Conséquences du principe d’équivalence

Relativité Générale

Relativité générale

Principe d’équivalence

Dans un champ de gravitation uniforme −→g (celui régnant dans tous les

laboratoires de physique ”normaux”), un corps ponctuel de masse m constante, voit son accélération −→a vérifer l’équation

m_i−→a = m_g−→g ⁽¹⁾ m_i = m_g =⇒ −→a = −→g il y a équivalence entre un champ de gravitation

homogène et une accélération absolue : C’est la fameuse expérience de l’ascenseur d’Einstein.

Tout ceci n’est que local ...

”Un champ de gravitation peut être localement compensé par une accélération absolue” ou bien

Conséquences du principe d’équivalence

R en chute libre dans un champ de gravitation strictement uniforme : R galiléen.

Par essence, un champ de gravitation ne peut être partout constant : Il faudrait qu’il soit nul partout ou bien associé à une masse infinie.

⇒ il n’existe pas un référentiel galiléen (on dit aussi inertiel) global couvrant tout l’univers !

Principe de relativité généralisé :

”Les équations de la physique s’écrivent de la même façon dans tous les référentiels”

Conséquences :

1. Transformation de Lorentz ⇒ n’importe quel type de transformation de système de coordonnées (en particuliers non linéaire ...)

2. Espacetemps de Minkowski (plat)à 4 dimensions ⇒ Variété de Riemann (courbe) de dimension 4 : A chaque point est associé un espacetemps plat de Minkowski à 4 dimensions ...

Application du principe d’équivalence

Mouvement géodésique

Particule libre de toute force autre que la gravitation ...

Principe d’équivalence : ” il existe un r ´ef ´erentiel inertiel local associ ´e `a des coordonn ´ees

ξ^α dans lequel les ´equations du mouvement sont celles d’une ligne droite dans l’espace temps

”, c’est-à-dire

d²ξ^α

dτ² = 0 ⁽²⁾

dτ = élément de temps propre : ds² = c²dτ² = η_αβdξ^αdξ^β.

Coordonnées inertielles locales ξ^α = ξ^α (x^µ) 7→ Coordonnées quelconques : x^µ , (2) devient

d²x^λ

dτ² + Γ^λ_µν dx^µ dτ

dx^ν

dτ = 0 ⁽³⁾

Γ^λ_µν := ∂x^λ

∂ξ^α

∂²ξ^α

∂x^µ∂x^ν : Symbole de connexion affine.

Connexion affine et tenseur métrique

Coordonnées inertielles : ds² = η_αβdξ^αdξ^β Coordonnées quelconques : ds² = η_αβ ∂ξ^α

∂x^µ

∂ξ^β

∂x^ν dx^µdx^ν := g_µν dx^µdx^ν en dérivant g_µν par rapport à x^λ il vient (η_αβ =cste)

∂_λg_µν = η_αβ

Γ^ρ_λµ∂ξ^α

∂x^ρ

∂ξ^β

∂x^ν + Γ^ρ_λν ∂ξ^α

∂x^µ

∂ξ^β

∂x^ρ

(4)

qui s’écrit encore en utilisant la définition du tenseur métrique

∂_λg_µν = Γ^ρ_λµ g_ρν + Γ^ρ_λν g_ρµ ⁽⁵⁾ en se livrant à un petit jeu de permutation d’indices on obtient directement

∂_µg_λν = Γ^ρ_µλ g_ρν + Γ^ρ_µν g_ρλ et ∂_νg_µλ = Γ^ρ_νµ g_ρλ + Γ^ρ_νλ g_ρµ ⁽⁶⁾ Γ^γ_αβ a ses deux indices du bas qui commuttent , ainsi

∂_λg_µν + ∂_µg_λν − ∂_νg_λµ = Γ^ρ_λµ g_ρν + Γ^ρ_λν g_ρµ + Γ^ρ_µλ g_ρν + Γ^ρ_µν g_ρλ

