GeorgesCailletaud Rhéologie

(1)

Georges Cailletaud

Centre des Matériaux MINES ParisTech/CNRS

(2)

Plan

1 Essais mécaniques Structures

Eléments de volume

2 Modèles rhéologiques Les briques de base Plasticité

Viscoélasticité Elastoviscoplasticité

3 Bilan

(3)

Eléments de volume

3 Bilan

(4)

Tests d’un avion civil

www.mts.com

(5)

Vibration d’une aile

www.mts.com

(6)

Structures biologiques

www.mts.com

(7)

Structures biologiques

www.mts.com

(8)

Alimentaire

www.mts.com

(9)

Eléments de volume

3 Bilan

(10)

Machines d’essai

www.mts.com

(11)

Compression du gypse

Doc. Mines Paris-Géosciences Plus de détails sursite mms2.ensmp.fr

(12)

Résultat de compression du gypse

Doc. Mines Paris-Géosciences

(13)

Traction sur fibre

www.mts.com

(14)

Traction sur alliage métallique

www.mts.com

(15)

Essais mécaniques

Les essais de base

Matériaux dont le comportement est insensible à la vitesse de sollicitation Essai de traction, ou essai d’écrouissage

Essai sous chargement cyclique, ou essai defatigue

Matériaux dont le comportement est sensible à la vitesse de sollicitation Essai à contrainte constante, ou essai defluage

Essai à déformation constante, ou derelaxation

Autres essais

Essais sous chargement multiaxial Traction–torsion

Pression interne ou externe Essais en flexion

Essais de fissuration

(16)

Résultat de traction sur un alliage d’aluminium

Domaine d’élasticité «vrai», limite d’élasticité conventionnelle,σ0.², qui donne 0.2% de déformation résiduelle à la décharge

Contrainte ultime,σu

0.2% residual strain Elastic slope Tension curve

ε(mm/mm)

σ(MPa)

0.04 0.03

0.02 0.01

0 600 500 400 300 200 100 0

E=78000 MPa,σ0.²=430 MPa,σu=520 MPa Doc. Mines Paris-CDM, Evry

(17)

Résultat de traction sur un acier inoxydable

Matériau présentant un écrouissage important : possibilité de durcissement dans le domaine plastique, augmentation de la limite d’élasticité courante

0.2% residual strain Elastic slope Tension curve

ε(mm/mm)

σ(MPa)

0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 600 500 400 300 200 100 0

E=210000 MPa,σ0.²=180 MPa,σu=660 MPa Doc. ONERA-DMSE, Châtillon

(18)

Traction et compression sur un alliage d’aluminium

Essai à déformation imposée symétrique±^0.3%

A contrainte nulle, il reste une déformation positive A déformation nulle, la contrainte est devenue négative

ε(mm/mm)

σ(MPa)

0.005 0.003 0.001 -0.001 -0.003 -0.005 300 200 100 0 -100 -200 -300

Doc. Mines Paris-CDM, Evry

(19)

Modèles schématisant les résultats précédents

σ

σ_y E

0 ε

a. Élastique–parfaitement plastique

ε 0

E ET σ

σy

b. Élastique–plastique linéaire Module élastoplastique, E_T=dσ/^dε.

E_T =0 : matériau élastique-parfaitement plastique E_T constant : matériau élasto-plastique linéaire Et fonction de la déformation dans le cas général

(20)

Fonctionnement d’un modèle de plasticité instantanée

0 0’

A

B

ε σ

Régime élastique OA, O’B Ecoulement plastique

AB

Déformation résiduelle OO’

Décomposition de la déformation,ε=ε^e+ε^p;

Domaine d’élasticité, à définir par unefonction de charge f Ecrouissage, à définir par desvariables d’écrouissage,A_I.

