Théorie $\ell $-adique globale du corps de classes

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

J

EAN

-F

RANÇOIS

J

AULENT

Théorie `-adique globale du corps de classes

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

10, n

o

_{2 (1998),}

p. 355-397

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1998__10_2_355_0>

© Université Bordeaux 1, 1998, tous droits réservés.

L’accès aux archives de la revue « Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux » (http://jtnb.cedram.org/) implique l’accord avec les condi-tions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute uti-lisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte-nir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

Théorie

_{l-adique globale}

du

_corps

de

classes

par

JEAN-FRANÇOIS

JAULENT

RÉSUMÉ. Nous établissons les résultats fondamentaux de la théorie

l-adique

globale

du _corps de classes _pour les _corps de nombres. ABSTRACT. We establish the fundamental results of the l-adic class field

_theory

for number fields.

SOMMAIRE

0. Introduction et notations 355

0.1. Position du

_problème

355

0.2. Index des

_principales

notations 357

1. Construction des

_Zemodules

fondamentaux 359

1.1. Le é-adifié du groupe des idèles 359 1.2. Définition du

_f-groupe

des classes d’idèles 362

1.3. Valeurs absolues

_{Ê-adiques principales}

et formule du

_produit

364

2. Résultats fondamentaux du _corps de classes

_~-adique

367

2.1.

_Isomorphisme

du corps de classes

.~-adique

367 2.2. Schéma

_général

de la ramification abélienne 371

2.3. Les

_conjectures

de

_Leopoldt

et de Gross 377

3. Eléments de dualité

_Sadique

381

3.1. Pseudo-radicaux attachés aux _groupes d’idèles 381

3.2.

_{Isomorphismes}

de dualité 386

3.3.

_Corps

_coprincipaux

et corps

logarithmiquement principaux

390

Récapitulatif

des

_principaux

_{groupes de} normes 394

Bibliographie

396

0. INTRODUCTION ET NOTATIONS

0.1. Position du

_problème.

La théorie

_globale

du corps de

classes,

telle

qu’elle

fut

_développée

_{notamment par}

_Takagi,

Artin et

_Chevalley,

a _pour

but

_principal

la

_{description arithmétique}

des extensions abéliennes d’un

formulation la

_plus

_ancienne,

celle de

_Takagi,

elle

_interprète

ainsi le _groupe de Galois d’une extension abélienne finie

_L/K

de _corps de nombres comme groupe de congruences attaché à un diviseur

construit

sur les

_places

ramifiées dans cette extension. Cette

_description,

_{aujourd’hui}

encore la

plus

efficace _pour

_{apprécier numériquement}

une situation

donnée,

souffre

cependant

d’être limitée au seul cas des extensions finies. L’introduction par

Chevalley

des groupes

d’idèles, qui

relie de

façon

lumineuse

point

de vue

local et

_point

de vue

global,

_permet

de

pallier

agréablement

cette difficulté. Mais d’autres

_{problèmes surgissent}

alors :

-

d’abord, l’application

de

réciprocité

d’Artin

_1/;,

définie sur le _groupe

des classes d’idèles

_CK

=

JK/K"

du _corps

K,

à valeurs dans le

groupe de

Galois

GK

=

Gal(Kab/K)

de l’extension abélienne maximale

Kab

de

K,

n’est

_jamais

_{injective :}

si

_{[K : Q]}

= _{r +} 2c _est la

décomposition canonique

du

_degré

de K en ses contributions réelle et

_imaginaire,

le _noyau

_ci

_des

est,

en

effet,

le

_produit

d’une droite réelle

_I~,

de c tores

_R/Z

et de r + c - 1

solénoïdes

_(R(6Z)/Z,

où

7~

_désigne

comme d’ordinaire le

complété profini

de Z pour la

_topologie

définie _par ses _{sous-groupes d’indice fini. L’existence de}

"normes universelles" est ainsi une

_première

source de

complications

dans

la théorie. -

ensuite,

la

_{décomposition}

_canonique

du _groupe de Galois

Gx

comme

produit

direct de ses

_{p-composantes}

Gp _

_{K K pour} tous les

premiers

p, ne se traduit _pas immédiatement en termes de classes

_d’idèles,

puisque

ni le numérateur

JK

ni le dénominateur K’ ne sont des

À-modules ;

ce

_qui

est une deuxième source de difficultés en

_particulier

dans l’étude des

pro-p-extensions.

-

enfin,

si S est _un ensemble d’au moins deux

places

finies de

K,

le

produit

_KS

=

Kf

des _groupes

_{multiplicatifs}

des

_complétés

de K aux

places

contenues dans S

_s’injecte

naturellement dans le _groupe

_CK,

mais la

_topologie

induite sur

l’image

_par la

topologie

usuelle de

CK

n’est _pas le

_produit

des

_topologie

des ce

_qui

constitue une troisième source de

problèmes.

L’approche Sadique

de la théorie

_globale

du _corps de classes vise

préci-sément à remédier à l’ensemble de ces difficultés

ensemblistes, algébriques

ou

topologiques

_par une modification convenable du groupe des classes

d’idèles et de sa

_topologie

conduisant in fine à un

_isomorphisme

(algébrique

et

_topologique)

entre le _groupe

_C~

modifié et _{le groupe de Galois}

_G~

pleinement compatible

avec les

_opérations

de semi-localisation.

_Quoiqu’il

soit naturellement

_possible

de mener cette _{construction pour} tous les pre-miers

_{simultanément,}

nous avons

_choisi,

_pour des raisons de

_simplicité,

de faire choix une fois _pour toutes d’un nombre

_premier

et de ne

tra-vailler _que sur les

f-parties

des _groupes

précédents :

la théorie

_Sadique

entre le é-adifié

CK

du _groupe d’idèles et le _groupe de Galois

_{9K =}

G~~~

de la

pro-é-extension

abélienne maximale de .K. Bien

_entendu,

il est

tou-jours

possible,

en

_prenant

tous les î

_ensemble,

d’identifier le

_{produit GK}

des divers

_9K

avec celui

CK

des

GK,

ce

qui

revient dans les constructions

précédentes

à

_remplacer

l’anneau des entiers

_Sadiques

_par le

_produit

Z de tous les

_Zi.

Mais cela a souvent _pour

conséquence

de rendre moins

visible les rôles très

_différents,

dans les énoncés du _corps de

_classes,

de la ramification modérée et de _{celle sauvage ; de} sorte _que c’est la

_{présentation}

Sadique

qui

nous

_parait

traduire au mieux la réalité

arithmétique.

L’exposé

fondateur de la théorie

_{Sadique globale}

du _corps de classes est le

chapitre

I. l d’un travail de thèse sur

l’arithmétique

des f-extensions soutenu

en 1986

_(cf.

