Partiel du 16 novembre 2016 (Luminy) – dur´ ee : 2h Version avec corrig´ e d´ etaill´ e

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Université d’Aix-Marseille Licence de Mathématiques Générales - L3

Analyse num´erique et optimisation Ann´ee 2016-2017

Partiel du 16 novembre 2016 (Luminy) – dur´ ee : 2h Version avec corrig´ e d´ etaill´ e

Les calculatrices, les notes de cours et de TD ne sont pas autoris´ees.

La clarté et la qualité de la rédaction seront prises en compte dans l’évaluation.

Exercice 1 – Propriétés de positivité et de monotonie d’une matrice carrée

On rappelle qu’un vecteur x ∈ Rⁿ ou une matrice A ∈ M_n(R) est positif, not´e ≥ 0, si tous ses coefficients (r´eels) sont positifs ou nuls.

Une matrice A ∈ Mn(R) est dite monotonesi elle satisfait la propri´et´e suivante :

∀x∈Rⁿ, Ax≥0 =⇒ x≥0.

1. Montrer que si A est une matrice monotone, alors elle est inversible.

2. Montrer queA est monotone si et seulement si A est inversible et A⁻¹ ≥0.

3. Montrer que si A= (a_i,j)∈ M_n(R) est telle que (on dit parfois que A est une M-matrice) : (M) a_i,j ≤0, ∀i, j = 1,· · · , n, i6=j et a_i,i >

n

X

j=1,j6=i

|a_i,j|, ∀i= 1,· · · , n, alors A est monotone.

4. Montrer que si A= (ai,j)∈ Mn(R) est telle que : a_i,j ≤0, ∀i, j = 1,· · · , n, i6=j et a_j,j >

n

X

i=1,i6=j

|a_i,j|, ∀j = 1,· · ·, n, alors A est monotone.

– Corrig´e –

1. En vertu du théorème du rang en dimension finie, la matrice carrée A ∈ M_n(R) est inversible si et seulement si son noyau ker(A) est réduit au vecteur nul de Rⁿ. Soit x ∈ Rⁿ tel que Ax = 0; on a Ax≥0 et−Ax=A(−x)≥0. Comme Aest monotone, il en résulte quex≥0 et−x≥0, soitx= 0, et donc ker(A) ={0}.

2. SoitA∈ M_n(R) monotone, alorsAest inversible d’apr`es le point 1.

On note (e_i)_i=1,n la base canonique deRⁿ etc_j :=c_j(A⁻¹) le j`eme vecteur colonne de la matrice A⁻¹

−1 −1

(2)

3. Soit un vecteurx∈Rⁿtel quey:=Ax≥0. On noteml’indice entre 0 etntel quexm:= min1≤i≤nxi. On a :

y_i =

n

X

k=1

a_i,kx_k≥0, ∀i= 1,· · · , n; et en particulier y_m =

n

X

k=1

a_m,kx_k≥0.

Par minoration puisquex_k ≥x_mpour toutk, il vient en utilisant l’hypoth`ese surA,|a_m,k|=−a_m,k ≥0 pour tout k6=m :

a_m,mx_m=y_m+

n

X

k=1,k6=m

(−a_m,k)x_k

≥ym+xm n

X

k=1,k6=m

|a_m,k|,

soit encore avec ym ≥0 :



a_m,m−

n

X

k=1,k6=m

|a_m,k|



x_m=y_m≥0.

CommeAest une matrice `a diagonale dominante stricte avecai,i >0, on a : am,m−

n

X

k=1,k6=m

|a_m,k|>0, et donc xm ≥ 0. Il en r´esulte que xk ≥ xm ≥ 0 pour tout k, soit x ≥ 0, et la matrice A est bien monotone.

4. Les hypothèses faites ici surA sont telles que A^t vérifient les hypothèses du point 3, et donc queA^t est monotone. D’après le point 2, A^t est alors inversible et (A^t)⁻¹ ≥0. On obtient immédiatement que sa transposée A = (A^t)^t est également inversible et (A⁻¹)^t = (A^t)⁻¹ ≥ 0, soit encore A⁻¹ ≥0, c’est à dire que la matriceA est bien monotone.

Exercice 2 – D´ecomposition LL^t de Choleski d’une matrice tridiagonale s.d.p.

