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Étude du spectre pour certains noyaux sur un arbre

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Academic year: 2022

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Etude du Spectre Pour Certains Noyaux sur un Arbre.

FERDAOUSKELLIL(*) - GUYROUSSEAU(**)

ABSTRACT- We study in this paper the spectrum of some kernels acting on a locally finite tree, in particular those associated to an anisotropic random walk on the tree with jumps of length 0, 1 or 2. Such a kernel is a functionRonSSwhereS is the set of vertices of the tree, it acts on`r(S). We always assume the kernelRto be invariant under the action of a groupLof automorphisms almost transitive on S. This work generalizes results of A. FigaÁ Talamanca and T. Steger who deal with homogeneous trees and a fixed groupL, simply transitive onS; it shows the diversity of the spectrum depending on the invariance group.

REÂSUMEÂ- L'objectif de cet article est l'eÂtude du spectre de certains noyaux agissant sur un arbre localement fini, en particulier ceux associeÂs aÁ une marche aleÂatoire sur l'arbre aÁ sauts de longueur 0, 1 ou 2. Un tel noyau est une fonctionRsurSS ouÁSdeÂsigne l'ensemble des sommets de l'arbre; il agit sur`r(S). Nous suppo- serons toujours le noyauRinvariant par un groupeLd'automorphismes presque transitif sur l'arbre. Ce travail geÂneÂralise des reÂsultats de A. FigaÁ Talamanca and T. Steger qui eÂtudient le cas des arbres homogeÁnes et d'un groupeLfixeÂ, simplement transitif surS; il fait ressortir la diversite du spectre selon la nature du groupe d'invariance.

Introduction.

A. FigaÁ-Talamanca, T. Steger ([St] ou [Ft-S]) et K. Aomoto [A] ont les premiers eÂtudie la reÂsolvante d'un noyau anisotrope sur un arbre. Les reÂ- sultats de [Ft-S] sur le spectre sont obtenus pour un noyau symeÂtrique sur

(*) Indirizzo dell'A.: Faculte des sciences de Monastir. DeÂpartement de MatheÂmatiques, 5000 Monastir, Tunisie.

E-mail: kellilferdaous@yahoo.fr

(**) Indirizzo dell'A.: Institut Elie Cartan. Unite mixte de Recherche 7502.

Nancy-UniversiteÂ, CNRS, INRIA. B.P (239), 54506 Vandoeuvre LeÁs Nancy, France.

E-mail: rousseau@iecn.u-nancy.fr

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un arbre homogeÁne, invariant par un groupe particulier simplement tran- sitif sur les sommets. Nous continuons cette eÂtude pour un arbre localement fini plus geÂneÂral, et faisons en particulier apparaitre des pheÂnomeÁnes nouveaux lieÂs aux diffeÂrentes possibiliteÂs pour le groupe d'invariance du noyau consideÂreÂ.

On se donne un arbre localement fini X, et la deÂcomposition de son ensembleSde sommets en deux partiesS0etS00selon la parite de la dis- tance. Pours2Son noteS(s;n) la spheÁre de centreset de rayonnformeÂe des sommets aÁ distancendes.

On consideÁre un sous groupeLde Aut (X) qui stabiliseS0etS00et qui est transitif surS0. Alors tout sommet deS0a un nombre fixeq‡1 de voisins.

On dit que l'arbre estsemi-homogeÁne(resp.homogeÁne) si tout sommet de S00a un nombre fixe`‡1 de voisins (resp. et siqˆ`).

Unnoyaucomplexe sur l'arbre (ou surS0) est une applicationRdeSS (ou S0S0) dans C. La formule Rf(s)ˆP

t2SR(s;t)f(t) permet de faire opeÂrer ce noyau sur certaines classes de fonctions surS(ouS0).

Le noyau R est suppose invariant par L; i.e. R(l(s);l(t))ˆR(s;t), 8s;t2Set8l2L. SiRest invariant par un groupeLsimplement transitif, (cf. [Ft-S]) on peut identifierRaÁ une fonction surLqui opeÁre par convolution.

Pour eÂtudier le spectre d'un tel noyau on suppose soitR(s;t)ˆ0 pour d(s;t)6ˆ1 (noyau aÁ sauts de longueur 1) soitR(s;t)ˆ0 pourd(s;t)6ˆ0 ou 2 (noyau aÁ sauts de longueur 0 ou 2); ce dernier cas nous permet d'eÂtudier le carreÂR2(s;t)ˆP

u R(s;u)R(u;t) d'un noyau du type preÂceÂdent.

Pour montrer que certains complexes sont hors du spectre, on utilise une geÂneÂralisation du theÂoreÁme de Haagerup prouveÂe en [K-R.1] sous une condition technique (U) surLtoujours veÂrifieÂe siLest discret. Plus preÂ- ciseÂment dans le cas ouÁ L est ferme dans Aut (X) la condition (U) est eÂquivalente aÁ l'unimodularite deL, (cf. [B.K; 3.1]).

Pour un tel noyau, le spectre formel (sans condition de convergence) n'a pas grande signification. En effet on montre au debut du premier para- graphe comment construire des fonctionsz-harmoniquessurSaÁ partir de n'importe quelle fonctionharmonique. On geÂneÂralise ainsi un reÂsultat de J.