_[JO])

_qui,

contrairement à d’autres sections de la

_thèse,

n’avait

jamais

fait

_{jusqu’ici l’objet}

d’une

_{publication spécifique. Compte}

tenu de l’intérêt _propre de

_{l’approche Sadique}

de la théorie du _corps de

_classes,

il

nous a donc semblé

_important

d’en donner ici une

présentation

complète

en liaison avec

_{quelques développements plus}

récents.

Notre

_point

de

_départ

est la théorie de

_Chevalley

telle

_qu’elle

est

ex-posée,

par

exemple,

dans le livre d’Artin et Tate

[AT].

Nous construisons

d’abord les

_Zemodules

fondamentaux

_{(section 1)}

et établissons ensuite les

principaux

résultats de la théorie

_Sadique

_(section

_2).

Dans une dernière

partie,

nous abordons enfin des

_questions

de dualité liées notamment aux

classes

_{logarithmiques}

_{(section 3).}

Les notations utilisées sont rassemblées dans un index. Un

appendice récapitule

les _groupes de normes attachés

à

_quelques

unes des

_{principales pro-~-extensions}

abéliennes d’un _corps de

nombres donné.

0.2. Index des

_principales

notations. De

_{façon générale,}

les

_objets

standard sont

_{représentés}

_par un caractère

latin ;

leurs f-adifiés

respec-tifs

_(par

_exemple

leur tensorisé _{par par} un caractère

_{anglais ;}

leurs

co-.~-adifiés le sont _par un caractère

gothique.

Notations latines :

.K" le _groupe

_{multiplicatif}

d’un _corps de

_{nombres K ;}

JK

le _groupe des idèles

_(au

sens

habituel)

de

K,

UK

le _sous-groupe des idèles

_{unités ;}

Dx

=

JK / UK

le

groupe des

diviseurs ;

P~

le _sous-groupe des diviseurs

_{principaux ;}

=

DK/PK

le

groupe des classes de diviseurs

(i.e.

le groupe des classes

d’idéaux au sens

_{restreint) ;}

EK

(resp.

EKd )

le _groupe des unités au sens restreint

(resp. ordinaire) ;

(resp.

l’ensemble des

_places

de K

_(resp.

à

_l’infini,

divisant

_{~) ;}

,S’ un ensemble fini de

places

de K et s son

cardinal ;

E£

le _groupe des S-unités

_(au

sens

restreint)

de

_{K ;}

le groupe des S-classes de diviseurs

(au

sens

restreint) ;

K.

le

_complété

de K en la

_place

_{p ;}

7r, une uniformisante de

K~

le _groupe

_{multiplicatif}

de

_Kp

et

_Up

son _sous-groupe

unité ;

Mo

(resp.

~~ )

le _sous-groupe des racines de l’unité d’ordre

_étranger

à p

(resp.

d’ordre

_{p-primaire) ;}

v,

(resp.

bp)

la valuation

(resp.

la valuation

logarithmique)

sur

_Kpx.

Not at ions

_{anglaises :}

7Zx

ZI

©z K X le

_f-groupe

des idèles

_principaux

_{(le rayon) ;}

~x

EK

le

_f-groupe

des unités

_(au

sens

restreint) ;

J-lK = le

f-groupe

des racines de l’unité dans ₁

Dx

Q9z

Dx

le

_f-groupe

des

_{diviseurs ;}

PK

Q9z

PK

son _sous-groupe

principal ;

= VK /PK

le

_~-groupe

des classes de diviseurs de

_{K ;}

lim le

_{compactifié .-adique}

du _groupe

_{multiplicatif}

_Kpx

-Up

lim le _sous-groupe unité de

_{R, ;}

+- p

mp

7ZtDr

le

l-groupe

des racines de l’unité dans

~x

=

ilres

Rp

le

f-groupe

des idèles

de K ;

CK

= JK /RK

le

_f-groupe

des classes

_{d’idèles ;}

Llx

= il

Up

le _sous-groupe des idèles

_{unités ;}

Yp

le sous-groupe fermé

engendré

par les racines de

l’unité ;

RK

f1 _sous-groupe de

RK

formé des racines locales de

_{l’unité ;}

N

ÜK

Ul’

le sous-groupe des unités

logarithmiques

de

JK ;

iK

le noyau dans

JK

de la formule du

produit

pour les valeurs

absolues ;

Dx

=

JKIÛK

le

il-groupe

des diviseurs

logarithmiques

(de degré nul) ;

7~x

=

7ZKÛK

IÛK

son _sous-groupe

principal ;

ëfK

=

DKIPK

le

f-groupe

des classes

logarithmiques ;

~K

ux

le

_f-groupe

des unités

_{logarithmiques globales ;}

~x

le

_quotient

de

_CK

_par

_l’image

de

_{ÍlK ;}

TK

le _sous-groupe de torsion de

JI

=

Ilpes Up

FIPES

Rp le ~-groupe

des

_{,S’-idèles ;}

ES

lis

le

_f-groupe

des S-unités

_{globales ;}

Cfk

= le

f-groupe

des S-classes de diviseurs.

Notations

_{gothiques :}

3K =

(§à /Z£)

JK

le

f-groupe

des coïdèles

_{de K ;}

UK =

UK

le

UK

= le _sous-groupe des coïdèles unités

logarithmiques ;

1)K

= le

£-groupe

des

codiviseurs ;

D K =

_0z,-

DK

le

_£-groupe

des codiviseurs

_{logarithmiques ;}

9’tK

=

Q9Z,- RK

le

pseudo-radical global ;

0z,- FK

le

_£-groupe

des codiviseurs

_{principaux ;}

=

0z,-

PK

son

analogue logarithmique ;

=

_0z,-

£Kd

le

£-groupe

des coünités

(au

sens

ordinaire) ;

~K

=

_Q9z,-

ÉK

le

£-groupe

des coünités

logarithmiques ;

i (t,K =

0z,- CK

le

_£-groupe

des classes de

_{coïdèles ;}

= le

£-groupe

des coclasses

d’idèles ;

= le

pseudo-radical hilbertien ;

I K

=

y K /yj

le

quotient

de _{iJK par} son sous-module divisible maximal. 1. CONSTRUCTION DES

_{’Ill-MODULES}

FONDAMENTAUX

Le nombre

_{premier f}

étant

_fixé,

nous

_désignons

_par

_7Z

= lim

- k

l’anneau des entiers

_Sadiques.

D’autre

_part,

_pour

_{chaque place}

non

_{complexe p}

d’un _corps de

nom-bres

_K,

nous notons _{vp la valuation}

_associée,

à valeurs dans Z pour p

ultramétrique,

dans

_Z/2Z

_{pour p} réelle.

1.1. Le £-adifié du _groupe des idèles. A

_chaque

_corps de nombres K

(de

degré

fini sur

Q),

nous allons associer deux

Z rmodules :

le

_{premier RK}

global,

défini à

_partir

du _groupe

_{multiplicatif K"}

des éléments non nuls de

K ;

le second

_JK

_semi-local,

construit à

_partir

des _groupes

_{multiplicatifs}

Kf

des

_complétés

non

_complexes

de K.

