ANDERS WIMAN IN MEMORIAM
P a r
TRYGVE N A G E L L Uppsala
Le nestor des mathdmaticiens scandinaves, Anders Wiman, est ddcddd s Lund le 13 aofit 1959 s l'~ge de 94 ans. I1 fut un des redacteurs de ces Acta depuis 1908 et prdsident du Comitd de la Direction de l ' I n s t i t u t Mittag-Leffler ~ Djursholm.
I1 naquit le 11 fdvrier 1865 s ttammarlSf, gouvernement de MalmShus, off ses parents possddaient une propridtd rurale. Apr~s avoir passd son baccalaurdat au lycde de Lund duns r a u t o m n e de 1885, il prit ses inscriptions s l'Universitd de Lund. I1 y passa ses examens
1 ~ 603807. Acta mathematlca. 103. I m p r i m 6 le 19 m a r s 1960
I I T R Y G V E ~ A G E L L
universitaires et soutint sa thhse pour le doctorat en 1892. La m~me annie il fut attachd s l'Universitd de Lund en qualit4 de maitre de conferences en mathgmatiques. Le 5 dgcembre 1901 Wiman rut nommd professeur extraordinaire en mathdmatiques ~ ]'Universitd de Uppsala. Cinq ans plus tard il fur appeld ~ la chaire ordinaire de math~matiques de la m~me universitd. I1 occupa cette chaire jusqu's sa rotraite le 11 fdvrier 1930.
La mort de Wiman est une perte douloureuse pour les sciences mathdmatiques dont il fur un des reprdsentants les plus ~minents. I1 range parmi l'dlite internationale de ces sciences. Dans ses t r a v a u x il montre une universalit4 qui n'est pas ordinairo chez les math~maticiens d'aujourd'hui. II a obtenu de beaux rdsultats dans des disciplines mathd- matiques les plus vari~es. Sa production embrasse 72 m~moires sur des sujets de la gdo- mdtrie, do l'alg~bre, de la thdorio des groupes, de la thdorie des fonctions, de la thdorie des nombres, du calcul des probabilit~s etc. Ses t r a v a u x se distinguent par l'ing~niosit~, l'originalit~ et la clart~. I1 a gardd sa vitalitd intellectuelle jusqu's la fin. Apr~s sa retraite en 1930 il a publid 24 travaux, le dernier en 1954 quand il avait prosque 90 ans.
La plupart des t r a v a u x do Wiman traitent des questions de la gdomdtrie. Duns sa th~se, Klassifikation af regelytorna av sjette graden, Lund 1892, il donne une classification complete des surfaces regldes du sixi~me degr~. I1 retourne plus tard sur la th~orie des sur- faces regl~es duns plusieurs travaux, et cette thdorie a dr4 enrichie par lui d ' u n grand nombre de belles d~couvertes. I1 a, pour citer un exemple, d~termind toutes les surfaces regl4es d'urL degrd quelconque pour lesquelles les courbes doubles sour compl~tement d~gdngrdes.
Plusieurs de ses travaux gdomdtriques s'occupent de probl~mes relatifs aux courbes algdb~iques planes. ]l dtait spdcialement interessd aux courbes de genre > 1 qui admettent des transformations lindaires en soi-mSme.
Plus gdndralement, il a ~tudid les transformations birationnelles de telles courbes on soi-m~me.
Par ses dtudes sur les courbes algdbriques il a dtd conduit ~ des probl~mes de l'algbbre et de la th~orie des groupes. Parmi ses rdsultats dans ce domaine nous citons le thdor~me cdl~bre qui porte le nora do Wiman: Pour n > 7 il n ' y a aucun groupe de collindations dans un espace de moins de n - 2 dimensions qui est isomorphe avec le groupe symdtrique ou avec le groupe alternd de n variables. (Pour n g 7 l'existonce de tels groupes de col- lin~ations avait ddj~ dtd ddmontrde.)
E n compl~tant un travail de Kantor, Wiman a ddtermind t o u s l e s types des groupes finis de transformations birationnelles dans le plan.
