Chapitre
1 Logique et raisonnement
OBJECTIFS
-Savoir manipuler les connecteurs logiques et les quantificateurs.
-Savoir mettre en oeuvre les principaux types de raisonnement : - le raisonnement par contraposée
- le raisonnement par l’absurde
- le raisonnement par double implication - le raisonnement par équivalence
- le raisonnement par disjonction des cas
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I. Notions de logique
« Les mathématiques sont un jeu qu’on exerce selon des règles simples en manipulant des symboles et des concepts qui n’ont en soi, aucune importance particulière. » D. Hilbert(1862−1943)
1. Assertion
Uneassertionest une propriété mathématique qui peut être vrai ou faux, les deux possibilités s’excluant mutuel- lement.
Définition
Le théorème de Pythagore est une assertion mathématique vraie.
Exemple
Un axiomeest une assertion que l’on suppose vraie a priori et que l’on ne cherche pas à démontrer.
Définition
L’assertion « par un point extérieur à une droite, il passe une et une seule droite parallèle à cette droite » est un axiome appelé cinquième axiome d’Euclide.
Exemple
À part les axiomes, la véracité ou la fausseté d’une assertion doit résulter d’une démonstration : elle s’appuie sur des hypothèses, sur des axiomes, sur des assertions démontrées précédemment et sur les règles de logique que l’on détaillera par la suite.
ß Unthéorème est une assertion vraie, ou en tout cas démontrée comme telle particulièrement importante.
ß Unlemme est une assertion intermédiaire utile à la démonstration d’un théorème.
ß Uncorollaire est la conséquence d’un théorème plus important.
ß Uneconjectureest une assertion dont on pense qu’elle est vraie, mais qui n’a pas été démontrée.
Définition
Les prédicats sont là pour prouver le contraire :
Un prédicat est un énoncé dans lequel figure(nt) une ou plusieurs variables décrivant certains ensembles tel que, dès que l’on donne une valeur à ces variables, l’énoncé devient une assertion vraie ou fausse.
Définition
Les paramètres d’un prédicat doivent être définis dans un contexte qui indique le type de valeurs qu’elles peuvent prendre. Ce sont alors des variables libresau sens où l’on peut leur attribuer une valeur dans ce contexte.
L’énoncéP(x) : «x >2» est un prédicat. L’assertionP(4) est vraie etP(1)ne l’est pas.
Exemple
2. Négation
Une assertion mathématiqueP peut être niée, c’est-à-dire qu’on peut lui associer une nouvelle assertion qui exprime son contraire.
ß La table de vérité d’une assertion construite à partir de connecteurs logiques est la donnée de la valeur de vérité de cette assertion pour chaque jeu de valeur de vérité des assertions prises en argument des connecteurs.
ß Deux assertions sont diteslogiquement équivalentes si elles ont la même table de vérité.
On utilise alors le connecteur ≡.
Définition
La négation d’une assertionP est l’assertion, notéeP (ou non P), qui est vraie lorsque P est fausse et fausse lorsqueP est vraie.
Ainsi, P est définie par la table de vérité ci-contre :
P P V F Définition
Notons queP a la même valeur de vérité queP. On considère que ce sont les mêmes propriétés.
ßLa négation de «3>1» est
ßLa négation de l’assertion « Tous les arbres du jardin mesurent moins de 6 mètres » est
ßLa négation de «f est une fonction croissante » est «f n’est pas une fonction croissante » et non pas «f est une fonction décroissante ». En effet, il existe des fonctions qui ne sont ni croissantes ni décroissantes.
Exemple
3. Connecteurs logiques
Soient P etQ deux assertions.
ß La conjonction de P et Q est l’assertion, notée (P et Q), qui est vraie si, et seulement si, P etQ sont simultanément vraies.
ß La disjonction de P ou Q est l’assertion, notée (P ou Q), qui est vraie si, et seulement si, l’une au moins des assertionsP etQ est vraie.
