Le plan incliné
Lorsqu’un corps glisse le long d’un plan incliné, il n’est pas en chute libre. Ce corps est contraint de se déplacer le long du plan. Le corps ne chute donc plus verticale- ment, mais il glisse le long de la pente du plan avec une accélération différente de g (figure 2.1). Si l’accélération est constante, les équations du mouvement rectiligne uniformément accéléré vues au chapitre 1 s’appliquent toujours. L’essentiel ici sera donc de trouver une façon d’exprimer l’accélération d’un objet sur un plan incliné pour pouvoir éventuellement décrire son mouvement.
Dans ce chapitre nous étudierons le mouvement d’un objet sur un plan incliné, sans frottement et soumis à l’action de plusieurs forces. Ce sera l’occasion de présenter les deux premières lois de Newton relatives au mouvement. Ces lois sont à la base de la mécanique classique.
θ
Figure 2.1 – Direction de la chute sur un plan incliné.
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14 Physique des mécanismes
2.1 Projection de l’accélération
Puisqu’un objet glissant sur un plan in-
θ θ
g
g sinθ
Figure 2.2 – Projection de l’accélération sur le plan incliné.
cliné ne peut accélérer verticalement, son accélération sera plus petite que g. S’il n’y a pas de frottement, son accélération sera égale à la composante de g le long du plan (figure 2.2.)
L’angle du plan sera toujours donné par rapport à l’horizontale, ce qui nous permet grâce à la géométrie de trouver l’expression de l’accélération
a =gsin◊. (2.1)
2.2 Les deux premières lois de Newton
La figure 2.3 présente un extrait desPhilosophiae Naturalis Principia Mathematicade Newton1 où il présente ses trois lois du mouvement. Les deux premières lois peuvent se résumer ainsi :
Première loi ; si aucune force résultante ne s’exerce sur un corps, la vitesse de ce corps ne peut pas varier. Son accélération est nulle.
Seconde loi ; la force résultante exercée sur un corps est égale au produit de la masse de ce corps et de son accélération.
F˛r´esultante=m˛a (2.2)
1. Publié pour la première fois à Londres en 1687, ce livre est considéré comme l’un des plus important de l’histoire. Il a été traduit pour la première fois en français par Émilie du Châtelet et publié par Voltaire en 1756, sous le titrePrincipes mathématiques de philosophie naturelle.
Figure 2.3 – Extrait des P rincipia de Newton (1643–1727) traduit par Mme du Châtelet(source Bibliothèque Nationale de France).
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2.3 L’application de la deuxième loi de Newton
Un exemple simple d’application de la deuxième loi de Newton est présenté à la figure 2.4 où l’on doit trouver l’accélération des deux masses M et m. On suppose que la corde reliant les deux masses est elle-même sans masse et qu’elle ne s’étire pas. Par conséquent, la grandeur de l’accélération de M doit être égale à celle de m
aM =am =a. (2.3)
De plus selon la formulation de la deuxième loi, il faut considérer la force résul- tante sur chacune des masses. Pour M il n’y a que la tension T dans la corde
FM =T =M a. (2.4)
Quant à m, deux forces agissent sur elle, la gravité et la tension dans la corde.
Puisque ces deux forces sont en direction opposée, elles se soustraient. La résultante des forces sur m est donc
Fm =mg≠T =ma. (2.5)
La tension est partout la même dans la corde. On peut donc isolerT dans l’équa- tion (2.5) et remplacer l’expression ainsi obtenue dans l’équation (2.4) pour trouver la valeur de a
mg≠ma=M a
M a+ma=mg
a(M +m) =mg
a= m
M +mg. (2.6)
Puisque la force est le produit de la masse et de l’accélération, l’unité de la force est le kg·m/s2 qu’on définit comme étant le Newton (N)
1kg·m/s2 = 1 N. (2.7)
M
m
T
T
mg
Figure 2.4 – Un bloc sur une surface lisse est tiré par un deuxième bloc suspendu.