M. Cohen et F. Colonna [C-C].

On s'inteÂresse dans la suite du paragraphe 1 au spectre`r;(1r2) d'un noyauRsurSaÁ sauts de longueur 1 invariant par un groupeLtransitif surS0. On suppose connexe le compleÂmentaire du spectre`r deR, ce qui permet d'affirmer que l'expression geÂneÂrique de la reÂsolvante (deÂtermineÂe en [K-R.2]) est valable partout en dehors du spectre. Si 0 est hors du spectre

`rdeR, on montre alors en 1.7 queLstabilise un ensemble d'areÃtes dites

(3)

speÂciales(tel que tout sommet deSsoit dans une et une seule areÃte speÂ- ciale), l'arbre est semi-homogeÁne et le noyauRest fortement anisotrope : jR(s;t1)jr>Pn

iˆ2jR(s;ti)jr si s2S;S(s;1)ˆ ft1; ;tng et fs;t1g speÂciale.

Sous la condition (U) on a en fait eÂquivalence et l'arbre est alors forceÂment homogeÁne. On geÂneÂralise ainsi des reÂsultats de A. FigaÁ Talamanca et Tim Steger [Ft-S] qui traitent le cas d'un noyauRsymeÂtrique et d'un groupe d'invarianceLparticulier.

Au second paragraphe on eÂtudie les meÃmes questions pour un noyauR0 surS0aÁ sauts de longueur 0 ou 2, et avec un groupe d'invarianceL(transitif surS0) tel que le fixateur de tout sommets2S00est doublement transitif sur l'ensemble de ses voisins. Sous les meÃmes conditions (U) et de connexite du compleÂmentaire du spectre, on obtient au theÂoreÁme 2.6 une condition neÂ- cessaire et suffisante pour queg0(g06ˆ0) veÂrifiantR0g0(s;s)ˆ0 soit en de- hors du spectre `r de R0. On explique aussi en 2.13 un proceÂde de deÂ- termination geÂneÂrale du spectre`2deR0.

SoitRun noyau aÁ valeurs toutes reÂelles ou toutes imaginaires pures, aÁ sauts de longueur 1 et invariant par le meÃme groupe Lqu'aÁ l'alineÂa preÂ- ceÂdent. Alors la restrictionR0deR2aÁS0veÂrifie les conditions preÂceÂdentes (pourrˆ2) et on en deÂduit des preÂcisions sur le spectre`2de ce noyau; en particulier 0 est toujours dans le spectre`2et meÃme le spectre`r;1r2 sous l'hypotheÁse de connexite du compleÂmentaire du spectre`r.

1. Etude du spectre pour certains noyaux surS.

1.1. Un premier reÂsultat consiste aÁ geÂneÂraliser les travaux de J. M.

Cohen et F. Colonna [C-C] qui concernent les arbres homogeÁnes avec un noyau isotrope aÁ sauts de longueur 1:

Soit R un noyau aÁ sauts de longueur 1 sur SS, on dit qu'une fonction f sur S est harmonique (resp. z-harmonique pour z2C) si Df ˆ(R I)f ˆ0 (resp. siRf ˆzf).

Pour s0 fixe dans S et vm aÁ distance m de so, on note [s0ˆv0;v1;v2; :::;vm] la geÂodeÂsique joignant s0 aÁ vm. Pour m2, on note R(vm 1)ˆP

u R(vm 1;u) ouÁ la somme porte sur les u tels que d(vm 1;u)ˆ1;u6ˆvm 2; on suppose R(vm 1) jamais nul (par exemple R(s;t)>0 sid(s;t)ˆ1). Pour z2C, on deÂfinit par reÂcurrence la suite

hk(vm)

… †k (ouÁ hk(vm) ne deÂpend que de k;z et vm 1) par:

hm(vm)ˆ1;hm 1(vm)ˆ0;hm 2(vm)ˆ 1 z 2

R(vm 1;vm 2)‰R(vm 11

(4)

et

hk(vm)ˆ z 2R(vm 1;vm 2)hk(vm 2)‡hk(vm 1)

R(vm 1)

‰ Š 1;0km 3:

On pose alorsHzf(vm)ˆzmkˆmP

kˆ0hk(vm)f(vk), pourm0. Par un simple calcul on veÂrifie que:

RHzf(s)ˆzd(s0;s)‡1Df(s)‡zHzf(s);8s2S:

En particulier f est harmonique si et seulement siHzf est z-harmo- nique. L'opeÂrateurHzest inversible, son inverse est donne par:

Hz1g(vmkˆmX

kˆ0

uk(vm)z kg(vk); 8m0

ouÁum(vm)ˆ1;um 1(vm)ˆ0;um 2(vm)ˆ hm 2(vm) et pour 0km 3, uk(vm)ˆ‰uk(vm 1) R(vm 1;vm 2)uk(vm 2)Š‰R(vm 11.

C e reÂsultat concerne ce que l'on peut appeler le spectre formel deR, puisque l'on n'impose aucune condition de convergence aÁfouHzf. Il n'a pas d'inteÂreÃt pour ce qui va nous preÂocuper maintenant c'est aÁ dire l'eÂtude du spectre`2deR. En effet lorsquefest dans`2(S); Hzfn'est presque jamais dans`2(S).

NeÂanmoins pourzˆ 1;(H 1f)(vm)ˆ(H 11f)(vm)ˆ( 1)mf(vm); ainsi H 1est un opeÂrateur`2(ou plus geÂneÂralement`r) involutif et on veÂrifie fa- cilement qu'il transforme une fonction propre deRpour la valeur propregen une autre fonction propre pour la valeur propre g.