On définit ainsi les connecteurs logiques et et ou par les tables de vérité ci-contre :
P Q P ou Q P etQ
V V
V F
F V
F F
Définition
R Le « ou » mathématique n’est pas exclusif, contrairement à son usage courant dans la langue francaise.
La proposition suivante explique comment nier les connecteurs logiques et et ou . On pourra retenir que le contraire d’un et est le ou des contraires et vice-versa.
Soient P etQ deux assertions.
1. La négation de «P etQ » est «P ouQ ».
2. La négation de «P ou Q» est «P etQ ».
Proposition : Lois de Morgan
Nous démontrons le premier point et le second s’en déduit :
P Q P etQ P etQ P Q P ouQ
V V
V F
F V
F F
Démonstration
Soient P,Q etR trois assertions.
1. Commutativité : (P et Q)≡(Q etP) (P ouQ)≡(Q ouP) 2. Associativité du « et » : (P et (Q etR))≡((P etQ) etR)
3. Associativité du « ou » : (P ou (Q ou R))≡((P ou Q) ou R)
4. Distributivité du « et » par rapport au « ou : (P et (Q ou R))≡((P et Q) ou (P et R)) 5. Distributivité du « ou » par rapport au « et : (P ou (Q etR))≡((P ou Q) et (P ou R))
Proposition : Propriétés des connecteurs logiques
On propose ici de démontrer le point 4. :
P Q R Q ou R P et (Q ou R) P etQ P etR (P etQ) ou (P etR)
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
Démonstration
Si l’on vous propose « fromage et dessert » avec, pour le dessert, crème brûlée ou île flottante, cela revient à
« (fromage et crème brulée) ou (fromage et île flottante) ».
4. Implication
Soient P etQ deux assertions.
L’assertion P =⇒ Q qu’on lit : «P implique Q» ou «si P, alors Q» est fausse dans le seul cas où P est vraie et Q fausse. Sa table de vérité est donnée par :
P Q P =⇒ Q
V V
V F
F V
F F
Définition
Ê On considère l’implication (P =⇒ Q). On dit que :
+ P est unecondition suffisantepour avoir Q, autrement dit, pour que la proposition Q soit vraie,il suffitque la proposition P le soit.
+ Q est unecondition nécessairepour avoir P, autrement dit, pour que la propositionP soit vraie,il fautque la proposition Q le soit.
Ë L’implication(Q =⇒ P) est appeléeréciproquede l’implication (P =⇒ Q).
La réciproque d’une implication peut être vraie ou fausse.
Ì L’implication(Q =⇒ P)est appeléecontraposée de l’implication(P =⇒ Q).
La contraposée d’une implication est toujours vraie:
P Q P =⇒ Q P Q Q =⇒ P
V V
V F
F V
F F
Définition
Soit x un réel.
+ Six est un réel supérieur à3, alors xest supérieur à 0 donc l’implication(x≥3) =⇒ (x≥0)est vraie.
+ La proposition (x≥3)vraie est donc suffisante pour avoir la proposition(x≥0)vraie.
+ La proposition (x≥0) vraie est nécessaire pour que la proposition (x≥3) soit vraie mais pas suffisante, il suffit de considérerx= 1pour constater que dans ce cas on a la proposition(x≥0)vraie et la proposition(x≥3) fausse.
+ L’implication(x≥3) =⇒ (x≥0)est vraie mais sa réciproque (x≥0) =⇒ (x≥3)est fausse.
+ L’implication(x≥3) =⇒ (x≥0)est vraie et sa contraposée(x <0) =⇒ (x <3)également.
Exemple
R Si la proposition P =⇒ Q est vraie et si la proposition P est fausse, alors on ne peut rien dire sur l’état de vérité de la propositionQ.
L’implication logique est une notion intuitive simple. Elle exprime que sous condition de réalisation d’une cause, une conséquence se produit. Malheureusement, du point de vue mathématique, définir l’implication n’est pas si simple.
En fait, pour bien comprendre l’implication, il convient d’abord de s’interroger sur son contraire : la non-implication.
