C OURS DE P ROBABILITE

1 Royaume du Maroc

Ministère de l’Education Nationale,

de la Formation Professionnelle, de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

Secrétariat d’Etat Chargé de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

L ^ICENCE F ONDAMENTALE

S ^EMESTRE 2

(Séances 9 et10)

C ^{OURS DE} P ^ROBABILITE

P

^R

SMOUNI R

^ACHID

2

Chapitre 5 : Lois usuelles continues

Ce chapitre aborde les distributions continues à savoir la distribution

normale et les distributions dérivées de cette dernière qui sont : la distribution de

khi deux, la distribution de Student et la distribution de Fischer. Ces lois dérivées

sont plus des outils d’estimation et de test.

3

I- La loi normale

1- Définition

La loi de probabilité la plus utilisée en statistique est la loi normale, encore appelée loi de Gauss, ou de Laplace-Gauss. En effet, cette loi normale est l'une des lois de probabilité les plus adaptées pour modéliser des phénomènes naturels issus de plusieurs événements aléatoires similaires et indépendantes.

On dit que la variable aléatoire X suit une loi normale de moyenne et de variance respectivement l’espérance et la variance ( ; ) et qui est notée :

Sa densité de probabilité est donnée par la fonction f(x) qui a pour équation :

✓ m est la moyenne ;

✓ est la variance ;

✓  est l’écart type.

La loi normale est symétrique au niveau de sa moyenne.

On peut la représenter comme suit :

m  ²

²) N(m,

~ 

X

² 2

)

( ²

2 ) 1

(

^





m x

e x

f

−

−

=

 ²

4

f(x)

m m+

m−



 

x

2- caractéristiques de la loi normale

✓

✓ Tel que:

(En posant )

m

X E ( ) =

² ) ( X =  V

dx x e

X E

m x

² 2

)² (

) 2

(

^





−

 − +





−

=

dt m e

t

t

2 2

2

²









₋

 +





−

⁺

=

 2 m t = x −

dt te dt

e

m 

^t



−⁺^{ t}

 − +



−

−

+

= 1

^²

2

^²







m e

m

^t

=

 

 −

+

=

+



−

−







0

²

2 1 2







−⁺^

−

−

−

= x m e dx

X V

m x

² 2

)² (

2 )² ) (

(

^





dt t e

_t

2 2

²

²

2

_²









−

 +





−

=

5

(En posant )

 2 m t = x −

2 ².

1 2

1

²

2

_²

0

²





 ₌



 







 



   − −

 −

= 

−⁺^

−

=

 +



−

−

e dt

te

^{t t}







dt e t

^t



−⁺^

= 2 ² ²

−^²





6

3- La loi normale centrée réduite 3-1 Définition

On appelle loi normale centrée réduite la loi normale de paramètres : la moyenne est nulle et l’écart type est égale à l’unité, soit m = 0 et = 1.

Ainsi, la densité de probabilité devient :

La fonction de répartition F(x) s’écrit :

On remarque que,

✓ si : (loi normale)

✓ alors : (loi normale centrée réduite).

Il faut vérifier que l’intégrale de f(x) sur est égale à 1.

De plus :

✓ E(X)= 0

✓ V(X)=1.

D’où la représentation graphique de la loi normale centrée et réduite suivante (sous forme de cloche) :

n

0 x

3-2 Fonction de répartition



2

²

2 ) 1

(

x

e x

f =

⁻



dt e x

F

^x



− t

−

=

^2²

2 ) 1

( 

) , ( m  N X →

) 1 , 0 ( m N

X − →





7

Rappelons que la fonction de répartition F(X) d’une V.A « X » de densité f(x) est donnée par :

Avec Donc :

4- Utilisation de la table de la loi normale centrée et réduite

4-1 Exemple d'utilisation de la table de la loi normale centrée et réduite Pour calculer π(x) avec un nombre positif x, il suffit d'utiliser directement la table exemple :

Pour calculer π (x) avec un nombre négatif, on utilise la propriété : Pour tout réel x on a : π (- x) = 1 - π (x)

Si X est une variable aléatoire suivant la loi N (0 ; 1 ) On a : P (- x X x) = 2 π (x) – 1

4-2 Exemple d’application

Voici quelques exemples montrant l’utilisation de cette table pour calculer des probabilités relatives à une V.A « X » qui suit la loi N(0,1).