1.2. On consideÁre dans ce paragraphe un groupeLd'automorphismes de l'arbre transitif sur S0 et un noyau R aÁ sauts de longueur 1 (plus preÂciseÂment R(s;t)6ˆ0,d(s;t)ˆ1). On suppose de plus la condition suivante:

9M0= 8u2S; X

s2S

jR(s;u)j M:

On montre alors [K-R.2] (voir aussi [A]), que RdeÂfinit pourr1 un opeÂrateur lineÂaire borne sur`r(S) et que pourg2C;jgj>kRkcvr l'opeÂra- teurRg ˆ(g R) 1est deÂfini, plus preÂciseÂment cet opeÂrateur est donne par le noyau suivant:

Rg(s;s)ˆ 1

2wg(s)pours2S,

(5)

Rg(s;t)ˆ 1

2wg(s)jg(xn ˆs;xn 1) jg(x1;x0ˆt) si d(s;t)ˆn1 et si [t;s]ˆ[x0ˆt;x1 ;xnˆs] est la geÂodeÂsique detaÁs;

ouÁwg(s) est une fonction complexe surSetjg(s;t) une fonction complexe surf(s;t)2SS = d(s;t)ˆ1g.

Ces fonctions veÂrifient en outre les relations suivantes:

(1) 8t2S; gˆ2wg(t)‡ P

u=d(u;t)ˆ1jg(t;u)R(u;t):

(1 bis) 8t2S; gˆ2wg(t)‡ P

u=d(u;t)ˆ1

wg(t)

wg(u)jg(u;t)R(t;u):

(2) 8s;t2S=d(s;t)ˆ1 ; jg(s;t) 1 jg(t;s)ˆ2wg(t) R(s;t): (3) Rg(s;t)ˆ( 1)d(s;t)‡1R g(s;t):

Autrement dit les fonctionswgetjgsont impaires eng.

1.3. En supposant de plus la condition:

(Cr) Le compleÂmentaire du spectre `r de R est connexe (pour un r;1r2), les relations de 1.2 s'eÂtendent par prolongement analytique surCprive du spectre`rdeR. Les fonctionsRg(s;t) sont holomorphes en g; ainsi les fonctions wg(s)ˆ 1

2Rg(s;s) et, pour d(s;t)ˆ1;jg(s;t)ˆ

ˆ2wg(s)Rg(s;t) sont meÂromorphes avec un poÃle en g si et seulement si Rg(s;s)ˆ0.

Si 0 n'est pas dans le spectre`r deR, on a d'apreÁs 1.2 (3)R0(s;s)ˆ0;

donc, pour touts2S;wg(s) a un poÃle engˆ0.

PROPOSITION1.4. Sous la condition(Cr)de1.3,soients; t2Stels que d(s; t)ˆ1et que wg(s)etwg(t)aient un poÃle eng0, n'appartenant pas au spectre`rdeR. Alors:

1) oujg(s;t)etjg(t;s)ont tous les deux un poÃle engˆg0

oujg(s;t)etjg(t;s)tendent tous les deux vers 0 quand gtend vers g0.

2) Dans le cas d'un poÃle on a l'eÂquivalence suivante:

jg(s;t) 2wg(s)

R(t;s) et jg(t;s) 2wg(t) R(s;t) : 3) Dans le cas d'un zeÂro, on a l'eÂquivalence suivante:

jg(s;t)R(s;t)

2wg(t) et jg(t;s)R(t;s) 2wg(s):

(6)

4) Si u2S veÂrifie d(s;u)ˆ2;d(t;u)ˆ1et wg(u)a un poÃle eng0, alorsjg(s;t)etjg(t;u)ne peuvent tous les deux avoir un poÃle eng0.

5) Sous les hypotheÁses de4),sijg(s;t)tend vers0et jg(t;u)a un poÃle alorsjg(s;t)jg(t;u)tend vers R(s;t)

R(u;t) quandgtend versg0.

6) Sous les hypotheÁses de4),sijg(s;t)a un poÃle etjg(t;u)tend vers0, alorsjg(s;t)jg(t;u)est eÂquivalent aÁ R(t;u)

R(t;s) wg(s)

wg(u)quandgtend versg0. 7) Si wg(v) a un poÃle en g0, pour tout v, alors g0ˆ0 et 8s2S;jg(s;t)a un poÃle pour un et un seul voisin t de s.

DEÂMONSTRATION. D'apreÁs les formules (1), (1 bis) et (2) de 1.2, il existe eˆ 1tel que:

jg(s;t)ˆ wg(s)

R(t;s) 1‡e



1‡R(s;t)R(t;s) wg(s)wg(t) s

" #

;

jg(t;s)ˆ wg(t)

R(s;t) 1‡e



1‡R(s;t)R(t;s) wg(s)wg(t)

" s #

:

Le comportement de ces fonctions engˆg0ne deÂpend que dee, et on en deÂduit facilement les reÂsultats 1), 2) et 3).

4) Supposons qu'il y ait deux poÃles, alors:

Rg(s;u)ˆ 1

2wg(s)jg(s;t)jg(t;u) jg(t;u) R(t;s) c'est contradictoire avec le fait queRg(s;u) est borneÂe.

5) et 6) se prouvent simplement aÁ partir de 2) et 3).

7) D'apreÁs 1.2.1,gˆ2wg(s)‡ P

t2S(s;1)jg(s;t)R(t;s).

Commewg(s) a un poÃle, la fonctionjg(s;t) a un poÃle pour au moins un t2S(s;1) et en fait un seul d'apreÁs 4), notons let0.

D'apreÁs 1.2.2, 2wg(s)ˆR(t0;s)

jg(t0;s) 1 jg(s;t0) . Donc:

gˆR(t0;s)hjg(t0;s) 1 jg(s;t0)i

‡X

t

jg(s;t)R(t;s)

ˆR(t0;s)jg(t0;s) 1‡X

t6ˆt0

jg(s;t)R(t;s)

et le membre de droite tend vers 0 quandgtend versg0, doncg0ˆ0: p

(7)

REMARQUE 1.5. 1) Si R2 est symeÂtrique reÂel (sur S0 ou S00) alors le spectre deR2agissant sur`2(S0) ou`2(S00) est reÂel (borneÂ). D'apreÁs [K-R.2;

7.2] le spectre`2deRest borne et contenu dans la reÂunion des axes reÂel et imaginaire. Ainsi la condition (C2) de 1.3 est veÂrifieÂe.