Soit A = (a_i,j) ∈ M_n(R) une matrice sym´etrique d´efinie positive et tridiagonale, i.e. a_i,j = 0 si

|i−j|>1.

1. Montrer que A admet une décomposition de Choleski sous la forme A = LL^t où la matrice triangulaire inférieure L= (`_i,j) est bidiagonale,i.e. `_i,j = 0 si j > i etj < i−1.

2. Ecrire un algorithme de calcul des coefficients α_i := `_i,i et β_i := `i,i−1 de L en fonction des coefficients ai,j deA.

Calculer le nombre d’opérations élémentaires dans ce cas tridiagonal.

3. En d´eduire la d´ecomposition LL^t de la matrice :

A =







1 −1 0 0 0

−1 2 −1 0 0

0 −1 2 −1 0

0 0 −1 2 −1

0 0 0 −1 2





 .

– Corrig´e –

(3)

1. La matrice carréeA= (ai,j)∈ M_n(R) étant s.d.p., on a ses coefficients diagonaux tels que (Aei)·ei = a_i,i >0, et on sait qu’elle admet une décomposition de Choleski A=LL^t où la matrice triangulaire inférieureL= (`_i,j)∈ M_n(R), soit`_i,j = 0 sij > i, est unique avec des coefficients diagonaux`_i,i>0 pour tout i∈ {1,· · ·, n}.

Il reste à montrer dans le cas présent oùA est aussi tridiagonale,i.e. a_i,j = 0 si|i−j|>1, queL est alors bidiagonale inférieure,i.e. `_i,j = 0 sij > iet j < i−1.

La condition A =LL^t s’´ecrit pour une matrice triangulaire inf´erieure L quelconque, soit `_i,k = 0 si k > i :

n

X

k=1

`_i,k`_j,k =

min(i,j)

X

k=1

`_i,k`_j,k =a_i,j, ∀i, j= 1,· · ·, n.

Comme A est symétrique, soit a_i,j = a_j,i, ces égalités sont identiques en permutant i et j et on se restreint (par exemple) à la partie triangulaire inférieure deA, soiti≥j.

Il vient donc pour la premi`ere colonne deA tridiagonale, soit pourj = 1 :

1

X

k=1

`_1,k`_1,k =`²_1,1=a_1,1 >0,

1

X

k=1

`_2,k`_1,k =`2,1`1,1 =a2,1, et

1

X

k=1

`_i,k`_1,k=`i,1`1,1= 0, ∀i= 3,· · ·, n.

En choisissant `1,1 >0, on obtient la premi`ere colonne deL : α1:=`1,1 =√

a1,1 >0, puis β2 :=`2,1= a2,1

`_1,1, `i,1 = 0, ∀i= 3,· · ·, n.

Pour j = 2, on aa2,2−`²_2,1 =a2,2−a²_2,1/a1,1 >0 pour As.d.p. d’après la décomposition génerale de Choleski et il vient :

2

X

k=1

`_2,k`_2,k =`²_2,1+`²_2,2 =a_2,2, soit `²_2,2 =a_2,2−`²_2,1 >0,

2

X

k=1

`_3,k`_2,k =`_3,2`_2,2 =a_3,2, et

2

X

k=1

`_i,k`_2,k=`_i,2`_2,2= 0, ∀i= 4,· · ·, n.

En choisissant `_2,2 >0, on obtient la deuxi`eme colonne de L : α₂ :=`_2,2=

q

a_2,2−`²_2,1 >0, puis β₃:=`_3,2= a_3,2

`2,2

, `_i,2 = 0, ∀i= 4,· · · , n.

Par récurrence sur les colonnes (par exemple) de L, supposons alors que la matrice Lest bidiagonale inférieure jusqu’à la colonne p−1 ∈ {1,· · ·, n−1}, i.e. `_i,j = 0 si i ≥ j+ 2 et 1 ≤ j ≤ p−1, et montrons que c’est encore vrai pour la colonne p. Comme A est tridiagonale, on a pour la colonne j =p avec l’hypothèse de récurrence :

p

X

k=1

`_p,k`_p,k=`²_p,p−1+`²_p,p =a_p,p, soit `²_p,p =a_p,p−`²_p,p−1 >0,

p

X

p

X

(4)

En notant αi := ì,i et βi := ì,i−1 pour tout i = 1,· · ·, n, la matrice L est donc bien bidiagonale inférieure et s’écrit :

L=







α1 0 0 0 0 0

β₂ α₂ 0 0 0 0

0 β3 α3 0 0 0

0 0 βi αi 0 0

0 0 0 β_i+1 α_i+1 0

0 0 0 0 β_n α_n





 .

