Sur le calcul des lignes à impédance variable de façon continue

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Sur le calcul des lignes à impédance variable de façon

continue

A.V.J. Martin, F.J. Young

To cite this version:

LE

JOURNAL

DE

_PHYSIQUE

ET

LE RADIUM

PHYSIQUE

APPLIQUÉE

Tome 19 SUPPLÉMENT AU No 7 Juillet 1958

SUR LE CALCUL DES LIGNES A

IMPÉDANCE

VARIABLE DE

_FAÇON

CONTINUE

Par A. V. J. MARTIN et F. J. YOUNG

_(1).

Résumé. 2014 On

indique deux méthodes _générales de calcul, applicables à tout type de _ligne de

transmission ayant une _impédance linéaire _{quelconque. L’équivalence acoustique} est _indiquée.

On montre

que les difficultés d’exécution des calculs sont indépendantes de l’impédance de charge

ou de la fonction de variation de

_{l’impédance}

de la _ligne, et _{que par conséquent} le calcul est

éga-lement _{simple pour} toutes les _lignes à _espacement variable ou lignes _divergentes. La _première

méthode donne _{l’impédance} en fonction de la _longueur de la _{ligne pour} une _{fréquence fixe ;} la seconde donne _{l’impédance} en fonction de la _{fréquence pour} une _longueur fixe. On étudie la

pré-cision et la _rapidité des méthodes, et on calcule

_quelques

_{exemples typiques} pour illustrer le mode

de calcul.

La _première méthode se _{prête particulièrement} bien _{au calcul} à l’aide des machines _{électroniques,}

et le _{développement} de la _technique est fait en fonction de cette commodité. Abstract. 2014 Two

general methods which are _applicable to acoustical and electrical _tapered transmission lines are devised for the calculation of the _{impedance presented by} the line and

its load. It is shown that the difficulties encountered in executing these methods are not

depen-dent upon the taper function or the load _impedance of the line.

With

the methods of this paper

the calculation of the _impedance of _tapered structures is _{greatly simplified.} The first method

yields impedance as a function of the line for a fixed _frequency and the second _gives the _impedance

versus _frequency for a fixed _length of line. _{The accuracy and speed} of the methodsis investigated

and several non-trivial _examples are worked out to illustrate the _procedure.

Introduction. - Les

lignes

de transmission à

.

impédance

continuellement variable sans

disconti-nuité,

appelées

par

la suite

_{lignes divergentes}

au bénéfice de la

_concision,

ont

_depuis

des années suscité l’intérêt des

_{spécialistes}

de

_{l’acoustique}

ou de l’électricité.

_{Électriquement,}

elles sont

employées

comme transformateurs

d’impulsion,

pour

coupler

des circuits

d’impédance

différentes,

et

_pouvait

être utilisées _pour

_produire

des

impul-sions de formes diverses. De telles

_lignes

sont

ana-logues

aux cornets ou

_{pavillons acoustiques,}

dont la section droite varie en fonction de l’abscisse axiale

_[1].

La

_terminologie

_acoustique

de cornets

ou

pavillons

est

également

utilisée ’en

hyper-fréquences. De,

nombreuses tentatives

_d’analyse

mathématique

des

_{lignes divergentes}

ont été

_faites,

(1) Tous deux Ass. Prof. of Electrical _Engineering,

Carnegie Institute of _{Technology, Pittsburgh,} U. S. A.. Note. - Ce travail _a été partiellement financé par le

Contrat No-M _760(09), Office of Naval Research.

sur la base du

_régime

_permanent

en courant alter-natif

_[2

à

_14].

La méthode usuelle est de calculer la tension et

le courant en

chaque point

de la

ligne,

c’est-à-dire leur

_{distribution,}

sous forme d’une série infinie dont les coefficients sont fonction de

_{l’impédance}

nominale variable de la

_ligne

et de son admittance. Le

_rapport

de la tension au _courant donne alors

l’impédance

cherchée.

Comme on

_peut

désirer connaître

_{l’impédance}

s.ans se

_préoccuper

de la distribution du courant ou de la

_tension,

on a établi des méthodes

_qui

donnent directement

_{l’impédance}

_{[12, 15].}

Cepen-dant,

ces méthodes ne sont

_pratiquement

d’un

emploi

commode que pour un nombre limité de cas

particuliers.

Le but de cette étude est d’établir une méthode

générale

de

_calcul

direct de

_{l’impédance, simple}

à

appliquer

quel que

soit le

_type

de

_ligne

considéré. Deux méthodes différentes sont

_proposées.

_La

pre-5

66 A

m ière fait

appel

à la méthode de

Runge-Kutta

_pour

résoudre les

_équations

différentielles et donne

l’impédance

en fonction de la

_longueur

de la

_ligne.

La seconde méthode

_s’éloigne

résolument _{de la} pro-cédure habituelle et considère une

_{approximation}

de la

_ligne

étudiée _par une succession de tronçons

de

_lignes

ordinaires à

_impédance

constante

_(lignes

«

parallèles

»).

On obtient aisément ainsi

l’impé-dance en fonction de la

_fréquence.