✓ π (1,2) = 0,88493

✓ π (-1,2) = 1 - 0,88493 = 0,11507

✓ P(X ≤ 2,11) = π(2,11) = 0,983

✓ P(X ≤ −2,11) = π(−2,11) = 1 − 0,983 = 0,017

✓ P(−1 ≤ X ≤ 1) = π(1) − π(−1) = 2π(1) − 1 = 0,683

✓ P(−3 ≤ X ≤ 3) = π(3) − π(−3) = 2π(3) − 1 = 0,997



−

=



= P X x

^x

f t dt X

F ( ) ( ) ( ) _{x  }

dt e

X

^x



− t

−

=



^2²

2 ) 1

( 

8

On trouve une table qui figure à l’annexe de de ce document qui donne les valeurs de π( x) _pour

4-3 Quelques calculs typiques

Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale N(m, 𝜎) alors la variable aléatoire « 𝑇 =

^𝑋−𝑚

𝜎

», suit une loi normale centrée réduite. On ramène donc le calcul de P(X≤ 𝑎) à celui de P(

^𝑋−𝑚

𝜎

≤

^𝑎−𝑚

𝜎

)

1- calculer P(X 3,2) sachant que X suit une loi normale : N (2 ; 0,5).

✓ 𝑃(𝑋 ≤ 3,2) = 𝑃 (

^𝑋−2

0,5

≤ 𝑇 ≤

^3,2−2

0,5

)

✓ 𝑃(𝑋 ≤ 3,2) = 𝑃(𝑇 ≤ 2,4) = 0,9918

2- calculer P (284< X 306) sachant que X suit une loi normale N (175;8) :

✓ 𝑃(284 ≤ 𝑋 ≤ 3,2) = 𝑃 (

^285−175

8

≤ 𝑇 ≤

^306−175

8

)

✓ 𝑃(284 ≤ 𝑋 ≤ 3,2) = 𝑃(−1 ≤ 𝑇 ≤ 1) = 2𝜋(1) − 1

✓ 𝑃(284 ≤ 𝑋 ≤ 3,2) = 2𝜋(1) − 1 = 0,6826

3- chercher le réel a tel que p(X<a) = 0.9, sachant que X suit une loi normale N(1000 ; 110) :

✓ 𝑃(𝑋 ≤ 𝑎) = 0,90 ⇔ 𝑃 (

^𝑋−1000

110

≤

^𝑎−1000

110

) = 0,90

✓ 𝑃(𝑋 ≤ 𝑎) = 0,90 ⇔ 𝑃 (𝑇 ≤

^𝑎−1000

110

) = 0,90

✓

𝑃 (𝑇 ≤

^𝑎−1000

110

) = 0,90 ⇔ 𝜋 (

^𝑎−1000

110

) = 0,90

✓ ⇔

^𝑎−1000

110

= 1,28 par la lecture inverse de la table de la loi normale centrée réduite.

.

 0

X

9

✓ ⇒ 𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑎 = 140,8

5- Somme et différence de variables aléatoires normales indépendantes Si 𝑋

₁

est une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres m1 et 𝛔1

,

Si 𝑋

₂

est une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres m2 et 𝛔2

Si 𝑋

₁

et 𝑋

₂

sont indépendants, alors : 5-1 Somme de deux lois normales

(𝑋

₁

+ 𝑋

₂

) suit la loi normale d’espérance mathématique (m1+ m2) et d’écart type √σ

₁²

+ σ

₁²

.

𝑋

₁

+ 𝑋

₂

→ 𝑁(𝑚

₁

+ 𝑚

₂

, √𝜎

₁²

+ 𝜎

₂²

)

5-2 Différence de deux lois normales

(X

₁

− X

₂

) suit la loi normale d’espérance mathématique (m1- m2) et d’écart type

√σ

₁²

+ σ

₁²

.

