:j7f 8

N u tn érat iorr

Leçon 8 ^{Nonrbres à bases} différentes

1. Activités Activité I

1.

_Quels syrnboles les Rornains

utilisaieni-ils

^{p.cur écrire les trornbres '/}

Les écrire,

2. h

quel nombre naturel corresponcl cliaque

sylribcle'i

3.

_Quelles conrrentioirs adopte-Î.-on pour écrire el

lire

les trornbres qui

s'écrivent

avec les chiffres romains?

tl- _Ecrire

les nombres suivants en

chiflres

^arabes:

a. MDXXXVII;

d.

CCCXL;

s.MMMCMXCIX.

5. Ecrire

les nornbres suivants en chiffres rornains:

a. 2007: b.1075; ^{c-984, d-}

^{t463: e. -r982.}

lvetivité,2

1

.

^{Donner tous les chiffres zrrabes.}

2.

Les nornbres entiers naturels suivants sont écrits ^en exlension en base ^cli'

15:10+5

2.0'3

:2x100

+

0xl0 ⁺

3

:

_2x102 +

0" l0

^{+ 3}

4530:4x1000

^{+ 5x100 +}

3xl0

^J-

0:4>.i0r

⁺

5*lb-'* 3xl0 ⁺

⁰

-

E,crir:e en e>ltettsion et en lettres les nornbt-es 9uir,'ants en base dix"

b. CDLXXIII;

e. ivfDl,XXVIIi;

c. MIyICMV'I;

f.

VTCII;

j

82 0a4 612

k.

^{3 400 783 256}

l.

^{132 785 912}

a. l8

b.

²¹

c.

94

cl.

l'58

e.

368

f. ²

⁵⁸⁶

g.

37 500

h.

^2s190

i. ⁷

^{403 119}

lx2'+ ^0x2

-J

Ixzr ⁺ Ix2 Activité

³

A

la période électroniclue, dans le calcul, on utilise une machine

qui

ne peut

lire

que 0 et

l.

Voici

quelques exentples d'écriture en exteiision ^cles nornbres entiers natutels, en base dettx (écriture binaire).

Ces nombres sont ^appelés

"

les nombres ^{en base} deux

"

Nonbres

eri base deux Nombres ^{en base} dix

:j7f + 1:

li

101

r 101

+ 0x2

lr] tltr

6

ll(l

.S

tl tl ô

a

l0

se

lit

ll selit

un-Zéro "

Llfl-UIl "

I

. ^Voici

le tableau pour

lire

et pour écrire les nombres en base deux

Exernples ^:

Enbase dix:2:2+ 0:1x2t ⁺⁰

3:2+l=lr2t+l 27:16+8+0+2+l

équivaut à I

l01l

^{en base deux.}

Ecrire en base deux les nombres en

a.8 c.13 ^e.21

b. g _d. 20 f. ^lo0

équivaut

à

^{I 0 en} base deux équivaut

à

^I

I

en base deux

:1x24 +

lx23

+

0x22 +1

x2l +

I base dix suivants : ^t

g. l0l0 h. ^r01i0

'2. Pour écrire un nombre entier naturel ^(base dix) en base deux, on

fait

les divisions successives oar 2:

On

a 2: lxz

⁺ 0, donc 2 en base

dix s'écrit l0

^{en base}

deux.

^.

On

a

3

:

_I

x2+ l,

donc 3 en base

dix s'écrit

I

I

en base deux.

12t2 0

^|

61

2

On

a 12:

^Ix23

⁺

^{lx22 +}

donc 12 en base

dix

s'écrit

0r2t *

0x I

I 100 en base deux

2o

:64

_^J

_{z -)z}

^{_ 11} _2'

:16

_2'

:8

_2'

=4

,)l -

,) 2":1

I 0

1I ^I_t

I I 0 I I

-t'--

rl

Numération Cl

-

Sur le ^modèle ci-dessus, écrire les nombres ^entiers naturels suivants en base ^deux:

6;9;8;13;24;11;60 35;42;18;25;218;150;200;87;64' Activité

⁴

On considère ^les nombres ^{en base a}

tel que

^{a e}

N

^et

a2 ^{2 qui}

^s'écrivent

avec les chiffres

0,

I

,2,3

^{et 4.}

1.