2) Supposons queRest aÁ valeurs reÂelles ou imaginaires pures et que le groupeLveÂrifie la condition suivante, (cf. [K-R.2; 5]):

(M)8s;t2S0=d(s;t)ˆ2, il existel2Lfixant le milieu de [s;t] tel quel(s)ˆt, alors le noyauR2est reÂel symeÂtrique surS0car sis2S00ett;t02S(s;1) on a R(t;s)ˆR(t0;s) etR(s;t)ˆR(s;t0) doncR2(t;t0)ˆR2(t0;t).

De plus 0 est dans le spectre`2deR(et meÃme le spectre`rsi la condition (Cr) est veÂrifieÂe): sinon, on a vu en 1.3 quewg(s) a un poÃle engˆ0 ; 8s2S;

d'apreÁs 1.4.7, pour s2S00, il existet2S(s;1) tel que jg(s;t) a un poÃle en gˆ0; il en est de meÃme de jg(s;t0) 8t02S(s;1) d'apreÁs (M) et aussi de jg(t0;s) d'apreÁs 1.4.1; ce qui contredit le reÂsultat 1.4.4.

1.6. Calcul du noyau de Green en 0:(0 suppose hors du spectre`r).

D'apreÁs ce qui preÂceÂde tout sommets2Sa un unique sommet voisins0 tel quejg(s;s0) ait un poÃle en 0, alorsjg(s0;s) a aussi un poÃle et donc (s0)0ˆs.

On dit que l'areÃtefs;s0gestspeÂciale.

On choisits02S0, on notes1ˆs00ets2; ;sq‡1les autres voisins des0. Les voisins desisontsji; 1j`i‡1. On suppose encores1i ˆ(si)0, donc s11ˆs0ets1i 6ˆs0pour 2iq‡1.

Sis;t2Savecd(s;t)ˆn, on note [t;s]ˆ(x0ˆt; ;xnˆs) et alors : Rg(s;t)ˆ 1

2wg(s)jg(xn;xn 1) jg(x1;x0):

D'apreÁs 1.4.4 dans le produit desjg(xi;xi 1) deux poÃles ne peuvent se suivre. On peut donc consideÂrer queRgest le produit des quantiteÂs suivantes:

1) ou 1

2wg(s)qui tend vers zeÂro ou 1

2wg(s)jg(s;xn 1) qui tend vers une constante carjg(s;xn 1) a un poÃle;

2) puis des facteurs de la forme:

oujg(xi;xi 1) qui tend vers zeÂro

oujg(xi;xi 1)jg(xi 1;xi 2) qui tend vers une constante non nulle carjg(xi;xi 1) tend vers zeÂro etjg(xi 1;xi 2) a un poÃle.

(8)

Ainsi la limite deRg(s;t) est nulle sauf sinˆ2p‡1;jg(x2p‡1;x2p) a un poÃle,jg(x2j;x2j 1) tend vers zeÂro et jg(x2j 1;x2j 2) a un poÃle8j;1jp.

Autrement dit les areÃtes (x2j 1;x2j 2) sont speÂciales8j;1jp‡1 et les autres non.

Dans ce cas d'apreÁs 1.4.5, on obtient aÁ la limite:

R0(s;t)ˆ( 1)p‡1 R(x2p;s)

Yp

kˆ1

R(x2k;x2k 1) R(x2k 2;x2k 1):

PROPOSITION1.7. On suppose veÂrifieÂe la condition(Cr)et que0n'est pas dans le spectre`r(1r <1)deR, alors:

1) Le groupe Llaisse invariant l'ensemble d'areÃtes speÂciales, en particulier X est semi-homogeÁne etLest transitif sur S0et S00.

2) Fixons une areÃte speÂcialefs0;s00gavec s0dans S0et on note:

S(s0;1) ˆ fs001 ˆs00; ;s00q‡1g, S(s00;1) ˆ fs01 ˆ s0; ;s0`‡1g et pour s;t 2 S=d(s;t) ˆ 1:

R(s;t)ˆp0isit2S0;s2S00etfs;tg L-conjugueÂe aÁfs00i;s0g R(s;t)ˆp00i sit2S00;s2S0etfs;tg L-conjugueÂe aÁfs0i;s00g.

On a alors:

jp001jr>X`‡1

iˆ2

jp00ijr et jp01jr>Xq‡1

iˆ2

jp0ijr:

DEÂMONSTRATION. 1) D'apreÁs 1.6 des areÃtes speÂciales sont bien deÂfinies intrinseÂquement parR, leur ensemble est donc stable parLet la transi- tivite deLsurS00deÂcoule de celle surS0; en particulier l'arbre est semi- homogeÁne.

2) Cela reÂsulte des calculs de [K-R.1; 3.5]. p REMARQUE 1.8. Si LveÂrifie la condition 1.7.1 et la condition (U) de [B.K] ou [K-R.1] suivante:

(U) Il existe un sous-ensembleL2 deL, tel que l'applicationl7 !ls0 induise des bijections deL2surS(s0;2) et deL21surS(s0;2),

on peut montrer que l'arbre est neÂcessairement homogeÁne; alors on a vu en [K-R.1; 3.6] que le noyauR0donne par l'expression de 1.6 deÂfinit un opeÂ- rateur`rsi et seulement si les deux conditions finales de 1.7.2 sont veÂrifieÂes.