X

₁

− X

₂

→ N(m

₁

− m

₂

, √σ

₁²

+ σ

₂²

)

6- Exemples d’applications

I- Soit T une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite. Calculer les probabilités de valeurs suivantes, avec

T =

) , (

_{1 1}

1

N m 

X →

) , (

_{2 2}

2

N m 

X →

) 1 , 0 ( m N

X − →



10

1- P(T<0), 2- P(T<2,04), 3- P(T>2,21), 4- P(T<-1,95).

5- P(-1<T<2), 6- P(-3<T<-1).

Réponse

Les différentes calculs des probabilités liées aux variables aléatoires se font à la l’aide de la table de la fonction de répartition π(t) tels que :

1 - P(T<0) = π(0) = 0,5.

2- P(T<2,04) = π(2,04) = 0,9793.

3- P(T<-1,95) = π (-1,95)

= 1-π(1,95)= 1- 0,9744

= 0,0256.

4- P(T>2,21) = 1-P(T<2,21)

= 1- π(2,21) = 1-0,9864

= 0,0136.

5- P(-1<T<2) = π(2) - π(-1)

= π(2) – (1-π(1))

= π(2) –1 + π(1)

= 0,9772+0,8413-1

= 0,8185

6- P(-3<T<-1) = π(-3) - π(-1)

= 1- π(3) – (1-π(1))

= π(3) –π(1)

11

= 0,9986 – 0,8413

= 0,1573.

II- Soit T une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite.

Déterminer la valeur t dans chacun des cas suivants : 1- P(T<t) = 0,8238,

2- P(T<t) = 0,1112, 3- P(t<T<1) = 0,6826.

Réponse

1- Si P(T<t) = 0,8238 ⇔ π(t) = 0,8238

et l’on détermine t par la lecture inverse de la table de la loi normale centrée réduite π.

On constate alors que π (0,93) = 0,8238 dont t = 0,93.

2- De même pour P(T<t) = 0,1112 ⇔ π(t) = 0,1112.

Mais il se trouve que valeur (0,1112) ne figure pas sur la table de la loi normale centrée réduite π(x). Cela signifie que t est négative.

Donc, π (-t) = 1 - 0,1112 = 0,8888 et par lecture inverse t = -1,22.

3- Si P(t<T<1) = 0,6826 cela implique π(1) –π(t) = 0,6826

Donc, π(t) = π(1) – 0,6826 = 0,8413 - 0,6826 = 0,1587 qui ne se trouve pas dans la table de la loi normale centrée réduite π.

Cela signifie que « t » est négative.

Donc, π (-t) = 1 - 0,1587 = 0,8413 et par lecture inverse t = -1.

12

III- Le poids des tomates produites par un jardinier obéit à une loi normale de moyenne m = 200 gramme et d'écart type  = 40 gramme.

1- Calculez la probabilité que le poids d'une tomate excède 250 gramme.

%.

6 , 10 106

, 0

) 25 , 1 ( 1 ) 25 , 1 (

40 ) 200 250 40

( 200 )

250 (

soit

T P T

P P x x

P

=



−

=



=

 −

= −



2- Calculez la probabilité que le poids d'une tomate soit inférieur à 100 gramme.

%.

6 , 0 006

, 0

) 5 , 2 ( 1 ) 5 , 2 (

40 ) 200 100 40

( 200 )

100 (

soit

T P T

P P x x

P

=



−

=

−



=

 −

= −



3- Calculez la probabilité que le poids d'une tomate soit inférieur à 230 gramme.

%.

3 , 77 773

, 0

) 75 , 0 (

40 ) 200 230 40

( 200 )

230 (

soit T

P P x x

P

=



=

 −

= −



4- Calculez la probabilité que le poids d’une tomate ne s’écarte pas de la valeur moyenne de plus de 20 gramme ?

%.