Dans une sdrie de t r a v a u x Wiman a examind les dquations metacycliques, et il a, entre autres, ddbrouillg la question conceruant les radicaux qui apparaissent quand on doit r~soudre une telle ~quation de degrd premier.
A N D E R S W I M A N I N M E M O R I A M I I 1
U n r~sultat int~ressant de W i m a n est le th~or~me suivant : T o u t e gquation alg~brique d ' u n degr5 n -> 10 p e u t 8tre r~duite s la forme
x n § . . . + a n - I X - t - a n = 0
p a r une t r a n s f o r m a t i o n de Tschirnhaus. P o u r obtenir cela il f a u t seulement rdsoudre u n n o m b r e fini d ' d q u a t i o n s quadratiques, cubiqucs et biquadratiqucs.
W i m a n a aussi apportd de belles contributions ~ la thdorie des nombres. Ainsi il a ddtermind, dans un corps algdbrique quelconque, t o u s l e s iddaux p o u r lesquels il existe des racines primitives. D a n s un autre travail il a trait6 des questions de la thdorie des corps ab61iens relatifs. Apr~s les 80 ans accomplis W i m a n s'est tourn6 vers la thdorie a r i t h m 6 t i q u e d~s cubiques planes du premier genre. I1 s'est intdress6 n o t a m m e n t s la question difficile de la distribution des points rationnels sur ces courbes. Sur ce sujet il a publi6 quatI'e notes, d o n t le dernier en 1954.
L a p r o d u c t i o n de W i m a n embrasse aussi plusieurs t r a v a u x a p p a r t e n a n t au domaine de t'analyse. I1 s'gtait s u r t o u t intgress6 ~ la thdorie des fonctions entigres transeendantes.
Sa ddcouverte du rgsultat suivant est devenue e6l~bre: Soit [ (z) une fonction enti~re trans- eendante de l'ordre ~ < 89 et soit
m (r) = m i n ]/(z)[.
I z l - r
Alors, si e est positif, on a
m (r) > e r~-~
p o u r une suite infinie de valeurs r a r b i t r a i r e m e n t grandes.
U n petit n o m b r e de ses t r a v a u x a p p a r t i e n t ~ la thdorie des ~quations diffdrentielles, au calcul des probabilitds et h la thdorie des ensembles.
P e n d a n t ses t r e n t e ans de professorat W i m a n a exerc6 une g r a n d e influence sur le d~veloppement de l'enseignement universitaire en m a t h d m a t i q u e s . E n m o d e r n i s a n t cet enseignement il a inaugurd une nouvelle @oque. Ses le~0ns se distinguaient p a r l'exactitude, p a r la clart6 et p a r la pr6sentation p6dagogique. U n e trentaine de ses 6l~ves o n t s o u t e n u leurs th6ses de doctorat.
W i m a n a t o u t e sa vie manifest6 un vif int6r~t p o u r l'enseignement m a t h 6 m a t i q u e dans l'6cole s6eondaire. P e n d a n t 25 ans il 6tait eenseur au bacealaur6at dans les lyc6es su6dois.
Les langues classiques 6taient les plus g r a n d s int6rgts de W i m a n hors des sciences m a t h 6 m a t i q u e s . D a n s ce d o m a i n e ses eonnaissances 6taient vastes et solides.
Personnellement, c'6tait u n h o m m e retir6, laconique et d6pouill6 de r o u t e vanit6.
Tous eeux qui F o n t approeh6 g a r d e n t de Iui le souvenir d ' u n h o m m e tr~s aimable et tr6s gdn6reux, dou6 d ' u n h u m o u r splendide.
On 6eoutait avee plaisir ~ ses opinions sages et bien fond6es sur l'art, sur la science, sur la politique et sur les hommes.
IV TRYGVE /~AGELL
Table des travaux math~matiques de Anders Wiman 1. Klassi]ikation a] regelytorna a] sjette graden. Th6se pour le doctorat. L u n d 1892.
2. 0 f v e r eft speciellt slag af hvirfvelr5relse i viitskor. Lunds Univ:s 21rsskr. T. 29, 1892/93:
Afd. 2, Fysiogr. sallsk:s i Lund handl., N y ]Slid, 4.
