D146 Qui veut aller loin ménage sa monture [**** à la main]
Solution
Réponse : l’entraîneur s’installe en un point fixe P qui est le point d’intersection le plus proche de A du cercle de centre O et de rayon 1 R et de la droite passant par A et parallèle à 2
2 1O O .
Démonstration :
Lemme 1 : les points B, C1et C2 sont toujours alignés quand les coureurs C1et C2
accomplissent leurs tours de piste. En effet leurs vitesses angulaires ω1et ω2mesurées par le rapport
i i
i R
ω V sont identiques avec
0,08 20 R
250 V 0,1
25 R
V
2 2 2
1 .Il en résulte qu’à tout instant, on a l’égalité des angles AO1C1AO2C2. Or
2 C ABC1 AO1 1
et 2
C π AO
ABC2 2 2 2
. D’où ABC1+ABC2= π .CQFD.
Lemme 2 : le cercle de centre O et de rayon 1 R coupe la droite passant par A et parallèle à 2
2 1O
O en deux points P et Q avec P qui est le plus proche du point A. Cette même droite coupe le cercle de centre O en un deuxième point E et le cercle de centre 1 O en un 2
deuxième point F. P est le milieu de EF. En effet EAF étant parallèle à O1O2 et les cercles de centre O et de rayons respectifs 1 R1et R2 étant concentriques, les segments EQ et PA sont égaux. Par ailleurs QP = AF. D’où EQ + QP = EP = PA + AF = PF. CQFD.
La corde AB qui joint les points d’intersection des deux pistes circulaires de centres O1et O2 est perpendiculaire à O1O2 ainsi qu’à toute parallèle à O1O2. AB est donc perpendiculaire à EF. Il en découle que BAE=BAF = 90° . Les triangles BAE et BAF sont des triangles
rectangles et les points B,O et E d’une part, B, 1 O et F d’autre part sont alignés. Les 2 triangles BC1E et BC2F sont eux aussi des triangles rectangles. Les angles
F BC et E
BC1 2
sont alors des angles droits. Les droites EC1et FC2qui sont
perpendiculaires à la droite C1BC2, sont toujours parallèles entre elles pendant toute la course des deux coureurs et le quadrilatèreC1C2FE reste un trapèze rectangle. Si l’on mène par le point P milieu de EF, une parallèle à EC1et FC2, celle-ci est médiatrice de C1C2.Le point P est toujours équidistant deC1et C2.