Sous ces hypotheÁses surL, il y a donc eÂquivalence entre ces deux conditions de 1.7.2 et la non appartenance de 0 au spectre`rdeR.

(9)

2. Etude du spectre pour certains noyaux surS0.

2.1. On consideÁre dans tout ce paragraphe un noyau reÂelR0aÁ sauts de longueur 0 ou 2 sur la partie S0 de l'ensemble des sommets d'un arbre localement fini, on impose en fait que:

8s;t2S0; d(s;t)ˆ2)R0(s;t)6ˆ0:

On suppose de plusR0invariant par un groupeLtransitif surS0et sa- tisfaisant aÁ la condition suivante, (cf. [K.R.2; 6]):

(M0) 8s2S00, le fixateur Ls des dans Lest doublement transitif sur S(s;1).

D'apreÁs [K-R.2; 6] le noyauR0est symeÂtrique, son spectre`2 est donc reÂel borneÂ. En particulier le compleÂmentaire de ce spectre est connexe.

Les reÂsultats qui suivent sont encore valables pour le spectre

`r;(1r<1) sous la condition suivante:

(C0r) Le compleÂmentaire du spectre`rdeR0est connexe.

2.2. Sous ces conditions et pourg2C;jgj>kR0kcvr;(r1), on a donne en [K-R.2;6] l'expression de l'opeÂrateur (g R0) 1ˆR0g:

R0g(s;s)ˆ 1

2ag(s) et R0g(s;t)ˆ 1

2ag(s)hg(xn ˆs;xn 1) hg(x1;x0ˆt), si d(s;t)ˆ2n; n1 et si la geÂodeÂsique joignanttaÁsformeÂe d'eÂlements de S0 s'eÂcrit [t;s]0ˆ([t;s]\S0)ˆ(x0ˆt;x1 ;xnˆs); ouÁ ag(s) est une fonction complexe sur S0 et hg(s;t) une fonction complexe sur f(s;t)2S0S0=d(s;t)ˆ2g.

Ces expressions se prolongent analytiquement en g sur C prive du spectre `r de R0. Les fonctions R0g(s;t) sont holomorphes en g; ainsi les fonctions ag(s)ˆ 1

2R0g(s;s) et pour d(s;t)ˆ2;hg(s;t)ˆ2ag(s)R0g(s;t) sont meÂromorphes avec un poÃle engseulement siR0g(s;s)ˆ0.

On rappelle qu'en [K-R.2] on a montre que les fonctions ag(s) ne deÂ- pendent pas deset quehg(s;t)ˆhg(t;s) ne deÂpendent que deu2[s;t]\S00. On a choisi s02S0 et note S(s0;1)ˆ fs1; ;sq‡1g et S(s0;2)ˆ

ˆ fsi;j = 1iq‡1; 1j`ig avec d(si;si;j)ˆ1 et d(s0;si;j)ˆ2. On pose alors:

a(g)ˆag(s)8s2S0ethi(g)ˆhg(si;j;s0)ˆhg(s0;si;j), de plusb00ˆR0(s0;s0) etb0iˆR0(s0;si;j)ˆR0(si;j;s0).

(10)

On a alors obtenu les relations suivantes:

(1) gˆ2a(g)‡b00‡q‡1P

iˆ1`ihi(g)b0i: (2) hi1(g) hi(g)ˆ2a(g)

b0i ‡(`i 1)(hi(g) 1):

(3) hi(g)ˆ 2a(g)‡(`i 1)b0i 

[2a(g) (`i 1)b0i]2‡4`ib0i2 q

2`ib0i .

PROPOSITION2.3. Soitg02Cnon dans le spectre`rdeR. On suppose queR0g0(s0; s0)ˆ0 i:e: a(g)a un poÃle eng0. Alors

1) ouhi(g)a un poÃle eng0 et alorshi(g) 2a(g)

`ib0i .

ouhi(g)tend vers 0 quandgtend versg0et alorshi(g) b0i 2a(g). 2) Pour i6ˆj;hi(g) et hj(g) ne peuvent simutaneÂment avoir des poÃles ethi(g)hj(g)tend vers 0 ou une constante.

3) Il existe i0(unique) tel quehi0(g)ait un poÃle.

4) g0ˆb00‡(`i0 1)b0i0.

N.B: Dans la suite on numeÂrote de facËon quei0ˆ1.

DEÂMONSTRATION. 1) D'apreÁs 2.2 (3) on a:

hi(g)ˆ 2a(g)‡(`i 1)b0i 2`ib0i 1



1‡4`i b0i 2a(g) (`i 1)b0i

2

2 s 4

3 5:

Selon le signe on obtient bien les reÂsultats annonceÂs.

2) R0g(si;k;sj;m)ˆ 1

2a(g)hg(si;k;s0)hg(s0;sj;m)ˆhi(g)hj(g)

2a(g) . Si hi(g) et hj(g) ont un poÃle, R0g(si;k;sj;m) 2a(g)

`i`jb0ib0j. Ceci contredit le fait que R0g est borneÂe.

3) On a d'apreÁs 2.2 (1) gˆ2a(g)‡b00‡P

i `ihi(g)b0i. C omme a(g) a un poÃle eng0, il en est de meÃme de l'un deshi(g). L'unicite deÂcoule de 2).

