Automates à états finis

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Automates à états finis

Damien Nouvel

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Langages et automates

§ Du langage …

‚ Hiérarchie (réguliers, hors-contexte, contextuels) ñ Mécanisme pour accepter/reconnaître un langage ?

§ …aux automates

‚ Machine de Turing

‚ États, transitions

ñ Automates …à états finis (langages réguliers)

§ Représentations

ñ Diagrammes de transition (dessin)

‚ Graphe: nœuds,arcs ñ Tables de transition

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Diagrammes de transitions

Plan

1. Diagrammes de transitions

2. Notations formelles 3. Tables de transition

4. Automates non déterministes

5. Propriétés des langages réguliers et compléments

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Diagrammes

§ Inspiré des diagrammes de flux / organigrammes

Travail ?

Menteur ! non

Urgent ? oui

Loisirs non Procrastination ?

oui non

oui

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États

ñ Indique où en est l’analyse d’un mot

§ États : nœuds

‚ Cercle

‚ Label:q_i avec iun entier

q₂

§ État initial

‚ Ajout d’une flèchedevant

‚ Souventq₀ (mais pas obligatoire)

q_O

§ État final

‚ Doublecercle

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Transitions

ñ Indique quelles prochains symboles sont acceptés

§ Transitions : arcs

‚ Arc orienté (flèche) qui relie deux états

‚ Label: liste (ensemble) de symboles de Σ q₁ a,c q₃

ñ Reconnaît le langage ta,cu outau Y tcu (mais pas ta.cu!) ñ Si, enq₁, le prochain symbole esta ou c, aller enq₃

§ Transition d’un état vers lui-même

‚ Boucle au dessus d’un état q₁ a,c

ñ Correspond à l’étoile de Kleene

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Reconnaissance d’un mot

§ Chemin suivi au travers d’un automate

‚ L’automateconsomme les symboles

‚ Une liste d’état « visités » est établie

‚ Arrivée en fin de mot dans l’état final

§ Exemple : motsab ou ac

q_O a q₁

q₂ b

q₃ c

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Automate à états finis déterministe

§ Contraintes

‚ Un seulétat initial

‚ Déterministe: par nœud / symbole, max unetransition

§ Remarques

‚ Autant d’états finaux que nécessaires

‚ L’état initial peut-être final

‚ Des transitions peuvent partir d’un état final ñ Boucles possible sur un état ou par cycles

§ Exemple : expression régulière(a|bc)*(b(a|b))?

q_O a

q₁ b

c

q₂ a,b

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Notations formelles

Plan

1. Diagrammes de transitions 2. Notations formelles

3. Tables de transition

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Notations formelles

Fonction de transition

§ Définition formelle de l’automate :A= (Q,Σ, δ,q₀,F)

‚ ÉtatsQ=tq₀,q₁,q₂, . . .u

‚ Alphabet Σ =ta,b,c, . . .u

‚ Fonction de transitionδ:QˆΣÑQY H

‚ État initialq₀

‚ Ensemble d’états finauxF (avecFĂQ)

§ Importance de lafonction de transition

‚ Cœur de l’automate (entrée : état et symbole / sortie : état)

‚ Exemples :δ(q₀,a) =q₁ ou δ(q₁,b) =q₀

‚ Valeurs à définir : |Q| ˚ |Σ|

‚ Une transition « qui n’existe pas » donneH

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Notations formelles

Fonction de transition étendue

§ La fonction de transition n’effectue qu’une transition ñ Comment savoir quel état est atteint avecntransitions ?

‚ Pourabc, il faut calculer δ(δ(δ(q₀,a),b),c)

ñ Impossible de savoir combien de fois appliquerδ …

§ Fonction récursiveδ^˚ :QˆΣ^˚ ÑQY tHu

‚ Forme générale : δ^˚(q,w) avec wPΣ^˚

‚ Siw=aavecaPΣ ñ Retournerδ(q,a)

‚ Siw=x.aavecxPΣ^˚,aPΣ ñ Retournerδ(δ^˚(q,x),a)

‚ Permet de faire des transitions sur lesmots

ñ Quel état est atteint pour un état et un mot donné ?

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Notations formelles

Langage reconnu

§ Un automate reconnaît un langage

ñ Concaténation de symboles telles que les transitions conduisent, depuis l’état initial, à un état final ñ L=twPΣ^˚|δ^˚(q₀,w)P Fu

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Tables de transition

Plan

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Table de transition

§ Représentation équivalente aux diagrammes

‚ Lignes : états

‚ Colonnes: symboles

‚ Cases: résultat de la fonction de transition

§ Notations

‚ État initial : flèche

‚ État final : étoile

§ Exemple (cf diagramme)

Q a b c

Ñ ˚q₀ q₀ q₁ H q₁ q₂ q₂ q₀

˚q₂ H H H

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Exercices

§ Modélisez par diagramme et faites la table de transision des automates qui reconnaissent

‚ Une des déclinaisons de « beau »

‚ Un nombre entre 10 et 15

‚ Un nombre parmi 10, 15, 20, 25, 30, 35

‚ Une dizaine entre 0 et 50

‚ Un mot parmi « report, reporter, apporter »

‚ Un nombre pair entre 10 et 50

‚ Un mot parmi « bla », « blabla », « blablabla », etc.

