Equivalence logique

(1)

Equivalence logique

Définition

Deux propositions P et Q sontlogiquement équivalentes si P est vraie lorsque Q est vraie, et si P est fausse lorsque Q est fausse.

Cette relation est notée P ≡Q.

Remarque

Deux propositionsP et Q sont logiquement équivalentes si et seulement si elles ont la même table de vérité.

Remarque

L’équivalence logique de deux propositionsP etQ est une relation entre ces deux propositions : cela ne forme pas une nouvelle proposition (comme l’équivalence vue plus haut).

(2)

Equivalence logique

Définition

Remarque

(3)

Equivalence logique

Définition

Remarque

(4)

Equivalence logique

Equivalences à connaître

a) Double négation : non(non(P)) ≡ P

b) non(P et Q) ≡ non(P)ou non(Q) c) non(P ou Q) ≡ non(P)et non(Q) d) P et(Q ou R) ≡ (P et Q)ou(P et R) e) P ou(Q et R) ≡ (P ou Q)et(P ou R)

f) Equivalence :P ⇔ Q ≡ (P ⇒ Q)et(Q ⇒ P) g) Implication:P ⇒ Q ≡ non(P)ou Q

h) Contraposée d’une implication :

P ⇒ Q ≡ non(Q) ⇒ non(P)

i) Négation:non(P ⇒ Q) ≡ P et non(Q).

(5)

Equivalence logique

a) Double négation : non(non(P)) ≡ P b) non(P et Q) ≡ non(P)ou non(Q)

c) non(P ou Q) ≡ non(P)et non(Q) d) P et(Q ou R) ≡ (P et Q)ou(P et R) e) P ou(Q et R) ≡ (P ou Q)et(P ou R)

(6)

Equivalence logique

a) Double négation : non(non(P)) ≡ P b) non(P et Q) ≡ non(P)ou non(Q) c) non(P ou Q) ≡ non(P)et non(Q)

d) P et(Q ou R) ≡ (P et Q)ou(P et R) e) P ou(Q et R) ≡ (P ou Q)et(P ou R)

(7)

Equivalence logique

a) Double négation : non(non(P)) ≡ P b) non(P et Q) ≡ non(P)ou non(Q) c) non(P ou Q) ≡ non(P)et non(Q) d) P et(Q ou R) ≡ (P et Q)ou(P et R)

e) P ou(Q et R) ≡ (P ou Q)et(P ou R)

(8)

Equivalence logique

a) Double négation : non(non(P)) ≡ P b) non(P et Q) ≡ non(P)ou non(Q) c) non(P ou Q) ≡ non(P)et non(Q) d) P et(Q ou R) ≡ (P et Q)ou(P et R) e) P ou(Q et R) ≡ (P ou Q)et(P ou R)

(9)

Equivalence logique

f) Equivalence :P ⇔ Q ≡ (P ⇒ Q)et(Q ⇒ P)

g) Implication:P ⇒ Q ≡ non(P)ou Q h) Contraposée d’une implication :

(10)

Equivalence logique

(11)

Equivalence logique

(12)

Equivalence logique

(13)

Quantificateurs

Définition

Soit P(x) une proposition dépendant de la variable x. Le quantificateur universel, noté∀, permet de former la proposition

∀x ∈X,P(x)

qui est vraie lorsque P(x) est vraie pour tous les éléments x de X , et fausse si P(x) est fausse pour au moins un élément x de X .

(14)

Quantificateurs

Définition

Soit P(x) une proposition dépendant de la variable x. Le

quantificateur existentiel, noté∃, permet de former la proposition

∃x ∈X,P(x)

qui est vraie lorsque P(x) est vraie pour au moins un élément x de X , etfausse si P(x) est fausse pour tous les éléments de X .

(15)

Quantificateurs

Négation des quantificateurs

Soit une propositionP, alors on a les équivalences logiques : non(∀x ∈X,P(x)) ≡ ∃x ∈X,non(P(x)), non(∃x ∈X,P(x)) ≡ ∀x ∈X,non(P(x)).