Cette seconde

technique

constitue en fait une méthode

d’approxi-mations successives ou de convolution.

La

_première

méthode est

_d’emploi

commode avec une calculatrice

électronique.

Équivalence

acoustique.

- Le

problème

équi-valent

des cornets

_{acoustiques peut}

être traité dans

,

sa

généralité.

Dans la.

majorité

des _cas, la

confi-guration

physique

est

_telle,que

l’on a une

_symétrie

de révolution et

_{qu’en coupant}

le

_pavillon

_par un

plan

contenant l’axe on est ramené à un

problème

plan.

Nombre de cornets étant

_repliés,

on

_procède

au

_préalable

à une rectification

_imaginaire

de l’axe. Les

_équations

obtenues dans cette étude sont

directement

_applicables

aux

_{systèmes acoustiques}

si l’on

_emploie

des définitions _{convenables pour} les

paramètres acoustiques,

de

façon

à utiliser

direc-tement les

_{équivalences électriques.}

Ces définitions

sont les

suivantes,

au nombre de deux seulement. 1.

_Capacitance

_acoustique

_Ca

avec

V : volume en

_{cm3 ;}

c : célérité du son en

_{cm/sec ;}

p : densité du milieu en

gfcm .

2. Inductance

_acoustique

_LA

avec

m : masse en _{grammes ;}

S : section

_droite,

en

_cm2,

sur

laquelle

s’exerce la

_{pression appliquée.}

Solution par la méthode de

Runge-Kutta.

--L’équation

différentielle

_qui

décrit

_{l’impédance}

est

bien connue

[1, 15].

Elle s’écrit

C’est une

équàtion

différentielle du

premier

ordre de la variable

_complexe

_Z,

du

_type

de Riccatti. Elle ne

_peut

avoir une solution finie _{que dans} un nombre limité de cas.

On

_peut

immédiatement éliminer la variable

complexe

en

_{séparant l’équation (1)}

en deux

équa-tions simultanées à variables réelles. Dans une

_ligne

avec

_pertes

En

_portant

ces valeurs dans

(1),

on obtient

De

_plus,

les conditions aux limites sont

Les deux

_{équations (5) et-(6)}

sont résolues

numé-riquement

par la méthode de

Runge-Kutta qui

se

prête

commodément au calcul à l’aide des machines

électroniques.

Essentiellement,

cette méthode résout

_{l’équation}

en donnant une nouvelle valeur de

_Y(X)

calculée à

partir

de

_{Y(X - AX).}

Le _processus commence avec la valeur initiale de Y et

_procède

_par récur-rence

[16].

La formule du

_quatrième

ordre _pour la valeur suivante de Y est

avec

La valeur initiale est

La méthode de

Runge-Kutta

_peut

être

_adaptéé,

par des transformations connues, à la solution des

équations (5)

et

(6).

Pour ces

_équations

A l’examen des

_équations

₍₁₃₎

et

₍₁₄₎

il est

évident que cette méthode donne directement

l’impédance

en fonction de la distance à

_fréquence

fixe. Elle est donc

_{particulièrement}

_{utile pour} calculer des familles de courbes

impédance

=

f

(distance)

avec la

fréquence

comme

_paramètre.

Vérification

_{expérimentale.}

- Cette méthode _a

été

_appliquée

au calcul d’une

_ligne

_{exponentielle}

disponible.

Pour cette

_ligne

’

avec les valeurs

numériques

suivantes

et on a chois

La

_ligne

est

_chargée

à x = 0 _{avec une}

impédance

(10

+ j 10).

La

_{fréquence adoptée}

est

_16,4

méga-hertz. ,

Les résultats du calcul

_apparaissent

_figure

1. Comme la

_ligne

_{exponentielle}

est

_susceptible

d’une solution exacte

_[7,

_{8, 15]}

on a aussi calculé les

,

valeurs _{exactes par la méthode}

_classique.

La

solu-FIG. 1. -

Impédance en fonction de la distance

-68 A

tion par la méthode de

_Runge-Kutta

dévie de la solution exacte _par au

_plus

0,0003

_%.

Les calculs

ont été exécutés à l’aide d’une machine

électro-nique

IBM 650 en

vingt minutes,

au cours

des-quelles

100 valeurs

_{d’impédance}

ont été obtenues. S’il est inutile d’obtenir une telle

_précision,

on

_peut

accroître Ox et l’on bénéficie alors d’un

_temps

de calcul

_plus

réduit.

Méthode de l’escalier. - La méthode de l’escalier ou _par

_{approximation}

est entièrement différente et

ne fait même pas

_appel

à

_{l’équation}

_(1).

On cherche au contraire à éliminer

_{l’équation}

de

_Riccatti,

puisque

dans le cas

_général

on ne

_peut

_pas trouver

de solution finie. Pour

_cela,

on

_décompose

la

_ligne

divergente

en

_tronçons

de

_{lignes parallèles,}

ainsi

qu’il

est

_indiqué

en

_figure

_2,

et l’on obtient une

ligne

en escalier. Les

_tronçons

sont connectés bout à bout de sorte _que

_{l’impédance caractéristique}

vue en tout

_point

de la

_ligne

en escalier est

approxi-mativement

_égale

à

_{l’impédance}

_{caractéristique}

de la

_ligne

_divergente

en ce

point. L’impédance Zl qui

apparaît

à l’entrée de la

_ligne

en escalier

_lorsque

l’on

_regarde

vers la

_charge

à travers la

_première

marche d’escalier est calculée selon la méthode ordinaire pour les

lignes

de transmission

_parallèles

classiques.

