀ ∈Ω∀ ∈Ω∀ ∈Ω∀ ∈Ω

= = ∀ ∈

== == ∀ ∈∀ ∈

= = ∀ ∈

(((( ))))

satisfait approximativement

0 ^T

imposé

div f x

n t t x S^σσσσ

σ σσσσ σ

σ σ σ σ

σ σ

σσσσ

+ = = ∀ ∈Ω + = = ∀ ∈Ω + = = ∀ ∈Ω + = = ∀ ∈Ω

= = ∀ ∈

== == ∀ ∈∀ ∈

= = ∀ ∈

(8)

(((( )))) (((( ))))

Si le champ est en équilibre :

1 2

Inversement tout champ de déplacement cinématiquement admissible

qui satisfait l'équation précé

T

CA T CA CA

S

CA CA CA T

CA

dv t u dS f u d

u u

u

σσσσ

σσσσ σ δ ε

σ δ ε σ δ ε

σ δ ε δ δ δ δ δ δ δ δ

δ ε δ ε δ ε

δ ε δ δ δ δ δ δ δ δ

δδδδ

Ω Ω

Ω ==== ++++ Ω ΩΩΩΩ

= ∇ + ∇

dente entraîne l'équilibre.

S

σσσσ

u ^S

^U

Ω

CA 0

U

u sur S

δδδδ ⁼⁼⁼⁼

CA 0sur u Sσσσσ

δδδδ ^≠≠≠≠

S

σσσσ

u ^S

^U

Ω

CA 0

U

u sur S

δδδδ ⁼⁼⁼⁼

CA 0sur u Sσσσσ

δδδδ ^≠≠≠≠

(9)

1 1

l l0l0 e x

e y

ez

ττττ

II.2. Principe des travaux virtuels des déplacements : exemple

( )A ( )A

x x xx

ax ax a

u ⁼⁼⁼⁼ e

δ δ δ δ

u ⁼⁼⁼⁼

δδδδ

e

ε ε ε ε

⁼⁼⁼⁼

xx E xx Ea

σ ε

σ

⁼⁼⁼⁼

ε

⁼⁼⁼⁼

(((( ))))

(((( )))) (((( ))))

0

: ^CAdv Ea a dv Ea a Ea a l

σ δ ε σ δ ε σ δ ε

σ δ ε δδδδ

δ δ

δ δ δ δ

δ δ

Ω Ω

ΩΩ ΩΩ

Ω ==== Ω

= Ω =

== ΩΩ ==

= Ω =

: ^C^A ^T ^CA ^T ^C^A

S

d f

dv t u S u d

σσσσ

σσσσ δδδδ εεεε δδδδ

σσσσ δδδδ

ΩΩ

ΩΩ ==== ++++ ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ

(((( ))))

(((( )))) (((( ))))

²0

2

T CA

S S

S

d a xd

u S S

t

a xd S a l

σ σ

σσσσ

σ σ

σσ σσ

σ σ

σσσσ

τ δ τ δ τ δ τ δ δδδδ

τ δ τ δ τ δ τ δ τ δ

τ δ τ δ τ δ

====

= =

== ==

= =

(10)

1 1

l l0l0 e x

e y

e z

ττττ

(((( )))) (((( ))))

²0

0 0

2 :

2

T CA CA

S

dv Ea a a l

l

S

l a u d

t E

σσσσ

τ δ τ δ τ δ τ δ δδδδ

δδδδ δδδδ

ττττ

σ ε

Ω Ω Ω

Ω ====

====

==== ====

: ^C^A ^T ^CA ^T ^C^A

S

d f

dv t u S u d

σσσσ

σσσσ δδδδ εεεε δδδδ

σσσσ δδδδ

ΩΩ

ΩΩ ==== ++++ ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ

( ) 0 A

2 x

x

u ₌₌₌₌ ττττ l E e

⁰

xx

l 2 ττττ

σσσσ ⁼⁼⁼⁼

(11)

1 1

l l0l0 e x

e y

e z

ττττ

( ) 0 A

2 x

x

u l E e

==== ττττ

⁰

xx

l 2 ττττ

σσσσ ⁼⁼⁼⁼

Est-ce la bonne solution ?

