Une modélisation bayesienne du taux de défaillance en fiabilité

R EVUE DE STATISTIQUE APPLIQUÉE

J. R ^INGLER

Une modélisation bayesienne du taux de défaillance en fiabilité

Revue de statistique appliquée, tome 29, n

^o

1 (1981), p. 43-56

<http://www.numdam.org/item?id=RSA_1981__29_1_43_0>

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43

UNE MODELISATION BAYESIENNE DU TAUX DE DEFAILLANCE EN FIABILITE

J. RINGLER

MATRA 37, ^av. Louis Bréguet - ⁷⁸¹⁴⁰ Vélizy

RESUME

L’approche classique ^en

fiabilité,

^dans laquelle ^{il n’est} pas fait de "détail" entre les taux de défaillance des divers composants

électroniques

constituant un lot

réputé homogène,

conduit à un certain nombre de difficultés formelles qui ^{seront mises en évidence. Il est}

alors

proposé

^{une nouvelle} approche, ^dans laquelle chaque composant ^{du lot est carac-} térisé _par sa

"capacité

propre de résistance à la contrainte". Cette approche ^{conduit à} pos- tuler l’existence d’un "lambda" individuel attaché à chaque composant, ^et donc celle d’une distribution statistique ^des "lambda" au niveau du lot.

Prenant cette distribution _pour loi "a priori", ^un traitement bayesien ^{est alors mis en}

0153uvre. Il en résulte la formalisation d’un taux de panne inconditionnel reflétant le taux de panne moyen du lot considéré. En choisissant _pour distribution a priori ^{une loi de} type gamma,

justifiée

par des raisons d’ordre pratique ^et

théorique,

^{il sera montré} que le taux de panne inconditionnel décroit hyperboliquement ^{avec le} temps. ^{Il s’en suit un}

nouveau profil de la "courbe en baignoire", ^dans lequel ^le palier horizontal devient

légè-

rement incliné. Enfin, ^{le modèle}

proposé

permet ^{de trouver une relation} simple ^{entre le} temps ^de

déverminage

^{réalisé sur un lot de} composants ^{et le taux} de panne inconditionnel de ce lot en fin de

déverminage.

1.

QUELQUES

CONSIDERATIONS GENERALES

Il est fort _peu douteux que, dans le domaine de la

fiabilité,

^aucun

concept

n’ait _eu, à ce

jour,

^{une faveur}

équivalente

^{à celle du très - et}

peut-être trop -

célèbre "taux de défaillance"

désigné

communément _par la lettre grecque

"lambda".

Sur ^un

plan purement formel,

^le "lambda" des fiabilistes doit être étroi- tement associé au

problème

de la survivance d’un mécanisme

pris

^{au sens}

large : composants - mécaniques

^ou

électriques -

^chaînes

cinématiques, dispositifs électroniques complexes, systèmes pyrotechniques,

^{etc. Plus}

précisément,

^si

l’on

désigne

par

R(t)

^la fiabilité -ou

probabilité

de survie - d’un mécanisme

Le

présent

^{article a été}

présenté

par l’auteur au Second Colloque International sur

la Fiabilité et le Maintenabilité (Perros-Guirec -

Trégastel,

Sept. 1980).

Revue de Statistique Appliquée, 1981, vol. XXIX, n° 1

Mots-clés :

Techniques bayésiennes,

^{Taux de}

défaillance, Déverminage.

44

déterminé à l’instant t, ^et par dR la

probabilité

élémentaire d’avarie de ^ce mécanisme entre les instants t et t +

dt,

^{le taux} de défaillance

peut

être consi- déré comme une fonction du

temps À(t) ayant

pour

expression :

Dans un domaine confiné au

champ

^de

l’électronique,

^il

semblerait,

^de

manière

empirique,

que, dans le cas d’un lot suffisamment

important

^{de com-}

posants homogènes,

c’est-à-dire du même

type

^{et d’un niveau de}

qualité

^ana-

logue,

^{les instants}

d’apparitions

^de pannes franches de ces

composants

^soient

régis

par ^un processus de mortalité sensiblement

poissonnien,

^ce

qui

^{conduit à} admettre une valeur à _peu

près

constante - donc

indépendante

^du

temps -

^du

taux de défaillance associé aux

composants

^du lot considéré. Bien

entendu,

ce taux constant

dépend

à la fois du

type

^de

composant,

^{de son niveau de} qua-

lité,

^{et de son}

profil

d’utilisation.

