DS 02 GRH

Terminale GRH

Mathématiques, 2h, calculatrice autorisée

Exercice I (2.5 pts, extrait de Nouvelle Calédonie 2008)

Exercice II ( 6.5 pts, extrait de Polynésie 2008)

Calculer S₁₅ et T₁₅.

Exercice III (7 pts, extrait de Nouvelle Calédonie 2008)

Partie A.

4. Déterminer par le calcul à partir de quelle année le nombre de tués passera sous la barre des 2000.

2010. On

7

Partie B.

1. Déterminer le taux d’évolution annuel moyen du nombre de tués sur les routes entre les années 1998 et 2006 (arrondir ce résultat à 0.01%).

2. En déduire une estimation du nombre de tués en 2010.

Nuage de points de l’exercice 3.

Exercice IV (4 pts)

Une entreprise commence cette année la fabrication de systèmes d’alarme pour piscines de particuliers.

La production sera la première semaine u1 = 2000.

Puis l’entreprise prévoit d’augmenter sa production chaque semaine de 10%.

On désigne par un , le nombre de systèmes fabriqués la n-ième semaine.

1. Calculer u2 , u3 , u4 .

2. a. Quel coefficient multiplicateur permet de passer de u1 à u2 ? de u2 à u3 ? b. Exprimer un+1 en fonction de un .

c. Quelle est la nature de la suite (un) ? Préciser sa raison.

3. Calculer la production la 20^ième semaine (arrondir à l’unité).

4. Calculer la production totale au cours des 20 premières semaines. Le résultat sera donné arrondi à l’unité.

Corrigé du DS de Terminale GRH Exercice I

1. Réponse b : 3 hausses successives de 2% équivalent à une seule hausse d’environ 1.023−1≃6.1208%.

2. Réponse c : Idem : 1.2³− ≈1 72.8%.

3. Réponse a : On a

( )

^{1+t 12=1.12⇔ =t 1.12121 − ≈1 0.95%.}

Exercice II

1a. Anne reçoit en 2001, 80 + 6 = 86€ et en 2002, 86 + 6 = 92€.

Bastien de son coté, reçoit 100 1.03 103€× = en 2001 et 103 1.03 106.09€× = en 2002.

1b. La suite

( )

^un est arithmétique de raison 6 car pour passer d’un terme au suivant on ajoute toujours 6€.

On a u_n =u₀+rn=80 6+ n.

1c. La suite

( )

vn est géométrique de raison 1.03 car pour passer d’un terme au suivant on multiplie toujours par 1.03 (qui correspond à une hausse de 3%). On a v_n = ×v₀ qⁿ =100 1.03× ⁿ.

1d. A l’aide de la calculatrice, on cherche le premier n pour lequel u_n >v_n : on observe que u₈ >v₈ alors que u₇ <v₇. La date cherchée est donc 2008 (n = 8).

2. D’après les résultats sur les sommes de termes d’une suite arithmétique ou géométrique, on a :

> ₁₅ 16 ^{0 15} 16^{80 170} 2000

2 2

u u

S = + = + = .

>

16 15

1 1.03

100 2015.69

1 1.03

T = −

− ≃ .

Exercice III

Partie A

La figure est fournie ci-dessous.

1. Par définition, G a pour coordonnées

( )

^{x y,} donc ici on a ^G

(

^{4; 6720)}

)

^.

2a. A l’aide de la calculatrice, on obtient comme équation de la droite des moindres carrées 485.2 8660.7

y= − x+ .

2b. Pour tracer (D), on cherche deux points de D.

Pour x = 0, on a y = 8660 donc (0 ;8660) est sur D. Pour x = 8, on a y = 4780 donc (8 ;4780) est sur D.

3. Graphiquement, on estime qu’en 2010 (x = 12) le nombre de tués sur les routes sera d’environ 3000.

4. On résoud l’inéquation 485 8660 2000 485 6660 ⁶⁶⁶⁰ 13.7

x x x 485

− + ≤ ⇔ − ≤ − ⇔ ≥ ≈ .

C’est donc dès 2012 que la barre des tués passe sous les 2000.

Partie B.

1.

> Le taux d’évolution global entre 1998 et 2006 est donné par ^{4700 8440} 44.3%

T= 8440− ≈ .

> Le taux d’évolution annuel moyen t est alors

( )

^{1+t 8= −1 44.3%⇔ =t 0.556818− ≈ −1 7.06%.}

2. En 2010, cad 4 ans après 2006, si l’évolution se poursuit, on peut estimer le nombre de tués sur les routes à ^{4700× −}

(

^{1 7.06%}

)

^{4 ≃3507.}

Exercice 4 Corrigé

Une entreprise commence cette année la fabrication de systèmes d’alarme pour piscines de particuliers.

La production sera la première semaine u1 = 2000.

Puis l’entreprise prévoit d’augmenter sa production chaque semaine de 10%.

On désigne par un , le nombre de systèmes fabriqués la n-ième semaine.

1. Pour augmenter un nombre de 10% on le multiplie par 1.1 donc : u₂ =2000 1.1× =2200,

3 2200 1.1 2420

u = × = et u₄ =2420 1.1× =2662.

2. a. Le coefficient multiplicateur qui permet de passer de u1 à u2 ou de u2 à u3 est 1.1.

b. De même pour passer de la production de la nième semaine à la suivante, on multiplie par 1.1 donc : u_n+1=1.1×u_n..

c. Par définition, d’après la question précédente, la suite (un) est géométrique de raison 1.1.

1. On a par conséquent u_n = ×u₁ qⁿ⁻¹ ⇒u₂₀ =2000 1.1× ¹⁹≈12232.

2. La production totale au cours des 20 premières semaines est donnée par

20 20

1 2 20 1

1 1 1.1

... 2000 114550

1 0.1

S u u u u q

q

− −

= + + + = = ≈

− − .

4 6 8 10 12 14 16 18

-2 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000

0 2

1000

x y