Définition 1.1. Etant donné un _corps de nombres

K,

nous

appelons

.l-groupe des idèles

principaux

de K et nous notons

_RK

le tensorisé

_f-adique

du groupe

multiplicatif

de ses éléments non nuls:

R

Le groupe

RK

est la réunion des

£-groupes

de S-unités

£1

= _0z

Ek,

lorsque

S

_parcourt

les ensembles

_finis

de

_places

de K. Chacun des

_EK

est

compact

pour sa

_topologie

naturelle de ncethérien et

_RK

est lui-même un

_{topologique pour la}

limite inductive des

_topologies

des

Es

K °

Par définition de la

_topologie

limite

_inductive,

les sous-modules ouverts

de

_RK

sont exactement ceux

_qui

intersectent chacun des

EK

suivant un

sous-module relatif

_ouvert,

c’est à dire

_(puisque

les

_£1

sont de

_type

fini sur

Zl)

suivant un sous-module d’indice fini. La

_topologie

ainsi obtenue sur

RK

est donc strictement

_plus

fine _que celle définie _par ses sous-modules

Remarques

1.

_(i)

_{L’application}

_canonique

de KX dans

RK

n’est _pas

généra-lement

_injective.

Plus

_{précisément}

son _noyau est le sous-groupe de KX

formé des racines de l’unité dans .K d’ordre

étranger

à ~. Le

_quotient

qui

s’injecte

dans s’identifie à un _sous-groupe

_partout

dense

de

_RK.

(ii)

Convenons d’ordonner les

_places

de K en

_posant

Sn

=

{p

_E

~}

(avec

la convention _{±1 pour} les

_places

_{archimédiennes).}

Nous

avons évidemment KX =

UnENEin et

chacun des

_Ein

=

{~

_E

0,

Sn~

est un Z-module de

_type

fini. En

particulier

RK

=

est réunion dénombrable de

_Zl-modules

_compacts.

(iii)

Le groupe

RK

s’identifie à un sous-module strict de la limite

projec-tive ˤL =

cependant

la

topologie

de

RK

n’est _pas la

-restriction à

_RK

de la

_topologie

naturelle de définie par les sous-modules

K

Définition et

_proposition

1.2. Pour

_{chaque place p du}

_{corps de} nombres

K,

nous notons

le

_Ê-adifié

du _groupe

_{multiplicatif}

_Kf

du

_complété

de K en _p. Le _groupe

~~

est un

Z£-module

ncethérien donc

_compact

_pour la

topologie définie

_par ses sous-modules d’indice

fini.

(i)

archimédienne,

deux cas se

_{présentent :}

_{si p}

est réelle

égal

à 2, il

est

_isomorphe

à

_{7~/27~ ;}

il est nul dans tous les autres cas.

(ü)

ultramétrique,

le choix d’une

_informisante

_7rp

_permet

d’écrire

formellement

7Z~

= en notant encore _{7r p}

l’image

de _{7r p} dans et en

désignant

=

lim Up/U:k la

limite

projective

des

quotients d’exposant

+-k p

imaire

du _sous-groupe des unités du corps local

Kp

-

lorsque p

divise

_f,

le _groupe

_Up

n’est autre _que le _groupe des unités

principales

de

_{Kp ;}

-

lorsque p

ne divise _pas

~~ il s’identifie

au

f-sous-groupe

de

Sylow

_{/-lp du} groupe des racines de l’unité dans

Kp.

Dans les deux cas nous disons _que

Up

est le _sous-groupe des unités de

_Rp.

Preuve.

_(i)

_{Si p}

est une

_{place archimédienne,}

le _groupe

multiplicatif

K~

est soit

_{divisible, lorsque}

p est

_{complexe ;}

soit le

_produit

_{de {±1}}

par un groupe

divisible, lorsque

p est réelle. La limite

projective

R~

est donc nulle

dans le

_premier

_cas,

_isomorphe

à

_Z£/2Z£

dans le second.

(ii)

Si p

est une

_{place ultramétrique,}

la

_{décomposition}

du _groupe

fait intervenir le groupe

MO

des racines de l’unité d’ordre

étranger

à p, le groupe

!7j

des unités

principales,

et une uniformisante 7rp de

K~ .

-

Si p

est au-dessus

_{de t,}

le _groupe

_lip

est £-divisible et le _groupe

_!7j

est

un

Z-module noethérien,

isomorphe

comme tel à la limite

_projective

de ses

quotients

finis. Il vient donc dans ce cas :

comme annoncé.

-

Si p

_ne divise

pas ~,

le

groupe p§

est le

_produit

direct de son

_{É-sous-groupe}

de

_Sylow

_pp et de son _sous-groupe t-divisible

p§ ;

tandis que le groupe

U~ ,

qui

est un

Zp-module

(avec

p #

Ê),

est donc .~-divisible. Il suit alors :

, comme annoncé.

Dans les deux _cas, le _groupe

_Rp

est le

_produit

direct de

_Up

et du

_Zrmodule

libre de dimension 1

_engendré

_par

_l’image

_{de l’uniformisante 7r, .} D

Remarques

2.

_(i)

Contrairement à le tensorisé

_Ê-adique

n’est

pas,

lui,

un

_Zl-module

de

_type

fini : la

décomposition

du sous-groupe

principal

faisant

apparaître

un

Zp-module

libre de dimension

dp =

Q ],

donc un Z-module sans torsion de _rang

infini,

le

produit

tensoriel _oz est lui-même de _rang infini sur

(ii)

Il est commode de _poser

_Up

= 1

lorsque p

est archimédienne réelle et,

pour t

=

2,

de

_prendre

_irp

_{_ -1,}

ce

qui

_permet

d’écrire par

analogie

avec le cas

ultramétrique.

Définition 1.3. Par

_£-groupie

des idèles d’un corps de nombres

K,

nous

entend ons l e

_produit

---des

_.~-adi,fiés

des _groupes

_{multiplicatifs}

des

_complétés

de

_.K,

restreint aux

familles

dont tous les éléments sont des unités à

_{l’exception}

d’un nombre

fini

d’entre eux.

Le _groupe

_JK

est la réunion des

_£-groupes

lorsque

,S’

_parcourt

les ensembles

_finis

de

_places

de K. Chacun des

_Ji

est

compact

pour sa

_topologie

naturelle de

produit

et

J K

est lui-même un

_topologique

_{pour la}

limite inductive des

_topologies

des

:Tl.