Par exemple, la phrase « si je te mets une paire de claques, tu auras mal » exprime l’implication entre les claques et la douleur. Si on répond fièrement : « Vas-y, mets moi une claque, tu verras que je n’aurai pas mal ! ».
On constate ainsi, sur cet exemple, que la non-implication entre une assertionPet une assertionQrevient à exprimer que la causeP se produit sans que la conséquence Q n’ait lieu.
Autrement dit, la non-implication deP etQ est exprimée par l’assertion «P etQ».
Pour revenir à l’implication elle-même, un passage au contraire nous dit que le lien logique «P implique Q » doit être défini par l’assertion (P ou Q), ce qui confirme la définition énoncée ci-dessus.
La proposition ci-dessous découle de la définition de l’implication :
Soient P etQ deux assertions. La négation de(P =⇒ Q) est(P etQ)
Proposition
R En langage courant, cela signifie que l’implicationP =⇒ Q est fausse lorsque l’hypothèse P est vraie sans que la conclusion Q le soit.
On notera en particulier que la négation d’une implication n’est pas une implication !
Soient P,Q etR trois assertions. Si (P =⇒ Q) et(Q =⇒ R), alors (P =⇒ R).
Cette propriété qui exprime la transitivité de =⇒ est aussi parfois appelé le syllogisme.
Proposition
« Tout homme est mortel, or Socrate est un homme, donc Socrate est mortel » est le syllogisme le plus connu.
Exemple
5. Equivalence
Soient P etQ deux assertions.
On dit que P etQ sontéquivalentes, et on note P ⇐⇒ Q, lorsqueP implique Q etQ implique P. P Q P ⇐⇒ Q
V V
V F
F V
F F
On dit alors que P est une condition nécessaire et suffisante pour Q ou que P est vraie si, et seulement si,Q l’est.
Définition
R Deux assertions sont équivalentes lorsqu’elles sont vraies simultanément et fausses simultanément. Il revient donc au même de démontrer l’une ou l’autre.
1. Pour tout entier naturel n, on a (n2= 9) ⇐⇒ (n= 3).
2. Pour tout entier relatif m, on a (m2= 9) ⇐⇒ (m= 3ou m=−3).
R Attention : Il faut manier l’équivalence logique avec précaution !!!
Il est classique de confondre une implication (où il peut y avoir perte d’information entre l’hypothèse et la conclusion) et une équivalence (où toute l’information de la propriété de gauche se retrouve dans celle de droite et vice-versa).
II. Quantificateurs
1. Quantificateur universel
Pour écrire qu’un prédicat P(x), dépendant d’un paramètrex, est vrai pour toutxappartenant à l’ensemble E, on peut utiliser le quantificateur universel∀, qui se lit « pour tout » ou « quel que soit », de la façon suivante :
∀x∈E,P(x) ce qui signifie que{x∈E:P(x)}=E, ou encore que
pour tout élément x dansE, l’assertionP(x) est vraie.
Définition
2. Quantificateur existentiel
Pour écrire qu’un prédicat P(x), dépendant d’un paramètre x, est vrai pour au moins un x appartenant à l’ensemble E, on peut utiliser le quantificateur existentiel ∃, qui se lit « il existe », de la facon suivante : ∃x∈ E,P(x) ce qui signifie que {x∈E:P(x)} ̸=∅, ou encore que
il existe au moins un élément x dansE tel que l’assertionP(x) est vraie.
Définition
R Notons que la variable qui suit les symboles ∀et∃est muette. On peut donc la remplacer par n’importe quelle autre lettre.
3. Unicité
Pour écrire qu’un prédicatP(x), dépendant d’un paramètrex, est vrai pour au plus unxappartenant à l’ensemble E, on écrit : ∀x1, x2∈E, (P(x1)etP(x2) vraies) =⇒ (x1=x2)
Définition
R On notera bien que l’assertion ci-dessus exprime une unicité sous réserve d’existence.
