Le ocon de von Koch est le ocon obtenu à la limite de ces opérations

Vincent Nolot Flocon de von Koch Dijon Leçons : 27-33-34-35-36-37-38-39-40-54-55-56

Enoncé : Le ocon de von Koch se construit de manière récurrente. Partant d'un triangle équilatéral F1 de côté 1, on divise chaque côté en trois et à partir de chaque segment du milieu (de longueur 1/3) on construit un triangle équilatéral de côté1/3 en prenant le soin d'ôter le segment sur lequel on s'est basé (de manière à ce que la gure reste connexe). On répète cela à chaque étape.

Le ocon de von Koch est le ocon obtenu à la limite de ces opérations. Le but est de calculer son périmètre ainsi que son aire.

Fixons quelques notations : c_n, l_n, p_n, a_n sont respectivement le nombre de côtés, la longueur d'un côté, le périmètre, l'aire du oconF_n.

Calcul du périmètre :

A l'étape1, le oconF₁est le triangle équilatéral de côté1donc on ac₁= 3, l₁= 1etp₁= 3. Par dénition du périmètre, on a pour tout n≥1, p_n =c_nl_n. Pour l'exprimer en fonction den, on va donc étudier (c_n)_n et (l_n)_n.

∗ Quelle que soit l'étape n, un côté donne4 côtés à l'étapen+ 1. Ainsi(cn)n est une suite géométrique de raison4 etcn= 4ⁿ⁻¹c1= 3×4ⁿ⁻¹.

∗Quelle que soit l'étapen, un côté voit sa longueur se diviser par3à l'étapen+ 1. Ainsi(ln)nest une suite géométrique de raison ¹₃ etln= ₃n−1¹ l1= ₃n−1¹ .

Finalement on en déduit que pour toutn≥1, p_n=3×4ⁿ⁻¹

3ⁿ⁻¹ = 3 4

3 n−1

.

Ainsi (pn)n est suite géométrique de raison ⁴₃ > 1 et cela implique que le périmètre tend vers l'inni quand n→+∞. Le ocon de von Koch a donc un périmètre inni.

Calcul de l'aire :

Rappelons déjà l'aire d'un triangle est le produit de la base par la hauteur. Et comme dans un triangle équilatéral de côtél, la hauteur vaut (théorème de Pythagore)q

l²−₂^l2₂ =

√3

2 l, l'aire est alors égal à :

√3 2 l×l

2 =

√ 3l² 4 .

Remarquons que l'aire deFn croît au fur et à mesure que ngrandit. A l'étapenchaque triangle nouvellement apparu du oconFn a une aire égale à √

3l²_n 4 .

1

Pour obtenir l'aire supplémentaire deFn (n≥2) par rapport à l'aire de F_n−1, il sut de comprendre qu'il y a c_n−1 triangles qui sont apparus entre l'étape n−1 et l'étape n. Ainsi l'aire supplémentaire deFn par rapport à celle deF_n−1 vaut

cn−1

√ 3l²_n

4 = 3×4ⁿ⁻²

√ 3 4

1 9ⁿ⁻¹ =

√ 3 12

4 9

n−2

.

Maintenant pour obtenir l'aire totale deFn il faut sommer toutes ces aires allant dek= 2àk=n: a1+

n

X

k=2

√ 3 12

4 9

n−2

=

√ 3 4 +

√ 3 12

1− ⁴₉n

1−⁴₉

=

√3 4 +3√

3 20

1−

4 9

ⁿ

Il reste à calculer la limite quand n→+∞. Puisque ⁴₉ <1, on en déduit que l'aire du ocon de von Koch

vaut √

3 4 +3√

3 20 = 2√

3 5 .

Remarque : le ocon de von Koch est un exemple de fractal abordable en lycée avec un périmètre inni mais une aire nie !

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