Solutions globales pour des équations de Schrödinger sur-critiques en toutes dimensions

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Solutions globales pour des équations de Schrödinger sur-critiques en toutes dimensions

Aurélien Poiret

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Aurélien Poiret. Solutions globales pour des équations de Schrödinger sur-critiques en toutes dimen-

sions. 2012. �hal-00717824�

Solutions globales pour des équations de Schrödinger sur-critiques en toutes dimensions

A.Poiret

,

aFaculté des sciences d’Orsay, Département de mathématiques, Bâtiment 430 Bureau 106, France

Résumé

Dans [P], on a expliqué comment construire un grand nombre de solutions globales pour l’équa- tion de Schrödinger cubique en dimension 3 avec des données initiales dansL²(R³). Les argu- ments de bases étant vraie en dimensions plus grandes que 2, nous pouvons adapter la preuve dans ces cas là. On explique dans cet article comment utiliser l’effet régularisant pour prouver un théorème analogue en toutes dimensions, en particulier en dimension 1. Le gain de régularité est plus faible mais l’on peut choisir une base de fonctions propres quelconques et des variables aléatoires autres que gaussiennes.

Key words: effet régularisant, solutions globales, oscillateur harmonique, données aléatoires, équations de Schrödinger sur-critiques

Email address: aurelien.poiret@math.u-psud.fr (A.Poiret).

Dans cet article, on considère les équations de Schrödinger suivantes :





 i∂˜u

∂t + ∆˜u=K|u˜|^p−1˜u,

˜

u(0, x) =u0(x),

(N LS) oùK∈ {−1,1}et p désigne un entier impair.

Dans [P], on donne une méthode pour construire des solutions globales pour les équations de Schrödinger dont le nombre de dérivée sur-critiques est inférieure à ¹₂, en dimension plus grande que 2. L’idée de la preuve est de rendre la donnée initiale aléatoire et d’uti- liser des estimées bilinéaires de type Bourgain. Ici, on propose de compléter ce résultat, en particulier en établissant le théorème en dimension 1.

En dimension 1, dans [BTT], il est prouvé que l’effet régularisant permet de gagner

1

2− p−1² dérivée sur la donné initiale. Cela signifie que des estimées linéaires sont suf- fisantes pour établir le résultat en dimension 1. Cette méthode est très spécifique à la dimension 1 et ne peut être généralisée directement en dimension plus grande. Néan- moins, pour p≥5 et u0∈H^(d−1)/2(R^d), le même schéma de preuve permet de gagner le nombre de dérivée manquant.

Ce résultat est très intéressant car il n’est plus nécessaire de supposer que les fonc- tions propres soient les fonctions tenseurs. Une base de fonctions propres quelconques est satisfaisante et le théorème est vérifié pour un plus grand nombre de mesure de probabi- lité.

De plus, on propose une preuve du théorème dans un cadre plus général que des variables aléatoires gaussiennes ou Bernoulli.

1. Introduction et notations

En dimension d’espace d quelconque, on poseH =−∆ +x² l’oscillateur harmonique.

On noteλ²_nles valeurs propres ethnles fonctions propres de H que l’on indexe parn∈N. On a donc

Hhn =λ²_nhn, ∀n∈N.

On noteW^s,p(R^d) etH^s(R^d)les espaces de Sobolev usuels. Puis, on définit les espaces de Sobolev harmoniques.

Définition 1 L’espace H^s(R^d) est défini comme la fermeture de l’espace de Schwartz pour la norme

||u||H^s(R^d)=||H^s/2u||L²(Rd).

Définition 2 De manière similaire, l’espaceW^s,p(R^d) est défini comme la fermeture de l’espace de Schwartz pour la norme

||u||_W^s,p₍R^d)=||H^s/2u||L^p(R^d). Dans [DG], nous pouvons trouver la proposition suivante :

Proposition 3 Pour tous 1< p <∞, s≥0, il existe une constanteC >0 telle que 1

C||u||W^s,p(R^d)≤ ||∇^su||L^p(R^d)+||< x >^su||L^p(R^d)≤C||u||W^s,p(R^d).

Ensuite, soit (Ω, A, P)un espace de probabilité, (gn(ω))n∈N une suite de variable aléa- toires indépendantes et définissons les conditions suivantes :

∃γ, C, c >0/ ∀n∈N andρ∈R, Z ∞

ρ

dPgn+ Z −ρ

−∞

dPgn ≤Ce^−c|ρ|γ (Hγ)

∀p∈Net n∈N, E(g^2p+1_n ) = 0 (HE1)

∀n∈N, E(gn) = 0 (HE2)

∀ρ >0 etn∈N, P(|gn|< ρ)>0 (H01)

∃c >0/∀n∈N, E(|gn|²)≥c (H02) Nous avons facilement le lemme suivant :

Lemma 4 Sous l’hypothèse (Hγ), il existe une constante C > 0 telle que pour tout n∈N,

E(|gn|²)²≤E(|gn|⁴)≤C.