2 , 38 382

, 0 1 ) 5 , 0 ( 2

) 5 , 0 (

) 5 , 0 (

) 5 , 0 5

, 0 ( 40 )

20 40

( 20 )

20 20

(

soit T

P

T P T

P

T P

P x

P

=

−





=

−



− +



=

+





− + =

− 

= +





−

13

II- Lois associées à la loi normale

1- Loi du à n degrés de liberté 1-1 Définition

Soient des variables aléatoires indépendantes qui suivent toutes la loi normale centrée et réduite N(0,1).

La variable aléatoire , s’appelle un (lire khi-deux) à n degrés de liberté.

La densité de la variable aléatoire est donnée par la formule suivante :

✓ ;

✓ ( Est une constante).

1-2 Moyenne et Variance de la loi de

2- Loi de « S

TUDENT

» à n degrés de liberté 2-1 Définition

Soient X et Y deux VA indépendantes, la première étant normale N(0,1) et la deuxième étant un .

 ²

X

n

X

X

₁

+

₂

+ ... +

2 2

2 2 1

2

...

_n

n

= X + X + + X

  ²

2



n ) 2 ( 1 ) 2

)

(

(

_n ^{n X}

n

X C X e

f =

^{− −}

 0 X C

_n

n

²







= =

=

=

=

ⁿ

i

i n

i i

n

E X E X n

E

1

2 2

2

) ( ) ( )

( 

 







= = =

=

−

=

=

=

ⁿ

i

i i

i n

i n

i i

n

V X V X E X E X n

V

1

2 4

2 1

1 2

2

) ( ) ( ) ( ) ( )² 2

( 

2



n

14

La variable aléatoire est appelée une VA de « Student » à n degré de

liberté.

La densité de la VA est donnée par la formule suivante :

✓

✓ ( est une constante).

2-2 Moyenne et Variance de la variable aléatoire T de « Student »

,

3- Loi de Fisher à n

1

et n

2

degrés de liberté 3-1 Définition

Soient et deux indépendants.

La variable aléatoire de Fisher à n1 et n2 degrés de liberté :

La densité de la variable aléatoire est donnée par la formule suivante :

✓ ;

✓ X>0

n Y T = X

2 / ) 1

)

(

/

² 1 ( )

( =

_n

+

^{− n+}

n

x C x n

f





x C

_n

0 ) ( T = E

) 2

( = −

n T n

V n  2

2 1



n



_n²₂



²

( )

(

²_{2 2}

)

1 2 1 1

2

n

F n

n n n

n

₌  

1 2 n

F

n

( 1 ) ( 1 2)/2

2 1

1

2

( )

)

( X CX

ⁿ

n X n

^{n n}

f =

⁻

+

^{− +}

15

3-2 Espérance et Variance

✓ ;

Avec n

2

>2

✓ ;

Avec n

2

>4

) 2 (

)

( F = n

₂

n

₂

− E

) 4 )²(

2 (

) 2 (

2 )