(((( ))))

( ) 2 3

1 2 3

meilleure ?

B x x

u a a x a x e est

= + +

== ++ ++

= + +

(12)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0

0.2 0.4 0.6

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

(13)

(((( ))))

Si le champ est en équilibre :

est vérifié pour tout champ de déplacement cinématiquement admissible. Inversement si l'équation précédente est statisfaite pour tout champ de co

U

SA SA T

S

dv n u Sd σσσσ

σσσσ

δσ ε δσ

ΩΩ

ΩΩ ====

ntrainte statiquement admissible, l'équation de compatibilité est satifaite.

II.3. Principe des travaux virtuels des contraintes

(14)

(((( ))))

approximativement

1 2

T

impos satisfa

é U

it

u u x

u u u x S

εεεε ==== ∇ + ∇∇ + ∇∇ + ∇∇ + ∇ ∀ ∈Ω∀ ∈Ω∀ ∈Ω∀ ∈Ω

= = ∀ ∈

(((( ))))

satisfait exactement par hypothèse

0 ^T

imposé

div f x

n t t x S^σσσσ

σ σσσσ σ

σ σ

σσσσ

+ = = ∀ ∈Ω + = = ∀ ∈Ω + = = ∀ ∈Ω + = = ∀ ∈Ω

= = ∀ ∈

(15)

2 3

xx 4

2 3

xy

4 5

a+2by+3c +4(-4b+16 )y y

= - x+b

-5(16a+4c)y

= ay+b +cy y

+(-4b+16 ) -(16a+4c)y y

σσσσ ττττ

σσσσ

ττττ

1 1

l l0l0 e x

e y

e z

ττττ

xx xy

xy yy

+ 0

x y

σσσσ σσσσ

σ σ

σσ σσ

σ σ

∂∂∂∂ ∂∂∂∂ ====

∂ ∂

∂∂ ∂∂

∂ ∂ ====

∂ ∂

xy(y= )=1 xy(y= )=-1

2 2

ττττ

σ σ

(((( ))))

-5+7200-5 b = (1100+ +316)

τ υ

υυυυ

(16)

(((( ))))

cél M W

W

σσσσ

σ σ σ ε

σσσσ

= → = ∂∂∂∂

== → =→ =

= → =

∂∂∂∂

III. Principe de minimum de l’énergie

III.1. Energie de déformation et énergie complémentaire III.1.1. Energie de déformation

III.1.2. Energie complémentaire

(17)

0

: ^A ^T ^T ^C

S

C dv t uCAdS f u Ad

σσσσ

σσσσ δδδδ

σ δ ε σ δ ε σ δ ε

σ δ ε δδδδ

Ω Ω Ω

Ω −−−− −−−− ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ ====

(((( ))))

U=0 pour tout champ ^C

U A

é CA T CA

l S S CA

u

T d

d f u

u S

v t

U W d

σσσσ

εεεε

σσσσ

++++

Ω Ω Ω

Ω −−−− ΩΩΩΩ ΩΩΩΩ

= −

== −−

= −

(((( ))))

^él

(((( ))))

_: _:

él W

W

εεεε

δ ε δ ε σ δ ε

δ δ ε ε δ ε σ δ ε δ ε σ δ ε

δ ε δ ε σ δ ε

εεεε

= ∂∂∂∂ =

= =

∂∂∂∂

III. Principe de minimum de l’énergie

III.2. Principe de minimum de l’énergie de déformation Principe des travaux virtuels des déplacements

Définition de l’énergie élastique en fonction des déformations

(18)

(((( )))) (((( ))))