−Γ^ρ_νλ g_ρµ − Γ^ρ_νµ g_ρλ

= 2Γ^ρ g

(7)

multipliant cette expression par la métrique inverse il vient

(∂_λg_µν + ∂_µg_λν − ∂_νg_λµ)g^νσ = 2Γ^ρ_λµ g_ρν g^νσ

= 2Γ^ρ_λµ δ_ρ^{σ (8)} nous avons donc explicité le symbole de connexion affine en fonction de la

métrique et de ses dérivées premières, en notation à virgule, on a Γ^σ_λµ = 1

2 (g_µν,λ + g_λν,µ − g_λµ,ν)g^{νσ (9)}

La connexion affine n’est pas un tenseur !

connexion affine 7−→ indices 7−→ tenseur ? Test du changement de repère.

Dans le référentiel inertiel local ξ^α (x^µ) et Γ^λ_µν = ∂x^λ

∂ξ^α

∂²ξ^α

∂x^µ∂x^ν , passant de x^µ à x^′µ nous avons

Γ^′λ_µν = ∂x^′λ

∂ξ^α

∂²ξ^α

∂x^′µ∂x^′ν

= ∂x^′λ

∂x^ρ

∂x^ρ

∂ξ^α

∂

∂x^′µ

∂ξ^α

∂x^σ

∂x^σ

∂x^′ν

= ∂x^′λ

∂x^ρ

∂x^ρ

∂ξ^α

∂²ξ^α

∂x^σ∂x^τ

∂x^τ

∂x^′µ

∂x^σ

∂x^′ν + ∂ξ^α

∂x^σ

∂²x^σ

∂x^′ν∂x^′µ

(10)

en faisant apparaître la connexion dans le second membre, il vient Γ^′λ_µν = Γ^ρ_στ ∂x^τ

∂x^′µ

∂x^σ

∂x^′ν

∂x^′λ

∂x^ρ + ∂x^′λ

∂x^σ

∂²x^σ

∂x^′ν∂x^{′µ (11)}

Les objets ∂x^τ

∂x^′µ ou bien ∂x^′λ

∂x^ρ sont tensoriels : généralisation non linéaire des transformations de Lorentz

A^αβ := ∂x^′α

∂x^β et A^αβ := ∂x^β

∂x^{′α (12)}

Sommation ⇔ indices rapprochés La relation (11) s’écrit simplement

Γ^′λ_µν = A^µτ A^νσ A^λρ Γ^ρ_στ + A^λσ ∂²x^σ

∂x^′ν∂x^{′µ (13)} le premier terme de cette relation est donc manifestement covariant, la

présence du second terme (inhomogène), ne permet donc pas au symbole de connexion affine d’accéder au statut tant recherché de tenseur.

Dérivée covariante

Nécessité d’une nouvelle dérivée

Dérivée d’un vecteur ∂_µA^ν = Objet tensoriel ?

Test : V ^′µ = A^µνV ^ν et A^µν = ^∂x_∂x^′ν^µ , ainsi en dérivant V ^′µ par rapport à x^′λ il vient

∂V ^′µ

∂x^′λ = ∂V ^ν

∂x^′λ

∂x^′µ

∂x^ν + V ^ν ∂²x^′µ

∂x^ν∂x^′λ

= ∂x^′µ

∂x^ν

∂x^ρ

∂x^′λ

∂V ^ν

∂x^ρ + V ^ν ∂²x^′µ

∂x^ν∂x^′λ

= A^µν A^λρ∂V ^ν

∂x^ρ + V ^ν ∂²x^′µ

∂x^ν∂x^′λ

(14)

... premier terme : manifestement covariant, mais le second ne l’est pas !