2. Avec ce qui précède, l’algorithme de calcul des coefficients de L s’écrit donc colonne par colonne comme suit :











Colonne p= 1 : α1 =√ a1,1, β2= a_2,1

α1

. Colonnesp= 2,· · ·, n−1 : α_p =

q

a_p,p−β_p², βp+1 = a_p+1,p

αp

. Colonnep=n: α_n=

q

a_n,n−β_n². Le coût de cet algorithme en nombre d’opérations élémentaires s’évalue facilement :

• colonnep= 1 : 1 racine carr´ee et 1 division, soit 2 op´erations,

• colonnes p = 2,· · · , n−1 : 1 multiplication, 1 soustraction, 1 racine carr´ee et 1 division, soit 4(n−2) op´erations,

• colonnep=n: 1 multiplication, 1 soustraction et 1 racine carr´ee, soit 3 op´erations.

Au total, la méthode de Choleski pour une matrice tridiagonale nécessite 4n−3 opérations élémentaires.

3. En utilisant l’algorithme pr´ec´edant, le calcul donne successivement : α1 = 1, β2 = −1, α2 = 1, β3=−1· · ·,αi = 1, βi+1 =−1· · ·, soit :

L=







1 0 0 0 0

−1 1 0 0 0

0 −1 1 0 0

0 0 −1 1 0

0 0 0 −1 1





 .

Exercice 3 – Méthode de Jacobi pour une matrice à diagonale dominante stricte Soit A= (a_i,j)_i,j=1,n ∈ M_n(R) une matrice à diagonale dominante stricte,i.e.

|a_i,i|>X

j6=i

|a_i,j|, pour tout i= 1,· · · , n.

1. Montrer queA est inversible.

2. Montrer que la méthode de Jacobi converge pour résoudre un système linéaire du typeAx=b.

– Corrig´e –

(5)

1. Grâce au théorème du rang, la matrice carrée A = (ai,j) ∈ M_n(R) est inversible si et seulement si ker(A) ={0}. Soit un vecteurx∈Rⁿ tel queAx= 0, c’est à dire :

n

X

k=1

a_i,kx_k= 0, ∀i= 1,· · · , n.

On note m ∈ {1,· · ·, n} l’indice tel que |x_m| := max1≤k≤n|x_k| = kxk_∞. On a donc en particulier pour la ligne i=m :

n

X

k=1

a_m,kx_k=a_m,mx_m+

n

X

k=1,k6=m

a_m,kx_k= 0, soit a_m,mx_m=−

n

X

k=1,k6=m

a_m,kx_k.

Avec l’in´egalit´e triangulaire, il vient :

|a_m,m| |x_m|=

n

X

k=1,k6=m

a_m,kx_k

≤

n

X

k=1,k6=m

|a_m,k| |x_k|

≤ |x_m|

n

X

k=1,k6=m

|a_m,k|, soit



|a_m,m| −

n

X

k=1,k6=m

|a_m,k|



|x_m| ≤0.

Comme la matrice A est `a diagonale strictement dominante, on a : |a_m,m| − X

k6=m

|a_m,k|> 0. On en d´eduit que |x_m|:=kxk_∞≤0, soitkxk_∞= 0 et doncx= 0. Ainsi ker(A) ={0}, etA est inversible.

2. Comme|a_i,i|>X

j6=i

|a_i,j| ≥0 pour touti= 1,· · · , n, on a|a_i,i|>0 et tous les coefficients diagonaux de A sont non nuls. La matrice diagonale D:= diag(A)∈ M_n(R) formée par ses coefficients diagonaux est donc inversible. Ainsi, la méthode itérative de Jacobi pour résoudre un système linéaire du type Ax=b, avecb∈Rⁿ donné, est parfaitement définie par la suite récurrente (x^(k))k∈Nde Rⁿ vérifiant :

(pourx⁽⁰⁾ choisi dansRⁿ,

D x^(k+1)= (D−A)x^(k)+b, soit x^(k+1)= (I−D⁻¹A)x^(k)+D⁻¹b, ∀k∈N.