( F = n

₂²

n

₁

+ n

₂

− n

₁

n

₂

− n

₂

−

V

16

T ^ABLES S TATISTIQUES

17 1-TABLE DE LA FONCTION DE REPARTITION DE LA LOI NORMALE CENTREE ET REDUITE

t 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 05359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 05753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 06141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 06517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 06879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 07224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 07549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7703 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 07852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 08133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 08389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 08621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 08830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 090147 1,3 0,90320 0,90490 0,90658 0,90824 0,90988 0,91149 0,91309 0,91466 0,91621 0,91774 1,4 0,91924 0,92073 0,92220 0,92364 0,92507 0,92647 0,92785 0,92922 0,93056 0,93189 1,5 0,93319 0,93448 0,93574 0,93699 0,93822 0,93943 0,94062 0,94179 0,94295 0,94408 1,6 0,94520 0,94630 0,94738 0,94845 0,94950 0,95053 0,95154 0,95254 0,95352 0,95449 1,7 0,95543 0,95637 0,95728 0,95818 0,95907 0,95994 0,96080 0,96164 0,96246 0,96327 1,8 0,96407 0,96485 0,96562 0,96638 0,96712 0,96784 0,96856 0,96926 0,96995 0,97062 1,9 0,97128 0,97193 0,97257 0,97320 0,97381 0,97441 0,97500 0,97558 0,97615 0,97670 2,0 0,97725 0,97778 0,97831 0,97882 0,97932 0,97982 0,98030 0,98077 0,98124 0,98169 2,1 0,98214 0,98257 0,98300 0,98341 0,98382 0,98422 0,98461 0,98500 0,98537 0,98574 2,2 0,98610 0,98645 0,98679 0,98713 0,98745 0,98778 0,98809 0,98840 0,98870 0,98899 2,3 0,98928 0,98956 0,98983 0,99010 0,99036 0,99061 0,99086 0,99111 0,99134 0,99158 2,4 0,99180 0,99202 0,99224 0,99245 0,99266 0,99286 0,99305 0,99324 0,99343 0,99361 2,5 0,99379 0,99396 0,99413 0,99430 0,99446 0,99461 0,99477 0,99492 0,99506 0,99520 2,6 0,99534 0,99547 0,99560 0,99573 0,99585 0,99598 0,99609 0,99621 0,99632 0,99643 2,7 0,99653 0,99664 0,99674 0,99683 0,99693 0,99702 0,99711 0,99720 0,99728 0,99736 2,8 0,99744 0,99752 0,99760 0,99767 0,99774 0,99781 0,99788 0,99795 0,99801 0,99807 2,9 0,99813 0,99819 0,99825 0,99831 0,99836 0,99841 0,99846 0,99851 0,99856 0,99861 3,0 0,99865 0,99869 0,99874 0,99878 0,99882 0,99886 0,99889 0,99893 0,99897 0,99900 3,1 0,99903 0,99906 0,99910 0,99913 0,99916 0,99918 0,99921 0,99924 0,99926 0,99929 3,2 0,99931 0,99934 0,99936 0,99938 0,99940 0,99942 0,99944 0,99946 0,99948 0,99950 3,3 0,99952 0,99953 0,99955 0,99957 0,99958 0,99960 0,99961 0,99962 0,99964 0,99965 3,4 0,99966 0,99968 0,99969 0,99970 0,99971 0,99972 0,99973 0,99974 0,99975 0,99976 3,5 0,99977 0,99978 0,99978 0,99979 0,99980 0,99981 0,99981 0,99982 0,99983 0,99983 3,6 0,99984 0,99985 0,99985 0,99986 0,99986 0,99987 0,99987 0,99988 0,99988 0,99989

