CALCUL DES TUBES ASECTION ELLIPTIQUE SOUMIS À UNE PRESSION INTÉRIEURE

L A H O U I L L E B L A N C H E

• m — C A L C U L

D E S

T U B E S A S E C T I O N E L L I P T I Q U E

s o u m i s à u n e pression intérieure

Cette note de calcul n'est qu'un aperçu sur une ques- tion d'un intérêt réel, bien que très spéciale.

Evidemment, pour tout tube soumis à une pression intérieure, la forme circulaire est plus avantageuse que toute autre.

Néanmoins, certains robinets-vannes présentent une section ovale et leur calcul offre de» difficultés telles, que seul l'essai sous pression permet de vérifier la résistance.

Il sera facile aux praticiens que la question inté- ressera, de déterminer les épaisseurs et les nervures, en vue d'utiliser le poids minimum de métal.

Le calcul restant à faire, tombe, en effet, dans h démaine de la flexion simple.

Le calcul d e c e g e n r e d e l u b e , q u i se fait g é n é r a l e m e n t par des p r o c é d é s a m p i r i q u e s , p o u r r a i t être c o n d u i t d ' u n e façon plus exacte s a n s g r o s s e difficulté.

D e u x m o d e s d e calcul s'offrent, t o u s d e u x a p p r o c h é s d'ailleurs, m a i s s u f f i s a m m e n t exacts p o u r les b e s o i n s d e la pratique.

I° M O D E D E C A L C U L

C o n s i d é r o n s u n e c o n d u i t e elliptique d e f a x e s : a et b soumise à u n e p r e s s i o n intérieure p .

C o n s i d é r o n s le i/4 d e l'ellipse A B e n équilibre (figure i ) . L e m o m e n t fléchissant e n A est : M = M A . Ce. m o m e n t est d û à la pression intérieure q u i t e n d à r a m e n e r la sec- tion elliptique à la f o r m e circulaire. L a pression d e A à u n e section q u e l c o n q u e M est égale s e n s i b l e m e n t à p s, e n a p p e - lant s la c o r d e A M et cette pression est a p p l i q u é e a u m i l i e u de A M .

Fig. 1

Enfin, la pression intérieure p r o d u i t e n A u n e extension pa et e n B u n e e x t e n s i o n pb.

Le m o m e n t fléchissant e n M ^{EST :} M = M A — pa (a — x) +

et, d'après l'équation d e l'ellipse : y² = ( a² — as²) d o n c :

s² = (a — z )² + y² = (a — x) Q a — a?) + ^ ( a + aoj

= °a%X (a — x) + b2 (a + X) D ' o ù :

M = M A — P ^ ~ X ) ^ a — (a — x ) — ^ ( a + .r)]

M = M A — ^P ^^{f l}~ ^ j (a + s ) — ~ (a + x) J

M = M A - ^ _ ^ = £ ! 1 ~

)

a- u-

G o m m e a² — x²- • , f , il vient : 62

P o s o n s enfin : — — = — = K ²

b- à2

11 vient : M = M A — —=3-

P o u r d é t e r m i n e r M A , il suffit d e r e m a r q u e r q u e les d e u x sections A et B restent rectangulaires après la flexion.

T., , „ , • T B M ds „ D o u 1 é q u a t i o n : / = L) R e m p l a ç o n s M p a r sa valeur. Il vient :

r

DK

r

„

j M A d s - ^P-f- jf^A r r f s - n

O r , e n a p p e l a n t : r u n r a y o n m o y e n d e la section : a+b ., ,

r = — , il vient :

D ' o ù : M .^A

Y^^—f

M = 4

E n r e m p l a ç a n t cette v a l e u r M A , il vient : M = (r2 — a y2 )

C e m o m e n t est m a x i m u m , e n A , e n B , il v a u t sensible- m e n t la m o i t i é . E n f i n , 51 s'annulle p o u r y = p 7 | = ^{r s i n} 45°', c'est-à-dire s u i v a n t les bissectrices d e s axes.

L'équarissage d e la c o n d u i t e doit d o n c être d é t e r m i n é e n A . E n a p p e l a n t e l'épaisseur d e la c o n d u i t e , o n a :

1 _ el - M — PK'2ri

n ~~~ « R ^— 4 R

e = Kr y/"^ f o r m u l e q u i d o n n e l'épaisseur. ² Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1921039

168- L A H O U I L L E B L A N C H E E x e m p l e : P o u r p = 20 k g s c m2, R = 8oo k g s c m 2 (fonte

aciérée) :

6 = om/|5.

a = om9 0 . a-\-b

O n a r: = 67 C M .

