LOGIQUE – RAISONNEMENT

(1)

Math Sup ICAM Toulouse CB01-Correction

C.B. N° 1

LOGIQUE – RAISONNEMENT

Correction

1- Donner la négation de l’assertion suivante :^{∃ ∈}^a ^ℝ^,^{∀ ∈}^x ^ℝ^,

(

^x⁻^a ^<¹

)

^⇒

(

^{f x}

^{( )}

⁻^{f a}

^{( )}

^≤¹

)

( ) ( ^{( )} ^{( )} )

, , 1 1

a x x a f x f a

∀ ∈ℝ ∃ ∈ℝ − < ∧ − >

2- f désigne une fonction réelle définie sur ℝ.

Traduire à l’aide de quantificateurs les expressions suivantes :

i) f n’est pas croissante. ^∃

(

^{x y}^;

)

^∈^ℝ²^,

(

^x^<^y

)

^∧

(

^{f x}

( )

^> ^{f y}

( ) )

ii) f s’annule en chaque entier. ∀ ∈n ℤ,f n

( )

=0

iii) Tout réel est inférieur à son image par f. ^{∀ ∈}^x ^ℝ^,^x^≤^{f x}

( )

3- P, Q et R désignent des assertions. Montrer que : ( P ∧  (Q ∨ R) ) ⇔ ( P ∧  Q ∧  R ) ( P ∧  (Q ∨ R) ) ⇔ ( P ∧ (  Q ∧  R) ) ⇔ ( P ∧  Q ∧  R)

4- Montrer par récurrence que : ∀ ∈n ℕ^*,3⁶ⁿ⁻⁴−2 est un multiple de 7 (en sachant que 3⁶ – 1 est un multiple de 7…)

Soit, pour n∈ℕ^* Pn : « ∃k_n∈ℤ,3⁶ⁿ⁻⁴− =2 7k_n ».

3² – 2 = 7, donc P1 est vraie.

Soit n∈ℕ^* ; on suppose Pn vraie, c’est-à-dire : ∃k_n∈ℤ,3⁶ⁿ⁻⁴− =2 7k_n. On a : ³⁶⁽ⁿ^{+ −}^{1) 4}− =² ³⁶ⁿ⁻⁴×³⁶− =²

(

⁷kn+²

)

×³⁶− = ×² ^{7 3}⁶kn+^{2 3}

(

⁶−¹

)

;

3⁶ – 1 est un multiple de 7 : 3⁶ – 1 = (3³)² – 1 = (28 – 1)² – 1 = (4 ×7)² – 2 ×4×7 = 7 (7 ×16 – 8)

= 7 ×c,

(

^c^∈^ℕ

)

(ce calcul n’était pas demandé !) ; d’où : 3⁶⁽ⁿ^{+ −}^{1) 4}− = ×2 7 k_n₊₁, avec

(

⁶

)

1 3 2

n n

k ₊ = k + c ∈ℤ. Ainsi Pn +1 est vraie.

Par principe de récurrence, Pn est vraie pour tout n∈ℕ^*.

5- Question de cours : Compléter a)  ( P ∧ Q) ⇔  P ∨  Q

b) ( P ⇒ Q ) ⇔ ( Q ⇒ P ) ⇔ ( P ∨ Q)

(2)

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Correction

1- Donner la négation de l’assertion suivante :∀ >ε ^0,∃ ∈N ℕ^,∀ ∈n ℕ

(

n≥N

)

⇒

(

un ≤ε

)

( ) ( )

0, N , n n N u_n

ε ε

∃ > ∀ ∈ℕ ∃ ∈ℕ ≥ ∧ >

2- f désigne une fonction réelle définie sur ℝ.

Traduire à l’aide de quantificateurs les expressions suivantes :

i) f n’admet pas de minimum. ∀ ∈m ℝ,∃ ∈x ℝ,f x

( )

< f m

( )

ii) f ne s’annule qu’une fois surℝ. ^∃^!^a^∈^ℝ^,^{f a}

( )

⁼⁰

iii) f n’est pas de signe constant.

(

x y;

)

²,f x f y

( ) ( )

0

∃ ∈ℝ <

3- P, Q et R désignent des assertions. Montrer que : ( ( P ∧  Q ) ∧  (R ∧ Q) ) ⇔ ( P ∧  (Q ∨ R ) ) ( ( P ∧  Q ) ∧  (R ∧ Q) ) ⇔ ( ( P ∧  Q ) ∧ ( R ∨ Q) )

⇔ ( ( P ∧ Q ∧ R) ∨ (

assertion fausse

P∧ Q∧Q^{)⇔ (P ∧}^ (Q ∨ R ) )

4- Montrer que ^{∀ ≥}^x ^0,^{∀ ∈}ⁿ ^ℕ^{, 1}

(

⁺^x

)

ⁿ^{≥ +}¹ ^nx^.

Soit, pour n∈ℕ Pn : « ∀ ∈x ℝ⁺, 1

(

+x

)

ⁿ≥ +1 nx ».

( )

⁰

, 1 1 1 0

x ⁺ x

∀ ∈ℝ + = ≥ + , donc P0 est vraie.

Soit n∈ℕ ; on suppose Pn vraie, c’est-à-dire : ∀ ∈x ℝ⁺, 1

(

+x

)

ⁿ≥ +1 nx. On a ^{∀ ≥}^x ^{0, 1}

(

⁺^x

)

^>⁰ donc d’après l’hypothèse de récurrence:

( )

¹

( ) ( ) ( )( )

²

, 1 ⁿ 1 ⁿ 1 1 1 1 ( 1) 1 ( 1)

x ⁺ x ⁺ x x nx x n x nx n x

∀ ∈ℝ + = + + ≥ + + = + + + ≥ + +

(car nx²≥0) ; ainsi Pn +1 est vraie.

Par principe de récurrence, Pn est vraie pour tout n∈ℕ.

5- Question de cours : Compléter a)  (P ∨ Q) ⇔ ( P ∧  Q) b)  (P ⇒ Q) ⇔ ( P ∧  Q )

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