Autrement dit, cette phrase quantifiée ne justifie pas l’existence d’un x tel que P(x) est vraie ; elle dit seulement qu’en cas d’existence, cet élément est unique.
Il existe un pseudo-quantificateur qui associe l’unicité et l’existence.
Pour écrire qu’un prédicat P(x), dépendant d’un paramètre x, est vrai pour exactement un x appartenant à l’ensemble E, on peut utiliser lepseudo-quantificateur∃!, qui se lit « il existe un unique », de la facon suivante :
∃!x∈E,P(x) ce qui signifie que {x∈E:P(x)} est un singleton, ou encore que
il existe un unique élémentx dansE tel que l’assertion P(x) est vraie.
Définition
R Le quantificateur ∃! n’est pas un nouveau quantificateur puisqu’on peut l’exprimer à l’aide de ∃ et de
∀. En effet, l’assertion ∃!x∈E, P(x) est équivalente à la conjonction de l’assertion d’existence (sans condition d’unicite) : ∃x∈E, P(x) et de l’assertion d’unicité (sous réserve d’existence) : ∀x1, x2 ∈ E, (P(x1) etP(x2)vraies) =⇒ (x1=x2)
4. Interversion des quantificateurs
Lorsqu’une assertion contient plusieurs quantificateurs, l’ordre dans lequel ils apparaissent a généralement une grande importance.
R Attention : On peut toujours échanger l’ordre de deux∀ ou de deux∃qui se suivent : (∀x∈E,∀y∈F, ···) ⇐⇒ (∀y∈E,∀x∈F, ···) ⇐⇒ (∀(x ; y)∈E×F, ···)
(∃x∈E,∃y∈F, ···) ⇐⇒ (∃y∈E,∃x∈F, ···) ⇐⇒ (∃(x ; y)∈E×F, ···)
la permutation non réfléchie d’un∀ et d’un∃ peut être fâcheuse
ÊLes deux phrases logiques ∀x∈R,∃y∈R, x+y >0 et ∃y∈R,∀x∈R, x+y >0 sont différentes.
La première est vraie, la seconde est fausse. En effet une phrase logique se lit de gauche à droite, ainsi la première phrase affirme « Pour tout réelx, il existe un réely (qui peut donc dépendre dex) tel que x+y >0. »
On peut prendre par exempley=|x|+ 1. C’est donc une phrase vraie.
Par contre la deuxième se lit : « Il existe un réel y, tel que pour tout réel x, x+y >0. » Cette phrase est fausse, cela ne peut pas être le même y qui convient pour tous les x.
ËIl ne revient pas au même de dire que tous les élèves de ECE ont un cerveau ou de dire qu’il existe un cerveau qui appartient à tous les élèves de ECE.
Exemple
5. Négation d’une assertion quantifiée
Soit P(x) un prédicat dépendant d’une variablex∈E.
ß La négation de(∀x∈E,P(x))est (∃x∈E,P(x)).
ß La négation de(∃x∈E,P(x))est (∀x∈E,P(x)).
Proposition
Cette proposition permet de déterminer la négation d’une propriété exprimée à l’aide de quantificateurs. Il suffit pour cela d’appliquer la règle suivante : on transforme tous les∃en ∀ et tous les∀ en ∃puis on nie le prédicat final.
ßDire qu’une fonction f:R→Rest la fonction nulle s’écrit ∀x∈R, f(x) = 0.
La négation de cette propriété s’écrit
ßDire qu’une fonctionf :R→Rest bornée surRs’écrit∃(m ; M)∈R2,∀x∈R, m≤f(x)≤M et son contraire est
ßLa négation de « tous les lapins mangent des carottes » est
ßLa négation de∀x≥3,P(x) n’est pas ∃x <3,P(x) mais bien∃x≥3,P(x).
Autrement dit, la négation d’une assertion quantifiée ne modifie pas les ensembles auxquels appartiennent les variables.
III. Divers types de raisonnement
Dans cette section, on dresse la liste des principaux modes de raisonnement qui permettent d’établir des résultats mathématiques.
