Td corrigé I ] Donner l'équation logique des logigrammes suivant : pdf

(1)

a S 1 0 0

1

a S

1 0

0 1

1 INTRODUCTION A LA LOGIQUE BINAIRE.

Un système informatisé ou automatisé ne peut comprendre que la présence ou l’absence d’une information, d’ou la notion de binaire. Il existe donc des règles mathématiques en binaire qui sont régies par l’algèbre de BOOLE.

1. Variable binaire.

Une variable binaire est appelé a, b, c … et peut donc posséder 2 états distincts : 0 ou 1.

Exemple 1 : Une ampoule de lampe électrique est une variable binaire. On donne à l’ampoule la variable L :

Donc : - si l’ampoule est éteinte L=0.

- si l’ampoule est allumée L=1.

Exemple 2 : Contact à fermeture.

C’est un contacte qui se ferme lorsqu’il est actionné.

On le désigne par les lettres a, b, c.

Exemple 3 : Contact à ouverture.

C’est un contacte qui s’ouvre lorsqu’il est actionné.

On le désigne par les lettres a,b,c et on lit a barre.

Donc sia0a1 0 a 1 a  

2 LES FONCTIONS LOGIQUES - ANALOGIE ELECTRIQUE.

2.1 Fonction OUI.

a) Définition : La lampe est en série avec le contact, elle s’allume quand le contact ‘a’ est actionné.

b) Schéma électrique :

c) Equation : Sa

d) Table de vérité : e) Symbole logique.

2.2 Fonction NON (Inverseur).

a) Définition : : La lampe est en série avec le contact, elle s’éteint quand le contact ‘a’ est actionné.

c) Equation : S a

d) Table de vérité : e) Symbole logique.

2.3 Fonction ET (AND)

a) Définition : La lampe s’allume si et seulement si on appuie sur ‘a’ et ‘b’.

Cours combinatoire.doc Page 1 sur 15

1

a S

a

1

S

a a

a

(2)

c) Equation : S ab

d) Table de vérité : e) Symbole logique :

f) Cas de trois variables : Equation Sabc

Table de vérité Symbole logique

2.4 Fonction OU (OR)

a) Définition : La lampe s’allume si on appuie sur

‘a’ ou sur ‘b’, à plus forte raison sur les deux b) Schéma électrique :

c) Equation : Sab

d) Table de vérité : e) Symbole logique :

f) Cas de trois variables : Equation S abc

Table de vérité Symbole logique

2.5 Fonction NON-ET (NAND)

a) Définition : C’est une fonction ET dont la sortie est inversée.

a b

b

1 0 1 0

a S

1 0

0 0 0 1

&

a

b S

b

1 0 1 0

a S

1 0

0 1 1 1

b a

1

S

b

1 0 1 0

a S

1 1 0 0 0 0

0 0

1 1

c 1 0

1 0

&

b a

c S

&

a b c

S

b

1 0 1 0

a S

1 1 0 0 0 0

0 0

1 1

c 1 0

1 0

a b

c

1

S

c a

b

1

S

1

(3)

b) Equation : Sab

c) Table de vérité : e) Symbole logique :

2.6 Fonction NON-OU (NOR)

a) Définition : C’est une fonction OU dont la sortie est inversée.

b) Equation : Sab

c) Table de vérité : e) Symbole logique :

2.7 Fonction OU Exclusif.

a) Définition : C’est une fonction OU qui exclue le cas ou ‘a’ et ‘b’ sont à 1.

b) Equation : d) Table de vérité e) Symbole logique

b a S  

3 RELATION EN ALGEBRE DE BOOLE.

3.1 Commutativité

a b b a







 . .

3.2 Associativité.

c b a b c a c b a c b a

















) ( ) ( ) (

. . ).

. ( ).

. ( ) . .(

3.3 Distributivité

) ).(

( ) . (

) . ( ) . ( ) .(

c a b a c b a











2. Relations particulières.

b

1 0 1 0

a S

1 0

0 1 1

1 b

1 0 1 0

a S

1 0

0 0 1

0 a

b

&

S

b a

1

S

b

1 0 1 0

a S

1 0

0 1 1 0

b a

= 1

S

(4)

3 THEOREMES DE DE MORGAN

3. Premier théorème :

a a 

4. Deuxième théorème :

b a b

a   Exemple : abca.b.c b a b a  . b

a b a  

Exemple : a.b.cabc b a b a.  

4 LES SYMBOLES EUROPEENS ET USA.

EURO (ANSI/IEEE) USA

b

1 0 1 0

a S

1 0

0 0 0 1 a

a

a a

a a a

a a R e p r é s e n t a t io n

é le c t r iq u e E q u a t io n R e p r é s e n t a t io n

é le c t r iq u e E q u a t io n

0

1

a + 0 = a

a . 0 = 0

a + 1 = 1

a . 1 = a

a + a = a

a . a = a

a + a = 1

a . a = 0

(5)

NON (Inverseur)

1

Ou

NOT

ET

&

^AND

OU

1

^OR

OU Exclusif

= 1

Exclusive OR (XOR)

NON-ET

&

Ou

NAND

NON-OU

1

Ou

NOR

5 La fonction logique.

5. Définition :

Une fonction logique est une application dans l’ensemble binaire.