+ =

dérivée ... ∂V ^′µ

∂x^′λ = A^µν A^λρ∂V ^ν

∂x^ρ + V ^ν ∂²x^′µ

∂x^ν∂x^{′λ (15)} connexion ... Γ^′λ_µν = A^µτ A^νσ A^λρ Γ^ρ_στ + A^λσ ∂²x^σ

∂x^′ν∂x^{′µ (16)} un "‘petit"’ calcul fournit

Γ^′λ_µνV ^′ν = A^µτ A^λρ V ^σ Γ^ρ_στ − A^µσV ^ρ ∂²x^′λ

∂x^ρ∂x^{σ (17)} un peu d’astuce permet alors de voir que l’on a

∂V ^′λ

∂x^′µ + Γ^′λ_µνV ^′ν = A^λρ A^µσ

∂V ^ρ

∂x^σ + Γ^ρ_ασV ^α

(18)

Il s’agit donc d’un objet tensoriel ... la dérivée covariante

En généralisant les notations ∂_αV ^β = V ^β_,α, on notera

∂V ^ρ

∂x^σ + Γ^ρ_ασV ^α =

( ∂_σV ^ρ + Γ^ρ_ασV ^α := D_σV ^ρ

V ^ρ_,σ + Γ^ρ_ασV ^α := V ^ρ_;σ ⁽¹⁹⁾

Propriétés

Linéarité : (a A^µ_ν + b B^µ_ν)_;σ = a A^µ_ν;σ + b B^µ_ν;σ

Identité de Liebniz du produit (A^µ_ν B^ρ)_;σ = A^µ_ν;σ B^ρ + A^µ_ν B^ρ_;σ

La dérivée covariante du tenseur métrique est nulle : g_µν ∈ ker (D_λ)

La dérivée d’un scalaire est un objet tensoriel. Pour tout scalaire f on doit donc avoir f_,σ = f_;σ.

Tout scalaire s’écrit comme un produit scalaire : f = V_ρV ^ρ, on en déduit D_σV_ρ := V_ρ;σ = ∂V_ρ

∂x^σ − Γ^α_ρσV_α ⁽²⁰⁾ généralisation ...

D_ρ T^µν_σ := T^µν_σ;ρ = T^µν_σ,ρ + Γ^µ_αρT^αν_σ + Γ^ν_αρT^µα_σ − Γ^α_σρT^µν_α ⁽²¹⁾

Dérivée covariante le long d’une courbe

Tenseurs définis uniquement sur une courbe paramétrée , ... Z^µ := Z(x^µ (τ)).

...changement de repère ...

Z^′µ = ∂x^′µ

∂x^ν Z^ν = A^µν Z^{ν (22)} ... dérivée par rapport au paramêtre non covariante ...

dZ^′µ

dτ = A^µν dZ^ν

dτ + ∂²x^′µ

∂x^ν∂x^λ

∂x^λ

∂τ Z^{ν (23)}

⇒Dérivée covariante le long d’une courbe paramétrée par τ, DZ^µ

Dτ := dZ^µ

dτ + Γ^µ_λν dx^λ

dτ Z^{ν (24)}

qui vérifie bien

µ ν

Mouvement géodésique

Mécanique classique : Particule libre d−→v

dt = 0 Mécanique relativiste : équation des géodésiques d²x^λ

dτ² + Γ^λ_µν dx^µ dτ

dx^ν

dτ = 0 . Remarque : dérivée covariante de la 4−vitesse par rapport au temps propre

Du^µ

Dτ = d²x^λ

dτ² + Γ^λ_µν dx^µ dτ

dx^ν

dτ ⁽²⁶⁾

Ainsi l’équation des géodésiques ne dit pas autre chose que Du^µ

Dτ = 0 Le mouvement géodésique est comme rien !

Principe de correspondance

Relativit ´e Restreinte

η_µν

∂_µ

→

Relativit ´e G ´en ´erale

g_µν D_µ

Déviation géodésique : Courbure

2 géodésiques voisines (même abscisse curviligne ...) G (resp. G + δG) : ensemble des points M (resp. M + δM) de coordonnées x^µ (τ) (resp.

y^µ (τ) = x^µ (τ) + δx^µ (τ)) qui vérifient l’équation

D Dτ

dx^µ

dτ = d²x^λ

dτ² + Γ^λ_µν(x)dx^µ dτ

dx^ν

dτ = 0 resp. y^µ (τ) Le calcul montre que

D Dτ

d(x^µ − y^µ)

dτ = d²δx^µ

dτ² + (∂_ρΓ^µ_λν) δx^ρdx^λ dτ

dx^ν

dτ + 2Γ^µ_λν dx^ν dτ

d δx^λ

dτ = O(δx^µ)