Cette méthode converge quelque soitx⁽⁰⁾ si et seulement si le rayon spectral de la matrice d’itération B_J :=I −D⁻¹A satisfait ρ(B_J) := maxj=1,···,n|µ_j(B_J)|<1, en notant µ_j les valeurs propres deB_J. Soit alors un vecteur proprev ∈Rⁿ (v6= 0) de B_J associée à une valeur propreµ∈Cquelconque de BJ. On a alors (I−D⁻¹A)v=µ v, soit encoreD v−A v=µ D v.

Il vient donc pour la lignem∈ {1,· · · , n}telle que|v_m|:= maxj=1,···,n|v_j|=kvk_∞>0 avec l’in´egalit´e triangulaire :

|µ| |a_m,m| |v_m|=

am,mvm−

n

X

j=1

am,jvj

=

n

X

j=1,j6=m

am,jvj

≤ |v_m|

n

X

j=1,j6=m

|a_m,j|.

Comme |v_m|:= kvk∞ >0 et |a_m,m|>0, on obtient l’in´egalit´e suivante avec la stricte dominance de

(6)

Exercice 4 – Méthode de Jacobi pour des matrices particulières On note I la matrice identité dans M_n(R) et soit un réel λ >0.

Soit A= (a_i,j)_i,j=1,n ∈ M_n(R) une matrice carr´ee v´erifiant :











ai,j ≤0, ∀i, j = 1,· · · , n, i6=j a_i,i >0, ∀i= 1,· · ·, n

n

X

i=1

ai,j = 0, ∀j = 1,· · · , n.

1. Pour x∈Rⁿ, on d´efinit : kxk_A:=

n

X

i=1

a_i,i|x_i|. Montrer que k.k_A est une norme sur Rⁿ. 2. Montrer que la matrice λ I +A est inversible.

3. Pour b∈Rⁿ, on considère le système linéaire suivant : (λ I+A)u=b.

Montrer que la méthode de Jacobi pour la recherche de la solution de ce système est bien définie par une suite récurrente (u^(k))k∈N deRⁿ.

4. Montrer que la suite (u^(k))k∈N v´erifie pour toutk ∈N : ku^(k+1)−u^(k)k_A ≤ 1

(1 +α)^kku⁽¹⁾−u⁽⁰⁾k_A, avec α >0 que l’on pr´ecisera.

5. Montrer que (u^(k))k∈N est une suite de Cauchy.

En déduire qu’elle converge vers la solutionudu système linéaire considéré quelque soit le choix du vecteur initial u⁽⁰⁾.

– Corrig´e –

1. Comme ai,i > 0 pour tout i = 1,· · · , n, on vérifie facilement que k.k_A satisfait les trois propriétés d’une norme surRⁿ,i.e. pour toutx, y∈Rⁿ etλ∈R:

a) kxk_A:=

n

X

i=1

ai,i|x_i| ≥0, et kxk_A= 0 ´equivaut `a |x_i|= 0 pour touti= 1,· · · , n, soitx= 0.

b) kλ xk_A=

n

X

i=1

ai,i|λ x_i|=|λ| kxk_A. c) kx+yk_A=

n

X

i=1

ai,i|x_i+yi| ≤ kxk_A+kyk_A.

Cette norme est ´equivalente aux normes vectorielles usuelles surRⁿcar on est en dimension finie.

2. Avec les hypoth`eses sur la matrice carr´eeA= (a_i,j)∈ M_n(R), on a avec λ >0 :

|λ+aj,j|=λ+aj,j =λ−

n

X

i=1,i6=j

ai,j =λ+

n

X

i=1,i6=j

|a_i,j|

>

n

X

i=1,i6=j

|a_i,j|, ∀j= 1,· · · , n.

(7)

Ainsi, λ I +A^t = (λ I +A)^t est une matrice à diagonale strictement dominante, et donc inversible d’après le point 1 de l’Exercice 3. Il en résulte que sa transposée (λ I +A) est également inversible, alors que A n’est pas inversible car la somme des coefficients de chaque colonne est nulle.