(21)

Résultat de traction sur un acier à haute température

Effet de la viscosité :Comportement sensible à la vitesse de déformation

ε˙=1.6 10⁻⁵s⁻¹ ε˙=8.0 10⁻⁵s⁻¹ ε˙=2.4 10⁻⁴s⁻¹

725^◦C

ε

σ(MPa)

0.1 0.08

0.06 0.04

0.02 0

80 60 40 20 0

Doc. Ecole des Mines, Nancy

(22)

Essai de fluage sur fil étain-plomb

Voir l’exercice Mines Paris-CDM, Evry

(23)

Résultat de fluage sur une fonte (1)

σ=25MPa σ=20MPa σ=16MPa σ=12MPa

t (s)

ε

p

1000 800

600 400

200 0

0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 0

Doc. Mines Paris-CDM, Evry

(24)

Représentation schématique d’une courbe de fluage

Fluage primaire, période de durcissement du matériau (écrouissage) Fluage secondaire, oustabilisé :ε˙^pest unefonction puissancede la contrainte appliquée

Fluage tertiaire, ou perte de résistance conduisant à la rupture, décrite par desvariables d’endommagement

εp

I

II

III

t

(25)

Résultat de fluage sur une fonte (2)

T=800

^◦

C T=700

^◦

C T=600

^◦

C T=500

^◦

C

σ (MPa)

˙ ε

p

(s

−1

)

100 10

1

0.001 0.0001

1e-05

1e-06

1e-07

1e-08

(26)

Essai de relaxation

On impose une déformation constante en fonction du temps Pendant l’essai :

ε˙=0= ˙ε^p+ ˙σ/^E dε^p=−^dσ/^E

Pour une déformation positive,la déformation viscoplastique augmentependant que la contrainte diminue

La valeur asymptotique de la contrainte est nulle (relaxation totale) ou non (relaxation partielle)

Relaxation partielle s’il existe unecontrainte interneoucontrainte seuildans le matériau,

(27)

Représentation schématique d’une courbe de relaxation

Le point représentatif est obtenu comme la somme de la contrainte seuilσset de la contrainte visqueuseσv

La contrainte seuil représente un comportement plastique qui peut être atteint asymptotiquement lorsque la vitesse tend vers zéro

σ

v

εp

σ

s

t

σ σ

E

(28)

Eléments de volume

3 Bilan

(29)

Les briques de base pour les modèles de matériau

(30)

Différents types de rhéologies

Plasticité indépendante du temps

ε=ε^e+ε^p dε^p=f(...)dσ Elasto-viscoplasticité

ε=ε^e+ε^p dε^p=f(...)dt Viscoélasticité

F(σ,σ,ε,˙ ε) =˙ 0

(31)

Eléments de volume

3 Bilan

(32)

Plasticité indépendante du temps

(33)

Modèle élastique–parfaitement plastique

Le régime de fonctionnement est défini par la fonction de charge f (de l’espace des contraintes dansR⁾

f(σ) =|σ| −σy

Domaine d’élasticité

sif<⁰ ε˙= ˙ε^e= ˙σ/^E Décharge élastique

sif=0 et ˙_f<⁰ ε˙= ˙ε^e= ˙σ/^E Ecoulement plastique

sif=0 et _f˙=0 ε˙= ˙ε^p La condition_f˙=0 est lacondition de cohérence

(34)

Modèle de Prager

Fonction de charge à deux variables,σetX

f(σ,^X) =|σ−^X| −σy avecX=Hε^p Ecoulement plastique si on vérifie à la foisf=0 et_f˙=0.