(16)

Quantificateurs

Utilisation des quantificateurs

∀x ∈X,∀y ∈Y,P(x,y) ≡ ∀y ∈Y,∀x ∈X,P(x,y)

∃x ∈X,∃y ∈Y,P(x,y) ≡ ∃y ∈Y,∃x ∈X,P(x,y)

Remarque

La proposition “∀x ∈X,∃y ∈Y,P(x,y)” signifie que pour toutx il existe une valeury (qui dépend a priori dex) telle que P(x,y) est vérifiée, alors que “∃y ∈Y,∀x ∈X,P(x,y)” signifie qu’il existe une valeur dey telle que P(x,y) est vérifiée pour toutes les valeurs dex dansX.

(17)

Quantificateurs

Utilisation des quantificateurs

∀x ∈X,∀y ∈Y,P(x,y) ≡ ∀y ∈Y,∀x ∈X,P(x,y)

∃x ∈X,∃y ∈Y,P(x,y) ≡ ∃y ∈Y,∃x ∈X,P(x,y)

Remarque

La proposition “∀x ∈X,∃y ∈Y,P(x,y)” signifie que pour toutx il existe une valeury (qui dépend a priori dex) telle que P(x,y) est vérifiée, alors que “∃y ∈Y,∀x ∈X,P(x,y)” signifie qu’il existe une valeur dey telle que P(x,y) est vérifiée pour toutes les valeurs dex dansX.

(18)

Quantificateurs

Exemple

On considère les deux propositions “∀x ∈Z,∃y ∈Z,y =x +1” et

“∃y ∈Z,∀x ∈Z,y =x+1”. Que dire par ailleurs de la proposition

“∀x ∈N,∃y ∈N,y =x+1” ?

(19)

Preuve directe d’une implication

Lapreuve directede l’implication P ⇒Q consiste à supposer que P est vraie et à démontrer par un raisonnement déductif queQ est vraie.

Exemple

On démontre par preuve directe que pour tout entier naturelk ∈N l’implication suivante est vérifiée :

k est impair ⇒ k² est impair

(20)

Preuve directe d’une implication

Lapreuve directede l’implication P ⇒Q consiste à supposer que P est vraie et à démontrer par un raisonnement déductif queQ est vraie.

Exemple

On démontre par preuve directe que pour tout entier naturelk ∈N l’implication suivante est vérifiée :

k est impair ⇒ k² est impair

(21)

Preuve par contraposée

Démontrerl’implication “P ⇒Q” par la contraposée(ou par contraposition) consiste à démontrer que sa contraposée

non(Q)⇒non(P) est vraie (pour cela, on emploie la preuve directe).

Exemple

On démontre par la contraposée que pour tout entier naturelk∈N l’implication suivante est vérifiée :

k² est pair ⇒ k est pair

(22)

Preuve par contraposée

Démontrerl’implication “P ⇒Q” par la contraposée(ou par contraposition) consiste à démontrer que sa contraposée

non(Q)⇒non(P) est vraie (pour cela, on emploie la preuve directe).

Exemple

On démontre par la contraposée que pour tout entier naturelk∈N l’implication suivante est vérifiée :

k² est pair ⇒ k est pair

(23)

Preuve par l’absurde

Ladémonstration par l’absurdedeP consiste à supposer queP est fausse et à en déduire une absurdité, une contradiction.

Exemple

La preuve classique de l’irrationnalité de√

2, qui remonte à Euclide, est une preuve par l’absurde.

(24)

Preuve par l’absurde

Ladémonstration par l’absurdedeP consiste à supposer queP est fausse et à en déduire une absurdité, une contradiction.

Exemple

La preuve classique de l’irrationnalité de√

2, qui remonte à Euclide, est une preuve par l’absurde.

(25)

Preuve par récurrence

Soitk un entier (en général positif) etP une proposition, faire une démonstration par récurrencede la proposition

∀n ≥k, P(n)

consiste à procéder en deux étapes :

I initialisation : on démontre queP(k)est vraie,

I hérédité : on fixe n≥k et on suppose que P(n) est vraie, on démontre alors que P(n+1) est aussi vraie.

Ces deux étapes suffisent à démontrer∀n≥k, P(n).

(26)

Exemple

Soitaun nombre réel différent de 0 et 1, on considère la suite géométrique(x_n) de raisona :

x₀ fixé

∀n≥0, x_n+1 =a×x_n alorsx_n =x₀×aⁿ pour tout n≥0.