Colle PC Semaine 22 2011-2012
Équations différentielles (révisions de PCSI)
EXERCICE 1 :
Résoudre l’équation différentielle
(E) 2x(1 +x)y′+ (1 +x)y = 1 sur tout intervalle ouvertI deR.
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Correction de l’exercice :
On se ramène à l’équation normalisée :
(En) y′+ 1
2xy= 1 2x(1 +x) puis on étudie les raccords en−1 et en 0.
1. Résolution de (En)
On suppose que−1∈/ Iet 0∈/I.
La solution générale de l’équation sans second membrey′+ 1
2xy= 0 est surI : x7−→ λ
p|x| avecλ∈R.
En utilisant la méthode de variation de la constante : on cherche une solutiony de (En) de la formey=λy0où :
• λ:I7−→Rest la fonction cherchée.
• y0:x7−→ 1 p|x|
yest solution de (En)⇔ ∀x∈I, λ′(x)y0(x) = 1
2x(1 +x) (en effetλy′0+ 1
2xλy0= 0)
⇔ ∀x∈I, λ′(x) =
p|x| 2x(1 +x) (a) Si I ⊂]0; +∞[ alors λ(x) =
Z √x
2x(1 +x)dx. le changement de variableu=√
xdonne λ(x) =
Z du 1 +u2. On obtient doncλ(x) = arctanu= arctan√
x.
L’ensembleSI des solutions surI est donc : SI =
x7−→ arctan√ x+λ
√x ;λ∈R
(b) SiI⊂]− ∞; 0[ alorsλ(x) =
Z √
−x
2x(1 +x)dx. le changement de variableu=√
−xdonneλ(x) =
Z du 1−u2. On obtient doncλ(x) =1
2ln
1 +u 1−u
= 1 2ln
1 +√
−x 1−√
−x . L’ensembleSI des solutions surI est donc :
SI =
x7−→ 1 2√
−xln
1 +√
−x 1−√
−x
+ µ
√−x; µ∈R
2. Raccords
(a) Raccord en 0 : On suppose que 0∈Iet −1∈/I x7−→ arctan√x+λ
√x admet une limite en 0 (x >0) si et seulement siλ= 0 et cette limite vaut alors 1.
x7−→ 1 2√
−xln
1 +√
−x 1−√
−x + µ
√−x admet une limite en 0 (x <0) si et seulement si µ= 0 et cette limite vaut alors 1.
Il y a donc raccord par continuité en 0 si et seulement si λ = µ = 0 ce qui nous amène à considèrer la fonction suivante :
y(x) =
arctan√
√x x six >0 1 six= 0
1 2√
−xln1 +√
−x 1−√
−x six <0
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et il faut étudier la dérivabilité dey en 0. On peut le faire en utilisant des développement limités en 0 :
• x >0 : y(x)−y(0)
x = arctan√x−√x x√
x =−1
3+o(1) donc lim
x→0 x>0
y(x)−y(0) x =−1
3
• x <0 : y(x)−y(0)
x = 1
2x√
−x
ln1 +√
−x 1−√
−x−2√
−x
=−1
3+o(1) donc lim
x→0 x<0
y(x)−y(0) x =−1
3 Ainsi la dérivabilité dey en 0 est établie ety′(0) =−1
3. SI est donc réduit à une seule fonction :y
(b) Raccord en 0 : On suppose que 0∈/ Iet −1∈I
Si (E) admet au moins une solution surI, en remplaçantxpar−1 dans (E), on obtient une contradiction.
SI =⊘.
(c) Raccord en 0 et en−1 : impossible d’après ce qui précède.
SI =⊘.
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