4) De 2.2 (2) on tire 2a(g)ˆhi1(g)b0i `ihi(g)b0i‡(`i 1)b0i donc gˆb00‡(`i0 1)b0i0‡hi01(g)b0i0‡P

i6ˆi0

`ihi(g)b0i. Les derniers termes tendent vers 0 quandgtend versg0, doncg0ˆb00‡(`i0 1)b0i0: p

2.4. Calcul du noyau de Green.

On se place eng0non dans le spectre`rdeR0et tel queR0g0(s0;s0)ˆ0. Le noyau de Green est deÂtermine par la fonction de Greeng0g0(s)ˆR0g0(s;s0).

(11)

On vient de voir qu'il existe une classe de sommets ``speÂciaux'' dansS00, chaque sommets02S0a un et un seul voisin speÂcial noteÂs1.

On calcule facilementg0g0aÁ partir de 2.3 (cf. 1.6):

± g0g0(s) est nul sis2S0etd(s;s0) est multiple de 4.

± Sid(s;s0)ˆ4n‡2, on note (x0ˆs0;x1; ;x4n‡2ˆs) la geÂodeÂsique des0aÁs, alorsg0g0(s) est nul sauf si les sommets (x4k‡1)0knsont speÂciaux;

dans ce cas pour 0kn 1, on choisitlk2Ltel quelk(x4k‡2)ˆs0et alorslk(x4k‡3)ˆsjk avec 2jk q‡1 et l'on a:

g0g0(s)ˆ 1

`1b01 Y

n 1

kˆ0

b0jk

`1b01

! :

LEMME2.5. On suppose qu'il existe une classe de sommets speÂciaux dans S00, stable parLet telle que tout sommet s02S0a un et un seul voisin speÂcial s1. On deÂfinit une fonction g0g0sur S0par les formules ci-dessus et alors:

X

s2S(s0;4n‡2)

jg0g0(s)jrˆ `1

j`1b01jr X

j2

`1`j b0j

`1b01

" r#n

: En particulier g0g0 2`r(S0)()`r1 1jb01jr>P

j2`jjb0jjr.

DEÂMONSTRATION. C'est la meÃme deÂmonstration que celle de [K-R.1; 3.5]

en tenant compte de ce que pours2S0il y a`1(resp.`j) sommetst2S(s;2) tels que le milieu de [s; t] soit speÂcial (resp. non speÂcial «de typej»). p

THEÂOREÁME2.6. On suppose1r2. Soitg02C:

1) Sig02=spr(R0)et R0g0(s0;s0)ˆ0; il existe un (unique) voisin s1de s0tel que

g0ˆb00‡(`1 1)b01 et `r1 1jb01jr>X

j2

`jjb0jjr et le noyau R0g0(s;s0)est donne par les formules de2.4.

2) ReÂciproquement, si`r1 1jb01jr>P

j2`jjb0jjret si le groupeLd'in- variance veÂrifie la condition(U)de1.8,alorsg0ˆb00‡(`1 1)b012=spr(R0) et R0g0(s0;s0)ˆ0.

REMARQUE. Pour`iˆ1; 8ietb00ˆ0, on retrouve une partie des reÂ- sultats du § 1 (pour l'arbre forme des sommets deS0); la condition d'inva- riance du noyau est alors exactement celle de [Ft-S].

(12)

DEÂMONSTRATION. Cela reÂsulte des reÂsultats preÂceÂdents et de raisonne- ments exactement analogues aÁ ceux de 1.7 et 1.8. Il faut juste noter que, comme1r2; `ijb0ijr`ri 1jb0ijret donc l'ineÂgaliteÂ`ri 1jb0ijr>P

j6ˆi`jjb0jjrne peut avoir lieu que pour un seuli(1iq‡1) que l'on noteiˆ1. p 2.7. On se propose maintenant de deÂterminer des conditions sous lesquelles un complexe g n'est pas dans spr(R0); s'il existe i tel que

`ri 1jb0ijr>P

j6ˆi`jjb0jjron supposeg6ˆg0ˆb00‡(`i 1)b0i.

D'apreÁs ce qui preÂceÂde pourg2=spr(R0) etg6ˆg0, il existe des nombres complexesa6ˆ0;(hi(g))1iq‡1tels queR0gest le noyauH0(s;t) invariant par L, tel que

H0(s;t)ˆ 1

2ahin hi1 sid(s;t)ˆ2net pour [s;t]0ˆ(xn ˆs; ;x0ˆt) quand lj2L veÂrifie lj(xj 1)ˆs0 alors le milieu de [lj(xj 1);lj(xj)] est sij (1ijq‡1).

On peut noter que forceÂment leshi sont les meÃmes pour lesicorres- pondant aÁ une orbite du fixateurL0des0dansfs1; ;sq‡1g.

LEMME2.8. Pour un noyau Hsur S0S0, invariant parL, on deÂfinit la norme droite de classe r;kHkdrde Hpar:

kHkrdr ˆX

s2S0

jH(s;s0)jr:

On peut calculer la norme droite du noyauH0abstraitement deÂfini par les formules ci-dessus:

kH0krdrˆ 1 2a

r 1 q‡1P

iˆ1

`ijhijr 1‡`ijhijr

1

si cette expression est positive, kH0krdrˆ 1sinon.

DEÂMONSTRATION. On voit facilement sur la deÂfinition ci-dessus deH0que:

kH0krdr ˆ 1 2a

rX1

nˆ0

X`i1 `injhi1jr jhinjr

h i

ˆ A j2ajr

ouÁ la seconde somme porte sur les (i1; ;in)2 f1; ;q‡1gn tels que im6ˆim‡1 pour 1m<n.