Cette

_impédance

est ensuite utilisée comme

_charge

_{pour la deuxième}

_marche,

_pour

FIG. 2. -

Approximation d’une _{ligne divergente} par une _ligne en escalier.

laquelle

on calcule

Z2, et

ainsi de

suite,

jusqu’à

Zn

La formule de récurrence utilisée est

₍₁₇₎

avec

L’équation (27), qui

contient nombre de quan-tités

_complexes,

n’est _pas directement utilisable.

On

_procède

alors à la

_séparation

des

_parties

réelle

Les

_équations

₍₃₂₎

et

₍₃₃₎

sont

_appliquées

à

répé-tition pour obtenir

_{l’impédance}

vue

_lorsque

l’on

regarde

vers la

_charge

à travers la

_{( i}

+

1)

ère

marche. Cette méthode de calcul a été

_appliquée

à la

_ligne

dont les

_{caractéristiques}

ont été

_indiquées

précédemment.

Vérification

expérimentale.

- Pour vérifier la

convergence de

l’approximation,

on

_{a .répété}

les calculs pour un

_grand

nombre de valeurs différentes de n, le nombre de marches de l’escalier. On a

_porté

les résultats obtenus sur le

graphite

de la

figure

3

FIG. 3. -

Convergence de _{l’impédance}

en fonction du nombre de marches.

où _{l’on voit que}

_{l’impédance}

obtenue tend

asympto-tiquement

vers

_{l’impédance}

réelle

_lorsque

n croît. Cela

_peut

au reste être démontré °

mathéma-tiquement

[17].

,

A titre

_d’exemple,

le calcul a été conduit avec 100 marches _{pour la}

_ligne

_indiquée,

afin

_d’indiquer

l’utilité de la méthode

_{(fig. 4).}

_{L’impédance}

est

obtenue en fonction de’ la

_fréquence

_pour une

longueur

fixe. Le calcul de

_chaque

valeur de

l’impé-dance,

pour la

ligne

à 100

marches,

prend

environ 2 minutes avec la calculatrice

_{électronique}

IBM 650.

Les résultats obtenus montrent une erreur de

_0,5

_%

sur la

_magnitude

et de 3’

_%

sur

l’angle

de

phase

de

l’impédance.

,

FIG. 4. _{- Impédance} en fonction de la _fréquence

par la méthode de l’escalier.

Précision. - Il est

impossible

d’obtenir une rela-tion

_qui

lie la

_précision

obtenue au nombre de marches _n, car cette

_{précision dépend}

de la

rapi-dité de variation de

_{l’impédance}

de la

_ligne

diver-gente

en fonction de la

_distance,

et aussi de la fré-quence.

Toutefois,

on

_peut

voir à l’examen de la

figure

3 que pour réduire l’erreur de moitié il est nécessaire de

_{grossièrement}

_décupler

le nombre de marches. Cela

_pointe

vers la méthode

pratique.

Pour une

ligne donnée,

on choisit arbitrairement un nombre de marches n, d’autant

plus

grand

que

l’impédance

varie

_plus

_rapidement.

_{L’expérience}

s’acquiert

très

_rapidement.

De toute

_manière,

le calcul

_fait,

on double le nombre de marches et on

70 A

devient _{évident que l’on} a atteint la zone de conver-gence

lente,

et

qu’il

est

pratiquement

inutile d’aller

plus

loin.

Conclusion. - Deux méthodes de calcul de

l’impédance

d’une

_ligne

_divergente

ont été établies. Toutes deux

_peuvent

être utilisées dans le cas

général

et fournir la

_précision

_{que l’on désire. Il} est

remarquable

que

_{pratiquement n’importe quelle}

forme de

_{divergence puisse}

être considérée sans accroître la difficulté de calcul.

_Cependant,

_pour une

_précision

déterminée,

le nombre de marches

dépend

de la

_rapidité

de variation de

_{l’impédance.}

Par

_suite,

le

_temps

nécessaire _pour obtenir

l’impé-dance,

à

_précision

_donnée,

_dépend

de la

_divergence

de la

_ligne.

C’est là une limitation triviale

_qui

s’applique

à _presque tous les calculs

_numériques.

Les méthodes

_indiquées

se

_prêtent

aisément à la

manipulation

par les calculatrices

électroniques.

De

_plus,

on

_peut

_employer

les mêmes _{formules pour} le calcul manuel et obtenir ainsi une

_{approximation}

grossière,

souvent _{suffisante pour nombre}

d’appli-cations

_pratiques.

_Enfin,

la méthode en escalier est

applicable

non seulement au calcul de

_{l’impédance,}

mais encore à la

_réponse

aux transitoires d’une

ligne divergente.

Manuscrit _{reçu le 15} mars 1958.

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