Preuve.E(|gn|⁴) = 4R∞

0 ρ³P(ω∈Ω/|gn(ω)| ≥ρ)dρ≤4CR∞

0 ρ³e^−cργdρ <∞. ⊠ Soitu0∈H

d−1

2 (R^d), c’est à dire u0(x) =X

n∈N

cλhn(x)avec X

n∈N

λ^d−1_n |cn|²<∞.

Considérons l’applicationω −→u^ω₀ de (Ω, A, P)dans H

d−1

2 (R^d) que l’on équipe de sa tribu borélienne, définie paru^ω₀ =X

n∈N

cngn(ω)hn(x).

Grâce au lemme 4, nous pouvons facilement vérifier que l’applicationω−→u^ω₀ est dans L²(Ω, H

d−1

2 (R^d)). Enfin, on définit µcomme la loi de la variable aléatoireω →u0(ω, .) et nous pouvons donc appliquer le théorème de transfert suivant :

P(ω∈Ω/Ψ(u^ω₀)∈A) =µ(u0∈H

d−1

2 (R^d)/Ψ(u0)∈A), (1) pour toute fonction mesurableΨet Aensemble mesurable.

Pour pouvoir énoncer les théorèmes de ce papier, on introduit les deux définitions sui- vantes :

Définition 5 Soit (q, r)∈[2,∞] alors(q, r)est dit admissible si (d, q, r)6= (2,2,∞)et 2

q = d 2 −d

r.

Définition 6 Pours∈RetT >0, on définit

X^s= \

(q,r)admissible

L^q(R, W^s,r(R^d)),

X_T^s = \

(q,r)admissible

L^q([−T, T], W^s,r(R^d)).

Dans cet article, sous les hypothèses (Hγ), (HE1), (H01) et (H02)

ou (Hγ), (HE2), (H01) et (H02), on propose de démontrer les théorèmes suivants : Theorem 7 Soit u0∈H

d−1

2 (R^d)alors il existes∈]^d₂−_p−1² ,^d₂[et un ensemble Ω^′⊂Ω tels que les conditions suivantes soient réalisées :

i)P(Ω^′)>0.

ii) Pour tout élémentω∈Ω^′, il existe une unique solution globaleu˜ à l’équation (N LS) dans l’espacee^it∆u0(ω, .) +X^s avec donnée initialeu0(ω, .).

iii) Pour tout élémentω∈Ω^′, il existeL⁺∈H^s(R^d) etL−∈H^s(R^d)telles que

t→∞lim ||u(t)˜ −e^it∆u0(ω, .)−e^it∆L⁺||H^s(Rd)= 0,

t→−∞lim ||˜u(t)−e^it∆u0(ω, .)−e^it∆L−||H^s(Rd)= 0.

De plus, siu0∈/ H^s(R^d)alors P ω∈Ω/u0(ω, .)∈H^s(R^d)

= 0.

Theorem 8 Soit u0∈H

d−1

2 (R^d)alors il existes∈]^d₂−p−1² ,^d₂[tel que pour toutω∈Ω, il existe Tω et une unique solution à l’équation (N LS) dans l’espace e^it∆u0(ω, .) +X_T^s_ω avec donnée initiale u0(ω, .).

Plus précisément, il existe C, c, δ > 0 et pour tout temps 0 < T < ∞, un ensemble ΩT tels que

P(ΩT)≥1−Ce−c/arctan(2T)^δ,

et tel que pour tout élémentω∈ΩT, il existe une unique solution à l’équation (N LS) avec donnée initiale u0(ω, .)dans un espace continûment inclus dansC⁰([−T, T], H^d−12 (R^d)).

Theorem 9 Si de plus, pour toutn∈N,gn a une distribution symétrique, alors

η→0lim µ

u0∈H

d−1

2 (R^d)/ on ait existence globale et scattering | ||u0||

H

d−1

2 (R^d)≤η

= 1.

2. Quelques rappels préliminaires

Dans cette section, on rappelle les estimées de Strichartz pour l’oscillateur harmonique ainsi que la propriété fondamentale de la transformation de lentille. Les preuves peuvent être trouvées dans [P].

2.1. Estimées de Strichartz pour l’oscillateur harmonique Définition 10 Pours∈R etT ≥0, on définit

X^s_T = \

(q,r)admissible

L^q([−T, T], W^s,r(R^d)).

Alors, nous avons les propositions suivantes :

Proposition 11 Pour tout T ≥0, il existe une constante CT >0 telle que pour tout u∈H^s(R^d),

||e^−itHu||X^s_T ≤CT||u||H^s(Rd).

