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Equations polynomiales ´

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Academic year: 2022

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Exercices Alternatifs

Equations polynomiales ´

°c2001 Fr´ed´ericLe Roux(copyleftLDL : Licence pour Documents Libres).

Source: equations-polynomiales.tex.

Version imprimable: equations-polynomiales.pdf

Polynˆ omes. DEUG premi`ere ann´ee. Angle p´edagogique : Technique.

Objectifs et commentaires.

Savoir quels types d’´equations on peut r´esoudre avec les tech- niques du cours (et les r´esoudre !) ´Evidemment, cette formulation inhabituelle pose des probl`emes p´edagogiques : les ´etudiants se satisfont difficilement de la r´eponse “Je ne sais pas faire” quand elle vient du prof ! (Manque d’habitude ?...) On peut bien sur ´evoquer la th´eorie de Galois, dire que mˆeme si on n’a pas de formules, on a des algorithmes pour trouver des solutions approch´ees ; mais l’essentiel est de ne pas apprendre une technique sans ˆetre conscient de ses limites ! D’ailleurs, je ne sais absolument pas si les ´equations atypiques donn´ees ici sont r´esolubles par radicaux ou non...

R´esoudre, si c’est possible, les ´equations polynomiales suivantes :

(a) z

3

= i (b) z

5

= 1 + i

√

3 (c) z

2

+ 2iz + 1 = 0 (d) z

10−

2i

√

3z

5−

4 = 0

(e) 1 + z + z

2

+ z

3

+ z

4

+ z

5

= 0 (f ) 1 + z + 2z

2

+ z

3

+ z

4

+ z

5

= 0 (g) z

11−

2i

√

3z

5−

4 = 0 (h) (z + 1)

n−

(z

−

1)

n

= 0.

Inventer des ´equations que l’on peut r´esoudre avec les techniques du cours, puis des ´equations que

vous ne savez pas r´esoudre.

Références

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