3. Om inflexionspunkterna till plana k u r v o r af tredje ordningen. N y t tidsskr. ]or mathem., Aid. B, Aarg. 5, 1894.
4. ~ b e r die hyperelliptischen Cttrven und diejenigen vo,n Geschlechte p = 3, welche eindeutige Transformationen in sich zulassen. Stockholm 1895. Bih. Vetensk.-akad:s handl., 21, Afd. 1: Nr. 1.
5. U b e r die algebraischen Curven yon den Geschlechtern p = 4, 5 und 6, welche eindeutige Transformationen in sich besitzen. Stockholm 1895, M~me publication, 21, Afd. 1: Nr. 3.
6. U b e r die Anzahl der Kegelschnitte, welche durch l~unkte, Tangenten und Normalen be- s t i m m t sind. Z. Math. Physilc, Jahrg. 40, 1895.
7. U b e r die Doppelcurve auf den geradlinigen Fl~ichen. Acta Math., 19, 1895.
8. Zur Theorie des Kegelschnittbfischels. Arch. Math. Physik, R e i h e 2, 14, 1896.
9. Tiber eine einfache Gruppe v o n 360 ebenen Collineationen. Math. Ann., 47, 1896.
10. Zur Theorie der endlichen Gruppen yon birationalen Transformationen in der Ebene.
Math. An~., 48, 1897.
11. N o t e fiber die symmetrischen u n d alternierenden Vertauschungsgruppen y o n n Dingen.
Nachr. Akad. Wiss. G6ttingen Math.-Phys. Kl., 1897.
12. Note fiber die Vertauschungsgruppen v o n acht Dingen. Nachr. Akad. Wiss. GSttingen Math..Phys. Kl., 1897.
13. Endliche Gruppen linearer Substitutionen. Ency]dop. der math. Wiss . . . Bd. 1 : 1, Leipzig 1898-1904.
14. Bestirnmung aller U n t e r g r u p p e n einer doppelt unendlichen Reihe yon einfachen Gruppen.
Stockholm 1899. Bih. Vetensk.-akad:s handl., 25, Afd. 1: N r 2.
15. O b e r die Darstellung der syrnmetrischen und alternierenden Vertauschungsgruppen als Co]lineationsgruppen yon mbglichst geringer Dimensionenzahl. Math. Ann., 52, 1899.
16. U b e r die Ideale in einem algebraischen Zahlkbrper, nach denen Primitivzahlen existieren.
O]vers. a/ Vetensk.-akad:s ]6rhandl., ~rg. 56, 1899.
17. U b e r eine Wahrscheinlichkeitsaufgabe bei Kettenbruchentwicklungen. O]vers. a] VetensIc.- akad:s ]6rhandl., ,~rg. 57, 1900.
18. Zur Theorie der relativ-Abel'schen Zahlkbrper. Lunds Univ:s Arsskr., T. 36, 1900: Afd. 2, _Fysiogr. sdllsk:s i Lurid handl., N y /Slid, Bd. 11.
19. Bemerkungen fiber eine v o n Gyld4n aufgeworfene Wahrscheinlichkeitsfragc. L u n d 1901.
20. ~ b e r die dureh l~adicale auflSsbaren Gleichungen, deren Grad eine Potenz v o n 2 ist. O]vers.
a/ Vetensk.-akad:s ]6rhandl., Arg. 58, 1901.
21. O b e r die Wurzeln der metacyklischen Gleichungen. O]vers. a] Vetensk.-akad:s ]Srhandl., /~rg. 58, 1901.
22. 0-ber die metemyklischen Gleichungen v o n Primzahlgrad. Acta Math., 27, 1903.
23. O b e r die angen~herte Darstellung y o n ganzen Funktionen. Stockholm 1903, Arlciv ]Sr matem., astron, och ]ysik, utg. av Vetensk.-akad., Bd. 1: Nr. 7.
24. Note fiber die ganzen F u n k t i o n e n zweier Ver~nderlichen. Stockholm 1903, M~me publica- tion, Bd. 1: Nr. 8.
25. Sur le cas d'exception dans la thdorie des fonctions enti6res. Stockholm 1904, M6me publica- tion, Bd. 1: Nr. 23.
26. U b e r die durch Radikale auflSsbaren Gleichungen neunten Grades. Stockholm 1904, M6me publication, Bd. 1: Nr. 41.
A : N D E R S W I M A N I ~ M E M O R I A M V 27. Sur le genre de la d6riv6e d ' u n e fonction enti6re et sur le cas d'exception de M. Picard.
