[b Nombres et intervalles c\ Table des Matières

[b Nombres et intervalles c\

Table des Matières

I. Définition et notation 1

II. Valeur approchée d’un nombre réel 4

[b Nombres et intervalles c\

I. Définition et notation

Pour l’activité qui suit l’unité vaut 2 cm.

L’axe des abscisses a pour d’origine O d’abscisse 0, le point I a pour abscisse 1.

tActivité 1

Soit les nombres x

= −1, 4 et x

= 2, 8 les abscisses des points M

et M

.

b b b

b

M

M

2.8 = 14

− 1.4 = − 9 5 5

I 1 O

0

1. La distance entre les nombres 0 et x

, notée | x

| , est égale à la distance O M

. Donner | x

| et | x

|

2. La distance entre les nombres x

et x

, notée | x

− x

| , est égale à la distance M

M

. (a) Calculer | x

− x

| .

(b) Calculer | x

− 1 | et | 1 − x

| (c) Calculer |1 − x

|.

Soit l’axe des abscisses et les nombres a et b abscisses respectives des points A et B .

b b b

b

B A

a b

I 1 O

0

La distance entre les nombres réels a et b est la distance AB , on la note | b − a | . Ainsi la distance entre les nombres 0 et a est | a | .

g Définition

Soit a et b deux nombres réels.

• | a | > 0

• | a | =

½ a si a > 0

− a si a 6 0

• | − a | = | a |

• | b − a | = | a − b |

• | a | = 0 ⇐⇒ a = 0

g Propriétés

Soit a et b deux nombres réels.

• | a + b | 6 | a | + | b | (inégalité triangulaire)

• | a |.| b | = | ab |

• si b 6= 0,

| a |

| b | =

¯

¯

¯ a b

¯

¯

¯ g Propriétés

Soit r un nombre réel.

L’équation | x | = r admet :

• Aucune solution si r < 0

• Une unique solution si r = 0 : x = 0.

• Deux solutions si r > 0 : x = − r ou x = r .

b b b

b

− r r

I 1 O

0

g Propriété

Soit r un nombre réel.

• L’inéquation | x | > r admet :

– R comme ensemble de solution si r < 0.

– R

= ] −∞ ; 0[ ∪ ]0 ; + ∞ [ comme ensemble de solution si r = 0.

– ]−∞ ; − r [ ∪] r ; + ∞[ comme ensemble de solution si r > 0.

b b

− r r

I 1 O

0

• L’inéquation | x | > ^r admet :

– R comme ensemble de solution si r 6 0.

– ]−∞ ; − r ] ∪[ r ; + ∞[ comme ensemble de solution si r > 0.

b b

− r r

I 1 O

0

• L’inéquation | x | < r admet :

– ; (ensemble vide) comme ensemble de solution si r 6 0. (Aucun solution) – ] − r ; r [ comme ensemble de solution si r > 0.

b b

− r r

I 1 O

0

• L’inéquation | x | 6 ^r _{admet :}

– ; (ensemble vide) comme ensemble de solution si r < 0.

– {0} comme ensemble de solution si r = 0.

– [− r ; r ] comme ensemble de solution si r > 0.

b b

− r r

I 1 O

0

g Propriétés

tActivité 2

Soit l’axe des abscisses, le point M d’abscisse x et le point A d’abscisse − 0, 5.

1. Comment choisir x pour que | x −(−0, 5)| > 2 ?

b b

b bb

− 0, 5

A I

1 O

0

2. Comment choisir x pour que | x − ( − 0, 5) | > _{2 ?}

b b

b bb

−0, 5

A I

1 O

0

3. Comment choisir x pour que | x −(−0, 5)| < 2 ?

b b

b bb

− 0, 5

A I

1 O

0

4. Comment choisir x pour que | x −(−0, 5)| 6 2 ?

b b

b bb

−0, 5

A I

1 O

0

Soit a un nombre réel et r un nombre strictement positif.

• L’ensemble des nombres réels x vérifiant | x − a | > r est la réunion d’intervalles ] −∞ ; a − r [ ∪ ] a + r ; + ∞ [.

• L’ensemble des nombres réels x vérifiant | x − a | > ^r est la réunion d’intervalles ] −∞ ; a − r ] ∪ [ a + r ; + ∞ [.

• L’ensemble des nombres réels x vérifiant | x − a | < r est l’intervalle ] a − r ; a + r [.

• L’ensemble des nombres réels x vérifiant | x − a | 6 ^r est l’intervalle [ a − r ; a + r ].

g Propriétés

II. Valeur approchée d’un nombre réel

La valeur approchée d’un nombre réel x arrondie à une précision de 10

est le nombre décimal x

=

a

10

g Définition

• La valeur arrondie à 10

= 1 de π est 3 = 3 10

.

• La valeur arrondie à 10

de π est 3, 1 = 31 10 .

• La valeur arrondie à 10

de π est 3, 1416 = 31 416 10

.

• La valeur arrondie à 10

de 1, 55 est 1, 6.

g Exemple