(27)

au premier ordre, une réecriture permet d’avoir D² δx^λ

Dτ² = ∂_κΓ^λ_µν − ∂_νΓ^λ_µκ + Γ^λ_ηκΓ^η_µν − Γ^λ_νηΓ^η_µκ

δx^µdx^κ dτ

dx^ν

dτ ⁽²⁸⁾

il suffit de poser

R^λ_νµκ := ∂_κΓ^λ_µν − ∂_νΓ^λ_µκ + Γ^λ_ηκΓ^η_µν − Γ^λ_νηΓ^η_µκ . (29)

dont chacun peut vérifier qu’elle vérifie

[D_α, D_β]A_µ := D_αD_βA_µ − D_βD_αA_µ := A_µ;α;β − A_µ;β;α

= R^λ_µαβ A_λ ⁽³⁰⁾

Le transport parallèle le long d’une courbe fermée ne laisse pas invariant un vecteur si la courbe n’est pas plane !

L’équation de déviation géodésique devient D² δx^λ

Dτ² = R^λ_νµκ δx^µdx^κ dτ

dx^ν

dτ ⁽³¹⁾

le tenseur de courbure de Riemann-Christoffel ≡ force qui viendrait ”rappeler”

la particule sur la géodésique G lorsqu’elle s’écarte de la trajectoire ”naturelle”

de ”chute libre”.

Propriétés de la courbure de Riemann-Christoffel Antisymétrie 1 : R^λ_νµκ = −R^λ_νκµ

Courbure complètement covariante : R_µναβ = g_σµ R^σ_ναβ ou plus "explicitement"

R_λµνκ = 1

2 [g_νλ,µ,κ + g_µν,λ,κ − g_λκ,ν,µ + g_µκ,ν,λ] +g_ησ

Γ^η_λνΓ^σ_µκ − Γ^η_λκΓ^σ_µν

(32)

Symétrie par paire d’indices : R = R

Antisymétrie 2 : R_λµνκ = −R_µλνκ = −R_λµκν = R_µλκν Cyclicité : R_λµνκ + R_λκµν + R_λνκµ = 0

Homogénéité :R_λλνκ = R_νκµµ = 0

Identité de Bianchi : R_µναβ;λ + R_µνλα;β + R_µνβλ;α = 0 Une contraction : Tenseur de Ricci

R_νβ = g^µαR_µναβ ⁽³³⁾

ou bien

R_νβ = Γ^λ_νλ,β + Γ^λ_νβ,λ + Γ^σ_νλΓ^λ_βσ − Γ^λ_νβΓ^σ_λσ ⁽³⁴⁾ Deux contractions : courbure scalaire

R = g^µνR_µν = g^µνg^αβR_µναβ = g^µνR^β_µβν ⁽³⁵⁾ Exercice !!! Montrer que la courbure scalaire d’une sphère de rayon r est une constante R = −2/r² . Indication ds² = r² dθ² + sin² θ dϕ²

Une remarque remarquable

Identité de Bianchi : R_λµνκ;η + R_λµην;κ + R_λµκη;ν = 0

Comme g_µν ∈ ker (D_λ), en contractant chacun des termes de l’identité de Bianchi par g^λν il vient

R_µκ;η − R_µη;κ + R^ν_µκη;ν = 0 ⁽³⁶⁾ Si l’on contracte à présent par g^µκ il ne reste plus que

R_;η − 2R^κ_η;κ = 0 ⁽³⁷⁾

quelques manipulations fournissent

R_;η − 2R^κ_η;κ = 0 ⇔ δ_η^κ R_;κ − 2R^κ_η;κ = 0

⇔ R^κ_η − ¹₂δ_η^κ R

;κ = 0 ⇔ g^ην R^κ_η − ¹₂δ_η^κ R

;κ = 0

⇔

g^ην R^κ_η − ¹₂δ_η^κ R

;κ = 0 ⇔

R^κν − ¹₂g^κν R

;κ = 0

(38)

en introduisant le tenseur de rang 2 symétrique G^µν := R^µν − ¹₂g^µν R appelé

Equations d’Einstein

Remarques préliminaires R1 Forme de l’action

Relativité restreinte ⇒ Equations de la physique : S = R

Ld⁴x

L : scalaire ⇒ S covariant. En relativité générale ce n’est plus vrai ...!

