E607- Le problème des 40 voleurs Solution
Question n°1
On remarque tout d’abord que le nombre des voleurs n ne peut pas être un nombre impair pour qu’ils soient tous libérés. Le Roi comptant à chaque fois un nombre d’emplacements égal au numéro des prisonniers, il est plus commode de considérer la séquence de libération des voleurs plutôt que de se donner la disposition des voleurs sur le cercle sachant que l’on passe sans difficultés de la première à la seconde. Soit a11,a2,a3,...,an-1,an n cette séquence.
Le fils du Roi étant libéré le premier, le premier terme de la séquence est 1 tandis que le dernier nombre ne peut être que n si l’on veut que tous les prisonniers soient libérés. Le nombre d’emplacements par rapport à l’origine que le Roi comptera après chaque libération sera : a ,1 a1a2,a1a2a3,... jusqu’à l’avant-dernier a1a2a3,...an1. Une condition nécessaire pour que les n voleurs soient libérés est que le Roi ne retombe jamais sur
l’emplacement qu’occupait le premier voleur, son fils. Mathématiquement, cela se traduit par la propriété qu’aucune des sommes a ,1 a1a2,a1a2a3,...a1a2a3,...an1 ne doit pas être un multiple de n. Or lorsque le Roi aura libéré l’avant-dernier voleur, il aura compté un nombre d’emplacements égal à la somme 1+2+3+…+n-1 puisque seul le dernier voleur ne sera pas libéré et ceci quel que soit l’ordre dans lequel les voleurs ont été libérés . Cette somme vaut n(n-1)/2. Si n est impair soit 2p+1, elle s’écrit p(2p+1) qui est toujours divisible par n=2p+1, donc, après la libération de l’avant-dernier voleur le Roi reviendra à
l’emplacement qu’occupait son fils et le dernier voleur sera exécuté. A l’inverse, pour n pair, soit 2p, la somme vaut p(2p-1) qui n’est jamais divisible par 2p et le problème peut avoir une solution.
Il apparaît ainsi que le problème peut se formuler de la manière suivante : ranger les n-1 premiers nombres entiers en commençant par 1 dans un ordre tel qu’aucune somme de termes consécutifs ne soit divisible par n.
Pour n=6, on trouve par tâtonnement ou à l’aide d’un programme informatique très simple la séquence de libération :
1, 4, 3, 2, 5, 6
d’où la disposition des voleurs sur le cercle :1, 4, 2, 6, 5 et 3.Pour n=8, un programme informatique simple permet d’identifier 4 solutions parmi lesquelles la séquence de libération :1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 qui stricto sensu n’est pas conforme aux
contraintes imposées par le Roi dans la mesure où le chef des voleurs est libérée en 2ème position. La position correspondante des voleurs serait alors : 1, 2, 5, 3, 8, 7, 4, 6. Plus
orthodoxe est la séquence de libération :
1, 6, 3, 4, 5, 2, 7 et 8
qui donne la disposition sur le cercle :1, 6, 4, 2, 8, 7, 5 et 3.Pour n=10, 43 configurations possibles incluant celles où le chef des voleurs est libérée avant la moitié des voleurs. Parmi les solutions conformes aux hypothèses initiales, on peut
retenir les séquences de libération : 1, 3, 4, 8, 7, 9, 5, 2, 6, 10 et
1, 8, 3, 6, 5, 4, 7, 2, 9, 10
.Pour n=12, le nombre de configurations possibles passe à 382. Deux exemples de séquences de libération : 1, 4, 11, 10, 8, 9, 2, 6, 5, 3, 7, 12 qui donne la disposition : 1, 4, 8, 5, 10, 11, 12, 2, 3, 6, 9, 7 sur le cercle et
1,10, 3, 8, 5, 6, 7, 4, 9, 2, 11, 12.
Un examen des séquences de libération montre que quel que soit n , il existe des séquences de libération dans lesquelles les nombres impairs sont dans l’ordre croissant de la gauche vers la droite tandis que les nombres pairs sont dans l’ordre croissant de la droite vers la gauche (le dernier étant exclu). Ces séquences sont repérées en bleu.
On peut donc généraliser pour n quelconque pair et prendre comme ordre de libération :
1, n- 2, 3, n-4, 5,….,n-3, 2, n-1, n.
D’où la séquence de libération pour n=40 : 1, 38, 3, 36, 5, 34, 7, 32, 9, 30, 11, 28, 13, 26, 15, 24, 17, 22, 19, 20, 21, 18, 23, 16, 25, 14, 27, 12, 29, 10, 31, 8, 33, 6, 35, 4, 37, 2, 39, 40 et la disposition correspondante sur le cercle : 1, 38, 36, 34, 32, 30, 28, 26, 24, 22, 20, 18, 16, 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2, 40, 39, 37, 35, 33, 31, 29, 27, 25, 23, 21, 19, 17, 15, 13, 11, 9, 7, 5, 3.
Question n°2
Il est toujours possible de libérer en premier le n°2. Une des solutions est la suivante pour l’emplacement des prisonniers sur le cercle : 2, 27, 33, 3, 10, 4, 24,12, 13, 39, 16, 25, 29, 5, 23, 7, 15, 17, 20, 32, 40, 11, 38, 34, 31, 22, 37, 18, 1, 36, 26, 8, 21 , 19, 30, 9, 14, 6, 35, 28.