Par définition de la

_topologie

limite

_inductive,

les sous-modules ou-verts de

_JK

sont ceux

_qui

intersectent chacun des

:Tl

suivant un

sous-module relatif ouvert. De

_fait,

il est

_possible

d’exhiber une base de

sous-modules ouverts de

J K

en

procédant

comme suit : _pour

chaque place

ultramétrique p

de

_K,

_{faisons choix d’une uniformisante 7rp dans}

si p

est réelle _{prenons 7!p} -

_{-1 ;}

_et,

_{si p}

_est

complexe

posé,

le _groupe

_JK

s’écrit comme somme directe

topologique

du

sous-module

_compact

=

llPEPlK Up,

formé des éléments

_unités,

et du

Z£-module

_{multiplicatif}

E9

7r Zi

construit sur les

_7rp,.qui

s’identifie au l*

pEPlK p

groupe des diviseurs de

K ;

Les

_produits

_où,

pour

chaque place p

de

K,

le

facteur

_désigne

un sous-module d’indice fini de

_ZVp

_égal

à

_U,

_{pour presque}

tout _p, et _n, un entier naturel

_arbitraire,

forment une base de sous-modules

ouverts de

Remarques

3.

_(i)

_{L’application canonique}

du _groupe des idèles

_JK

dans le .~-adifié

_{~K n’est jamais}

_{injective :}

son _noyau est le

_produit

0

J41

U~ ;

son

image

est un _sous-groupe

_partout

dense de

_,7x.

(ii)

Convenons d’ordonner les

_places

de .K en

_posant

,S’n

=

{p

_E

(avec

la convention pour les

places

archimédiennes).

Nous

avons évidemment

_{JK =}

montre _que

_JK

est réunion dénombrable de

_Zemodules

_compacts.

(iii)

Le groupe

~x

s’identifie naturellement à un sous-module strict du

produit

IZP

des

_{compactifiés}

_Cependant,

la

_topologie

de

_JK

n’est _pas la restriction à

_~x

du

_produit

des

_topologies

des

_IZP.

1.2. Définition du

_f-groupe

des classes d’idèles.

Théorème et définition 1.4.

_{L’application}

naturelle du tensorisé

f-adi-que

7l£

0. K" du groupe

multiplicatif

du corps K dans le

JK du

groupe des idèles de

K, qui

est induite par

l’injection diagonale

de

K dans le

_produit

de ses

_complétés

_Kp,

est un

_{monomorphisme}

continu. Le _groupe

_topologique

_quotient

est un

_compact.

Nous disons _que c’est le

£-groupe

des classes

d’idèles du _corps K.

Preuve. Partons de

_{l’injection}

_diagonale

KX y

_ll"EPlK

_groupe

multiplicatif

de K dans le

_produit

de ceux de ses

complétés.

Par _passage au

_quotient,

nous en

déduisons,

_pour

chaque

entier

k,

un

morphisme

naturel

qui

est

_injectif

_{lorsque f}

est

_impair,

et dont le _noyau est d’ordre 1 ou 2 dans

nous obtenons _par

conséquent

un

morphisme injectif :

Sa restriction au

départ

à à l’arrivée à

JK,

est le

_Zi-morphisme

cherché. Comme il est

_{injectif d’après}

ce

_qui

précède,

nous identifierons

désormais avec son

_image

_canonique

dans Cela

étant,

nous allons

établir successivement :

(i)

que

l’application

naturelle de

?ZK

dans

JK

est

continue ;

(ii)

que

~ZK

est fermé dans

JK ;

(iii)

que le

quotient

JKIIZK

est un

Zemodule

_compact.

(i)

Le

_premier

_point

résulte de la définition de la

_topologie

limite

induc-tive : pour

chaque

ensemble fini S de

_places

de

_K,

le _groupe

_es

=

est un

Z rmodule

de

_type

fini

_donc,

d’une

_façon

et d’une

_seule,

un

Ztmodule

topologique.

En

_particulier

la

_topologie

de

_EK

est induite _par celle de

_’7s

Si donc

_OK

est un sous-module ouvert de

JK,

les sous-modules

OK

n

Jl

étant ouverts dans les il en est de même des sous-modules

_OK

_{n Ek}

dans les

_{£k ;}

ce

_qui

veut dire _que est un sous-module ouvert de En

_{particulier l’injection canonique}

de

7ZK

dans

~~

est bien continue.

(ii)

Le second

_point

s’établit comme suit : étant donné un idèle

_{généralisé}

r de

JK qui

n’est _pas dans fixons S’ assez

_grand

contenant les

_places

archimédiennes,

pour avoir r E

"S

_puis,

pour

chaque place p

de K

n’appartenant

pas à

S,

choisissons n~ assez

_grand,

de telle sorte _que le diviseur

_pI.p

soit

_principal

_(dans

le

_£-groupe

_Dx

=

7~~

_0~

DK

des diviseurs

de

_K).

Cela

_étant,

_{comme Es}

est fermé dans

_J£,

il existe un sous-module

ouvert

_Os

de

_Jl

dont le translaté

_tOk

ne rencontre _pas

_{Es .}

Le

_Zemodule

C~K

engendré

dans

JK

par

Es

et les éléments pour p E S est alors un

sous-module ouvert de

_JK

dont le translaté ne rencontre _pas

_{7Zx .}

(iii)

Pour établir le troisième

_point,

nous allons montrer que

l’image

UKRK /R K cr UK/£K

dans

_CK

du sous-module

_compact

l.lK

de

_JK

formé des idèles unités en est un sous-module d’indice fini

(de

sorte _que

CK

sera

compact

comme réunion finie de

compacts).

D

Or,

cela résulte de la

_{proposition :}

Proposition

1.5. Le

_quotient

_JKIUKIZK

du

_t-groupe

des classes d’idèles du corps K par le sous-groupe

formé

des classes des idèles unités

s’identifie

canoniquement

au

£-groupe

fini

des classes de diviseurs de K :

Dérrzonstratzon. Le _groupe des diviseurs d’un _corps de nombres est _{le groupe}

abélien libre construit sur ses valuations : Comme la

valuation vp

associée

p est

_réelle,

et dans Z si _{p est}

_{ultramétrique,}

_{le groupe}

DK

est le pro-duit direct de rK

exemplaires

de

Z/2Z

et du groupe

IdK

des idéaux de

K. Son

_quotient

_par le _sous-groupe des

_{diviseurs principaux}

_(i.e.

par

l’image

canonique

de K’ dans

DK)

est fini

_d’après

la

_géométrie

des nombres : dans la

_terminologie

des

_idéaux,

c’est _{le groupe des classes} au sens restreint. Son

_{Ê-sous-groupe}

de

_Sylow

_C£K

=

(DK/PK)

est donc

canoniquement

le

_quotient

du tensorisé

_Ê-adique

_DK

= _0~

DK

du groupe des diviseurs par celui

PK

=

Zl

_Oz

PK

du

sous-groupe

principal

PK . Maintenant, DK

s’identifie

_{canoniquement}

à et

_PK

est

_l’image

canonique

de

_7ZK

dans

DK .