On refait le meÃme raisonnement que T. Steger dans [St] ou [Ft.S] sur l'expression abstraite de A, on montre que Aest fini si et seulement si P

q‡1 iˆ1

`ijhijr

1‡`ijhijr<1 et queAˆ 1 q‡1P

iˆ1

`ijhijr 1‡`ijhijr

1

. p

(13)

LEMME2.9. On suppose que1r2et que le groupeLd'invariance satisfait aÁ la condition(U)de1.8alors le noyau H0de2.7est un opeÂrateur borne sur`r(S0)si et seulement siq‡1P

iˆ1

`ijhijr 1‡`ijhijr<1.

DEÂMONSTRATION. SiH0est un opeÂrateur borneÂ`r; H0ds0 2`r(S0) or kH0ds0krrˆ kH0krdr par deÂfinition donc d'apreÁs le lemme 2.8 on a bien P

q‡1 iˆ1

`ijhijr 1‡`ijhijr<1.

ReÂciproquement supposons que cette condition est veÂrifieÂe. Pour z2C=jzj<1, on deÂfinit (avec les notations de 2.8):

fz(s)ˆzd(s;s0)jH0(s;s0)jr etF(z)ˆX

s2S0

fz(s)ˆ 1 2a

r 1 Xq‡1

iˆ1

z2`ijhijr 1‡z2`ijhijr

! 1 : Mais par hypotheÁseF(z) n'a pas de poÃle dansfz2C= jzj 1g, le rayon de convergence de la seÂrie deÂfinissantF(z) est strictement plus grand que 1:

Ainsi P

s2S(s0;2n)jH0(s;s0)jrdeÂcroit en exponentielle enn. L'hypotheÁse du theÂoreÁme 2.3 [K-R.1] est donc veÂrifieÂe etH0 est un opeÂrateur borne sur

`r(S0). p

LEMME 2.10. Le noyau H0 abstraitement deÂfini en2.7 est un inverse formel deg R0si et seulement si:

gˆ2a‡b00‡Xq‡1

iˆ1

`ihib0iet 2a

b0i ˆ `ihi‡hi1‡(`i 1), pour tout i; (1iq‡1).

DEÂMONSTRATION. Cela reÂsulte des eÂquations obtenues dans [K-R.2;6], car dans le cas preÂsent (1) et (1)bis eÂquivalent aÁ la premieÁre relation et (2)

et (2 bis) aÁ la seconde. p

REMARQUE 2.11. Supposons que pour 1i6ˆjq‡1; `iˆ`j et b0iˆb0j, alors si hi6ˆhj; hihj est entieÁrement deÂtermine par la seconde eÂquation de 2.10: on ahihjˆ 1

`idonc`ijhijr`jjhjjrˆ`2i rqui est supeÂrieur aÁ 1 sir2. Le deÂbut des calculs de 2.8 montre alors quekH0krdr ˆ 1. Ainsi d'apreÁs 2.8, 2.9 et 2.10 siH0est un opeÂrateur borne inverse deg R0et si, pouri6ˆj;(`i;b0i)ˆ(`j;b0j) alorshiˆhj.

(14)

PROPOSITION2.12. On suppose queLveÂrifie la condition(U)de1.8et que1r2. Alors le compleÂmentaire du spectre`rdeR0eÂventuellement prive deg0ˆb00‡(`1 1)b01(si`r1 1jb01jr>P

j6ˆ1`jjb0jjr) est l'image par l'ap- plication g…a;(hi)† ˆ2a‡b00‡q‡1P

iˆ1`ihib0i de l'ensemble des …a;(h)i† 2Cq‡2 veÂrifiant:

a) `ihi‡hi1‡(`i 1)ˆ2a

b0i, pour touti;1iq‡1.

b) q‡1P

iˆ1

`ijhijr 1‡`ijhijr<1.

DEÂMONSTRATION. Cela reÂsulte aussitoÃt de 2.7, 2.9 et 2.10. p COROLLAIRE 2.13. Sous les conditions de 2.12 et pour rˆ2, un g12R (g16ˆg0) est hors du spectre `2 deR0, si et seulement si il existe eˆ(ei)1iq‡12 f1gq‡1eta0 2Rtels queg1ˆg(a0)pour:

g(a)ˆ2a‡b00‡Xq‡1

iˆ1

2a‡(`i 1)b0i‡ei 

[2a (`i 1)b0i]2‡4`ib0i2 q

2 avec les conditions:

i) dg da

ja0>0:

ii) Si (`i;b0i)ˆ(`j;b0j) alorseiˆej.

DEÂMONSTRATION. Par unicite de l'inverse deg R0et commeR0est reÂel, sigest reÂel, l'inverse deg R0est aÁ coefficients reÂels et doncaet les hi(g) sont reÂels. L'expression degeÂquivaut au a) ci-dessus ([K-R.2; 6]). On a vu que ii) reÂsulte de a) et b) (Remarque 2.11), il reste donc aÁ voir que, modulo ii), i) est eÂquivalent aÁb).

Pourg reÂel, positif, grand, alors a est reÂel positif et les hi sont reÂels positifs et petits donc leseisont tous eÂgaux aÁ 1. On va consideÂrer un nombre g‡analogue aÁget notera‡; h‡i (1iq‡1) les nombres correspondants.

Posonsg0gˆR0gds0 2`r(S0); on a:

g‡hg0g‡jg0gi ˆ hg‡g0g‡jg0gi ˆ hR0g0g‡‡ds0jg0gi

ˆ hR0g0g‡jg0gi ‡g0g(s0)ˆ hg0g‡jR0g0gi ‡g0g(s0)

ˆ hg0g‡jgg0g ds0i ‡g0g(s0)ˆghg0g‡jg0gi g0g‡(s0)‡g0g(s0):

Pourg‡6ˆgon obtienthg0g‡jg0gi ˆ g0g‡(s0) g0g(s0)

g‡ g ˆa‡ a g‡ g 1

2aa‡.