3. Avec les hypothèses sur A et λ > 0, on a : λ+ai,i > 0 pour tout i = 1,· · ·, n, et les coefficients diagonaux de λ I +A sont tous non nuls. Ainsi la matrice diagonale d’ordre n,D := diag(λ I+A) formée par les éléments diagonaux de λ I +A est inversible. Cela permet de définir parfaitement la méthode itérative de Jacobi pour la résolution du système linéaire (λ I +A)u = b par la suite récurrente (u^(k))k∈N satisfaisant :

(pour u⁽⁰⁾ choisi dansRⁿ,

D u^(k+1) = (D−(λ I+A))u^(k)+b, soit u^(k+1)= I−D⁻¹(λ I+A)

u^(k)+D⁻¹b, ∀k∈N. On a donc pour les composantes :

(λ+ai,i)u^(k+1)_i =−

n

X

j=1,j6=i

ai,ju^(k)_j +bi, ∀i= 1,· · ·, n, ∀k∈N.

4. D’après l’égalité précédente, la différence entre deux itérés successifs s’écrit alors : (λ+a_i,i)

u^(k+1)_i −u^(k)_i

=−

n

X

j=1,j6=i

a_i,j

u^(k)_j −u^(k−1)_j

, ∀i= 1,· · · , n, ∀k∈N^?, soit encore :

u^(k+1)_i −u^(k)_i

= 1 λ+ai,i

n

X

j=1,j6=i

ai,j

u^(k)_j −u^(k−1)_j

, ∀i= 1,· · · , n, ∀k∈N^?.

On obtient pour la normek.k_A, pour tout entierk≥1 :

u^(k+1)−u^(k) A=

n

X

i=1

ai,i

u^(k+1)_i −u^(k)_i =

n

X

i=1

ai,i

λ+a_i,i

n

X

j=1,j6=i

ai,j

u^(k)_j −u^(k−1)_j

.

En remarquant que pour tout i= 1,· · ·, n, on a la majoration : 0< ai,i

λ+a_i,i = 1 1 +_a^λ

i,i

≤ 1

1 +α <1, o`u α:= λ

max1≤i≤na_i,i >0.

Puisque a_j,j = −P

i6=ja_i,j = P

i6=j|a_i,j|, avec les hypothèses faites sur A, tous ses éléments extra- diagonaux étant négatifs, il vient donc pour tout entier k≥1 :

u^(k+1)−u^(k)

A≤ 1 1 +α

n

X

i=1 n

X

j=1,j6=i

|a_i,j|

u^(k)_j −u^(k−1)_j = 1

1 +α

n

X

j=1





n

X

i=1,i6=j

|a_i,j|





u^(k)_j −u^(k−1)_j

≤ 1

1 +α

n

X

j=1

aj,j

u^(k)_j −u^(k−1)_j 1

(8)

5. Soient deux entiers quelconquesk, p∈N. Avec l’inégalité précédente, il vient :

u^(k+p)−u^(k) A≤

p−1

X

j=0

u^(k+j+1)−u^(k+j) A

≤

p−1

X

j=0

1 (1 +α)^k+j

u⁽¹⁾−u⁽⁰⁾

A= 1 (1 +α)^k

u⁽¹⁾−u⁽⁰⁾ A

p−1

X

j=0

1 (1 +α)^j. Pour la série géométrique convergente (α >0), on a

p−1

X

j=0

1 (1 +α)^j ≤

+∞

X

j=0

1

(1 +α)^j = 1 +α α . D’o`u le r´esultat :

u^(k+p)−u^(k)

A≤ 1 +α α

1 (1 +α)^k

u⁽¹⁾−u⁽⁰⁾

A −→0, quand k→+∞.

Ainsi, (u^(k))k∈N est une suite de Cauchy de (Rⁿ,k.k_A) qui est complet car de dimension finie. Donc cette suite converge quelque soit le choix du vecteur initial u⁽⁰⁾. Sa limite ne peut être que la solution u du système linéaire (λ I+A)u=b. Pour s’en convaincre, il suffit de passer à la limite dans l’égalité de récurrence définissant la méthode de Jacobi au point 3.