D

La

_{correspondance}

entre

_.~-groupes

de classes d’idèles et de diviseurs

_peut

ainsi se résumer _par le

diagramme

commutatif exact

_(où

toutes les flèches

sont des

_{Zi-morphismes) :}

Diagramme

1

Scolie 1.6. Pour tout enserrcble

_fini

de S de

_places

de

_K,

le

_quotient

_Cfk

=

du

_f-groupe

des classes d’idèles

_CK

par le sous-groupe

GK(S)

-(des

classes des idèles unités en dehors de

S)

s’identifie

cano-niquement

au

_quotient

du

f-groupe

des classes de diviseurs du corps K par le sous-groupe

engendré

par les classes des diviseurs construits sur les

_places

de S. Nous disons _que

CÊS

est le

_t-groupe

des S-classes de diviseurs du _corps K.

1.3. Valeurs absolues

_{Sadiques principales}

et formule du

_produit.

On

_pourrait

craindre _que la _{f-adification des groupes} d’idèles fasse

dis-paraître

la

_classique

formule du

_produit

pour les valeurs absolues. Il n’en est

rien,

à condition naturellement de

_remplacer

les valeurs absolues habituelles

Désignons

pour cela par

7~~

le groupe

multiplicatif

des éléments

in-versibles de l’anneau des nombres

_Sadiques,

par

Ul -

sous-groupe

des unités

_principales

de et &#x3E; la

_{surjection canonique}

de

sur

ul

(de

sorte _que,

pour t impair,

le

quotient

~c/

u &#x3E; est

_l’unique

racine de l’unité dans

_qui

est _congrue à u

_{modulo £ ;}

tandis _que si t vaut

2,

u &#x3E; est

_toujours

_égal

à

_u).

Cela étant nous avons :

Définition 1.7. Etant donnée une

place p

d’un _corps de nombres

K,

nous

appelons

valeur absolue

_{£-adique principale}

_{d’un élément x, du groupe}

_Tp

et nous notons l’élément du

Z¡,-module

multiplzcatif

Ull

1 +

ÊZ£

défini

par:

=

_{1, si p}

_est

complexe ;

1 xp 1 p

_

_{sg (xp)}

_&#x3E;,

_{si p}

est

_{réelle ;}

=

_{ultramétrique}

et

_étrangère

= &#x3E;

_{&#x3E;, si p}

est au-dessus de t.

Enfin,

nous

_appelons

valeur absolue

~-adique

principale

d’un élément x de

~Zx

relativement à la

_place

_p, et nous notons

lxlp

la valeur absolue

.e-adique

principale

de l’élément _{où sp} est la

_{surjection canonique}

de

_RK

dans induzte _par

_{l’injection}

naturelle de KX dans

Remarques

4.

_(i)

La définition donnée ici diff’ere de celle de Tate

_(cf.

_[Ta],

Ch.

_VI,

_{§ 1,}

déf.

_1.1),

_qui

ne s’étend _pas aux

_Zemodules.

Plus

_{précisément,}

pour

chaque

place p

de

K,

la

quantité

lxlp

est le crochet de la valeur absolue

de

_{Tate ;}

c’est

_pourquoi

nous

_parlons

de valeur absolue

_principale.

(ii)

L’application

xp H-

_{Ixp Ip}

est trivialement un

Zrmorphisme

de

Rp

dans

_Ul.

En

_particulier,

elle est continue et fermée _pour la

_topologie

na-turelle de ces deux modules.

Si p est ultramétrique,

son

_image

_est,

en

_outre,

un sous-module d’indice fini de

!7~.

Proposition

1.8

_(Formule

du

_produit

_pour les valeurs

_absolues).

L’application

est un

_{Zp,-morphisme}

continu du

_£-groupe

~K

des idèles du _{corps K} sur

le _groupe

_Ut

des unités

_principales

de l’anneau Son _noyau

_{JK est}

un

sous-module

fermé

de

_{JK qui}

contient le tensorisé

_£-adique

_RK

du _groupe

multiplicatif

Démonstration.

_Remarquons

d’abord _que la

_{quantité Il}

_{Ixo Ip}

est bien définie

puisque,

pour

chaque

idèle x

de les

_{composantes yp}

étant des unités pour

presque tout p, le

produit

infini n’a en fait

qu’un

nombre fini de facteurs

distincts de 1. Cela

_étant,

_pour montrer _que

_{l’application y}

est

con-tinue sur

_JK,

il nous

sufht, d’après

la

propriété

universelle de la

topologie

pour

chaque

ensemble fini S assez

grand

de

places

de K. Pour

_cela,

nous _{pouvons supposer que} S contient les

_places

au-dessus de

_{~, auquel}

cas nous

avons Il

_x

11=

IlpEs

_pour

_{chaque s}

de

,7K ;

et la continuité de

Il . Il

résulte de celle des

_{applications Il}

.

IIp

sur chacun des facteurs

_R~.

Enfin,

pour établir la formule du

produit,

il suffit de noter

qu’elle

est

trivialement vérifiée sur le _corps des

rationnels, puis

d’écrire _que l’on _a, pour tout x de

RK :

Corollaire 1.9. Le _noyau

_jK

de la

_formule

du

_produit

_pour les valeurs absolues

_f-adiques

sur K est

_l’image

_réciproque

_par la norme

_{arithmétique}

NKI,Q

du même _noyau

_,7~

_pour le _corps des rationnels

_Q.

Preuve. On _a, en

effet, Il

_Y

IIK=11

_{pour tout y} de

_.J’K,

donc

Proposition

1.10. Soit p une

_place

de K la valeur absolue

_Ê-adique

principale

associée.

(i)

Si p

ne divise _pas

_Ê,

le _noyau

Up

de

_{l’application 1 - Ip}

est le sous-module des unités de

_{Rp :}

(ii)

Si p

divise

_l,

le _noyau

_Üp

de

_{l’application 1}

-

Ip

est caractérisé _par la condition :

Le _groupe

_Mp

est le

_produit

direct du _{sous-groupe ~u~ des racines de l’unité} dans et d’un

_ZI-module

libre de rang

Kp :

Et,

dans tous les _cas, le _groupe

_Ll~

est

_{l’image réciproque}

_par la norme

arithmétique

locale du _noyau dans

_Rp

de la valeur absolue

_f-adique

princzpale

sur

_Qp.

Preuve.

_(i)

_Lorsque

_p ne divise

_{pas Ê,}

la condition = 1 s’écrit tout

aussi _{bien v~}

_(xp)

=

0 ;

elle caractérise donc les unités de

Rp

(on

notera

que, du fait des conventions

utilisées, -1

n’est _pas une unité dans si _p

est réelle et f

_égal

à

_2).