U=0 pour tout champ

U

sA

c

S cél

n udT

U W dv S

σσσσ

σσσσ σσσσ

Ω ΩΩ

= Ω −

= −

III.3. Principe de minimum de l’énergie complémentaire Principe des travaux virtuels des contraintes

Définition de l’énergie élastique complémentaire

(((( ))))

⁰

:

U

S T

S

SA dv

δδδδ

An u Sd _σσσσ

δ ε

δ σσσσ ε σσσσ

Ω ΩΩ

Ω −−−− ====

(((( ))))

_{1 : :}

(((( ))))

2

cél

cél M W

W

σσσσ

σ σ σ ε

σ σ σ σ σ σ ε ε

σ σ σ ε

σσσσ

= → = ∂∂∂∂

= → =

∂∂∂∂

(19)

(((( ))))

(((( )))) (((( ))))

T CA T CA

él S

CA ex

U W dv t u dS f u d

U U

σσσσ

εεεε σσσσ

ε ε

εε εε

ε ε

Ω Ω

= − − Ω

== −− −− ΩΩ

= − − Ω

≥≥≥≥

(((( )))) (((( ))))

^U

c c T

él S

SA ex

c c

dv n ud

U W S

U U

σ σ

ΩΩ ΩΩ

= −

== −−

= −

≤≤≤≤

III.3. Principe de minimum de l’énergie complémentaire

(20)

ex s

ca ex c c a

U ε ε ε ε U ε ε ε ε U σ σ σ σ U σ σ σ σ

− ≤ − = ≤

III. Principe de minimum de l’énergie III.4. Mesure de l’erreur

(((( ))))

^{T CA}

él S

U W dv t u dS

σσσσ

εεεε σσσσ Ω

ΩΩ

= Ω −

== −−

= −

(((( )))) (((( ))))

U

c c T

él S

dv n ud

U W

σ σ σ σ σ σ σ σ

S

Ω ΩΩ

= Ω −

= −

Chercher la «meilleure » solution aux équations de l’élasticité

Chercher la «meilleure » solution aux équations de l’élasticité

(((( ))))

σ σσσσ σ

σ σ

σ σ

σ σ

σσσσ

(((( ))))

:

σ L ε

σ ε

σ ε

σ ==== ε

ou

(((( ))))

σσσσ σ σ σ σ σ σ σ σ σσσσ

(((( ))))

S

t

u S

Ω S

t

u S

Ω

(((( ))))

:

dv dv

u

d d f d

u S t u S u

t

σ ε

σ σ ε ε

σ ε σσσσ

σσσσ

εεεε

====

= + + Ω

= + + Ω

= + + Ω

= + + Ω

∀

∀

∀

∀

∀

∀ ∀

∀

L :

σ ε

σ ε

σ ε

σ ≠≠≠≠ ε

S σσσσ

u S U

Ω

0

u sur S

δδδδ ====

0 sur

u S

δδδδ ≠≠≠≠

S σσσσ

u S U

Ω

0

u sur S

δδδδ ====

0 sur

u S

δδδδ ≠≠≠≠

(((( ))))

S σσσσ

u S U

Ω

0

u sur S

δδδδ ====

0 sur

S ^σσσσ

u ^S ^U

δδδδ ⁼⁼⁼⁼

δδδδ ^≠≠≠≠

S ^σσσσ

u ^S ^U

δδδδ ⁼⁼⁼⁼

δδδδ ^≠≠≠≠

S ^σσσσ

u ^S ^U

δδδδ ⁼⁼⁼⁼

δδδδ ^≠≠≠≠

S ^σσσσ

u ^S ^U

δδδδ ⁼⁼⁼⁼

δδδδ ^≠≠≠≠

u ^S

u ^S

u ₌₌₌₌ ττττ l E e

σσσσ ⁼⁼⁼⁼

σσσσ ⁼⁼⁼⁼