1. Démonstration d’un « et » ou d’un « ou »
Commençons par donner le principe de démonstration d’une conjonction.
Méthode 1 : Démonstration d’un « et »
Pour démontrer que l’assertion(P etQ) est vraie, pas de subtilité : on démontre successivement queP est vraie puis queQ est vraie (dans l’ordre que vous préférez).
Le principe de démonstration d’une disjonction est, quant à lui, plus subtile : il suffit de démontrer que l’une (au moins) des deux assertions est vraie, autrement dit que si l’une est fausse alors l’autre est nécessairement vraie.
Méthode 2 : Démonstration d’un « ou »
Pour justifier que l’assertion(P ouQ)est vraie, on peut supposer queP est fausse et démontrer queQ est vraie, ou vice-versa.
Lorsqu’on veut justifier l’alternative(P ou bien Q), il convient de tenir les deux raisonnements suivants : supposer queP est fausse et démontrer queQ est vraie, puis l’inverse.
2. Démonstration d’une assertion quantifiée a. Démonstration d’un « il existe »
L’encadré suivant vous propose une méthode pour démontrer une assertion quantifiée existentiellement.
Méthode 3 : Démonstration d’une propriété existentielle
Pour démontrer une propriété du type ∃x∈E, P(x), on peut essayer de trouver un élément x0∈E pour lequel l’assertion P(x0) est vraie, ce qui revient à adopter la démarche suivante :
On cherche unx0 qui convienne. −→ On cogite !
puis, en cas de succès, on passe à la rédaction :
Posons x0=···. −→ On introduitx0 sans réfléchir
On vérifie P(x0). −→ Là il faut réfléchir un peu ...
Il existe de nombreuses situations où la recherche de l’élément x0 est vaine. Dans ce cas, il faut se rabattre sur des théorèmes qui justifient l’existence de x0 sans en donner une forme explicite.
Exercice 1
Démontrer qu’entre deux rationnels r1 etr2 (avecr1< r2), il existe toujours un rationnel.
b. Démonstration d’un « quel que soit »
L’encadré suivant fait le point sur les bonnes habitudes à prendre lorsque l’on souhaite démontrer une assertion quantifiée universellement.
Méthode 4 : Démonstration une propriété universelle
La démonstration d’une propriété du type ∀x∈E, P(x) doit nécessairement commencer par l’introduction d’un exemplaire générique de la variable x choisi dans l’ensemble E, avant de se poursuivre par la démonstration de l’assertion P(x).
La rédaction d’une telle démonstration doit donc prendre la forme suivante :
Soit x∈E. Démontrons P(x). −→ On écrit ceci sans réfléchir
On démontre P(x). −→ Là, on rebranche les neurones
Plus généralement, il faut retenir qu’en mathématiques, il est absolument nécessaire d’introduire les objets que l’on veut manipuler.
En francais, lorsque vous dites « Il lui a tout appris » sans préciser qui est « Il », qui est « lui » et qu’est ce que
« tout », personne ne vous comprend. En mathématiques, c’est la même chose, vous devez présenter tout ce dont vous parlez.
Ainsi, par exemple, un calcul de dérivée ne doit jamais ressembler à «f′(x) =··· » mais se présenter avec un x parfaitement introduit : « pour toutx∈ ···, on af′(x) =··· ».
Exercice 2
Soitf :R→R une fonction telle que∀(x ; y)∈R2, f(x+y) =f(x)f(y). Démontrer que∀x∈R, f(x)≥0.
On rencontre souvent des situations où il faut justifier qu’une propriété quantifiée universellement est fausse. La méthode décrite dans l’encadré ci-dessous découle du fait que la négation d’un∀ est un∃.
Méthode 5 : Contre-exemple
Pour démontrer que la propriété «∀x∈E, P(x)» est fausse, il suffit de déterminer une valeur de x∈E pour laquelle l’assertionP(x) est fausse. On parle decontre-exemple.