(15)

Par comparaison avec 2.8 (geÂneÂralise de facËon aÁ calculer hg0g‡jg0gi), on obtient

1

2g‡ g

a‡ aˆ1 Xq‡1

iˆ1

`ihih‡i 1‡`ihih‡i :

Cette expression se geÂneÂralise par prolongement analytique pour des nombres complexes hors du spectre. On obtient tous les signes possi- bles pour les ei en tournant autour des nombres complexes 1

2(`i 1)b0i 

p 1

b0i 

`i

p [si (`i;b0i)ˆ(`j;b0j) on doit tourner autour du meÃme nombre complexe, on garde donceiˆej; si (`i;b0i)6ˆ(`j;b0j) on veÂrifie que les nombres complexes en question sont diffeÂrents]. A la limite pour g reÂel hors du spectre et pour e veÂrifiant ii) on obtient:

1 2

dg

daˆ1 Xq‡1

iˆ1

`ijhij2

1‡`ijhij2, d'ouÁ le reÂsultat. p REMARQUE 2.14. 1) Le corollaire 2.13 rameÁne la deÂtermination du spectre `2 aÁ l'eÂtude des variations des fonctions reÂellesg(a) pour les dif- feÂrents signes desei. Cette eÂtude n'est pas bien difficile mais il n'y a pas de reÂsultat treÁs marquant sans hypotheÁse plus preÂcise sur les`ietb0i.

2) Pour`iˆ1;8ietb00ˆ0, on retrouve les reÂsultats de A. FigaÁ-Tala- manca et T. Steger pour l'arbre forme des sommets deS0.

2.15. Application aÁ des noyaux sur S.

On consideÁre un noyau R aÁ valeurs toutes reÂelles ou toutes ima- ginaires pures aÁ sauts de longueur 1 sur S (plus preÂciseÂment R(s;t)6ˆ0()d(s;t)ˆ1), invariant par un groupe L transitif sur S0 et veÂrifiant la condition (M0) de 2.1. On pose R0ˆR2jS0 et on reprend les notations preÂceÂdentes (voir aussi [K-R.2; 7]. On a:

b0iˆR(s0;si)R(si;s0)6ˆ0 etb00ˆq‡1P

iˆ1R(s0;si)R(si;s0q‡1P

iˆ1b0i.

Supposons que le groupe L satisfait aÁ la conditon (U) et que

`1b012>q‡1P

iˆ2`ib0i2, alors d'apreÁs 2.6 g0ˆb00‡(`1 1)b01 n'est pas dans le spectre`2deR0etR0g0(s0;s0)ˆ0. Alorsa(g2) a un poÃle engˆ pg0et on a des estimations deshiengˆ pg0:

h1 2a

`1b01ethib0i

2a pour 2iq‡1.

(16)

En utilisant [K-R.2; 7.2]pg0n'est pas dans le spectre`2deRsig06ˆ0.

Les relations de [K-R.2; 7.5] se prolongent analytiquement aÁ tout le com- pleÂmentaire du spectre `2 de R et on peut les utiliser pour estimer le comportement des fonctionswetjgenpg0. On obtient les eÂquivalences suivantes quandg2tend versg0.

i) donnewg(s1) g

2`1,wg(si)g

2pour 2iq‡1 et wg(s0)ˆa g. ii) donnejg(s0;s1) 2a

gR(s1;s0)etjg(s0;si)R(s0;si) g 6ˆ0 pour 2iq‡1

et iii) donnejg(s1;s0) g

`1R(s0;s1)etjg(si;s0)gR(si;s0) pour 2iq‡1. 2a

En particulier enpg0, les fonctionswg(s) pours2S00n'ont pas de poÃle, tandis que pours2S0;wg(s) a un poÃle. De plus tout sommet s2S0 a un voisins1(unique sig06ˆ0) dansS00tel quejg(s;s1) a un poÃle tandis que pour s2S0;s22S(s;1); jg(s2;s) n'a jamais de poÃle. On peut en fait calculer explicitementR g

p0 (s;t) 8s;t2S, sig06ˆ0.

On notera la diffeÂrence de comportement avec ce que l'on a observe au

§ 1. En particulier sig0ˆ0;0 est dans le spectre`2deRmais pas dans celui deR0ˆR2jS0.

REFERENCES

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Sci., Univ. Tokyo,31(1984), pp. 297-317.

[B.K] F. BOUAZIZ-KELLIL, RepreÂsentations spheÂriques des groupes agissant transitivement sur un arbre semi-homogeÁne, Bull. Soc. Math. France,116 (1988), pp. 255-278.

[C-C] J. M. COHEN- F. COLONNA,Eigenfunctions of the laplacien on homoge- neous tree, Contemp. Math.,206(1997), pp. 121-124.

[Ft-S] A. FIGAÁ-TALAMANCA - T. STEGER, Harmonic analysis for anisotropic random walks on homogeneous trees, Memoirs of AMS,531(1994).

[K-R.1] F. KELLIL- G. ROUSSEAU,GeÂneÂralisation d'un theÂoreÁme de Haagerup, Studia Math.,168(3) (2005), pp. 217-227.

[K-R.2] F. KELLIL - G. ROUSSEAU, Transformation de Poisson sur un arbre localement fini, Ann. Math. Blaise Pascal,12(2005), pp. 91-116.

[St] T. STEGER, Harmonic analysis for an anisotropic random walk on a homogeneous tree, Thesis, Washington Univ., St. Louis, 1985.

Manoscritto pervenuto in redazione il 20 luglio 2006.

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