Douine – Terminale S – Travail à distance 34 - CORRECTION
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Centrer et réduire pour comparer
Dans une université, à un partiel blanc, les notes sur 20 obtenues par les étudiants ont pour moyenne 9 et pour écart type 1,5. Un mois plus tard, au partiel, les notes des mêmes étudiants ont pour moyenne 7,5 et pour écart type 1. On désigne par X1 (respectivement X2) la variable aléatoire associant à un étudiant pris au hasard sa note au partiel blanc (respectivement, sa note au partiel). Exprimer les variables aléatoires centrées et réduites Z1 et Z2 associées à X1 et X2. Au vu des diagrammes représentants les deux séries de notes, qui évoquent une courbe en cloche, on fait le choix d’une loi normale N(0 ;1) pour chacune des variables aléatoires Z1 et Z2.
1. Calculer P(X1>10,5). Calculer P(X2>9).
1 10.5 1 9 1.5
1 9 1 1 1
1.5 0.1587
p X p X
p X p Z
Pour l’application numérique, je peux utiliser ma calculatrice en utilisant la fonctionnalité NORMALCD(1 ; 100)
2 9 2 7.5 1.5 2 9 1.5 2 1.5
1 0.0668
p X p X
p X p Z
Pour l’application numérique, je peux utiliser ma calculatrice en utilisant la fonctionnalité NORMALCD(1,5 ; 100)
2. Un étudiant a obtenu 10,5 à l’examen blanc et 9 à l’examen. Comparativement à ses camarades, a-t-il progressé ou régressé ?
Pour l’examen blanc, la probabilité qu’un élève ait fait mieux que lui est égale à 16%.
Pour l’examen, la probabilité qu’un élève ait fait mieux que lui est égale à 7%
Donc comparativement à ses camarades, il a progressé.
Densité des variables aléatoires Z1 et Z2
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Trajets comparés
Pour être en cours à 8 heures, un étudiant qui se rend le matin en voiture à l’université a le choix entre un trajet sur route, dont la durée X en minutes, suit la loi normale de moyenne 32,5 et d’écart type 4,5 et un trajet sur autoroute, dont la durée Y en minutes, suit la loi normale de moyenne 38 et d’écart type 2.
1. S’il veut arriver à l’heure, quel trajet doit-il préférer s’il part à 7h15 ?
45 32.5 12.5
32.5 2.78 2.78
4.5 0.9973
p X p X
p X p Z
45 38 7
38 3.5 3.5
2 0.9998
p Y p Y
p X p Z
En partant à 7h15, la probabilité d’être à l’heure est à peu près identique qu’il prenne la route ou qu’il prenne l’autoroute. Cette probabilité est presque égale à 100%. Il est difficile de lui conseiller un trajet plutôt qu’un autre.
2. S’il veut arriver à l’heure, quel trajet doit-il préférer s’il part à 7h30 ?
30 32.5 2.5
32.5 0.56 0.56
4.5 0.2878
p X p X
p X p Z
30 38 8
38 4 4
2 0.000032
p Y p Y
p X p Z
En partant à 7h30, la probabilité qu’il soit à l’heure en prenant la route est de 29% tandis que la probabilité d’être à l’heure en prenant l’autoroute est quasi nulle. Il a donc intérêt à prendre la route.
Quotient intellectuel
Voici les trois résultats sachant que la variable centrée réduite sera : 100
15 Z X
70 0.0228
p X
70 120 0.8860
p X
120 0.0912
p X