Ces nombres sont les nombres de

quelle

^{base ?}

2. Ecrire

^les nombres entiers naturels suivants ^{en base a} ci-dessus:

2; 3; ^{4; 6;} 7;8; 10; ^{12; 17; 28;} 76;

^102;217;

^{532; 600;}

^453'

Ecrire

^les nombres en ^{base a en} nombres ^{entiers naturels'}

2 ; | _;3

;

l0 ;

¹²

;24 ^{;321 ;4402} ;

¹³⁴⁰¹

^;332;

^{300 ;403 '}

Ecrire

^les nombres Ên ^base cinq en nombres ^entiers naturels en base

deux.

2; 3; 4; 13;42;23; 12;34;234;302;111; 400; 1031;2142' 2. Essentiel

l) Nombres

^{en bases}

différentes

. on

^{appelle un nombre en base a}

^(a

^e

N ^et

^{a>-2) un nombre qui}

s'écrit

^{avec les}

^chiffres 0,I,2, "',4-l'

. _{LJn nombre} en base deux ^ne s'écrit

qu'avec

^les chiffres 0

et

1'

0

^se

^lit

^{" zéra}

I ^selit "un"

10

^se

^lit

" un-zéro I

I

^se

^lit

" un-un

100

^se

^{lit "}

un-zéro-zéro ^"

101

^se

^lit

^" un-zéro-un ^"

1 1

I

^se

^lit

^{" un-un-un "}

. Voici

^{le tableau pour}

^écrire

^les nombres en ^base deux'

.

_{Un nornbre} en base

cinq

^ne s'écrit

qu'avec

les chiffres 0, I

,2,3

^{et 4.}

l0

^se

^lit

^{" un-zéro "}

I

I

^se

^lit

" un-un "

12

^se

^lit

" un-deux "

22

^se

^lit

" deux-deux "

23

^se

^lit

" deux-trois "

3.

4.

24

se

lit

" deux-quatre "

30

^se

lit

" trois-zéro "

.

Voici lc

tableau pour écrire les nombres en base cinq.

2) Changement

de base

d'un

^nombre.

a. Nombre

en base deux en entier naturel

Exemples : Ecrire les nombres en base

deux

A

:

_{I I 101}

_l;

Solution;

B : _{100llll et}

_C

: _l0l lllll

^{en entiers} naturels.

On a: A=

^lx2s

+ lr2a +

lx23

*0x22 + lx2l ⁺

I

.:32+16+8+0+2+l:59

B

:

_I x26

+

0x25

*

0x2a

+

lx23

+

lx22

+ _{lx2r + |}

:64+0+0+8+4+2tl:79

C

:

_I x27

+

0126

+

lxzs

+ _lx2a +

Ix23 + lx22

+ lx}t ⁺

^|

:

_{128 + 0}

₊

₃₂

_{+ 16+8}

_{+ 4}

_{+ 2 +} l: l9l

b.

Nombre

en base cinq en entier naturel

Exemples:

Ecrire

les nombres en base

cinq A :213; _B : I1034

^-

et C

:

_{24103 en} entiers naturels.

Solution

^:

Ona:A:2x52+lx5l+3 :50+5+3:58

B : _lx54+ lx53 +-0"52+

3x5t

+

4

625+125+0+15+4:769

C

:2x54 *

4x53

+

lx52 ⁺

0x5' +

³

:

_{1250+ 500}

₊

_{25 + 0 + 3}

:

₁₇₇₈

c.

Entier

naturel en base deux

Méthode

I

On

divise

successivement le nombre

donné

^par 2.

Exemples: Ecrire les nombres entiers

naturels

A

: _l3;B:

₇

et

C : ₂₈

_{enbase deux.}

56 5' 5" -- 625

5':125 5':25 )-: ) 5u:1

Numération Cl

Solution:

On a:

Donc A:

^I

l0l B:lll _C:11100

Méthode 2

on

^écrit le nombre donné sous forme de puissance de deux en ordre

décroissant. G

^.

Exemples: Ecrire les nombres

A:

^13;

B: l7

et C

:

_{28 en base deux.}

Solutions:

Ona:A:13

:8+4+l

:

_lx23

_{+ lx22 +}

_0x2t

₊ l; Donc A: l10l

B:7 :4*2*l

:1x22+lx2r +l; Donc B:lll

C:28 :16+8+4

: _{l*24 + lx23 +}

_lx22

i

Or2t

+ 0;

Donc

C: Il

¹⁰⁰

e.

Entier

naturel_en base

cinq

On divise successivement le nombre donné par 5 ou bien

on

l,écrit sous

forme

de puissances de cinq en ordre décroissant.