Proposition 12 Pour tout T ≥0, il existe une constante CT >0 telle que pour tout (q, r)admissible etF ∈L^q′([−T, T], W^s,r

′

(R^d)),

Z t 0

e^−i(t−s)HF(s)ds _X^s

T

≤CT||F||_Lq′

([−T,T],W^s,r′(Rd)).

2.2. La transformation de lentille

Définition 13 Pour u(t, x) une fonction mesurable avec t ∈ R et x ∈ R^d, on définit

˜

u(t, x)de la façon suivante :

˜ u(t, x) =

1

√1 + 4t² d/2

×u 1

2arctan(2t), x

√1 + 4t²

×e ^ix

2t 1+4t2. En analogie à la proposition 22 de [P], on peut obtenir le résultat suivant :

Proposition 14 Soit s ≥ 0 alors il existe une constante C > 0 telle que pour tout p ∈ [1,+∞] et q ∈ [1,+∞] vérifiant _p² + ^d_q − ^d2 ≤ 0, pour tout T ∈]0,∞] et u ∈ L^p([−¹2arctan(2T),¹₂arctan(2T)], W^s,q(R^d)), on a

||˜u||L^p([−T,T],W^s,q(Rd)) ≤C||u||_L^p_([−¹

2arctan(2T),¹₂arctan(2T)],W^s,q(Rd)). 3. L’effet régularisant pour l’oscillateur harmonique

On commence par donner une preuve de l’effet régularisant de [YZ1] et [YZ2] en utili- sant une méthode de Doï. Cet effet régularisant se révèlera fondamental pour appliquer le théorème de point fixe de Picard. L’objectif de cette partie est donc de prouver le théorème suivant :

Theorem 15 Soit ǫ ∈]0,¹₂[ alors il existe une constante C > 0 telle que pour tout u0∈L²(R^d),

1

< x >^1/2−ǫ

√H^1/2−2ǫe^itHu0

_L2([−2π,2π]∗R^d)

≤C||u0||L²(Rd), (2) et pour toutu0∈H

d−1 2 (R^d),

1

< x >^1/2−ǫ|∇|^d/2−2ǫe^itHu0

L²([−2π,2π]∗Rd)

≤C||u0||

H

d−1

2 (Rd). (3)

3.1. Quelques résultats préliminaires

On commence par établir 4 lemmes préliminaires.

Lemma 16 Soit a∈C^∞(R^d,R^d)∩L^∞(R^d,R^d)telle que ∇a∈L^∞(R^d, Md(R^d))alors il existe une constanteC >0 telle que pour tout u∈H^1/2(R^d),

Z

Rd

a(x).∇u(x)u(x) dx

≤C||u||²_H^1/2₍Rd). Preuve.On définit

b(u, v) = Z

Rd

a(x).∇u(x)v(x) dx.

Alors, clairement, on a

|b(u, v)| ≤C||u||H¹(R^d)||v||L²(R^d), ainsi que

|b(u, v)|= Z

Rd

u(x)

d

X

i=1

∂i(ai(x)v(x)) dx

≤C||u||L²(R^d)||v||H¹(R^d).

Par conséquent, par interpolation, pour touts∈[0,1], il existe une constanteC >0telle que

|b(u, v)| ≤C||u||H^s(R^d)||v||H^1−s(R^d).

Le lemme est donc démontré en choisissants= 1/2. ⊠

Lemma 17 Soit a∈C^∞(R^d,R^d) telle que|a(x)| ≤ |x|^2ǫ et|∇a(x)| ≤1 alors il existe une constanteC >0telle que pour tout u∈H^1/2+ǫ(R^d),

Z

Rd

a(x).∇u(x)u(x)dx

≤C||u||²_H^1/2+ǫ_(Rd). Preuve.Il s’agit essentiellement de la même preuve que le lemme 16.

On définit

b(u, v) = Z

Rd

a(x).∇u(x)v(x) dx.

Alors, on trouve

|b(u, v)| ≤C||u||H¹(R^d)||v||_H^2ǫ₍R^d)≤C||u||_H¹₍R^d)||v||_H^2ǫ₍R^d), ainsi que

|b(u, v)|= Z

R^d

u(x)

d

X

i=1

∂i(ai(x)v(x)) dx

≤C||u||_H^2ǫ₍Rd)||v||H¹(Rd)

≤C||u||_H^2ǫ₍R^d)||v||_H¹₍R^d). Puis, par interpolation, il existe une constanteC >0 telle que pour touts∈[0,1],

|b(u, v)| ≤C||u||_H^{(1−2ǫ)s+2ǫ}₍Rd)||v||_H^{1−s(1−2ǫ)}₍Rd).

Le lemme est donc prouvé en prenants= 1/2. ⊠

Lemma 18 Soients1 ets2 deux réels.