18

2- T

ABLE DE LA LOI DE

K

HI DEUX DE

P

^EARSON

k / p 0,0005 0,001 0,005 0,01 0,025 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 1 0,06393 0,05157 0,04393 0,03157 0,03982 0,02393 0,0158 0,0642 0,148 0,275 2 0,02100 0,02200 0,0100 0,0201 0,0506 0,103 0,211 0,446 0,713 1,02 3 0,0153 0,0243 0,0717 0,115 0,216 0,352 0,584 1,00 1,42 1,87 4 0,0639 0,0908 0,207 0,297 0,484 0,711 1,06 1,65 2,19 2,75 5 0,158 0,210 0,412 0,554 0,831 1,15 1,61 2,34 3,00 3,66 6 0,299 0,381 0,676 0,872 1,24 1,64 2,20 3,07 3,83 4,57 7 0,485 0,598 0,989 1,24 1,69 2,17 2,83 3,82 4,67 5,49 8 0,710 0,857 1,34 1,65 2,18 2,73 3,49 4,59 5,53 6,42 9 0,972 01,15 1,73 2,09 2,70 3,33 4,17 5,38 6,39 7,36 10 01,26 1,48 2,16 2,56 3,25 3,94 4,87 6,18 7,27 8,30 11 01,59 1,83 2,60 3,05 3,82 4,57 5,58 6,99 8,15 9,24 12 01,93 2,21 3,07 3,57 4,40 5,23 6,30 7,81 9,03 10,2 13 02,31 2,62 3,57 4,11 5,01 5,89 7,04 8,63 9,93 11,1 14 02,70 3,04 4,07 4,66 5,63 6,57 7,79 9,47 10,8 12,1 15 03,11 3,48 4,60 5,23 6,26 7,26 8,55 10,3 11,7 13,0 16 03,54 3,94 5,14 5,81 6,91 7,96 9,31 11,2 12,6 14,0 17 03,98 4,42 5,70 6,41 7,56 8,67 10,1 12,0 13,5 14,9 18 04,44 4,90 6,26 7,01 8,23 9,39 10,9 12,9 14,4 15,9 19 04,91 5,41 6,84 7,63 8,91 10,1 11,7 13,7 15,4 16,9 20 05,40 5,92 7,43 8,26 9,59 10,9 12,4 14,6 16,3 17,8 21 05,90 6,45 8,03 8,90 10,3 11,6 13,2 15,4 17,2 18,8 22 06,40 6,98 8,64 9,54 11,0 12,3 14,0 16,3 18,1 19,7 23 06,92 7,53 9,26 10,2 11,7 13,1 14,8 17,2 19,0 20,7 24 07,45 8,08 9,89 10,9 12,4 13,8 15,7 18,1 19,9 21,7 25 07,99 8,65 10,5 11,5 13,1 14,6 16,5 18,9 20,9 22,6 26 08,54 9,22 11,2 12,2 13,8 15,4 17,3 19,8 21,8 23,6 27 09,09 9,80 11,8 12,9 14,6 16,2 18,1 20,7 22,7 24,5 28 09,66 10,4 12,5 13,6 15,3 16,9 18,9 21,6 23,6 25,5 29 010,2 11,0 13,1 14,3 16,0 17,7 19,8 22,5 24,6 26,5 30 010,8 11,6 13,8 15,0 16,8 18,5 20,6 23,4 25,5 27,4

19

3- T

ABLE DE LA LOI DE

K

HI DEUX DE

P

EARSON

(

SUITE

)

k / p 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995 0,999 0,9995 1 0,455 0,708 1,07 1,64 2,71 3,84 5,02 6,63 7,88 10,8 12,1 2 1,39 1,83 2,41 3,22 4,61 5,99 7,38 9,21 10,6 13,8 15,2 3 2,37 2,95 3,67 4,64 6,25 7,81 9,35 11,3 12,8 16,3 17,7 4 3,36 4,04 4,88 5,99 7,78 9,49 11,1 13,3 14,9 18,5 20,0 5 4,35 5,13 6,06 7,29 9,24 11,1 12,8 15,1 16,7 20,5 22,1 6 5,35 6,21 7,23 8,56 10,6 12,6 14,4 16,8 18,5 22,5 24,1 7 6,35 7,28 8,38 9,80 12,0 14,1 16,0 18,5 20,3 24,3 26,0 8 7,34 8,35 9,52 11,0 13,4 15,5 17,5 20,1 22,0 26,1 27,9 9 8,34 9,41 10,7 12,2 14,7 16,9 19,0 21,7 23,6 27,9 29,7 10 9,34 10,5 11,8 13,4 16,0 18,3 20,5 23,2 25,2 29,6 31,4 11 10,3 11,5 12,9 14,6 17,3 19,7 21,9 24,7 26,8 31,3 33,1 12 11,3 12,6 14,0 15,8 18,5 21,0 23,3 26,2 28,3 32,9 34,8 13 12,3 13,6 15,1 17,0 19,8 22,4 24,7 27,7 29,8 34,5 36,5 14 13,3 14,7 16,2 18,2 21,1 23,7 26,1 29,1 31,3 36,1 38,1 15 14,3 15,7 17,3 19,3 22,3 25,0 27,5 30,6 32,8 37,7 39,7 16 15,3 16,8 18,4 20,5 23,5 26,3 28,8 32,0 34,3 39,3 41,3 17 16,3 17,8 19,5 21,6 24,8 27,6 30,2 33,4 35,7 40,8 42,9 18 17,3 18,9 20,6 22,8 26,0 28,9 31,5 34,8 37,2 42,3 44,4 19 18,3 19,9 21,7 23,9 27,2 30,1 32,9 36,2 38,6 43,8 46,0 20 19,3 21,0 22,8 25,0 28,4 31,4 34,2 37,6 40,0 45,3 47,5 21 20,3 22,0 23,9 26,2 29,6 32,7 35,5 38,9 41,4 46,8 49,0 22 21,3 23,0 24,9 27,3 30,8 33,9 36,8 40,3 42,8 48,3 50,5 23 22,3 24,1 26,0 28,4 32,0 35,2 38,1 41,6 44,2 49,7 52,0 24 23,3 25,1 27,1 29,6 33,2 36,4 39,4 43,0 45,6 51,2 53,5 25 24,3 26,1 28,2 30,7 34,4 37,7 40,6 44,3 46,9 52,6 54,9 26 25,3 27,2 29,2 31,8 35,6 38,9 41,9 45,6 48,3 54,1 56,4 27 26,3 28,2 30,3 32,9 36,7 40,1 43,2 47,0 49,6 55,5 57,9 28 27,3 29,2 31,4 34,0 37,9 41,3 44,5 48,3 51,0 56,9 59,3 29 28,3 30,3 32,5 35,1 39,1 42,6 45,7 49,6 52,3 58,3 60,7 30 29,3 31,3 33,5 36,3 40,3 43,8 47,0 50,9 53,7 59,7 62,2