Exemples:

Ecrire les nombres entiers naturels

A:132:B:

17 et C

:

_{280 en base}

_cinq.

Solution

^:

Ona:

!

A= l0l2 B:32 C:2ll0

Ou

bien

^:

A:

¹³²

:125+5+2

:1"53+0x52+ lx5l +2; DoncA: l}l2 B:

¹⁷

:

₁₅

₊₂

:3x5'tZ;

_Donc

_B:32

c _{-- 280}

:250+25+5 :2x125

_{+ 25 +5}

:2x53 ₊

_1x52+

_1x5t *0;

Donc

C:2110

f.

Nombre en bq;e a en nombre en base b

Soient a et

b

deux entiers naturels tels que

aZ2 etb22.

Pour décomposer un nombre

A

en base a en

un

nombre en base b.

on écrit d'abord

A

en un nombre naturel

puis

en base b.

Exemples

:

Etant

donné A:214

^et B

:

_{104 deux nombre en}

base

cinq.

Ecrire

A

et

B

^{en base deux.}

Solution ^:

. _On

écrit

d'abord

A: 214

et B

:

_{104 en} nombres naturels (base

dix)

A:2x52+lx5r+4

:50+5+4:59

B:1x52+0x51+4

:25 +0+4:29.

. _On

éirit

^ensuite les naturels

A :59

_et

B:29

base deux.

A:

⁵⁹

:32+16+8+2+l

: _1x/5+

_lx2a

₊

_{lx23 + 0x22+}

_{lxzr + |}

Donc A: lll0ll ' B:29

- ¹⁶⁺⁸ +4+l

: _lx2a*

_lx23

₊ lx22+0x2r + I ^Donc B: ll10l

Numératiott

3) Opérations

Base ^cleux

111

+ l1 l0t0

Voici

le tableau d'addition en ^base deux.

Exernples:

^Calculer

a) 1 1'1

'+

I

i

^{en base deux}

b)1 106

-215

_l- ^{en base sePt}

c)3''ï3

x 22

^{'en base quatre}

et cle

multiplication

'de qr-relques nombres

'tC 1

, ^'{', c)

^tl"1'

Base ^sePt

rl06

,.)l<

- Z.LJ

l66l

I

F-lase qt-iatt'e 313

x22

J '\,)1

IL)L

t2.t/

1 ^)'|')

LvLI'

.l- 0

t i0

^1l

n ₀ ^I_{t 10}

1r rr

ⁱI

I I 10 I 100

10 10

il

¹⁰⁰

^t0l

t1 11, 100 10i

ll0

iii

-l

;--

_It

\-/

I^|

l0

^rttl

0 0 0

i

10 1l

tl

\_,

b

rfI_{IL/ 100}

ti0

ll i10

¹⁰¹

Exercices

| .

licrire

les'nombres entierstnaturels

àuivants:

^{, :.}

a)

en base deux

b)

en base trios

c)

en base quatre

d)

en base cinq

'.

^otlcrire les nombres en base donnée en nombres entiçrs naturels:

zr) Nombres en base deux

A:i0101û; B:i0:l 110; C:i00001; _D=10111Ii:

E:

I

ll l00l

b)

Nombres en base trois

A:12; _B:r 102; C:221,0; D=20lll; E,:10212

c)

Nombres en base

quatre

^{. o}

A-310; B:1203; C:20013; D:3000; E:10012

rl)

Nombies _{ejn base}

cinq - ^!

^.

.A:i10; B:1012; ^C:34214; D:44433. E:34201

' ⁿ⁾

^{Ecrire les} nombres en

bur" ,r",r"

en base trois, en base qr:atre et en base cinq:

A:1l11ll0l; B:lli; C:10; D:l0lOill; E:11100il.

,,,)

^{Ecrire ies nombres en base trois} en base cieux, en base quatre er. en base cinq

A:102:' B:2l.li; _C:2210; D:l2l0l; _E:lI2O2 c)

Ecrire les nombres en base cinq en base trois, en base quatre et en base

six:

A-ï41; B= 4Al2;, C:3310; D:2403;

E

:

₁₁₂₀₃

'l ^voici

des'nornbres en base deux rangés par ordre croissant :

0<l<10<l,l<100<l0l<,.. :

rr) Rangeq

pg or{re

croissant les nombres en base deux suivants L ^:

llIl; l0u; l0; H0; t0l0; Iit; ll0lt; t00;'l00ll; 1ilil.

lr)

Ranger par ordre décroissant les nombres en base deux suivants :

I

l; 100,1,;'',lrlii1; i000,1;,i:i'1,0li. 101; 1;

^10000;;

Ii0,li,; i0-l i,l.

t V.ici

des nombres en base cinq rangés par ordre croissant :

0-<l <2<1<4<1,0< i,l<,12 . , .

rr) Rariger.tresiiiorribres'en:p'-3qe cinq suivants par ordre croissant :

3331,244i'24\.,91(1,',,hÛt;

t4t;

^243;

4; 30t; 201;

231.