- Si max(s2, s1+s2) ≤ 1 alors il existe une constante C > 0 telle que pour tout u ∈ L²(R^d),

|| [√

H^s1+s2;< x >^−s1]u||L²(R^d)≤C||u||L²(R^d),

- Sis2≥ −1 alors il existe une constanteC >0 telle que pour tout u∈H^s1−1(R^d),

|| [|∇|^s1;< x >^−s2]u||L²(Rd)≤C||u||H^s1−1(Rd),

- Sis2≤1alors il existe une constante C >0 telle que pour tout u∈H^s1−s2(R^d),

|| [√

H^s1;< x >^−s2]u||L²(Rd)≤C||u||_H^s1−s2₍Rd).

Preuve.Pour évaluer la régularité du commutateur, on utilise le calcul pseudo-différentiel de Wey-Hörmander associé à la métrique _1+x^dx22 +_1+ξ^dξ22.

La classe des symbolesS(µ, m)associée à la métrique précédente est l’espace des fonc- tions régulières surR^d∗R^d qui vérifient|∂x^α∂_ξ^βa(x, ξ)| ≤Cα,β< x >^µ−α< ξ >^m−β. Ainsi, nous avons (voir [H] section 18.5, [R] ou [Bou1]) que si a1 ∈ S(µ1, m1) et a2 ∈ S(µ2, m2)alors le commutateur[Op(a1), Op(a2)]est un opérateur pseudo-différentiel avec un symbole dans la classeS(µ1+µ2−1, m2+m2−1).

Par conséquent, [√

H^s1+s2, < x >^−s1]∈S(s2−1, s1+s2−1)⊂S(0, s1+s2−1).

De plus, comme rappelé dans [M], si q ∈ S(0, µ) alors pour tout s ∈ R, il existe une constanteC >0telle que

||Op(q)u||H^s−µ(Rd)≤C||u||H^s(Rd). Ainsi, nous pouvons prendres=µ=s1+s2−1pour obtenir que

||[√

H^s1+s2, < x >^−s1]u||L²(Rd)≤C||u||H^{s1 +s2−1}(Rd)≤ ||u||L²(Rd). De manière similaire,

[ |∇|^s1;< x >^−s2]∈S(−s2−1, s1−1)⊂S(0, s1−1), et nous pouvons conclure de la même façon pour le second point.

Pour le dernier point, nous avons [√

H^s1;< x >^−s2]√

H^s2−s1 ∈S(−1, s2−1)⊂S(0, s2−1).

Puis

||[√

H^s1;< x >^−s2]√

H^s2−s1u||L²(R^d)≤C||u||L²(R^d), et il suffit de remplacerupar√

H^s1−s2upour obtenir le résultat désiré. ⊠ Lemma 19 Soit s ≥0 alors il existe deux constantes C1, C2 > 0 telles que pour tout f ∈C₀^∞(R^d),

C1× || |∇|^s(f)||L²(Rd)≤ ||∇^s(f)||L²(Rd)≤C2× || |∇|^s(f)||L²(Rd). Preuve.En utilisant l’égalité de Plancherel, il suffit de remarquer que la fonction

b(ξ1, . . . , ξd) =

P

i

ξ_i² s/2

rP

i

ξ_i^2s ,

est positive, continue sur R^d\ {0} et homogène (c’est à dire que pour tout ξ ∈ R^d et

λ∈R^∗,b(λξ) =b(ξ)). ⊠

Ces différents lemmes établis, nous pouvons passer à la preuve de l’effet régularisant.

3.2. Preuve de (2) Étape 1 :

À l’aide du calcul pseudo différentiel, soit le théorème 2.6.5 de [M], on trouve x.Dx

< x >^α; ∆

= x.Dx

< x >^α∆−∆ x.Dx

< x >^α

=Op x.ξ

< x >^α

Op −ξ²

−Op −ξ² Op

x.ξ

< x >^α

=Op

−2i× ξ²

< x >^α−α (x.ξ)²

< x >^α+2

+ 2α(d+ 2) x.ξ

< x >^α+2 + 2α(α+ 2) x.ξ x²

< x >^α+4

. Puis, en utilisant queα <1, on obtient

ℜ

i Z

Rd

Op

−2i× ξ²

< x >^α −α (x.ξ)²

< x >^α+2

u(x) ×u(x)dx

= 2ℜ Z

Rd

−∆u

< x >^α u−α(x.Dx)²u+i(x.Dx)u

< x >^α+2 u dx

= 2ℜ Z

Rd∇u.∇( u

< x >^α+2)−α(x.∇u)× div

xu

< x >^α+2

−iα (x.Dx)u

< x >^α+2 u dx

= 2 Z

R^d

|∇u|²

< x >^α −α (x.∇u)²

< x >^α+2 dx

+ 2αℜ Z

R^d

(α+ 2)x²(x.∇u)

