Casse-tête de novembre 2009
Vincent PANTALONI 28 novembre 2009
Enoncé :Ce pays du Lointain Ponant projette de construire en plein désert 6 villes nouvelles A,B,C,D,E et F disposées aux sommets de deux carrés juxtaposés de côté 8 km.
Des ingénieurs des télécommunications et des ingénieurs des ponts et chaussées se réunissent pour conce- voir le réseau routier câblé le plus court possible qui relie les six villes entre elles. D’entrée de jeu, les premiers proposent le circuit ABCDEF qui a l’avantage de la simplicité et demande 40 kms de câbles.
Les seconds plus économes affirment qu’il existe un réseau qui a deux mètres près fait faire une économie de 3 kms.
Les ingénieurs des télécommunications contestent cette évaluation et évoquent une erreur de calcul. Qui a raison ?
Solution :. . . . Les ingénieurs des ponts et chaussées ont bien raison, il existe une solution de longueur environ égale à 37,0014528km comme indiqué en rouge sur la figure ci-dessous :
2 4 6 8 10
2 4 6 8 10 12 14 16 18
−2
−4
−6
Longueur totale= 37.00145281075391
b
A
b
B
b
C
b
E
b
F
b
D
b
H
b
I
b
J
b
K
b
M
b
L
b
N
b
M′
b
I′
b c
O
b c
P
b
P′
b O′
b
b
Idée : On peut savoir que le pointKqui minimise la sommeKA+KB+KC oùABC est un triangle est un point tel que les trois angles formés autour deK lorsqu’on le relie àA,B etCsont égaux, et donc égaux à 120°. J’ai donc cherché une espèce de pavage hexagonal du rectangle qui passe par les six points ABCDEF.
Explication de la construction : Sur cette connexion (en rouge) des six pointsABCDEque je crois optimale, les angles à chaque nœud où coucourrent trois segments rouge sont de 120°. Cette condition impose une unique construction avec quatre nœuds : O et P ainsi queO′ et P′ leurs symétriques par rapport au milieuJ de[EB].
J’ai tracé le triangle équilatéralAF H de côté[AF], etI est son centre. On sait que :
AIF[ =AIH[ =HIF[ = 120°. Le lieu des pointsX tels queAXF\= 120° est l’arc de cercle AF, passant par I. J’ai tracé ce cercle. Une construction similaire a été faite sur le segment [BJ]. J’ai besoin d’un résultat de géométrie pour la construction d’une bissectrice :
1
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Lemme :La bissectrice de l’angle \BDCse construit en joignant D au point E intersection de la médiatrice de [BC] et du cercle circonscrit àBDC.
En effet les angles marqués en verts sont tous égaux car :
① \CBE=BCE\carBCE est isocèle enE.
② BDE\=BCE\car ils interceptent l’arcBE.
③ \CBE=CDE\ car ils interceptent l’arcCE.
bA Bb
bC
bD
bE
Revenons à la figure initiale, on cherche à relier un point X du grand cercle avec un point Y du petit cercle par une droite∆de sorte que les angles formés autour de ces deux points soient de 120°. Pour cela il faut et il suffit que ∆ soit la bissectrice des angles \AXF et BY J[. En vertu du lemme précédent, la droite ∆ est la droite (I′M′). On trace donc cette droite, elle coupe les deux cerles aux points O et P.
Le reste de la construction se fait par la symétrie centrale de centreJ. La connexion des six pointsA,B, C,D,E est tracée en rouge. Le logiciel GeoGebra annonce une longueur totale d’environ :
37,00145281km
J’ai eu la flemme de faire les calculs, mais ils sont faisables, au moins de manière analytique dans le repère indiqué sur la figure, d’origine A:
On sait que le centre de gravité (dansF AH) se trouve au 2/3 de la médiane en partant du sommet. Une hauteur de triangle équilatéral vaut √23 fois un côté, ce qui permet de trouver les coordonnées deL et I′ :L(−r2; 4), I′(−3r2; 2)oùr= √83. De même pour le petit cercle de rayon r′=r/2 :
M′(8 +3r2′; 2)etN(8 +r2′; 2). Avec cela on peut déterminer l’équation de(II′)et des deux cercles pour finalement obtenir les coordonnées deO etP. Il ne reste plus qu’à faire le calcul des distancesF O,OA, OP,BP etP J, qu’on additionne et multiplie par deux pour obtenir la longueur totale.
Mauvaise intuition
Au départ après plein de dessins j’ai voulu calquer un pavage hexagonal régulier sur le rectangle mais c’est impossible pour des raisons de nombre irrationnels (√
3 ∈/ Q). J’ai trouvé une paire de parallélo- grammes dont les sommets sont sur les noeuds d’un pavage hexagonal. Alors j’ai eu l’idée d’appliquer une tranformation affine à ce pavage de manière à transformer les parallélogrammes en le rectangle voulu.
C’est joli mais ne donne pas la solution optimale, car les angles ne font plus 120°. Le calcul de la lon- gueur se pait en utilisant un pavage (cf figure). Chaque côté de l’hexagone de base a pour mesure un septième d’une diagonale de rectangles. D’où les longueurs en prenant le côté du carré comme unité :
① Coté vert : 17√ 13
② Côté bleu : 27
√5
③ Côté rouge : 17
√17
Ce qui donne une longueur totale en km :
L= 8
3×1 7
√13 + 3×2 7
√5 + 2×1 7
√17
≃37,119 km
En tout cas c’est en essayant d’améliorer cette connexion en mettant des angles de 120° que j’ai obtenu celle exposée précédemment.
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