Note. U. R. Acad. Sci. Paris, 138, 1904.
28. Die metazyklischen Gleiehungen 9. Grades. Verhandl. des 3. internat. MathematiI~er-Kon- gresses zu Heidelberg 1904.
29. U b e r den FundamentMsatz in der Theorie der F u n k t i o n e n E~ (x). Acta Math., 29, 1905.
30. U b e r die Nullstellen der F u n k t i o n e n E~ (x). Acta Math., 29, 1905.
31. Sur une extension d ' u n th6or6me de M. H a d a m a r d . Uppsala 1905. A r k i v ]Sr matem., astron.
och ]ysik, utg. a] VetenMc.-akad., Bd. 2: Nr. 14.
32. U b e r die metazyklischen Gleichungen v e t o Grade p2. Uppsala 1907. M~me publication, Bd. 3: Nr. 27.
33. U b e r gewisse imprimitive Gleichungen. Uppsala 1907. M~me publication, Bd. 3: l~r. 28.
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34. U b e r das Minimum des Integrals f y n ~ i +y'~dx. Arch. Math. Physik, Reihe 3, 13, 1908.
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35. Die M a t h e m a t i k an den schwedischen Universit/~ten. Pedag. tidskr., •rg. 46, Stockholm 1910.
36. U b e r den Zusammenhang zwischen dem Maximalbetrage einer analytisehen F u n k t i o n und dem grSssten Gliede der zugehSrigen Taylor'schen Reihe. Acta Math., 37, 1914.
37. Matematik. Sveriges land och ]ollc, Hist.-statist. handbolc, 2:a uppl. publ. par J. Guinchard, del 1, Stockholm 1915; 6dition allemande 1913 et 6dition anglaise 1914.
38. Om s a m m a n h a n g e t mellan m a x i m i m o d y l e n och stSrsta t e r m e n hos en analytisk funktion.
Compte rendu du 3 e Congr~s des mathdmaticiens scandinaves, Kristiania 1913.
39. U b e r eine Eigenschaft der ganzen F u n k t i o n e n y o n der HShe 1~u11, Math. A n n . , 76, 1915.
40. T_lber den Zusammenhang zwischen dem Maximalbetrage einer analytisehen F u n k t i o n und dem gr6ssten Betrage bei gegebenem Argumente der Funktion. Acta Math., 41, 1916.
41. O b e r die reellen L6sungen der linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Uppsala 1917, A r k i v ]6r matem., astron, och ]ysilc, utg. a v Vetensk.-akad., Bd. 12: Nr. 14.
42. (3ber die L6sungen einer homogenen linearen I)ifferentialgleiehung in der U m g e b u n g eines singul/~ren Unbestimmtheitspunktes. Compte rendu du 4 e Congr~s des mathdmaticiens scand.
... 1916, Uppsa]a 1920.
43. (Tber die Geemetrie auf der zweiteiligen kubischen F1/~ehe. Matematikerkongr. i Helsing]ors ... 1922 .... RedogSrelse .... Helsingfors 1923.
44. U b e r die reellen Ziige der ebenen algebraischen K u r v e n . Math. A n n . , 90, 1924.
45. U b e r den Klassenk6rper eines Abel'schen Zahlk6rpers. Den 6:e skand. ~natematikerkongres, Beretn . . . . , K o b e n h a v n 1925.
46. O m e n reed en kvatern~r grupp p~ 11520 kollineationer i saraband st~ende konfiguration.
Mat. Tidsskr., B, Aarg 1925, Kobemhavn.
47. U b e r Abelsche Kollineationsgruppen und irreduzible lineare Substitutionsgruppen. Acta
!Vlath., 48, 1926.
48. (~ber die Anwendung der Tschirnhausentransformation auf die l%eduktion algebraischer Gleichungen. Nova acta Societ. scient. Ups., Vol. extra ord., Uppsala 1927.