< x >^α+4 u−(d+ 1) x.∇u

< x >^α+2 u dx

≥2(1−α)×

1

< x >^α/2∇u

2

L²(R^d)

+ 2αℜ Z

R^d

(α+ 2)x²(x.∇u)

< x >^α+4 u−(d+ 1) x.∇u

< x >^α+2 u dx

. Grâce au lemme 16, on établit

ℜ

i Z

R^d

Op

2α(d+ 2) x.ξ

< x >^α+2 + 2α(α+ 2) x.ξ x²

< x >^α+4

u u dx

+ 2αℜ Z

R^d

(α+ 2)x²(x.∇u)

< x >^α+4 u−(d+ 1) x.∇u

< x >^α+2 u dx

≤C||u||²H^1/2(R^d).

Ainsi, pour toutα <1, il existe une constanteC >0telle que pour toutu∈H^1/2(R^d), ℜ

i

Z

Rd

x.Dx

< x >^α,∆

u(x)u(x)dx

≥2(1−α)

1

< x >^α/2∇u

2

L²(R^d)

−C||u||²H^1/2(R^d).

De manière similaire, on a

x.Dx

< x >^α;−x²

=Op

2ix²

< x >^α

, et donc

ℜ

i Z

Rd

x.Dx

< x >^α;−x²

u(x) u(x)

dx=−2 Z

Rd

x²

< x >^α|u(x)|² dx

≥ −C||u||²_H^(2−α)/2_(Rd).

Finalement, nous avons montré que pour toutα <1, il existe une constanteC >0telle que pour toutu∈H^(2−α)/2(R^d)

ℜ

i Z

Rd

x.Dx

< x >^α,−H

u(x)u(x)dx

≥2(1−α)

1

< x >^α/2∇u

2

L²(Rd)

−C||u||²_H^(2−α)/2_(Rd). (4) Étape 2 :

Si nous choisissonsu=e^−itHu0alors nous trouvons

−i Z

Rd

x.Dx

< x >^α, H

u(t, x) u(t, x)dx

= −i Z

Rd

x.∇∂tu(t, x)

< x >^α u(t, x)dx+i Z

Rd

x.Dx

< x >^αu(t, x) Hu(t, x)dx

= −i Z

R^d

x.∇^x∂tu(t, x)

< x >^α u(t, x)dx−i Z

R^d

x.∇^x

< x >^αu(t, x) ∂tu(t, x)dx

= −i∂t

Z

Rd

x.∇^x

< x >^αu(t, x) u(t, x)dx

. Ainsi, grâce à (4), on obtient pourT ≥0,

2(1−α) Z T

0

1

< x >^α/2∇(e^−itHu0)

2

L²(R^d)

dt

≤CT||u0||²_H^(2−α)/2₍Rd)+ℜ

i Z

Rd

x.∇xu0

< x >^α u0−x.∇xe^{−iT H}u0

< x >^α e^{−iT H}u0 dx

. Puis, par le lemme 17, on trouve pour toutα∈]0,1[, l’existence d’une constanteC >0 telle que pour toutT ≥0etu0∈H^(2−α)/2(R^d),

Z T 0

1

< x >^α/2∇e^−itHu0

2

L²(Rd)

dt≤CT||u0||²_H^(2−α)/2_(Rd). Étape 3 :

On prendα= 1−2ǫavecǫ∈]0,¹₂[pour avoir Z T

0

1

< x >^1/2−ǫ∇e^−itHu0

2

L²(R^d)

dt≤CT||u0||²_H^1/2+ǫ_(Rd).

En utilisant le lemme 18, on obtient Z T

0

1

< x >^1/2−ǫH^1/2−ǫ/2e^itHu0

2

L²(R^d)

dt

≤ Z T

0

H^1/2−ǫ/2 1

< x >^1/2−ǫe^itHu0

2

L²(Rd)

+ Z T

0

1

< x >^1/2−ǫ;H^1/2−ǫ/2

e^itHu0

2

L²(Rd)

≤ Z T

0

H^1/2−ǫ/2 1

< x >^1/2−ǫe^itHu0

2

L²(R^d)

+T||u0||²L²(Rd). Puis, en utilisant la proposition 3, on trouve

Z T 0

H^1/2−ǫ/2 1

< x >^1/2−ǫe^itHu0

2

L²(R^d)

≤ Z T

0

< x >^1/2+ǫ/2e^itHu0

2

L²(Rd)

dt+ Z T

0

∇^1−ǫ

1

< x >^1/2−ǫe^itHu0

2

L²(Rd)

dt

≤CT||u0||²_H^1/2+ǫ_(Rd)+ Z T

0

∇

1

< x >^1/2−ǫe^itHu0

2

L²(Rd)

dt

≤CT||u0||²_H^1/2+ǫ_(Rd)+ Z T

0

1

< x >^1/2−ǫ∇ e^itHu0

2

L²(Rd)

dt

≤CT||u0||²_H^1/2+ǫ_(Rd).