Lors d’une transformation x → x^′

g_µν^′ = A^µρ A^νσ g_ρσ = ∂x^ρ

∂x^′µ

∂x^σ

∂x^′ν g_ρσ ⁽⁴⁰⁾ en prenant le déterminant il vient ^g_g^′ =

∂(x)

∂(x^′)

2

avec g = detg_µν, g^′ = detg_µν^′ et

∂(x)

∂(x^′)

le jacobien de la transformation.

ainsi √

−gd⁴x = √

−g

∂ (x)

∂ (x^′)

d⁴x^′ = √

−g

s−g^′

−g d⁴x^′ = p

−g^′d⁴x^{′ (41)} est un élément de volume covariant.

En relativité générale, les actions s’écrivent donc S =

Z

L√

−gd⁴x avec L scalaire (42)

R2 Nature de l’action

Relativité restreinte (Electromagnétisme) S = S_pl + S_i + S_cl = S_matière

Relativité générale (principe d’équivalence) Gravitation ⇒ Courbure ⇒ S_courbure

S_total = S_matière + Scourbure

R3 Deux déductions possibles

Déduction "à la Hilbert"

L’action de courbure et sa variation

L^c = R (Hilbert,Ricci,Cartan,Weyl,...) ainsi S_c = − 1

2χ Z

R√

−gd⁴x = − 1 2χ

Z

g^µνR_µν√

−gd⁴x ⁽⁴³⁾ χ : Constante à déterminer ...

δS_c = − 1 2χ

Z

R_µν√

−g + g^µνR_µν δ (√

−g)

δg^µν + g^µν√

−gδR_µν δg^µν

δg^µνd⁴x ⁽⁴⁴⁾

■ La variation δ (√

−g) est la variation d’une application composée : δ √

−g

= δ

[− detg_µν]¹²

= 1 2

δ [− detg_µν]

√−g ⁽⁴⁵⁾ Différentielle du déterminant δ [− detA] = −D (detA) (δA) = tr

−A˜^TδA si A est inversible, A˜^T = detAA⁻¹ et δ [−det A] = tr − detAA⁻¹δA

. ... A = g_µν, A⁻¹ = g^µν ...

On obtient δ √

−g

=

√−g

2 g^µνδg_νµ −

√−g

2 g_µνδg^{µν (46)}

■ g^µνδR_µν nécessite plus d’attention ...

En fait ...

Z

g^µν√

−gδR_µνd⁴x =

Z ∂ (√

−ga^ν)

∂x^ν d⁴x +

Z ∂ √

−gb^λ

∂x^λ d⁴x

avec a^λ := g^µνδΓ^λ_µν , b^ν := g^µνδΓ^λ_µλ et δΓ^λ_µν := 1

2g^λρ h

(δg_ρµ)_;ν + (δg_ρν)_;µ − (δg_µν)_;ρi

sur le bord du domaine d’intégration (i.e. loin de la source de gravitation), l’espace est plat : [g^µν]_Bord = [η^µν] ⇒ [δg^µν]_Bord = [δη^µν] = 0.

L’affreux terme s’en va !

Finalement, en rassemblant les 2 résultats δS_c = − 1

2χ

Z

R_µν − 1

2R g_µν √

−g δg^µνd⁴x ⁽⁴⁷⁾ On reconnait le fameux tenseur d’Einstein G_µν ...

L’action de matière et sa variation Elle est de la forme

S_m = Z

L^m√

−g d⁴x ⁽⁴⁸⁾ L^m : Décrit le contenu matériel (impulsion+énergie) de l’espacetemps ...

On peut faire varier cette action générale ...