V

D ' o ù e = 1,73 x 67 x

1 , 5 x 2 0

8 0 0 22 c m .

D a n s ce calcul, o n n'a p a s t e n u c o m p t e d e l'effort d'exten- sion facile à évaluer. C e t effort e n M a d e u x c o m p o s a n t e s :

X=py Y = px

sa v a l e u r est d o n c , e n projetant s u r la t a n g e n t e e n M : N = p y c o s a + p x sin a.

bx L'équation d e l'ellipse d o n n e : tg a — y'

a {/ a-—xi

D ' o ù : sin a- y 6*

e n p o s a n t

D e m ô m e cos 7. =

_ c __\/cF—b"1

a a

1

flj/a*-!

//1 + y- a y a-—e-

D ' o ù : N =

p^\/ a'—x* a (/ a2- x2 + pbx>-

a l/ a9— e - x2

N = pab

C e t effort est m a x i m u m e n A , m a i s s o n influence sur la répartition d e s m o m e n t s p e u t être n é g l i g é e et il suffit d e

vérifier si le travail résultant e n A n e d é p a s s e p a s la limite a d m i s e .

D a n s l'exemple choisi, o n a : p a = 20 x 90-= t.800 k g s . L e travail m o l é c u l a i r e est a u g m e n t é d e

d u [o % e n v i r o n .

1 6 0 0 2 2

= 82 k g s . D o n c ,

2° M É T H O D E D E C A L C U L

O n p e u t e n c o r e traiter le p r o b l è m e p l u s e x a c t e m e n t d e la f a ç o n s u i v a n t e , m a i s t o u j o u r s e n n é g l i g e a n t , e n p r e m i è r e a p p r o x i m a t i o n , l'effort d'extension.

C o n s i d é r o n s e n c o r e le i/4 d'ellipse (figure 2). L e m o m e n t résultant d e s pressions agissant s u r l'arc A M , p a r r a p p o r t a u p o i n t M , est :

/•M

/ pds.d

A p p e l o n s a, /? les c o o r d o n n é e s d ' u n p o i n t q u e l c o n q u e I d e l'arc A M .

N o u s p o u v o n s p o s e r :

D ' a u t r e part, l'équation d e la n o r m a l e à l'ellipse e n I est : ( X — E T ) « ' + ( Y — /?) /?' = o.

•Soit — a X sin l + b Y . c o s t + (a2 — 62) sin l c o s f = o.

L a d i s t a n c e d d e M à cette n o r m a l e est, e n p o s a n t c2 = a2—b- ax sin t — bu c o s t — c- s i n / c o s i ,,

cl— 'J. . clt

[/ cfi — c- cos"-1

Fig. 2

L e m o m e n t résultant, p a r r a p p o r t à M d e s pressions pds est d o n c :

P*a\,/1 — c2 c o s2 l (ax sin l—by c o s l~c sin t cos I) PJA j/ a2 — c- c o s2 l

=p / (ax sin t — by cos t — -g- sin 2 i) dt

- p — by sin t — ax cos / -j- ^- cos 2

tj ^

dl

= p | j r ( a --X)

2 b*

2 « 2

( f l 2 _ a- 2 )

(a2 + 62) D ' o ù finalement : j pd. ds = ^ ^ r ^ j ^ 2 x "

L'expression d u m o m e n t fléchissant e n M est. d o n c exac- t e m e n t :

M--=

p (a—x)

c- X — • o (a2+ b2) J — pa (a — x) + ^M.

2 a2 L

• c2 . T — a 'a1 + b-')

M = M A — '~ (a — x)'2

O n d é t e r m i n e ensuite M A p a r la m ê m e condition que d a n s le p r e m i e r m o d e d e calcul, c'est-à-dire p a r l'équation :

fllds-.-- / * MA( / s - P^ffa — x )2 d s - o .

c'a J.\ 2 ,/A

L A H O U I L L E B L A N C H E -169 Application. — P r e n o n s le m ê m e e x e m p l e q u e p l u s h a u t . N o u s a v o n s :

902

90

0 = 0 9 0 6 = om4 5

= 0,45 0,865

C a l c u l o n s

K²

0.10 ( '4 — 5,25) —

— 0,75)

0.75 _ 0J56n

4-

= 0,312

D ' o ù

1,57(1-

[ — K2

= 0.(I8

T 1

• , , 9 0 X 0 82X0.865//00 ,,

Il vient : h = = ' = I / c m 2

F/800

L e résultat t r o u v é p a r cette d e u x i è m e m é t h o d e , p l u s exacte, est d o n c p l u s faible, et c'est cette m é t h o d e qui doit être c o n s e r v é e .