Par conséquent, nous trouvons Z T

0

1

< x >^1/2−ǫH^1/2−ǫ/2e^−itHu0

2 L²(Rd)

dt≤CT||u0||²_H^1/2+ǫ_(Rd).

Et nous pouvons remplaceru0 parH^{−1/4−ǫ/2}u0 pour prouver le théorème. ⊠ 3.3. Preuve de (3)

En utilisant le lemme 18 et (2), on obtient

√H^d/2−2ǫ 1

< x >^1/2−ǫe^itHu0

L²([−2π,2π]∗Rd)

≤

1

< x >^1/2−ǫ

√H^d/2−2ǫe^itHu0

_{L2([−2π,2π]∗Rd)} +

√

H^d/2−2ǫ; 1

< x >^1/2−ǫ

e^itHu0

_L2([−2π,2π]∗R^d)

≤C||u0||

H

d−1 2 (R^d).

Puis, en utilisant la proposition 3, on établit

∇^d/2−2ǫ

1

< x >^1/2−ǫe^itHu0

_{L2([−2π,2π]∗Rd)}≤C||u0||

H^d−12 (Rd). Et finalement, en utilisant les lemmes 18 et 19, nous pouvons conclure que

1

< x >^1/2−ǫ|∇|^d/2−2ǫ(e^itHu0)

L²([−2π,2π]∗R^d)

≤

1

< x >^1/2−ǫ;|∇|^d/2−2ǫ

e^itHu0

L²([−2π,2π]∗Rd)

+

∇^d/2−2ǫ

1

< x >^1/2−ǫe^itHu0

L²([−2π,2π]∗Rd)

≤C||u0||

H

d−1

2 (Rd). ⊠

4. Données initiales aléatoires et espaces de Sobolev

De manière analogue à la section 4 de [P], on démontre que la donnée initiale rendue aléatoire ne permet pas de gagner de dérivée dansL²(R^d).

Theorem 20 Sous les hypothèses (Hγ), (HE1) et (H02), pour touts≥0, siu0∈/ H^s(R^d) alorsu^ω₀ ∈/ H^s(R^d) ω ps.

Pour établir ce résultat, en analogie au théorème 52 de [P], nous devons montrer le même type d’estimation que la proposition 30 de [P] pour des fonctions propres quelconques de l’oscillateur harmonique. Cela justifie la proposition suivante :

Proposition 21 Pour touts ≥0, il existe deux constantes C1, C2 >0 telles que pour toutn∈N,

C1λ^s_n≤ ||∇^shn||L²(Rd)≤C2λ^s_n. (5) Preuve.Nous posonsh= _λ¹2

n etΦh(x) =_hd/4¹ ×hn(λnx)pour que(−h²∆+x²−1)Φh= 0 et||Φh||L²(Rd)= 1.

Pour démontrer (5), il suffit d’établir qu’il existe une constanteC1 >0 telle que pour touth >0,

h^s||∇^sΦh||L²(Rd)≥C1. Raisonnons par l’absurde et supposons que

lim

h→0

h^s||∇^sΦ||L²(Rd)= 0. (6) D’après le théorème 2 de [Bu], il existe une mesure positive µ∈ M+(R^d∗R^d)telle que pour toute fonctiona∈C₀^∞(R^d∗R^d),

h→0lim < a(x, hDx)Φh,Φh>_L²₍R^d)∗L²(R^d)= Z

Rd∗Rd

tr(a(x, ξ))µ(dxdξ).

Rappelons la définition suivante :

Définition 22 On dit que(x, ξ)∈Supp(µ)^c si et seulement si il exister >0tel que pour toutφ∈C₀^∞(B(x, r)×B(ξ, r)),

Z

Rd∗Rd

φ(x, ξ) µ(dx, dξ) = 0.

De manière similaire à la proposition 40 de [P], si a ∈ C₀^∞(R^d∗R^d) avec Supp(a)∩ {(x, ξ)/x² +ξ² = 1} = ∅ alors pour tout N ∈ N, il existe EN ∈ Op(T⁻²) et RN ∈ Op(T^−(N+1))tels que

EN◦(−h²∆ +|x|²−1) =a(x, hDx)−h^N+1RN. Par conséquent

< a(x, hDx)Φh,Φh>L²(R^d)∗L²(R^d)=h^N+1< RNΦh,Φh>L²(R^d)∗L²(R^d),

puis Z

R^d∗R^d

a(x, ξ)µ(dxdξ) = 0.

Et finalement, nous établissons que

Supp(µ)⊂ {(x, ξ)/x²+ξ²= 1}.