‚ Une combinaisons de « hi(...) » et de « bla... »

‚ Une heure au formatHH:MM

‚ Une date au formatJJ/MM/AAAA

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Automates non déterministes

Plan

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Types d’automates

§ Terminologie

‚ FSA: Finite State Automata

‚ DFA : Deterministic Finite state Automata

‚ NFA: Non-deterministic Finite state Automata

‚ ϵ-NFA : NFA avec transitions ϵ

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NFA

§ Fonction de transition renvoit un ensemble δ:QˆΣÑQ^˚

§ Dans les représentations

‚ Diagramme : plusieurs transitions pour un état / symbole

‚ Table : une case peut contenir plusieurs états

ñ Comment reconnaître tous les mots se terminant par ab?

§ Fonction de transition étendue δ^˚:QˆΣ^˚ ÑQ^˚

‚ Forme générale : δ^˚(q,w) avec wPΣ^˚

‚ Siw=x.aavecaPΣ ñ RetournerYrPδ^˚(q,x)δ(r,a)

ñ Union des états atteints selon les états précédents

‚ Siw=aavecaPΣ ñ Retournerδ(q,a)

§ Langage reconnu : L=tw|δ^˚(q₀,w)XF ‰ Hu

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Exercice

§ Dessinez un automate qui reconnaît un code couleur

‚ Avec 2 chiffres héxadécimaux (par ex.A05B)

‚ Avec 2 chiffres de 000 à 256 en décimal (par ex.138027)

§ Exécutez l’automate pour indiquer les états atteints pour

‚ FFFF

‚ 5243

‚ 005132

‚ 2A5B

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Exercice

§ Dessinez les DFA et NFA sur Σ :ta,b,c,duqui reconnaissent

‚ Les mots contenant ad, puis au moins un c, puis da

‚ Les mots dont l’avant dernière lettre est unbou und

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ϵ-NFA

§ Fonction de transition peut renvoyerϵ δ:QˆΣY tϵu Ñ Q^˚

§ Extension des NFA

‚ Facilité de transition :ϵ

‚ Exemple : reconnaître le langage tabcc,abdcd,ac,adu q₀ a q₁ b q₂ c q₃

ϵ

q₄ c,d

§ Calcul de la fermeture transitive d’un état

‚ Initialisation :@q_i PQ,q_iPfermeture(q_i)

‚ Itération :@q_iPQ, si δ(q_i, ϵ) =R alorsRĂfermeture(q_i) ñ fermeture(q_i) contient tous les états atteints avec ϵ

§ Fonction de transition étendue sur

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Exercice

§ Dessinez un automate qui reconnaît des dates

‚ Des années seules (par ex.2010)

‚ Des mois / années (par ex.11/2020)

‚ Des jours / mois / années (par ex.21/05/2010)

‚ Les jours et les mois peuvent être sans 0

§ Exécutez l’automate pour indiquer les états atteints pour

‚ 2017

‚ 1193

‚ 05/1980

‚ 12/1995

‚ 31/10/1979

‚ 3/5/2015

‚ 10/10/2010

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Propriétés des langages réguliers et compléments

Plan

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Propriétés des automates et langages réguliers

§ Pour un NFA, il existe un DFA équivalent ñ États comme sous-ensembles d’états

§ Lecomplémentaire d’un langage régulier est régulier ñ Inversion états initial / finaux

§ Lafermeture d’un langage régulier est régulière ñ Transitionsϵ finaux vers initial

§ L’union de deux langages réguliers est régulière

§ Le produit de deux langages réguliers est régulier

§ L’intersection de deux langages réguliers est régulier

§ Par homomorphisme, un langage reste régulier ñ Homorphisme :f(x˚y) =f(x)‹f(y)

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Compléments

§ Dérivationcomme transition entre configurations (DFA)

‚ Configuration: état et mot à lire(q,w)

‚ Dérivation :(q,w)Ñ(q¹,w¹)

ñ Transition avecw=a.w¹ par δ(q,a) =q¹

§ Calcul du langage généréà partir d’un état

‚ Fonction récursive

L(q) =Y_aPΣa.L(δ(q,a))Yf(q) avec f(q) =ϵsiqPF

ñ L’ensemble peut être de cardinalité infinie

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TP Unitex

§ Unitex

‚ Disponible en ligne sur le site de l’IGM

‚ Logiciel à base d’automates (dictionnaires, grammaires, etc.)

§ Travail sur un projet à définir par promotion

‚ 2015/2016 : textes de loi (codes : civil / pénal / travail)

‚ 2016/2017 : textes littéraires historiques

‚ 2017/2018 : arguments, avis, opinions

‚ …