ßDire qu’une fonction f:R→Rest pairesur Rs’écrit∀x∈R, f(−x) =f(x).
Montrer quef :x7−→x+ 1 n’est pas paire :
ß L’assertion « Tous les nombres réels sont rationnels » est fausse. Pour le démontrer, il suffit d’exhiber un contre-exemple et vous savez certainement que
Exemple
L’encadré suivant vous explique comment démontrer une propriété d’unicité.
Méthode 6 : Démonstration d’une unicité(sans condition d’existence)
Pour démontrer qu’il existe au plus un élément x∈E vérifiant l’assertion P(x), on introduit deux exemplaires génériques x1 etx2 de la variable tels que P(x1)etP(x2) sont vraies et on démontre que x1=x2.
La rédaction d’une telle démonstration doit donc prendre la forme suivante :
Soient (x1 ; x2)∈E tels que P(x1)et P(x2) sont vraies. −→ Sans réfléchir !
On démontre quex1=x2 −→ On réfléchit
La racine carrée d’un nombre réel positif ou nul x est l’unique nombre réel positif ou nul√
x tel que(√
x)2=x.
Si l’existence de la racine carrée n’est pas chose facile, on peut facilement démontrer son unicité.
Soit x∈R+. Considéronsaetbdans R+ tels quea2=x etb2=x.
Alors , ce qui implique que ou .
Commeaetb sont tous les deux , seule la possibilité perdure.
D’où l’unicité.
Exemple
d. Démonstration d’une assertion avec plusieurs quantificateurs
L’importance de l’ordre des quantificateurs doit clairement apparaître dans la rédaction de vos démonstrations.
Méthode 7 : Ordre des quantificateurs
Pour établir une proposition contenant plusieurs quantificateurs, il faut que, dans la démonstration, les variables apparaissent dans le même ordre que dans l’assertion.
Démontrons que ∀x∈R,∃y∈R, y > x: ce n’est pas très difficile mais c’est juste pour illustrer notre propos.
Soit x∈R. Posons y=x+ 1. On a alorsy > x. On a ainsi démontré notre phrase quantifiée.
Exemple
3. Démonstration d’une implication a. Raisonnement direct
Comme l’assertion(P =⇒ Q) signifieP ouQ , le principe de démonstration d’un ou justifie la méthode intuitive de démonstration une implication, décrite ci-dessous.
Méthode 8 : Raisonnement direct
Pour démontrer que l’assertion(P =⇒ Q) est vraie, on suppose queP est vraie et on en déduit queQ l’est aussi.
Exercice 3
Montrer que sia etbappartiennent à Qalorsa+b appartient àQ.
b. Raisonnement par contraposée
Pour démontrer (P =⇒ Q), on peut également utiliser le principe de contraposition, c’est-à-dire le fait que les implications (P =⇒ Q) et (Q =⇒ P) sont équivalentes (il revient au même de dire « si tu manges ta soupe, tu seras grand(e) » et « si tu n’es pas grand(e), c’est que tu n’as pas mangé ta soupe »).
Ce principe est justifié par la table de vérité ci-dessous :
P Q P =⇒ Q P Q Q =⇒ P
V V V F F V
V F F F V F
F V V V F V
F F V V V V
On peut aussi le démontrer en utilisant la définition de l’implication, de la façon suivante : P =⇒ Q ⇐⇒ (P ou Q) ⇐⇒ (P ou Q) ⇐⇒ (Q ouP) ⇐⇒ Q =⇒ P Méthode 9 : Démonstration par contraposition
Pour démontrer P =⇒ Q, il revient au même d’établirQ =⇒ P.
Exercice 4
Démontrer que, pour tout entiern, on a (n2 est pair) =⇒ (nest pair).
c. Raisonnement par l’absurde
La démonstration par l’absurde consiste à prêcher le faux pour savoir le vrai. Ce n’est en fait qu’une variante de la contraposition.