Exemples :

Cours combinatoire.doc

0

Page 5 sur 15

1 a f 1 ( a )

f 1 1 0

f 2 ( a ) f 2

1 0

( a , b ) 0 , 0 0 , 1 1 , 0 1 1 1

&

1

(6)

Exemple 1 Exemple 2 Exemple 1 : si a = 0 alors f1=1 ; si a = 1 alors f1=0

Exemple 2 : si (a,b) = 0,0 alors f2=0 ; si (a,b) = 0,1 alors f2=1 ; si (a,b) = 1,0 alors f2=0 ; si (a,b) = 1,1 alors f2=0

6. Table de vérité d’une fonction logique.

3 colonnes

3 Variables 2³ Lignes

c b a f₃  . .

7. Expression algébrique d’une fonction logique.

Exemple: f4 a.ba.c

Une fonction logique est parfaitement déterminée par la liste ordonnée de ses variables et par:

- Sa table de vérité. OU - Son expression logique.

0 0

0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1

a b c f 3

0 0

0 0 0 00 0 1 1

1

(7)

Exercice 1: Donner la table de vérité des fonctions suivantes:

b a b a f

b a f

2 1

. . .





Remarque: f2 ab

Exercice 2: Donner l’experession logique de f3.

c b a c b a

f₃  . .  . .

Exercice 3: Donner la table de vérité de f4: f4 a.ba.c a b c a.b a.c f4

0 0 0 0 1 1

0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 1 1

0 1 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0

1 1 0 1 0 1

1 1 1 1 0 1

Exercice 4: Donner la table de vérité de f5: f4 a.ca.b.c a b c f5

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 0

Exercice 5: Donner l’expression algébrique de f6.

a b c d f6 a b c c f6

0 0 0 0 1 1 0 0 0 0

0 0

0 1 1 1

a b f 1 f 2

0 1

0 1 0 0

0 0 1

1

a b c f3

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 0

(8)

0 0 0 1 1 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 1 0 0

0 0 1 1 1 1 0 1 1 1

0 1 0 0 0 1 1 0 0 0

0 1 0 1 1 1 1 0 1 1

0 1 1 0 1 1 1 1 0 1

0 1 1 1 1 1 1 1 1 0

d abc d c ab cd b a bcd a d bc a d c b a cd b a d c b a d c b a

f6         

8. Logigramme d’une fonction logique.

Le logigramme est une représentation graphique d’un fonction logique à l’aide des symboles logiques des fonctions de base.

Exemple: Donner le logigramme de f: f abbc

Exercice 6: Le résultat d’une étude donne le logigramme suivant. Retrouver l’expression algébrique de f et simplifier la si possible.

bc a bc b a bc b a bc b a

f    .  . 

6 Simplification algébrique d’une fonction logique.

On réalise les simplifications en utilisant les propriétés de la partie 3.

Il existe d’autre type de simplification.

&

1 1 &

a f b c

1 & 1

f a

b c

&

1

(9)

9. Simplification par absorption.

Exemple : g aa.b On distribue le a : Directement :

b a g

b a 1 g

b a a a g













) .(

) ).(

(

b a g

b a a g







 .

Nous avons une simplification en distribuant un therme, on appele cette simplification une simplification par absorption.

On peut faire cette simplification si : - Les 2 thermes n’ont pas le même nombre de variables.

- Et s’il y a une variable dans une therme et sont inverse dans l’autre.

10. Simplification par mise en facteur commun.

Exemple:

a f

b b a f

b a b a f











)

.( on met en facteur.

On peut faire cette simplification si : - On a une variable dans un therme et son inverse dans l’autre.

- Et si le reste des variables est identique.

11. Autre simplification

a

b a a

f   . 

On peut faire cette simplification car la condition a.b est plus restrictive que la condition a.

Exercice 1: Simplifier les équations suivantes.

b a 1 f

b a 1 1 f

b a a a 1 f

b a a 1 f

















) .(

) ).(

( .

b a 2 f

b a 1 2 f

b a a a 2 f

b a a 2 f

















) .(

) ).(

( .

ac b 3 f

c a b 1 3 f

c a b b b 3 f

c b a b 3 f

















) . .(

) . ).(

( . .