20

4- T

ABLE DE LA LOI DE

S

^TUDENT

k / p 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995 0,999 0,9995 1 0,325 0,727 1,376 3,078 6,314 12,71 31,82 63,66 318,3 636,6 2 0,289 0,617 1,061 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 22,33 031,60 3 0,277 0,584 0,978 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 10,22 012,94 4 0,271 0,569 0,941 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 7,173 08,610 5 0,267 0,559 0,920 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 5,893 06,859 6 0,265 0,553 0,906 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,208 05,959 7 0,263 0,549 0,896 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,785 05,405 8 0,262 0,546 0,889 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 4,501 05,041 9 0,261 0,543 0,883 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,297 04,781 10 0,260 0,542 0,879 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,144 04,587 11 0,260 0,540 0,876 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,025 04,437 12 0,259 0,539 0,873 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,930 04,318 13 0,259 0,538 0,870 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,852 04,221 14 0,258 0,537 0,868 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,787 04,140 15 0,258 0,536 0,866 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,733 04,073 16 0,258 0,535 0,865 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,686 04,015 17 0,257 0,534 0,863 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,646 03,965 18 0,257 0,534 0,862 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,611 03,922 19 0,257 0,533 0,861 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,579 03,883 20 0,257 0,533 0,860 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,552 03,850 21 0,257 0,532 0,859 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,527 03,819 22 0,256 0,532 0,858 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,505 03,792 23 0,256 0,532 0,858 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,485 03,767 24 0,256 0,531 0,857 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,467 03,745 25 0,256 0,531 0,856 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,450 03,725 26 0,256 0,531 0,856 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,435 03,707 27 0,256 0,531 0,855 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,421 03,690 28 0,256 0,530 0,855 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,408 03,674 29 0,256 0,530 0,854 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,396 03,659 30 0,256 0,530 0,854 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,385 03,646 40 0,255 0,529 0,851 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,307 03,551 60 0,254 0,527 0,848 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,232 03,460 80 0,254 0,527 0,846 1,292 1,664 1,990 2,374 2,639 3,195 03,415 100 0,254 0,526 0,845 1,290 1,660 1,984 2,365 2,626 3,174 03,389 200 0,254 0,525 0,843 1,286 1,653 1,972 2,345 2,601 3,131 03,339 500 0,253 0,525 0,842 1,283 1,648 1,965 2,334 2,586 3,106 03,310