Toujours de manière similaire à la proposition 40 de [P], si a ∈ C₀^∞(R^d ∗R^d) avec Supp(a)∩ {(x, ξ)/ξ² = 0} = ∅ alors pour tout N ∈ N, il existe EN ∈ Op(S^−s) et RN ∈Op(S^−(N+1))tels que

EN ◦

d

X

i=1

|hDxi|^s=a(x, hDx)−h^N+1RN. Or d’après [M] et (6), on trouve

h→0lim|< EN ◦

d

X

i=1

|hDxi|^sΦh,Φh>L²(R^d)∗L²(R^d)| ≤ lim

h→0||EN ◦

d

X

i=1

|hDxi|^sΦh||L²(R^d)

≤ lim

h→0||

d

X

i=1

|hDxi|^sΦh||L²(R^d)= 0 Par conséquent

Z

R^d∗R^d

a(x, ξ)µ(dxdξ) = 0, et nous établissons que

Supp(µ)⊂ {(x, ξ)/ξ²= 0}. Ensuite, poura∈C₀^∞(R^d∗R^d)alors

0 = Z

R^d

[−h²∆ +|x|²−1;h⁻¹Oph(a)]ΦhΦh

= 1 i

Z

Rd{−h²∆ +|x|²−1;Oph(a)}ΦhΦh+h× Z

Rd

Oph(R)ΦhΦh. Ainsi, nous déduisons que pour toute fonctiona∈C₀^∞(R^d),

Z

Rd∗Rd

(ξ∂xa−x∂ξa) dµ(x, ξ) = 0. (7)

Soit alors(x, ξ)∈R^d∗R^det posons, pourt∈R,







x(t) =xcos(t) +ξsin(t), ξ(t) =ξcos(t)−xsin(t).

c’est à dire

(x(t) =˙ ξ(t)avecx(0) =x, ξ(t) =˙ −x(t)avecξ(0) =ξ.

D’après (7), on obtient pour toutt∈Reta∈C₀^∞(R^d∗R^d), Z

R^d∗R^d

a(xcos(t) +ξsin(t), ξcos(t)−xsin(t))dµ(x, ξ) = Z

R^d∗R^d

a(x, ξ)dµ(x, ξ).

Par conséquent, si(x0, ξ0)∈Supp(µ)alors pour toutr >0, il existea∈C₀^∞(B((x0, ξ0), r)) telle que pour toutt∈R,

Z

Rd∗Rd

a(xcos(t) +ξsin(t), ξcos(t)−xsin(t))dµ(x, ξ)6= 0.

Mais

Supp(a(xcos(t) +ξsin(t), ξcos(t)−xsin(t)))

⊂

(x, ξ)∈R^d∗R^d/(xcos(t) +ξsin(t), ξcos(t)−xsin(t))∈B((x0, ξ0), r)

⊂B(cos(t)x0−sin(t)ξ0,2r)×B(sin(t)x0+ cos(t)ξ0,2r),

et donc, pour toutt∈R,(cos(t)x0−sin(t)ξ0,sin(t)x0+ cos(t)ξ0)∈Supp(µ).

Mais pour ξ0 = 0, x²₀ = 1 alors sin(t)x0 + cos(t)ξ0 = sin(t)x0 = 0 est impossible et

donc la proposition est démontrée par l’absurde. ⊠

Ensuite, pour une fonction χ ∈ C₀^∞(R^d) telle que χ(x) = 1 si |x| ≤ 1, χ(x) = 0 si

|x| ≥2et 0≤χ≤1, définissons σ_N² =X

n∈N

χ² λ²_n

N²

|cn|²λ^2s_n −→

N→∞∞, SN =||χ

H N²

u0||H^s(Rd), M = sup

N∈N^∗

SN.

Passons à la preuve du théorème 20. En analogie à la preuve du théorème 52 de [P], il suffit d’établir que

P(M =∞)>0.

Grâce à (5) et aux hypothèses (HE2) et (H02), on trouve E

||χ H

N²

u0||²H^s(R^d)

≥E X

n,m

χ λ²_n

N²

χ λ²_m

N²

cncm gn(ω)gm(ω) Z

R^d

∇^s(hn)∇^s(hm)dx

!

≥E X

n∈N

χ² λ²_n

N²

|cn|²|gnω)|²||∇^s(hn)||²L²(R^d)

!

≥C1σ_N².

Par conséquent, grâce à l’inégalité de Zygmound, soit le lemme 53 de [P] , on établit P

M²≥C1σ_N² 2

≥P

S_N² ≥ C1σ²_N 2

≥P S_N² ≥ ||χ _N^H2

u0||²_H^s₍Rd)

2

!

≥ 1 4×

E

||χ _N^H2

u0||²_H^s₍Rd)

2

E

||χ _N^H2

u0||⁴_H^s₍R^d)

.

