Examen de Validation du Module Complément de Formation 2 : Analyse 1

www.crmefk.ma

CRMEF-RSK / Section Kénitra

Examen de Validation du Module Complément de Formation 2 : Analyse 1

Cycle : Secondaire Durée : 2H

Exercice 1

1. Soient les deux suites numériques (U_n)_n≥1 et (V_n)_n≥1 suivantes :

U_n=

k=n

X

k=1

√1 k

!

−2√

n , V_n=

k=n

X

k=1

√1 k

!

−2√ n+ 1

Montrer que (U_n)_n≥1 et (V_n)_n≥1 sont adjacentes. Que peut-on conclure ?

2. Soienta etb deux nombres réels strictement positifs . On noteH,GetA, respectivement les moyennes harmonique, géométrique et arithmétique de a etb, dénies par

1 H = 1

2(1 a +1

b) , G=√

ab et A= 1

2(a+b) a) Montrer que H≤G≤A.

b) Soient (a_n)n≥1 et (b_n)n≥1 deux suites dénies par la donnée de réels strictement positifs,a₀ et b₀ et les relations de récurrence suivantes

∀n∈N, a_n+1 = 1

2(a_n+b_n) et 1 b_n+1 = 1

2 1

a_n + 1 b_n

. Montrer que (a_n)_n≥1 et (b_n)_n≥1 sont adjacentes.

c) Vérer que a_n+1b_n+1 =a_nb_n et déduire la limite de (a_n)_n≥1 en fonction dea₀ etb₀.

Exercice 2

Pour tout n ∈N^∗, on considére la fonction,

(f_n(x) = xe^−1nx −1 x >0

f_n(0) =−1 .

Soit (C_n) la courbe de f_n dans un repére orthonormé.

1. Etudier la continuité def_n sur [0,+∞[

2. En utilisant la dénition étudier la monotonie de la fonctionf_n sur ]0; +∞[ . 3. Etudier la position relative des deux courbes(C_n) et(C_n+1).

4. a) Montrer que (∀n ≥1) (∃!x_n>0)f_n(x_n) = 0

b) Etudier la monotonie de la suite (x_n)n≥1 . En déduire qu'elle converge.

c) Montrer que (∀n ≥1)x_n >1 . d) Montrer que limx_n= 1

Exercice 3

1. Soitf :R−→R une fonction injective et continue.

i. Supposons qu'il existe x < y < z tels que f(x)> f(y) et f(y)< f(z).

Vérier que pour tout α tel que f(y) < α < min{f(x), f(z)}, il existe a ∈]x, y[ et b ∈]y, z[ tels quef(a) = α=f(b).

ii. Déduire que f est strictement monotone.

2. Soitg :R−→R une fonction vériant la relationg◦g(x) =−x. i. Vérier que g est injective.

ii. Montrer que g n'est pas continue sur R .

Page 1 sur 1 A.Formation 2017/2018

Département de Mathématiques

Examen de Validation du Module :

Complément de Formation

1

Algèbre & Géométrie ( 1 ) Cycle secondaire / Spécialité :

Mathématiques

Date d’évaluation 26 avril 2018

Durée 2h

Page 1 sur 2

I.

Algèbre

Exercice :

1) Préciser toutes les propriétés vérifiées par l’addition dans et en déduire la structure de . (1 pt )

2) Soit . Montrer que est un sous-groupe de . ( 0.5 pt )

3) Soit

un sous-groupe de , montrer qu’il est de la forme , dont on pécisera l’entier naturel

. ( 1.5 pts )

4) Déterminer tous les sous-groupes

de , vérifiant , 

 ^{. (1 pt )}

5) Pour

et , on pose ̅ { } et ⁄ { ̅ } On définit dans ⁄ , l’addition par : ̅ ̅ ̅̅̅̅̅̅̅ pour tout .

i)

Montrer que ⁄ { ̅ ̅ ̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅}. ( 1 pt )

ii)

Calculer dans ⁄ les expressions : ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ . (0.5 pt )

iii)

Montrer que ⁄ est un groupe abélien. (1 pt ) 6) i) Caractériser tous les sous- groupes de ⁄ ( 0.75 pt)

ii) Traiter le cas particulier du groupe ⁄ . ( 0.75 pt)

7) Soit

, on considère l’application ⁄ , définie par :

 

pour tout .

i)

Montrer que

est un homomorphisme de groupes. ( 0.5 pt )

ii)

Vérifier que

est surjective. ( 0.5 pt )

iii)

Calculer

 

, en déduire que

n’est pas injective. ( 1 pt )

Département de Mathématiques

Examen de Validation du Module :

Complément de Formation

1

Algèbre & Géométrie ( 1 ) Cycle secondaire / Spécialité :

Mathématiques

Date d’évaluation 26 avril 2018

Durée 2h

Page 2 sur 2

II. Géométrie

: ميوقتلا خيرات ليربأ 26

2102 طيطخ تلا ةءوزجم ءافيتسا

لا كلس يوناث

صصخت

تايضايرلا

ةبعش تايضايرلا

: ةحفصلا ىلع 0

0 ناتعاس :زاجنلإا ةدم

: ةيعضولا قايس

هلفسأ ةيجوغاديب ةقاطب

دحأ اهدعأ ةذتاسأ

تايضايرلا ل طيطختلا راطإ يف

ةصح ةيسارد .