δS_m =

Z

√−g ∂L^m

∂g^µν δg^µν − L^m

√−g

2 g_µνδg^µν

d⁴x

= 1 2

Z 2

∂L^m

∂g^µν − 1

2g_µνL^m

√

−gδg^µνd⁴x

(49)

en introduisant le tenseur énergie-implusion , elle s’écrit δS_m =

Z 1

2T_µν√

−gδg^µνd⁴x ⁽⁵⁰⁾

Equations du champ gravitationnel

On annule la variation d’action totale : δS_t = δS_c + δS_m = 0

− 1 2χ

Z

R_µν − 1

2R g_µν √

−g δg^µνd⁴x +

Z 1

2T_µν√

−gδg^µνd⁴x = 0 ⁽⁵¹⁾ C’est-à-dire

G

= R

− 1

2 R g

= χ T

Remarque G_µν ∈ ker D^µ

Identit ´e de Bianchi

T_µν ∈ ker D^µ

Conservation de l’ ´energie-impulsion

Equation d’Einstein

⇔

Les éléments de ker D^µ sont proportionnels ...

Mais nous savons que g ∈ ker D^µ, donc

Déduction "à la Einstein"

Electromagnétisme

∆φ = 1 ǫ_o ρ électrostatique

φ → A^µ ρ → J^µ

7−→

∂_ν(∂^µA^ν − ∂^νA^µ) = µ_oJ^µ électrodynamique

Gravitation

∆ψ = 4πGρ gravitostatique

ψ → g^µν ρ → T^µν

7−→

Og^µν = χT^µν gravitodynamique O : opérateur différentiel du second ordre ...

Ricci travaille pour Einstein : O g^µν = G^µν !!!

Qui est χ

Limite des champs faibles de la RG : Mécanique classique Les vitesses sont faibles devant c

dx^k dt

≪ c et comme x⁰ = ct

dx^k ds

≪

dx⁰ ds

(52)

La métrique est quasi-minkowskienne

g_αβ = η_αβ + h_αβ avec |h_αβ| ≪ 1 et |h_αβ| ≪ |η_αβ| ⁽⁵³⁾ Champ stationaire

∂₀h_αβ = 0 ⁽⁵⁴⁾

à l’ordre le plus bas, l’équation des géodésiques

2

L’équation des géodésiques s’écrit donc en champ statique faible d²x^µ

ds² = 1

2η^µρ∂_ρh₀₀

dx⁰ ds

²

(56)

Composante temporelle − Rappel η = (+,−,−,−) d²x⁰

ds² = 1

2η^0ρ∂_ρh₀₀

dx⁰ ds

²

= 0 car h est statique (57)

ainsi ^dx_ds⁰ = cste. Nous aurions pu nous en douter car dx⁰ = cdt et ds = cdt 1 + v²/c²1/2

, et donc sous nos hypothèses ^dx_ds⁰ ≃ 1 Composante spatiale

d²x^k

ds² = −1 2

−−−→∇h₀₀.−→e_k ^ds2≈c2dt2 7−→

d²x^k

dt² = −c² 2

−−−→∇h₀₀.−→e_k PFD+Forces gravitationnelles : ^d_dt^2x2^k = −−→

∇ψ.−→e_k par identification nous avons donc

h₀₀ = cste + 2ψ

c² soit g₀₀ = η₀₀ + 2ψ

c² + cste . (58)

Loin de la faible source de gravitation, ψ = 0 et l’espace est plat : g_µν = η_µν, donc g₀₀ = η₀₀ = 1. Ainsi

g₀₀ = 1 + 2ψ c²

Pour les autres composantes g_ik = η_ik, g_0i = g_i0 = 0.

g_µν → R_αβµν → R_µν → R

R⁰⁰ − 1

2g⁰⁰R = + 2

c² ∆ψ

lorsque ψ ≪ c²(limite newtonienne), si l’Univers est rempli d’un gaz parfait de densité massique ρ, on a T⁰⁰ ≃ ρc²

La composante purement temporelle des équations d’Einstein s’écrit alors R⁰⁰ − 1

2Rg⁰⁰ = χT⁰⁰ ⇔ 2

c²∆ψ = χρc²

Bibliographie

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