18 Physique des mécanismes
Exemple 2.1
La figure 2.5 présente un exemple d’application de la deuxième loi faisant intervenir un plan incliné. Quelle sera l’accélération de chacune des masses M = 5 kg et m= 3 kg si le plan est incliné de 30¶?
Solution
On considère toujours que la corde reliant les masses est sans masse et qu’elle ne peut s’étirer. Les deux masses ont par conséquent la même accélération.
Deux forces agissent sur la masse M, la tension dans la corde et la gravité.
Cependant, on doit seulement considérer la composante de la gravité qui agit selon la pente du plan et qui est opposée à la tension. Nous avons vu à la section 2.1 que l’accélération selon la pente du plan est a=gsin◊ par conséquent la composante de la force gravitationnelle selon le plan sera Fg,plan = M gsin◊. L’équation de la force résultante pour M est donc
FM =T ≠M gsin◊ =M a. (2.8)
La force résultante sur la massem est la même que celle de l’équation (2.5)
Fm =mg≠T =ma. (2.9)
En isolant T dans l’équation (2.9) et en remplaçant le résultat dans l’équation (2.8) on obtient
θ θ
Mg
Mg sinθ m
T
mg
T
x
y
Figure 2.5 – Un bloc sur un plan incliné est tiré par un deuxième bloc suspendu.
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2.4 Étapes pour la résolution de problèmes
Lorsqu’on doit résoudre un système de masses assujetties à des forces afin de carac- tériser leur mouvement, il faut procéder par étapes.
La méthode générale de résolution est en trois étapes :
1. Tracer le diagramme des forces pour chacune des masses du système.
m
F1θ
F2 F3
F4
F5
F6
Figure 2.6 – Diagramme de forces fictif pour une masse m.
2. Décomposer les forces selon deux axes perpendiculaires (voir Annexe A) et écrire la seconde loi de Newton selon chacun de ces axes.
3. Résoudre le système d’équations et d’inconnues correspondant. Les membres de droite donnent les accélérations résultantesax et ay.
Fx =F1+F2cos◊≠F4≠F5 =max (2.10)
Fy =F2sin◊+F3≠F6 =may. (2.11) Ici comme les forces sont dans un même plan, elles peuvent se décomposer selon les axesxety. Ce qui donne un système de deux équations pour chaque masse. Si les forces étaient distribuées dans l’espace en trois dimensions, on obtiendrait un système de trois équations (soit en x,y et z) pour chacune des masses.
2.5 Exercices
2.1 Soit un bloc qui glisse sur une surface lisse ayant une inclinaison ◊= 15¶. Si le bloc est immobile au départ au sommet du plan incliné et que ce plan fait 2 m de longueur, déterminez
(a) l’accélération du bloc, et
(b) sa vitesse lorsqu’il atteint la base du plan incliné.
2.2 On imprime à un bloc une vitesse initiale de 5 m/s en direction du sommet d’une pente lisse de 20¶. Quelle distance le bloc parcourra-t-il vers le sommet avant de s’immobiliser ?
2.3 La figure ci-contre illustre une corde qui maintient un bloc de masse M = 15 kg immobile sur un plan incliné selon un angle de 30¶ par rapport à l’hori- zontale. Quel est est la grandeur de la tension dans la corde sachant que la masse de celle-ci ainsi que le frottement entre le bloc et le plan sont négli-
geables ? 30°
2.4 Un ouvrier pousse un diable de 100 kg à vitesse constante le long d’un plan inclinée de 10¶ par rapport à l’horizontale. Quelle est la grandeur de la force que l’ouvrier im- prime au diable si l’ouvrier pousse celui-ci selon l’horizontale?
10°
F
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2.5 Une masse de 2 kg se trouve sur un plan incliné à un angle de 30¶. Elle est reliée à une masse de 5 kg posée sur une surface horizontale. Les deux masses glissent sans frottement. La poulie est de masse négligeable et fonctionne sans frottement. On pousse sur la boîte à l’horizontale avec une force de 3 N. Quelle est alors la tension dans la corde qui unit les deux boîtes.