Numération Cl

b)

Ranger

les

nombres en base

cinq

suivants

par

ordre décroissant :

101; 401; 32; 221; 34; tOt; rt2; 231; rt4;301;

341.

6.

a) Effectuer les

calculs en base deux puis

vérifier

les résultats obtenus en convertissant en nombres naturels en

utilisant

les tableaux

ci-dessous.

c

A:1l0ll ⁺ ll01; B: ll100l + 1110; C: l00l ⁺ lll

D:1111 + I I l; E: l0lll ⁺ l0l

^I

b) Effectuer

les calculs en base deux puis

vérifier

les résultats obtenus en

convertissant en nombres naturels.

A:ll0ll-1101; B:10101 -l0ll; C-1001 -lll D: ¹⁰⁰¹⁰ - 1001; E:

^11001I

- l00t0t

c) Effectuer

les calculs en base deux puis

vérifier

les résultats obtenus en convertissant en nombres naturels.

A:l10llxl0; B:11001x11; C:l0l0xl0l;

D:1011x110: E:lllllxlll

7. a) Compléter

le tableau

d'addition

et de

multiplication

des nombres en base trois ci-dessous

b) Effectuer

les calculs en base trois puis

vérifier

les résultats en convertissant en nombres naturels.

A:

^{I 22O}

⁺ 112; B:21021 ⁺ 12212; C:

^{10001 + 22222}

D:21120+1221 E: ll220l+ l2ll22.

1- 0

I

10

ll

0 0 I 10

ll

I I 10 l1 100

10

l0 l1

100 101

ll 1l

100

l0l ll0

X 0 I

l0 ll

0 0 0 0 0

I 0

I

10

ll

l0

0

l0

r00 110

ll

⁰

ll ll0

¹⁰¹

+ _{0 I} ^ô

l0

0 I 2

t0

X 0 I 2

t0

0 I 2

l0

c)

Effectuer les calculs en base trois puis

vérifier

les résultats en convertissant en nombres naturels.

A:220 - 2l;

D:201001

-22122;

a) 22102+2222:30330;

b)

^{22102 +}

2222:24324;

c)

^{2210 +}

2222:3210\

9.

Effectuer les calculs suivants:

A:1ll ⁺ ll

(basedeux);

B

:

₁₀₂ +.220 (base'trois);

C

:

₁₃₂

₊

_{13 (base quatre);}

D:

^{142 + 243 (base} six);

E

:315 ₊

_{473 (base huit);}

F

:

₁₂₂

_-

₁₂ (base trois);

G:323 -221

^{(base quatre);}

H:212 -

^{105 (base}

^huit);

B:21021 - 12212; C:2222 - I0l2

E:212010 -

11222

C

= l022lx2l0;

d)

345

+ 224:

1013

e)

534

+ 265:102'l D

²¹²

+

101

:313

I :406 _-215

_{(base sept)}

J

:432 -

¹⁶⁵ (base huit)

K:414 ⁺ 2ll ⁺

^{322 (base cinq)}

L:414

⁺

2lI ⁺

322 (base six)

M:

^{414 +}

2II ⁺

^{322 (base} sept)

N:

²¹³

⁺

¹⁰⁰

⁺

^{221(base cinq)}

O

:213 +

100

+

_{221(base six)}

P:213 ⁺

¹⁰⁰

⁺

221 ^(base quatre).

d)

Effectuer les calculs en base trois puis

vérifier

les résultats en conver'rissant en nombres naturels.

A:220x21; B :

_1O2xl2;

D:2210I2x202: E:

^2222x22.

8.

Les calculs suivants sont effectués dans quelle base au minimale ?

10. a)

Construire le tableau de

multipÏication

^{des nombres} en lase quatre, puis

calculer:

A:3 13x22: B:231x1321 C:201x32

a)

Construire le tableau de

multiplication

^{des nombres en base cinq,}

puis

calculer ^:

A:34x23; B:2341x34, C:241x42.