49. U b e r die Regelfl/iehen m i t einer Leitgeraden. Acta Math., 57, 1931.
50. l J b e r die Regelfl~chen sechsten Grades ohne Leitgerade. Acta Math., 59, 1932.
51. U b e r eine asymptotische Eigenschaft der Ableitungen der ganzen F u n k t i o n e n yon den Geschlechtern 1 und 2 m i t einer endlichen Anzahl yon Nullstellen. Math. A n n . , 104, 1931.
52. U b e r Marmigfaltigkeiten y o n geradem Typus. ]:Yppsala 1933, Arlciv ]Sr matem., astron, oeh ]ysilc, utg. av Vetenslc.-alcad., Bd. 23 A: Nr. 15.
53. U b e r Mannigfaltigkeiten yon ungeradem Typus. lYppsala 1933, M6me publication, Bd. 23 A:
Nr. 26.
54. Ober den Zusammenhang v o n gewissen Mannigfaltigkeiten. Uppsala 1933, M6me publica- tion, Bd. 24 A: Nr. 8.
VI TRYGVE NAGELL
55. U b e r eine Verallgemeinerung der algebraischen Gleichungen. M a t h . A n n . , 108, 1933.
56. Uber zwei T y p e n yon elliptischen Regelfl~i, chen achten Grades. M a t h . A n n . , 108, 1933.
57. U b e r die Doppeltangenten der ebenen K u r v e n vierter Ordmmg. Uppsala 1934, A r k i v ]6r matem., astron, och ]ysik, utg. av Vetensk.-akad., Bd. 25 A: Nr. 5.
58. U b e r die asymptotischen K u r v e n bei einer gewissen Fl~chengattung und ein hiermit in Zusammenhang stchendes zahlentheo~etisches Problem, 8:de 8kand. matematikerkongr, i S t o c k h o l m ... 1934. Comptes r e n d u s .... Lund 1935.
59. U b e r die asymptotischen K u r v e n der Fl~chen x P w q - yPz q - O. Uppsala 1935. A r k i v ]6r matem., astron, och ]ysik, utg. av Vetensk.-akad., Bd. 25 A: Nr. 11.
60. ~ b e r die W'-Kurven im dreidimensionalen Raume. A c t a M a t h . , 64, 1935.
61. (~ber eine Stabilit~itsfrage in der Theorie der linearen Differentialgleichungen. A c t a M a t h . , 66, 1936.
62. U b e r die Cayleysche Regelfl~che dritten Grades. M a t h . A n n . , 113, 1936.
63. U b e r die Realit~t der Nullstellen fast aller Ableitungen gewisser ganzer Funktionen. M a t h . A n n . , 114, 1937.
64. U b e r Regelfl~chen yon beliebig h o h e m Grade m i t vollst~ndig zerfallenden Doppelkurven.
A c t a M a t h . , 76, 1944.
65. U b e r den R a n g v o n K u r v e n y2 = x ( x + a ) ( x + b). A c t a math., 76, 1944.
66. U b e r rationale P u n k t e auf K u r v e n y2 = x ( x ~ - c2). A c t a math., 77, 1945.
67. U b e r m i t Diedergruppen verwandte p-Gruppen. Stockholm (tr. Uppsala) 1946. A r k . mat., 33 A: 6.
68. U b e r der Hesseschen Konfiguration in der Ebene entsprechende Konfigurationen in h6heren R~umen, Stockholm (tr. Uppsala) 1947. A r k . mat., 34 A: 18.
69. Uber rationale P u n k t e auf K u r v e n drifter Ordnung yore Geschlechte eins. A c t a M a t h . , 80, 1948.
70. E i n Problem bei dyadischer Zahlendarstellung. Stockholm (tr. Uppsala) 1951. A r k . mat., h 21.
71. U b e r p-Gruppen von m a x i m a l e r Klasse. A c t a M a t h . , 88, 1952.
72. U b e r die P u n k t e m i t ganzzahligen Koordinaten auf gewissen K u r v e n drifter Ordnung.
12:e s k a n d , matematiker]~ongr, i L u n d 1953, Lurid 1954.