.ذ 1 مقر ةذاذجلا 1: مقر ةصحلا عإ ةيناثلا : ىوتسملا ربجلا: ةداملا تلاداعملا : سردلا

ت ضيير اهلحو تايعضو -

ةجردلا نم تلاداعمل لوؤت تلاداعم لح 1

دحاو لوهجمب

- تاردق فادهلأا

ةلداعم لح لكش ىلع

b =0 ةلداعملا لح ax+

(ax+b).(cx+d)=0 ةصحلا فادهأ

ةيرذجلا دادعلأا ىلع تايلمعلا –

ةلداعملا =b

+a ،x =b

،ax ةيلبقلا تابستكملا

ةروبس - ذيملتلا باتك -

ناولأ لئاسولا

ةـــــــــــــــــصــــــــــــحلا رــــــــــــــيــــــــــس

ميظنتو ةلكيه ملعتملا طاشن سردملا طاشن تقولا ريبدت– تايعضولا

- ا تابستكملا ضعبب ريكذتل

- ةلأسم لح لحارم

- ئاتنلا هذه نيودت رتافدلا ىلع ج

- ةعومجملا لخاد يأرلا ءادبإ

- . تايطعملاو بولطملا ديدحت -

. ةمهملا زاجنإ

- . ةجيتنلا ةغايص

- عوضوملاب ذيملاتلا مامتها ةراثإ

- ةلئسأ – . ةبوجأ

- . ثحبلا عبتت

- ثعتملا معد . نير

طاشن 1 : 11 د – ضييرت ةيعضو

تابستكملا فيظوتب اهلحو ةطيسب . ةيلبقلا يف لاغتشا تاعومجم

ةلئسلاا

:

ددح ؟ سردل يلبقلا دادعلإا ةيمهأ

2 ) ن

2 .

؟ سردل طيطختلا لحارم يه ام

3 .

فرع ؟ يجوغاديب ويرانيس

.

عجارملاو قئاثولا يه ام ا

لا ةمز ل ؟سردل طيطختل

2 ) ن

5 .

مدق ادرج ل تاظحلام ك

هلاعأ ةيجوغاديبلا ةقاطبلا لوح

؟

4 ) ن

6 .

هلاعأ ةقاطبلا ةغايص دعأ حبصت يك

ةيفص ةسراممل ةبسانم .ةديج

( 9 ) ن

: ميوقتلا خيرات ليربأ 62

6102

تايضايرلا ةبعش ةحفصلا

0 :

0 ىلع ناتعاس : زاجنلإا ةدم

ريبدتلا ةءوزجم ءافيتسا 1

يوناثلا كلس

: ةيعضولا قايس دم حرط ةيسارد ةصح ريبدت لحارم ىدحا يف ملات ىلع تايضايرلا ةدامل سر

يلاتلا لاؤسلا هتذ :

ام ةيلاتلا ةرابعلا ةقيقح ةميق يه :

"

ةعومجملا يف نييلوا نيددع عومجم

" يجوز ددع وه ℕ

يتلااك ذيملاتلا ضعب ةبوجا تناك ريكفتلا نم ةلهم دعب :

مقر ذيملتلا باوج 1

انيدل 1 1 2   2 1 لولاا دحلا لجلأ ةحيحص ةرابعلا نذا

ةحيحص ةرابعلا نا ضرتفن لجلأ

n

نا يا 2

p q n 1

n ل ةبسنلاب ةحيحص اهنا نيبنو انيدل (p 1) (q    1) p q 2 2n 2 2(n1)

ةحيحص ةرابعلا نذا مقر ذيملتلا باوج

2

انيدل و p

دع نييلوا نيد

نييدرف امهف نذا نا ينعي (2 1) (2 n 1)

p q n  

نا ينعي

 

4 2 2 1

p q n  n

و ةحيحص ةرابعلا ناف هنم

مقر ذيملتلا باوج 3

2 1

p q n ثيحب nيعيبط حيحص ددع دجوي نذا يدرف ددع pq نا ضرتفن

2 1

p n q نا ينعي يدرف هناف يلوا ددع q نا امب

2 1

q m ثيحبm يعيبط حيحص ددع دجوب نذا

2 1 (2 1) 2( )

p n  m  nm نا ينعي يلوا ددعp نوك عم ضقانت اذهو

لأا ةلئس

1 جردني يذلا ىوتسملا مث سردلا ددح . هيف

سردملا لاؤس .