(ii)

Lorsque

p divise

Ê,

la condition = 1 s’écrit _encore

(x p)

/

N13vp(xp)

&#x3E; _{&#x3E;= 1. Elle affirme donc}

que la norme de xl’ s’écrit comme

_produit

d’une

_puissance

de Ê

_(qui

est nécessairement et d’une racine de l’unité. Mais cette

_propriété

caractérise le _noyau du

_logarithme

d’Iwasawa

dans

_Qe,

ce

_qui

conduit à

_{l’équivalence}

annoncée.

Enfin,

comme est

d’indice fini dans

_Ui,

il vient immédiatement

_(avec

la convention

_{dimzl X}

=

.

déf

dimçà l§je

pour tout

Zemodule

X) :

Corollaire 1.11. Le _noyau dans

_JK

des valeurs absolues

_principales

est

le sous-module

_compact

UK

_fl

composé

direct du _sous-groupe Pt£00 ye

Ifp des idèles unités

qui

sont localement des racines de

l’unité,

et d’un

Zi-module

libre de dimension

_{E[Kr :}

_{~~ _}

_{[K : Q].}

il£

Définition 1.12. Le

_quotient

tK

=

JKIÛK

_est,

_par

définition,

le

Ê-groupe

des diviseurs

_{logarithmiques}

du _corps K. Nous disons que

l’image

PK

de

RK

dans

DK

est le _sous-groupe

_principal

de

VK.

Le

_quotient

est le

_f-groupe

des classes

_{logarithmiques}

du corps K.

Nota. Comme

_{expliqué plus}

_loin,

la

_conjecture

du Gross

_{généralisée}

_postule

précisément

la finitude du groupe

2.

RÉSULTATS

FONDAMENTAUX DU CORPS DE CLASSES

_.~-ADIQUE

2.1.

_Isomorphisme

du corps de classes

Sadique.

Nous

rappelons

sans

démonstration les résultats fondamentaux du _corps classes local pour les

.~-extensions,

puisqu’ils

sont essentiellement bien connus sous cette forme

(cf.

par

exemple,

[AT],

Ch.

VI,

§4).

Nous donnons en revanche la _preuve

des résultats

_globaux.

Théorème 2.1

_(Corps

de classes

_{local). Etant}

donné un _corps local

_K~,

l’application

de

_{réciprocité}

induit un

isomorphisme

de

topologi-ques du

compactifié profini

7Z -

sur le _groupe de Galois f-k

Dp =

de la f-extension abélienne maximale du _corps

_Kl’.

Dans cet

_isomorphisme

le _groupe d’inertie

_7p

= _est

_l’image

du

sous-groupe

Ul’

des unités de

Rl’.

- _ne divise

ramification

est modérée et le _groupe

_Ip

est

_fini,

isomorphe

au _{J-Lp du groupe} des racines de l’unité dans

_{K~ .}

-

ramification

est sauvage et le _groupe

_7p

est

_infini.

Dans

ce

cas, la

suite des _sous-groupes

_supérieurs

de

ramification

est

_l’image

dans

Remarques

5.

_(i)

_{L’application}

de

_{réciprocité}

locale établit une

correspon-dance

_bijective

entre les sous-modules fermés de

_R,

et les f-extensions

abéliennes de

_{K, .}

Plus

_{précisément}

toute sous-extension

_Lp

de est le

corps des

points

fixes d’un

unique

sous-module fermé de En

particulier,

si H est un _sous-groupe

_quelconque

de et

_Lp

son _corps des

_invariants,

la fermeture de H dans

_?Z~

est le sous-module de

_7Z~

associé à

_Lp.

(ii)

Dans la

_{correspondance obtenue,}

les f-extensions abéliennes finies de

Kp

sont associées aux sous-modules fermés d’indice fini de

_{Rp ,}

c’est-à-dire aux sous-modules ouverts de

_{Rp .}

Ces sous-modules sont donc caractérisés

comme _groupes de normes associés aux f-extensions finies de

Scolie 2.2. Si

_Lq3

est une f-extension

finze quelconque

de le

sous-module ouvert de

_7Z~

associé _par le _corps de classes local à la sous-extension

maximale

_L~

de

_L~

_qui

est abélienne sur

_Kq3,

est

_l’image

de

7z =

_p lim _par la norme

arithmétique. Il

vient ainsi :

4--k p p

Ce résultat s’étend sans difficulté aux extensions

_infinies,

si l’on convient de dire

_qu’un

élément de

_7Z~

est norme dans une telle extension

_lorsqu’il

est

norme dans chacune de ses sous-extensions finies. Dans ce _cas, le théorème

d’existence du _corps de classes local affirme que tout sous module fermé de

7Z~

est le _groupe des normes d’une

_unique

t’-extension abélienne de

_{K~ .}

Théorème 2.3

_(Corps

de classes

_global).

Étant

donné un _corps de

nom-bres

_K,

_{l’application}

de

_{réciprocité}

induit un

isomorphisme

continu du .l-groupe

JK

des idèles de K sur le _groupe de Galois

GK

=

de la t’-extension abélienne maximale de

_{K ;}

le _noyau de ce

_morphisme

est le _sous-groupe

_RK

_formé

des idèles

_principaux.

Dans la

_{correspondance}

obtenue,

le _sous-groupe de

_{décomposition}

_Dp

d’une

_place

p de K est

_l’image

dans

_Gx

du _sous-groupe

_7Z

de

_{JK ;}

et son _sous-groupe d’inertie

_Ip

est celle du _sous-groupe des unités de

Démonstration.

_D’après

Artin-Tate

_(cf.

_[AT],

Ch.

_XIV,

prop.

10),

le

morphisme surjectif

du _groupe des idèles de .K sur le _groupe de Galois

Gx

de la £-extension abélienne maximale de K est nul sur le sous-groupe

t’-divisible

_Jy¿v

de

JK.

Comme le

_{t’-groupe généralisé}

_JK

contient

cano-niquement

le

_quotient

_JK/JY¿v,

il

_s’agit

donc d’établir _que le

_morphisme

quotient

_GK

se

_prolonge

de

_façon

_unique

en un

Zi-morphisme

de

_JK

sur

G# ,

_que ce

prolongement

est

_continu,

et _que son _noyau est le

(i)

existence du

_{prolongement :}

Pour

_chaque

_{place ultramétrique}

p de K

faisons choix d’une uniformisante prenons irp =

_1,

_{si p}

_est

_{complexe ;}

7rp -

_{-1, si p}

est réelle.

Puisque

le _sous-groupe

UK

des

unités de

JK

_est

contenu,

par

construction,

dans celui

UK

de

JK,

l’application 1/J

cherchée

est bien définie sur le _sous-groupe dense

UK

E9

7rz.

Ecrivant alors

PEPtx P

pour

chaque

famille

Sadiques

p p

presque tous

_nuls,

nous obtenons le

prolongement

cherché.

(ii)

continuité de

_{l’application}

obtenue : Si H est un _sous-groupe ouvert

de le _corps des

_points

fixes

_qui

lui

_correspond

_par la théorie de Galois est une f-extension abélienne finie

de K ;

elle est ramifiée en un nombre fini de

_places.

