114 LA HOUILLE BLANCHE
Sur les mouvements d'accordéon des trains électriques à propos d'un problème d'examen de licence
par L BARBILLION, Professeur à la Faculté des Sciences de F Université de Grenoble
Le problème de licence d o n t il a été donné, dans un des der
niers numéros de « L a Houille Blanche * (1) l'énoncé et la solution, a soulevé quelque i n t é r ê t . N o u s croyons donc de ne pas i m p o r t u n e r le lecteur en d o n n a n t , c e t t e fois encore, cou- naissance d'un problème d'inspiraiion i d e n t i q u e qui soulève u n certain n o m b r e de questions électro-mécaniques assez
délicates.
Ci-après le t e x t e de l'énoncé et l'esquisse de la solution.
Enoncé
U n convoi d'essai sur u n e ligne de profil en r a m p e continue a fait l'objet de phénomènes q u ' o n d e m a n d e d'analyser. E n gravissant c e t t e r a m p e d'inclinaison a, la v o i t u r e m o t r i c e pen
d a n t 4 secondes a été d é p o u r v u e de c o u r a n t m o t e u r . Sa vitesse initiale était de 20 k m . p a r h e u r e . Au b o u t de 4 secondes, le c o u r a n t a y a n t été remis p a r le w a t t m a n n , les appareils enre
gistreurs o n t manifesté l'existence de m o u v e m e n t s d'accor
déon très i m p o r t a n t s , e n t r e la v o i t u r e motrice et la r e m o r q u e c o n s t i t u a n t le convoi. Ces oscillations se sont éteintes au b o u t d'un certain t e m p s ; elles sont de forme sinusoïdale amortie.
On d e m a n d e d ' i n t e r p r é t e r a n a l y t i q u e m e n t ces phénomènes et de déterminer en particulier la forme de l ' é q u a t i o n qui peut les représenter, x (t) élongation e n t r e motrice e t r e m o r q u e On supposera é g a u x à l'unité t o u s les r e n d e m e n t s , du tiolley à la j a n t e . On déterminera p r é a l a b l e m e n t la vitesse à laquelle é t a i t t o m b é le convoi a v a n t la reprise du c o u r a n t m o t e u r .
Application numérique : R a m p e de la ligne a = 2 m / m par m è t r e . L a ligne est en a l i g n e m e n t droit, la m o t r i c e pèse P = 10 tonnes, la r e m o r q u e Q = 10 t o n n e s . Le coefficient de roule
m e n t en palier de la motrice est de 8 k g . p a r t o n n e , celui de la r e m o r q u e de 3.kg, p a r t o n n e .
U n effort amortisseur s'exerce, pour diverses causes et n o t a m m e n t du fait de l'air emprisonné e n t r e les parois se faisant vis-à-vis de la m o t r i c e et d e l à r e m o r q u e . Expression de cet effort r a p p o r t é au poids de la m o t r i c e : 0 2 x 1 0 ~3P
a l
D ' a p r è s les caractéristiques de l ' é q u i p e m e n t m o t e u r , il a été fourni à la reprise un effort t o t a l à la j a n t e de 210 kilos.
On en déduira l'accélération à la reprise.
On supposera que les ressorts de l'attelage o n t une longueur l0 lorsqu'ils ne t r a v a i l l e n t pas. D a n s la progression normale du train en la ligne considérée, leur allongement é t a i t de 5 cen
t i m è t r e s .
Solution
L e c o u r a n t é t a n t coupé p e n d a n t 4 secondes, le m o u v e m e n t
devient u n i f o r m é m e n t décéléré, et la vitesse, c o m m e il est facile de le calculer, passe de 20 k m . p a r h e u r e à 18,6.
L e convoi é t a n t en r a m p e , et la r e m o r q u e p o u s s a n t la motrice, lors de la reprise du c o u r a n t , un effort d'accéléiation est mis à la disposition de la m o t r i c e , effort qui sert :
1° à accroître la vitesse de celle-ci ;
2° à e n t r a î n e r la r e m o r q u e à la m ê m e v i t e s s e ;
T o u s les r e n d e m e n t s é t a n t é g a u x à 1, on t r o u v e que sur l'effort de 210 kg. exercé à la j a n t e , 150 s e r v e n t au roulement cle la m o t r i c e et de la r e m o r q u e , 60 é t a n t disponibles pour l'accélération.
On c o n s t a t e également que c e t t e accélération est égale à 3 cm /s /s.
D ' a u t r e p a r t , l'effort a p p l i q u é au ressort, qui était de com- pression a v a n t la reprise, d e v i e n t -d'extension. Il est propor
tionnel à l'élongation du ressort. A l'extension, la force sera d ' a u t a n t plus p e t i t e q u e x sera plus faible (force attractive).
D ' a u t r e p a r t , si l'on t i e n t c o m p t e de l'effort amortisseur, e t si, calculant de façon suffisamment a p p r o c h é e , on remplace l'accélération cle 981 c m / s / s . p a r 1000, on o b t i e n t l'équation- clef du problème qui est la s u i v a n t e :
x .
n Qd x .
d'où
x
A e - 0, U s i n ( Z + v)(1) « L a Houille Blanche » (Juillet-Août 1932).
L e m o u v e m e n t est sinusoïdal a m o r t i , l a période est approxi
m a t i v e m e n t égale à 2 IL
On définit les c o n s t a n t e s À et v p a r les conditions au départ ci-après :
P o u r / — o, x = — 5 c / m .
Toujours p o u r t = o, l'accélération y0 est de 3 c m / s / s . On en d é d u i t la valeur de A e t celle de v.
On p o u r r a t r a c e r la courbe x(t) e t c o n s t a t e r les affaiblis
s e m e n t s au b o u t de c h a q u e période de l ' a m p l i t u d e du mouve
m e n t .
A n o t e r que la solution est double :
I I 311 Ou bien v représente un angle compris e n t r e et e t alors A est positif. Ou bien l'angle v e s t compris entre o e t e t A est négatif.
L a chose n ' a du r e s t e a u c u n e i m p o r t a n c e ; la solution ana
l y t i q u e est u n i q u e .
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