(

1 ن )

2 هحرط يذلا لاؤسلا بتكا . سردملا

مازلتسا لكش ىلع .نيترابع

( 1..

)ن

3 ةرابعلا يفن ددح . .

( 1..

ن )

4 ضايرلا تلالادتسلاا عاونا ددح . فرط نم ةلمعتسملا ةي

لا ذيملاتلا ث

ثلا ت عم تلالادتسلاا هذه افرعم ة ميدق

لاثم

عون لك نع .

( 3 )ن

. لا ءاطخلاا ددح . ت

ذيملت لك اهبكترا ي .

( 3 )ن

6 كرظن يف يه ام .

، ءاطخلاا هذه نوبكتري ذيملاتلا تلعج يتلا بابسلاا طاشن حرتقاو

ا

؟أطخ لك ةجلاعمل (

3 ن )

7 جا . ب حرط يذلا لاؤسلا نع ا ه

ملات ىلع ذاتسلا هتذ

ب لامعتسا نيعون

نيفلتخم نم

للادتسلاا يضايرلا

مث

بتكا للادتسا لك هتلمعتسا

.يقطنم نوناق لكش ىلع

( 4 )ن

8 حرتقا . ةطاطخ ؤسلا ىلع ةباجلاا ىلع ذيملاتلا ةدعاسمل ةبسانم

.سردملا فرط نم حورطملا لا (

3 )ن

: ميوقتلا خيرات ليربأ 42

4102 : ةحفصلا ىلع 0

0 ناتعاس :زاجنلإا ةدم

ريبدتلا ةءوزجم ءافيتسا 1

تايضايرلا /

يئادتبلإا كلس

: ةيعضولا قايس يئادتبإ سداسلا ىوتسمب ةيديلقلإا ةمسقلا موهفم قيبطت راطإ يف ،

نيسردملا دحأ مدق هتذملاتل

يلاتلا طاشنلا يذلا

ةيسردملا بتكلا دحأ نم هصن ذخأ :

: طاشنلا صن ةمهاسم تناك ثيحب رقفلا ةبراحم لجأ نم نماضتلا ةراش ءارشل غلبملا سفنب ةسردمب سداسلا مسقلا ذيملات مهاس

يه ذيملت لك 451

يه تامهاسملا عومجم .اميتنس 2111

.اميتنس

) 1 ؟ مسقلا ذيملات ددع ام

) 2 وه ةدحاولا ةراشلا نمث نأ تملع اذإ ةارتشملا تاراشلا ددع ام ؟ اميتنس 053

) 0 ام ؟ يقبتملا غلبملا وه

: ةلئسلأا

. 1 .حرتقملا طاشنلا زجنأ

(

) ن3

. 2 ؟ يئادتبلإا كلسب ةررقملا تايضايرلا تلااجم نم طاشنلا اذه هيلإ يمتني يذلا لاجملا وه ام

1 ( ) ن

. 0 ؟ طاشنلا اذه اهفظوي يتلا تاردقلا يه ام

2 ( ) ن

. 4 أ- ركذا ؟ طاشنلا اذهل مهزاجنإ دنع نيملعتملا ضرتعت نأ نكمي يتلا تابوعصلا ضعب

2( ) ن

ب - ؟ تابوعصلا هذه ةجلاعمل ةبسانم اهارت يتلا تاحارتقلاا يه ام

( 2 ) ن

. 5 أ - ؟ لصفلا لخاد طاشنلا اذه ريبدتل ةبسانم اهارت يتلا تاوطخلا يه ام

1 ( ) ن

ب – ويرانيس مدق طاشنلا اذه ريبدتل يجوغاديب

.لصفلا لخاد

( 5 ) ن

. 6 مقر لاؤسلا نع هباوج يف فرط نم حرتقملا طاشنلا نم ) 1

زاجنلإا ذيملاتلا دحأ مدق ،ذاتسلأا هبناج

:

أ

– هزاجنإ دنع ذيملتلا اذه هبكترا يذلا أطخلا ددح

ةمسقلا ةيلمعل

1 ( ) ن .

ب

– ؟ أطخلا اذه رداصم يه ام ،كرظن يف

( 1 ) ن

ج

– .أطخلا اذه ةجلاعمل ةقيرط حرتقا

( 2 ) ن