Par

_suite,

si S est la réunion des

_places

ramifiées et de celles au-dessus de

_.~,

nous avons évidemment

1/J(Up)

c H _pour

chaque

p e S’. De

_plus,

le

_quotient

_{GK /H}

étant un

~-groupe

fini,

il existe un

sous-module ouvert

_Ui

de =

Ur,

_et,

_pour

chaque place

_p, un sous-module

dont

_{l’image par e}

est contenue dans H. Le

_produit

~

est alors un sous-module ouvert de

~K

contenu dans

-1 ~ (H) ;

ce

_qui

_prouve

_{que ip}

est continue.

(iii)

noyau : nous savons

déjà

_que le _noyau

de e

est un sous-module fermé

de

_{JK ,}

_lequel

contient

_l’image

de KX donc la fermeture de cette

_image,

_qui

est

TZx.

Pour voir

_qu’il

n’a pas d’autres

éléments,

il suffit de remarquer que la construction des idèles

généralisés

a tué le _sous-groupe des normes

universelles,

dont la structure est bien connue

_(cf.

[AT],

Ch.

IX, ~1),

et

_qui

est

_{précisément}

le _noyau dans

_{JK / KX}

de

_{l’application}

de

_{réciprocité.}

Enfin,

le lien entre le corps de classes

global

et le corps de classes local ne _pose aucune difficulté

_{particulière}

_puisque,

_pour

chaque place

_p de

K,

le

_Ze-module

_compact

_7Z.

s’identifie

_{(algébriquement}

et

_{topologiquement)}

avec son

_image

_canonique

dans le

_{quotient CK}

= 0

Plus

_{généralement :}

Lemme 2.4. Si S est un ensemble

fini

de

places

de

K,

la

surjection

na-turelle 0

_ED

_{R’p RK) /RK}

C

_CK

est un

_isomorphisme

de

_ZI-modules

pes

compacts.

Remarque

6. Ce résultat n’est pas vrai dans la théorie

classique

du corps

de

_classes,

_puisque

_{l’application}

c

’l’ES P

n’est pas un

homéomorphisme

_pour les

_topologies

habituelles de ces deux

groupes, dès que ,S’ contient

plus

d’une

place.

Démonstration.

_Puisqu’un

_Z-module

de

_type

fini est d’une

_façon

et d’une seule un

_ZI-module

_topologique,

il suffit de vérifier

_{l’injectivité,}

c’est-à-dire

le fait _que

_{R K}

rencontre trivialement

_chaque

somme finie 0)

_{R, .}

Or cela

p~6’

résulte directement du fait que l’unité est le seul élément de hauteur infinie

dans ~Z. En

_effet,

si r = _{est un} idèle

principal

contenu dans _une

somme finie o _{les conditions rp} = 1

pour p g S’,

montrent que r,

_qui

pe6’

est

_puissance

locale en dehors de

S,

_pour tout

_k,

est

_puissance

l-ième

_globale

_pour tout k

_(cf.

_[AT],

Ch.

_IX,

_§1,

_th.l),

i.e. de hauteur infinie

dans D

Remarques

7.

_(i)

_{L’application}

de

_{réciprocité globale}

établit un

isomor-phisme

de

_{Zemodules topologiques}

du

_l-groupe

_CK

des idèles de .K sur

le _groupe de Galois

_GK

de la 1-extensions abélienne maximale de K. Elle

met ainsi en

_bijection

les sous-modules fermés de

_{~K qui}

contiennent

_?ZK

avec les t-extensions abéliennes de

K,

chaque

sous-extension de

Kab

étant

le corps des

points

fixes d’un

_unique

sous-module fermé de

_,JK

contenant

RK.

(ii)

Dans la

_{correspondance obtenue,}

les l-extensions abéliennes finies de

K sont associées aux sous-modules fermés d’indice fini de

_7K

contenant

RK,

c’est-à-dire aux sous-modules ouverts de

_{JK qui}

contiennent Ces sous-modules sont donc caractérisés comme _groupes de normes attachés aux ~-extensions finies de K :

Scolie 2.5. Si L est une f-extension

finie quelconque

de

K,

le sous-module

ouvert de

_CK

associé _par le _corps de classes

_global

à la sous-extension

ma-x2mate

Lab

de L

_qui

est abélienne sur K est

_l’image

de

_CL

_par la norme

arithmétique :

Dans cette

_description,

les _sous-groupes de

_{decomposition}

et d’inertie d’une

_place

_p dans l’extension abélienne sont donnés _par les

iso-morphismes :

Remarques

8.

_Lorsque

L est une extension abélienne de

_K,

les _groupes de

décomposition

et d’inertie d’une

_{place p}

dans

_L/K

s’identifient

respective-ment aux _groupes de Galois et d’inertie de l’extension abélienne locale La

_{correspondance}

entre le corps de classes local et le _corps de classes

_global

se traduit alors _par les identités :

Dans le cas

_général,

en

_revanche,

il n’en est pas de même : si L est une

est l’intersection

_{Lp =}

n

_L~

des

_complétés

de _{L pour} les

_places

au-dessus B

de p

(pris

dans une même clôture

algébrique

de

K~ ) .-

D’après

le _corps de

classes

_local,

le _groupe de Galois de la

sous-extension abélienne

_L:b

de

_Lp

est donné par

l’isomorphisme :

Mais il

_peut

arriver _que l’on ait

_puisque

l’exten-sion abélienne locale

_Lab

_peut

contenir strictement la localisée de l’extension abélienne

_globale

Lab .

2.2. Schéma

_général

de la ramification abélienne. Nous introduisons

ici

_quelques

unes des

principales pro-t-extensions

abéliennes d’un _corps

de nombres K et nous déterminons les _groupes de normes

_qui

leur

cor-respondent.

Le _corps K étant

_{réputé fixé,}

nous omettons dans un but de

simplification

l’indice K dans les notations.

Les extensions étudiées sont définies le

_plus

souvent sous une condition

maximale de

_plongement,

de

_{décomposition}

ou de ramification. Précisons

d’abord ce _que nous entendons _par là :

Définition 2.6. Etant donnés deux ensembles

finis

(disjoints)

S et T de

places

d’un corps de

nombres,

nous disons

qu’une

£-extension L de K est

T-ramifiée

et

_{S-décomposée lorsqu’elle}

est non

ramifiée

aux

_places

(finies)

étrangères

à T et

_{complètement}

_décomposée

aux

places

de

S ;

autrement

dit, lorsque

pour

chaque

place p

de K et

chaque

de L au-dessus de .p, l’extension locale

LT/Kp

est

_{non-ramifiée}

_{si p}

_{n’appartient}

pas à T et

triviale

_{si p appartient}

à S.