Puis, grâce à (5), au lemme 4 et l’hypothèse (HE2), on a E

||χ H

N²

u0||⁴H^s(Rd)

≤E X

n,m

χ λ²_n

N²

χ λ²_m

N²

cncmgn(ω)gm(ω) Z

Rd∇^s(hn)∇^s(hm)dx

!2

+E X

n,m

χ λ²_n

N²

χ λ²_m

N²

cncmgn(ω)gm(ω)

!2

≤CE X

n1,n2,n3,n4

χ λ²_n1

N²

χ λ²_n2

N²

χ λ²_n3

N²

χ λ²_n4

N²

×cn1cn2cn3cn4

× ||∇^s(hn1)||L²(R3)||∇^s(hn2)||L²(R3)||∇^s(hn3)||L²(R3)||∇^s(hn4)||L²(R3)

+CE X

n

χ² λ²_n

N²

|cn|²

!2

≤C2σ⁴_N. Par conséquent,

P

M²≥ C1σ²_N 2

≥ 1 4×C₁²

C2,

puis, en utilisant un théorème de convergence monotone, on trouve P(M =∞)≥1

4 ×C₁² C2

.

Et le théorème est démontré. ⊠

5. L’argument de point fixe

Dans cet partie, on établit des estimées qui seront utiles pour appliquer un théorème de point fixe de Picard. On commence par montrer deux lemmes préliminaires.

Lemma 23 Soient(q, r)∈[2,∞[×[2,∞], s, s0≥0 et supposons ques−s0> ^d₂−²q−^dr, alors il existe deux constantes κ, C >0telles que pour toutT ≥0 etu∈X^s_T,

||u||_L^q_([−T,T],W^s0,r₍Rd))≤CT^κ||u||_X^s_T.

Preuve.Soitǫ >0alors il existeκǫ>0 tel que

||u||L^q([−T,T],W^s0,r(R^d))≤T^κǫ||u||L^q+ǫ([−T,T],W^s0,r(R^d)). Or le couple(q+ǫ,_dq+dǫ−4^2d(q+ǫ))est admissible avec

W^s,

2d(q+ǫ)

dq+dǫ−4(R^d)֒→W^s0,r(R^d)sis−s0≥d 2− 2

q+ǫ −d r.

Mais, commes−s0> ^d₂−²q−^dr alors il existe0< ǫ≪1tel ques−s0≥^d2−q+ǫ² −^dr.⊠ Lemma 24 Soits≥0alors il existe une constanteC >0telle que pour toutes fonctions f et g dans S(R^d),

||∇^s(f g)||L²(Rd)≤C× || |∇|^s(f)×g||L²(Rd)+||f× |∇|^s(g)||L²(Rd)

. Preuve.Par la transformée de Fourier et le lemme 19, on obtient

||∇^s(f g)||L²(R^d)≤C× || |ξ|^sF(f g)||L²(R^d)

≤C× || |ξ|^s(F(f)∗ F(g))||L²(R^d). Or pour tousξet η dansR^d ,

|ξ|^s≤(|η|+|ξ−η|)^s≤Cs×(|η|^s+|ξ−η|^s).

Ainsi,

||∇^s(f g)||L²(R^d)≤Cs× ||(|.|^sF(f))∗ F(g)||L²(R^d)+||F(f)∗(|.|^sF(g))||L²(R^d)

≤Cs× ||F(|∇|^sf ×g)||L²(R^d)+||F(f)∗ F(|∇|^sg)||L²(R^d)

≤Cs× || |∇|^sf ×g||L²(Rd)+||f × |∇|^sg||L²(Rd)

. ⊠ Puis, on établit les estimées attendues.

Proposition 25 Soit s > ^d₂−p−1² alors il existe deux constantesC >0 et κ >0 telles que si nous supposons

||e^−itHu0||L^p([−2π,2π],L^∞(R^d))≤λ

pour un certainλ, alors pour tout0< T ≤1,v∈X^s_T etfi=v oufi =e^−itHu0,

|| |∇|^s(v)×

p

Y

i=2

fi||L¹([−T,T],L²(R^d))≤CT^κ(λ^p+||v||^p_X^s

T

), et

||< x >^s×v×

p

Y

i=2

fi||L¹([−T,T],L²(Rd))≤CT^κ(λ^p+||v||^p_X^s

T

).

Preuve.D’après l’inégalité de Hölder et la proposition 3,

|| |∇|^s(v)×

p

Y

i=2

fi||L¹([−T,T],L²(Rd))

≤ || |∇|^s(v)||L^∞([−T,T],L²(Rd))×

p

Y

i=2

||fi||L^p−1([−T,T],L^∞(Rd))

≤C||v||L^∞([−T,T],H^s(Rd))×

p

Y

i=2

||fi||L^p−1([−T,T],L^∞(Rd)),