Méthode 10 : Démonstration par l’absurde
Pour démontrerP =⇒ Q, on peut raisonner par l’absurde. Pour cela, on suppose queP est vraie etQ est fausse.
On démontre alors que c’est impossible.
Exercice 5
Démontrer que, pour tout entiern, on a (n2 est pair) =⇒ (nest pair).
d. Démonstration d’une équivalence
Méthode 11 : Démonstration d’une équivalence
Pour démontrer(P ⇐⇒ Q), on raisonne en général par double implication c’est-à-dire que l’on démontre d’abord l’implication directe(P =⇒ Q)avant de démontrer l’implication réciproque (Q =⇒ P).
Notons que l’on peut utiliser le principe de contraposition pour traiter l’une des deux implications.
Ainsi, en démontrant(P =⇒ Q) et(Q =⇒ P), on démontre bien que P etQ sont équivalentes.
Dans le cas où l’on doit démontrer une série d’équivalences : P1 ⇐⇒ P1 ⇐⇒ ··· ⇐⇒ Pn, on raisonne parfois en boucle, c’est-à-dire que l’on prouve successivement les implications P1 =⇒ P2, puis P2 =⇒ P3, ..., puis Pn−1 =⇒ Pn avant de refermer la boucle en démontrant (Pn =⇒ P1).
Exercice 6
Démontrer que, pour toutx∈R+, on a(∀ε >0, x < ε) ⇐⇒ (x= 0).
Méthode 12 : Démonstration par équivalence
Dans certains cas simples, on peut démontrer P ⇐⇒ Q en raisonnant par une succession d’équivalences qui transforment petit à petitP en Q.
Pour la résolution d’équations ou d’inéquations, c’est ce raisonnement qu’il faut, si possible, privilégier.
Exercice 7 Equivalence
Déterminer les solutions de l’équationx=√ 6−x.
5. Démonstration par disjonction des cas
Méthode 13 : Démonstration par disjonction des cas
Pour démontrer certaines assertions dépendant d’un ou plusieurs paramètres, il est nécessaire d’envisager plusieurs cas en fonction des valeurs de ce(s) paramètre(s). On travaille alors avec soin pour séparer la discussion en plusieurs cas disjoints et complémentaires. Certains cas peuvent eux-mêmes être subdivisés en différents sous-cas.
La discussion peut (doit) se terminer par un bilan.
Exercice 8
Démontrer que pour tout entier natureln,n(n+ 1)est pair.
6. Démonstration par analyse-synthèse
On utilise le raisonnement par analyse-synthèse depuis longtemps sans même le savoir.
Le principe de ce type de raisonnement, dit par analyse-synthèse, est décrit ci-dessous.
Méthode 14 : Démonstration par analyse-synthèse
Un raisonnement par analyse-synthèse se déroule en deux étapes :
ß l’analyse : on raisonne sur une hypothétique solution du problème et on accumule des déductions de propriétés qu’elle doit vérifier, du seul fait qu’elle est solution ;
ßla synthèse : on examine tous les objets vérifiant les conditions nécessaires précédemment accumulées (ce sont les seuls candidats possibles à être des solutions) et on détermine, parmi eux, lesquels sont réellement des solutions.
Il arrive souvent que la phase d’analyse produise des conditions nécessaires si restrictives qu’il ne reste plus qu’un seul candidat qui les vérifie. Dans ce cas, cette première phase prouve l’unicité de la solution (sous réserve d’existence).
La phase de synthèse permet alors ou bien de montrer l’existence d’une solution (si le candidat répond au problème), ou bien de constater qu’il n’y a aucune solution.
L’analyse-synthèse est donc particulièrement adaptée pour démontrer des propriétés d’existence et d’unicité du type
∃!x∈E,P(x). Dans ce cas, l’analyse prouve l’unicité sous réserve d’existence et fournit une expression de la solution recherchée. La synthèse (qui se contente de reprendre le candidat déterminé par l’analyse) justifie l’existence.
Exercice 9 Analyse-Synthèse
Déterminer les solutions de l’équationx=√ 6−x.