Exercice 2: Simplifier l’équation suivante: Exercice 3: Simplifier l’équation suivante:

c a b a c b a f

c b b b a f

bc b a f

bc a b a f

bc a 1 b a f

bc a c c b a f

bc a c b a c b a f

































) .(

)) ).(

.((

) .(

. ) .(

ab c b a c b f

c c a c b f

ac c b f

abc c b f

abc a a c b f

c ab abc c b a f





























) .(

)) ).(

.((

) .(

Exercice 4: Simplifier l’équation suivante:

(10)

d c d b c b d f

c b b b d f

bc b d f

d bc a a d b f

d bc d b a d b a f

a a d bc c c d b a c c d b a f

d bc a d c b a d abc d c b a d c b a d c b a f

































) (

)) ).(

((

) (

) ( )

( )

(

cd b a ad d a d a d a c b f

d c b a d c b a cd b a d c b a d c b a f









) (

d b a c b f

cd b a c b f









a

a ⁺

a

1

(11)

bc ac ab f

a a bc b b ac c c ab f

abc abc abc c ab c b a bc a f

abc c ab c b a bc a f

















) ( ) ( ) (

8 Simplification par les tableaux de Karnaugh.

Le diagramme de karnaugh est un outil graphique qui permet de simplifier une équation logique ou le processus de passage d’une table de vérité à un circuit correspondant.

Exemple :

ou

4 Variables

2 Variables

Méthode:

- On réunit les 1^er adjacents par groupe de 2, 4, 8 ect…

- L’équation du circuit est donnée par la somme des produit des variables qui ne change pas d’état dans chaque regroupement.

Donc S1b S2bd abd

Remarque: Une sortie est obtenue par le regroupement des zéros.

Exercice 1:

a b 0 1

0 1

S 1

0 0 1 1

a b

0 b

a

b a

0 1 1 S 1

0 0 0 1 1 1 1 0

a b c d 0 0 0 1 1 1 1 0 a b a b a b a b

S 2 c d c d c d c d

0 1 1

1 1

0

0 0 0 0

0 0

Code GRAY

0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0

Exemple de code GRAY.

Une seule variable change à chaque fois.

(12)

Exercice 2: Comparateur binaire 2 bits.

S1 = 1 si a>b S2 = 1 si a<b

a0 = LSB = bit de poids faible.

a1 = MSB = bit de poids fort.

Donner à l’aide des tableaux de Karbnaugh, l’équation de S1 et S2.

Exercice 3:

Exercice 1 à 4 du paragraphe 7 avec des tableaux de karnaugh.

Exercice 3.1:

b a a 1

f   f2aab f3babc

b a 1

f   f2ab f3bac

a b c 0 1

0 0 0 1 1 1 1 0

a b 0

1

0 1 a b c

0 1

0 0 0 1 1 1 1 0

a b c d 0 0 0 1 1 1 1 0

S 1 S 2

S 3 S 4

1 1

0 0

1 1

1 1 1

1

1 1

1

1 1

0 0

0

0 0

0 0 0

a 1

S  S2adadad

cd b a d ac c b 3

S   

b a c b 4

S  

C O M P a 0

a 1 b 0 b 1 A

B

a > b a < b

S 1 S 2

a b c 0 1

0 0 0 1 1 1 1 0

f 3

0 1

a b b

a

b a

1 1 1

0

a b b

a

b

a 1

1

1 1 1 1 0 0

f 2 f 1

(13)

Exercice 3.2: Exercice 3.3:

bc a c b a c b a 4

f    f5abcabcabc

c a b a 4

f   f5bcab

Exercice 3.4:

d bc a d c b a d abc d c b a d c b a d c b a 5

f      

a b c 0 1

0 0 0 1 1 1 1 0

f 4

1 0

a b c 0

1

0 0 0 1 1 1 1 0

f 5

1 1

0 0 0 0

1 1 1 0

0 0 0

0

0 0 0 1 1 1 1 0

a b c d 0 0 0 1 1 1 1 0 f 5

0

1 1

1 0 0

0 0

0 0 0 0

0 0 ^f⁵^^c^d^^b^d

(14)

8 Utilisation du théorème de DE MORGAN

On cherche une méthode pour représenter n’importe qu’elle fonction logique en n’utilisant que des portes NAND ou que des portes NOR.

Méthode: On complémente 2 fois l’équation logique ( s s ) et on casse la barre du bas. On renouvelle l’opération si nécessaire.

Exemple: sacab

b a c a b a c a

s   .

On peut réaliser un inverseur avec un NAND en reliant les 2 entrées.

Table de vérité de la fonction NAND

- les cas 10 et 01 n’existe pplus.

- Il n’y a plus qu’une seule variable Donc s = /a Logigramme de s:

On Casse la barre On change le signe

a b S

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0 a

&

^a

s = a . c . a . b

(15)

S avec des NAND S avec portes classiques

- 5 portes NAND (7400) - 2 NON (7404)

- 2 ET (7408)

7400 -> 4 Nand2 -1 OU (7432)

Donc 2 boîtiers Donc 3 boîtiers

Le schéma avec des NAND permet de gagner 1 boîtier.

- gain économique.

- gain de place.

- gain de puissance.

Exercice: Transformer les équations ci-dessous pour n’avoir que des NAND2. Donner ensuite le logigramme de ces fonctions.

c b a 1 s

c b a c b a 1 s

 .









c b a 2 s

c b a c b a 2 s

. ) . (

. ) . ( ) . (

).

( ).

(















&

a b

c

S

a

b c

&

S

1