∂f

∂σ σ˙+ ∂f

∂^X X˙ =0

signe(σ−^X) ˙σ−^signe(σ−^X) ˙X=0 soit :σ˙ = ˙X Vitesse de déformation plastique fonction de la vitesse de contrainte

ε˙^p= ˙σ/^H

Vitesse de déformation plastique fonction de la vitesse de déformation ε˙^p= ^E

E+Hε˙

(35)

Ecriture des équations de l’élastoplasticité uniaxiale

Domaine d’élasticité

sif(σ,^Ai)<⁰ ε˙= ˙σ/^E Décharge élastique

sif(σ,Âi) =0 et _f˙(σ,Âi)<⁰ ε˙= ˙σ/Ê Ecoulement plastique

sif(σ,Âi) =0 et _f˙(σ,Âi) =0 ε˙= ˙σ/Ê+ ˙ε^p Lacondition de cohérences’écrit :

f˙(σ,^Ai) =0

(36)

Illustration des deux types d’écrouissage

(37)

Modèle d’écrouissage isotrope

Fonction de charge à deux variables,σetR f(σ,^R) =|σ| −^R−σy

Rdépend dep,déformation plastique cumulée:p˙=|ε˙^p| dR/^dp=H soit _R˙ =Hp˙ Ecoulement plastique ssif=0 et_f˙=0

∂f

∂σ σ˙+ ∂f

∂R R˙ =0

sign(σ) ˙σ−_R˙ =0 soit sign(σ) ˙σ−^Hp˙ Vitesse de déformation plastique fonction de la vitesse de contrainte

˙

p=sign(σ) ˙σ/^H ^soit ε˙^p= ˙σ/^H Modèles classiques

Ramberg-Osgood :σ=σy+Kp^m

Loi exponentielle :σ=σ + (σ −σ )exp(−bp)

(38)

Eléments de volume

3 Bilan

(39)

Viscoélasticité

(40)

Réponses élémentaires en viscoélasticité

Eléments en série, modèle de Maxwell :ε˙= ˙σ/^E0+σ/η

Fluage sous une contrainteσ0: ε=σ0/^E0+σ0t/η Relaxation à la déformationε0: σ=E₀ε0exp[−^t/τ]

Eléments en parallèles, modèle de Voigt :σ=Hε+ηε˙ ou ε˙= (σ−^Hε)/η

Fluage sous une contrainteσ0: ε= (σ₀/^H)(1−^exp[−^t/τ⁰]) Les constantesτ=η/^E0etτ⁰=η/^Hsont homogènes à un temps,

τdésignant letemps de relaxationdu modèle de Maxwell

(41)

Modèles composés

a. Kelvin–Voigt (E₀)

(H) (η)

b. Zener (E₂) (η)

(E₁)

Réponses en fluage et en relaxation ε(t) =C(t)σ0=

1

E₀+¹

H(1−^exp[−^t/τf])

σ0

σ(t) =E(t)ε0=

H

H+E0

+ ^E⁰ H+E0

exp[−^t/τr]

E₀ε0

(42)

Eléments de volume

3 Bilan

(43)

Elasto-viscoplasticité

Schéma du modèle Réponse en traction

X=Hε^vp σv=ηε˙^vp |σp|6σy

σ=X+σ_v+σp

Domaine d’élasticité, dont la frontière est|σp|=σy

(44)

Equations du modèle

Trois régimes de fonctionnement

(a) ε˙^vp=0 |σp|=|σ−^Hε^vp| 6σy

(b) ε˙^vp>⁰ σp =σ−^Hε^vp−ηε˙^vp =σ_y (c) ε˙^vp<⁰ σp =σ−^Hε^vp−ηε˙^vp =−σy

(a)intérieur ou frontière du domaine d’élasticité (|σp| <σy) (b),(c)écoulement (|σp|= σy et|σ˙p| = 0 ) On peut résumer les trois équations (en posant<^x>=max(x,⁰)) par

ηε˙^vp=h|σ−^X| −σyi^signe(σ−^X) ou :

ε˙^vp=<^f>

η

signe(σ−^X), ^avec ^f(σ,^X) =|σ−^X| −σy

(45)