Convention :

_{lorsque p}

est une

_{place réelle,}

le groupe

multiplicatif

_Rp

est

_égal

à et son _sous-groupe des unités

_Mp

est trivial

_d’après

la définition 2. La

_{place p}

_peut

donc se

_décomposer

dans une £-extension

(abélienne)

de

_K,

mais non se

ramifier,

sans contredire le théorème 2.1.

Lorsqu’une

place

réelle _{n’est pas}

_{complètement décomposée}

dans une

Ê-extension de

_K,

nous disons

_qu’elle

se

complexifie.

Nous

_parlons

donc de

complexi,fication

là où d’autres

_parlent

de

_ramification

à

_l’infini,

et nous

réservons le

_concept

de ramification aux seules

_places

finies. En

_particulier,

une extension est S-ramifiée dès

_qu’elle

est non ramifiée aux

_places

finies

(i.e.

ultramétriques)

n’appartenant

pas à

S, quel

que soit le

comportement

des

_places

à l’infini

_(i.e.

_{archimédiennes).}

Exemple

2.7. Extensions maximales

_{respectivement}

_{£-ramifiée,}

e _La f-extension abélienne

_f-ramifiée

maximale

Kir

est la

_plus

grande

f-extension abélienne de .K

_qui

est non ramifiée en dehors des

places

Sadiques ;

son _groupe de normes est ainsi le

_{produit :}

a La f-extension abélienne modérément

ramifiées

maximale de K _est

la

_{plus grande}

~-extension abélienne de K

_qui

est non ramifiée aux

_places

Sadiques ;

son _groupe de normes est le

_{produit :}

. L’intersection

e, n

Kmr est la f-extension abélienne maximale

non-ramifiée

Knr

_(aux

_places

_finies)

de

_{K ;}

son _{groupe de} normes est le

_produit

de R par le sous _{groupe unité Ll de}

J :

e Le

_compositum

_est la

_{plus grande}

~-extension abélienne K"

de K

_qui

est

_{séparément ramifiées,}

i.e.

_composée

d’une extension .~-ramifiée

et d’une extension modérément

_{ramifiée ;}

son _groupe de normes est ainsi

l’intersection

-où

_s~(E)

_(resp.

est le

_projecté

_canonique

dans

_Lh

_Il

_{Up (resp.}

dans Pt£

= du f-adifié £ du

groupe des unités de K.

pli

Examinons maintenant les _groupes de Galois :

Nous avons immédiatement

u~

R/R i°t°/

UIUL

n ?z et

le dénominateur est constitué des unités

_globales

_(i.e.

des éléments de

_E)

qui

sont localement triviales aux

_{places Sadiques.}

Comme nous allons le

voir

_plus

_loin,

la

_conjecture

de

_{Leopoldt postulant précisément}

sa

trivialité,

nous obtenons ainsi

De

_façon

_semblable,

nous avons

ullui n

R et le déno-minateur est constitué ici des unités

_{globales qui}

sont localement triviales

aux

places

modérées donc _presque

_partout.

Le _groupe

_Lh

n R est donc

Considérons maintenant l’extension

_composée

Kir Kmr.

Nous obtenons :

Comme nous avons

(sous

la

conjecture

de

Leopoldt)

et

(dans

tous les

_cas),

il suit :

ce

_qui

_permet

d’identifier le tensorisé

_{Ê-adique E}

du _groupe des unités de K au _groupe de Galois relatif d’une sous-extension abélienne de

Kab.

Enfin,

le _groupe de Galois

_{Gal( Knr / K)}

a

_déjà

été calculé

(cf.

_prop.

1.5) ;

c’est tout

_simplement

le

_.~-groupe

des classes de diviseurs du corps K :

En d’autres

_termes,

le _groupe des classes G.~ et le f-adifié £ du _groupe des unités

_peuvent

ainsi

_{s’interpréter}

comme les obstructions

globales

à ce que l’extension abélienne maximale

Kab /K

soit le

compositum

direct des

sous-extensions et

_{Kmr / K.}

L’ensemble de cette discussion

_peut

ainsi se résumer

(sous

la

_conjecture

de

_Leopoldt)

par le

diagramme

(où

sont

_{représentés}

les _corps et les _groupes de

_{Galois) :}

Nota. Le _groupe de Galois

_l,fe/se(E)

est un

_Zi-module

noethérien

_(en

fait de dimension

_(r

+

_{2c) - (r}

+ c -

1)

= _{c +}

_1,

_sous la

conjecture

de

_Leopoldt).

Le groupe en revanche n’est _pas

de

_type

fini

_puisqu’il

admet des

_quotients

de _rang arbitrairement

_grand

comme le montre

_l’exemple

suivant.

Exemple

2.8. Extensions maximales

_{respectivement}

_S-ramifiée,

S-décom-posée.

Soit S un ensemble fini de

_places

de K contenant les

_{places t-adiques.}

~ La t-extension abélienne

S-ramifiée

maximale

Ks’

de K est la

_plus

grande

~-extension abélienne de K

_qui

est non ramifiée en dehors de

S ;

son _{groupe de} normes est le

_{produit :}

e La f-extension abélienne

_{S-décomposée}

_{maximale de}

K Sd

_{de K est la}

plus grande

f-extension abélienne de K

_qui

est

_{complétement décomposée}

aux

places

de

S ;

son _{groupe de} normes est le

_{produit :}

Les mêmes calculs que ceux conduits dans

l’exemple

précédent

donnent ici

et

où

£S

est le £-adifié du _groupe des S-unités

_globales

et

_(resp.

sa

_projection

dans

Lfs

_(resp.

_RS),

_laquelle

est

_isomorphe

à

£8

dans tous les cas

(resp.

sous la

_conjecture

de

Leopoldt) ;

enfin

Diagramme

3

Exemple

2.9. Extensions maximales

_{respectivement libre,}

localement

li-bre.

Une

_{pro-.~-extension}

abélienne de K est dite dibre

_lorsque

son _{groupe de}

Galois est un _groupe abélien

libre,

c’est à dire le

produit

de

copies

de

La f-extension abélienne libre maximale de K est donc tout

_simplement

le

compositum

Kz des

_Zeextensions

de K.

_Or,

_pour

_qu’une

_{pro-.-extension}

soit libre il est évidemment nécessaire

_qu’elle

le soit localement. La

_plus

grande

f-extension localement libre de K est souvent

_appelée

extension de

Bertrandias-Payan,

ces deux auteurs

_l’ayant

introduite

_(sous

une autre

ter-minologie)

à l’occasion de l’étude d’une condition suffisante de la

_conjecture

de

_Leopoldt

_(cf.

_{[BP]) ;}

c’est

_pourquoi

nous la notons

.Kbp.

Et

_puisque

le sous-groupe de torsion de

_RI’

est le _sous-groupe des racines _{p,, le groupe}

de normes associé à

Kbp

est le

_{produit :}

Il en résulte immédiatement _{que le groupe de} normes associé à Kz est la racine de celui-ci

dans J :