L a v a l e u r d u travail m o l é c u l a i r e p r o d u i t p a r l'extension est :

pa 2 0 X 9 0

. .

lï ~ ~W^¥~ = L 0 / K L S C M -

L e travail m o l é c u l a i r e résultant est d o n c celui a d m i s , m a j o r é d e i3 %.

O n p e u t é v i d e m m e n t réaliser u n e légère é c o n o m i e fie m é t a l e n n e r v u r a n t le t u b e i n t é r i e u r e m e n t p o u r renforcer

le m o d u l e d'inertie d e la section longitudinale.

Fig. 3

E n appelant L l'écartemenl d e s n e r v u r e s , h leur h a u t e u r , b leur largeur, l l'épaisseur d u tube p r o p r e m e n t dit (fig. 3 ) , o n doit avoir, e n c o n s i d é r a n t la portion e n T c o m p r i s e entre les sections S et S'

l

n ^R

pé-<?-[/\ — K² 2 R

Il est rationnel alors d e se fixer l, b, h et d e tirer L d ' u n e é q u a t i o n d'cquurissage l o n g u e à poser, m a i s s a n s difficultés.

D i s o n s enfin qu'il serait possible d e réaliser la f o r m e d'égale résistance sans o u a v e c n e r v u r e s , e n r e m a r q u a n t q u e les m o m e n t s fléchissants e n B et A sont entre e u x d a n s u n

I — K2

l'apport c o n n u , q u i est d a n s le cas d e l'exemple : — j p — L e s épaisseurs e n B et A p o u r r a i e n t être prises d a n s le n i p p o r t . - — J T , m a i s alors toute la théorie p r é c é d e n t e t o m b e e n défaut, car elle s u p p o s e le t u b e d'égale épaisseur et il y aurait, alors à c r a i n d r e u n e m a j o r a t i o n d ' e n s e m b l e d e tous les m o m e n t s s a n s a u c u n m o y e n d e contrôle.

G . P i t u n o N ,

Ingénieur,

Chargé de Conférences à l'/nslilul Polytechnique de Grenoble.

Calculons ces intégrales.

N o u s a v o n s :

d s = a \ 2" l / i — c2 c o s2 L dt i/o

= a j 2 (i — c o s2 l — -g- c o s1 t + ) dt G o m m e e est s û r e m e n t < i , e n arrêtant a u troisième terme), l'erreur est d e l'ordre d u O n a d o n c prati- q u e m e n t :

Cette valeur étant p a r ^ x c è s , n o u s p r e n d r o n s :

J

T {

-T~%)

Calculons l'intégrale d u n u m é r a t e u r . N o u s a u r o n s , e n p o s a n t : x—.a C o s t.

i' e2

j (a — x)2 ds = a'i j a(i — c o s O2- ( i — 9 c'os:J 0 df

= «3 |²- ^ l _ 2 c o s ^ + ' ^ I — c o s²/ + < ?² c o s³/ — Çcos'fj cfe

= a8[ ^ ( 2 4 - 7 e2) - | ( 3 - ^ ) ]

D o u : M A = — g , e n p o s a n t

Jl ( 2 4 - 7 0 - 2 / 3 ( 3 - e²)

K2 = — >

T i e2 e * \

2 V

I ~~ 20/

et e n r e m p l a ç a n t d a n s l'expression d u m o m e n t , il vient : M = • M A — {a—xf= Bf |~«' K * - ( a - x)*~\

Si K > T, le m o m e n t csl e n c o r e m a x i m u m p o u r x = a, c'est-à-dire e n A , et m i n i m u m e n B p o u r : x ~ u .

Ces conclusions s o n t inversées, si K < 1.

O n a t o u j o u r s : /

M

= £ f l ^ ( K * - 1 )

l'^n appelant d o n c h l'épaisseur d u t u b e c o n s t a n t e , o n a

V _ Mm a x _ />e2 a2 p e2 <r2 , „ 6 ~ ~\\ -

2ÎT

"

~2TT

\

\/^

dou A v

suivant q u e R e s t > r o u < 1.

Celte f o r m u l e est d e m ê m e f o r m e q u e celle trouvée p a r lii première m é t h o d e .