Fluage avec un modèle de Bingham

t σ σ

o

-

y

H ε

vp

Déformation viscoplastique en fonction du temps

σ

σ X

o

y

σ

ε

vp Evolution dans le plan contrainte–déformation

viscoplastique

ε^vp=σo−σy

H

1−^exp

−^t τf

avec :τf=η/^H

(46)

Relaxation avec un modèle de Bingham

σ -E H

εvp

σ

y

Relaxation

H

ε

Transitoire : OA = BC Relaxation : AB Effacement incomplet : CD O

A

B

D C

vp

Effacement

σ=σy

E E+H

1−^exp

−^t τr

+ ^Eεo

E+H

H+Eexp

−^t τr

avec :τr= η E+H

(47)

Ingrédients des modèles classiques de viscoplasticité

Modèle de Bingham

ε˙^vp=<^f>

η

signe(σ−^X) Plus généralement

ε˙^vp=φ(f)

φ(0) =0 et φmonotone croissante

ε˙^vpest nulle si le point courant se trouve dans le domaine d’élasticité ou sur le bord de celui-ci

ε˙^vpest non nulle si le point courant se trouve à l’extérieur du domaine d’élasticité On distingue des modèles avec/sans seuil et avec/sans écrouissage

(48)

Modèles viscoplastiques sans écrouissage

Modèles sans seuil: le domaine d’élasticité peut se réduire à l’origine (σ=0) Modèle de Norton

ε˙^vp= |σ|

K n

signe(σ) Modèle de Sellars-Tegart

ε˙^vp=Ash |σ|

K

signe(σ)

Modèles à seuil Modèle de Perzyna

ε˙^vp=

|σ| −σy

K n

signe(σ) , ε˙^vp= ˙ε0

|σ|

σ_y −¹n

signe(σ)

(49)

Modèles viscoplastiques avec écrouissage

Notion d’écrouissage additif : le durcissement provient des variables qui expriment le seuil (X et R)

ε˙^vp=

|σ−^X| −^R−σy

K

n

signe(σ−^X)

Xdésigne la contrainte interne,internal stress(écrouissage cinématique) R+σydésigne la contrainte de friction,friction stress(écrouissage isotrope) σvest la contrainte visqueuse,drag stress

Notion d’écrouissage multiplicatif : on fait varier la contrainte visqueuse, par exemple :

ε˙^vp=

|σ|

K(ε^p) n

signe(σ) =

|σ|

K₀|ε^p|^m n

signe(σ) (écrouissage par la déformation, oustrain hardening)

(50)

En plasticité et en viscoplasticité...

Domaine d’élasticité défini par une fonction de chargef<⁰ Variables d’écrouissage isotrope et cinématique

En plasticité :

Ecoulement défini par la condition de cohérence si f =0,˙_f=0 Ecoulement plastiqueinstantané:

dε^p=g(σ,...)dσ En viscoplasticité :

Ecoulement défini par la fonction de viscosité si f>⁰ Possibilité d’écrouissage sur la contrainte visqueuse Ecoulement viscoplastiqueretardé

dε^vp=g(σ,...)dt

(51)

Identification des essais sur le fil de brasure

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

0 1000 2000 3000 4000 5000

creep strain

time (s)

1534 g 1320 g 1150 g 997 g 720 g

0 2 4 6 8 10 12 14

0 5000 10000 15000 20000 25000

stress (MPa)

time (s)

exp sim

Essais de fluage Relaxationε^=20%

Courbes obtenues avec un modèle de Norton ε˙^p= σ

800 ².³

J’essaie tout(e) seul(e)sur le site mms2.ensmp.frO

(52)

Identification du fluage du sel gemme

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

strain

time (Ms)

exp sim

Eprouvette Essai à 3 niveaux (3, 6, 9 MPa) Courbes obtenues avec un modèle de Lemaitre (strain hardening)

ε˙^p=σ K

n

(ε^p+v₀)^m

J’essaie tout(e) seul(e)sur le site mms2.ensmp.frO