3 Variables aléatoires échangeables

UNIVERSITÉ GRENOBLE ALPES Année 2015-2016

D. Piau, L. Coquille M1 – MAT414

Processus stochastiques – Feuille d’exercices 2 Espérance conditionnelle

1 Propriétés de l’espérance conditionnelle

Soit X une variable aléatoire sur (Ω,F,P) telle que E(|X|) < ∞, et G une sous-tribu de F. Démontrer les propriétés suivantes de l’espérance conditionnelle :

1. (TCM conditionnel) Si 0≤Xn↑X alorsE(Xn|G)↑E(X|G)p.s.

2. (Fatou conditionnel) SiXn≥0 alorsE(lim infXn|G)^p.s.≤ lim infE(Xn|G) 3. Si Z estG-mesurable et bornée, alorsE(ZX|G)^p.s.= ZE(X|G).

Même chose si X∈L^p(Ω,F,P) etZ ∈L^q(Ω,G,P), avec1/p+ 1/q = 1.

2 Variance conditionnelle

Soit (Ω,F,P) un espace de probabilité et A une sous-tribu de F. Pour toute variable aléatoire X∈L²(Ω,F,P), on définit la variance conditionnelleVar(X|A)par :

Var(X|A) =E

(X−E[X|A])²|A . 1. Montrer queVar(X|A) =E(X²|A)−E(X|A)².

En particulier, E(X|A)² ≤E(X²|A).

2. Montrer queVar(X) =E[Var(X|A)] +Var[E(X|A)].

En particulier, Var[E(X|A)]≤Var(X). Discuter le cas d’égalité.

3 Variables aléatoires échangeables

On dit quenvariables aléatoires réellesX1, . . . , Xn sont échangeables si pour toute permutationσ de {1, . . . , n} les variables aléatoires(X1, . . . , Xn) et(X_σ(1), . . . , X_σ(n)) ont même loi.

1. Montrer que des variables aléatoires échangeables ont toutes même loi.

2. Montrer que des variables aléatoires i.i.d. sont échangeables.

3. Soit X1 une variables aléatoires de loi uniforme sur [0,1] etX2 = 1−X1. Montrer que X1 et X₂ sont échangeables. Préciser siX₁ etX₂ sont indépendantes.

4. Soit(X_k)k≥1 une suite i.i.d. de variables aléatoires intégrables etS_n =X₁+...+X_n. Montrer queE(X_k|S_n) =S_n/npour tout k≤n.

4 Calculs d’espérance conditionnelle

Question 4.1. SoientXetY deux variables aléatoires de densité conjointef_X,Y(x, y) = ¹₂·I{x≥y}∩[0,1]². Le but de cet exercice est de montrer que E(X|Y =y₀) a un sens bien que l’événement sur lequel on conditionne soit de probabilité nulle.

y0

y0+/2 y0−/2

0 1

1

1. Intuitivement, donner la valeur deE(X|Y =y₀).

2. Calculer lim→0E(X|Y ∈ B), oùB est la bande horizontale de largeur située autour de la hauteury₀.

3. Vérifier sur cet exemple que E(E(X|Y)) =E(X)

Question 4.2. Soit (X, Y)uniforme sur le disque unité, calculer E(X²|Y).

Question 4.3. Soit (X, Y)de loi uniforme sur le cercle unité, calculerE(X|Y).