L’admission

quasi

^{unanime d’un taux de} panne ^constant des _compo- sants

électroniques

^{conduit ainsi à une}

grande simplification

des calculs de

fiabilité,

pour ^{ne citer} que l’addition des "lambda"

lorsque

^{l’on a} affaire à des

composants

^en

série,

^et

permet

par ailleurs l’élaboration de

banques

^{de données}

de "lambda". Ce sont

probablement

^{ces deux raisons}

qui,

^{à elles}

seules,

^ex-

pliquent

^ce succès incontesté du "lambda" dans le

champ

d’activités de la fiabilité. Si l’on veut bien se

remémorer, enfin,

que l’éclosion de la fiabilité en tant que

technique spécifique

^{de la}

prévision

^{s’est faite en}

phase

^{avec l’avène-}

ment de

l’électronique,

^il

n’y

^{a dès lors}

plus

lieu de s’étonner de cet engouement des

spécialistes

^en fiabilité à raisonner en terme de

"lambda", quitte même, parfois,

à étendre ce

concept,

^{non sans certains}

risques,

à des domaines autres que

l’électronique,

pour ^ne citer que celui de la

mécanique.

Ces

quelques rappels

^étant

faits,

^{si l’on se} propose d’aller ^un peu

plus

loin au fond des

choses,

^on

peut cependant

^{se rendre}

compte,

^au

prix

^de

quelques

réflexions

élémentaires,

que la

signification profonde

^du "lambda" n’est pas aussi

simple qu’il n’y paraît.

Par

exemple, lorsque

l’on considère un ensemble de

composants

^électro-

niques,

^doit-on attribuer à

chaque composant

^{la même} valeur de

"lambda", quand

bien même cet ensemble constituerait ^un lot assez

homogène ?

^{A la}

limite,

^cette

question

^{a-t-elle même un} sens, et, ^dans la

négative,

seule la notion de "lambda" attaché à un

composant

^abstrait

qui représenterait

^en

quelque

sorte le

composant

^le

plus

banalisé du lot considéré ne devrait-elle pas être

susceptible

^d’être

prise

^en

compte ?

La célèbre "courbe en

baignoire" -

^ou

bathtub - curve -

(Fig. 1),

elle aussi

largement

^{reconnue comme}

digne

^{de foi}

par la

majorité

^des

spécialistes

^en

fiabilité,

^invite d’ailleurs à aller dans ce sens, car, si l’on raisonnait en terme de "lambda"

individuel,

^{on voit mal}

pourquoi,

durant les

premiers temps

^de fonctionnement d’un

composant donné,

^{le taux}

de panne de ^ce

composant

diminuerait ou, autrement

dit,

par

quel

^{facteur mi-}

raculeux la

capacité

à survivre de ce

composant

s’améliorerait au cours du

temps.

Il s’en _{suit que}

l’image

de la courbe ^en

baignoire

^{est bien}

plutôt représentative

d’un taux de _panne

correspondant

^à celui d’un

composant

moyen d’un lot

donné,

^{lot dont le niveau de}

qualité

s’améliore au fur et à mesure que les

composants qui

^étaient

potentiellement

^les

plus

^{faibles se voient}

progressive-

ment éliminés.

Revue de Statistique Appliquée, 1981, vol XXIX, n° 1

45

Figure 1. - La courbe en baignoire classique ^ou "bathtub - curve"

Ainsi,

^sur la vue de la

classique "bath-curve", passé

^la

période

^dite "infan- tile" -

partie

^{AB sur la}

figure

^{1 -, le taux de} panne du

composant représentant

le mieux le

composant

moyen du lot à un moment donné de l’existence de

celui-ci, apparaît

^se stabiliser autour d’une valeur bien déterminée. Le

composant

^{est à}

ce moment considéré comme étant dans sa

période

de "vie utile" dont l’abou- tissement

conduit, beaucoup plus tard,

^{à un état où les}

phénomènes

^d’usure

font _{que le} "lambda" se remet à croître. En suivant cette

approche classique,

c’est durant la

période

de "vie utile" que ^se manifesterait un processus de ^mor- talité de

type poissonien

^{dans la mesure} où c’est dans cette

période

que le ^taux de panne,

qui

^est celui fourni _par les tables de

données,

^{semble être constant.}

Toutefois,

un nouveau

problème

^se pose relativement à cette

période

de "vie utile" des

composants.

^Une difficulté

apparaît

^en effet à la lecture des tables de données elles-mêmes. Ces tables

indiquent

^en effet diverses valeurs de "lambda" _pour un

type

^de

composant

déterminé travaillant dans des condi- tions de contraintes et d’environnement bien

spécifiées,

^{en fonction de cer-}

tains niveaux de

qualité

attribués à ce

composant.

^{Par niveau de}

qualité,

^nous

entendons l’ensemble

plus

^{ou moins}

important

^{des tests et contrôles}

qui

^ont

été mis en oeuvre pour éliminer la

plus grande proportion

^de

composants

po- tentiellement viciés. D’un bout à l’autre de

l’échelle,

par

exemple,

^{nous trou-}

vons le

composant

^le

plus

standard d’une

part,

^{et le}

composant "spatial"

d’autre

part,

dont les "lambda" associés peuvent ^{être entre eux dans un} rap-

port supérieur

^{à cent. Une}

technique parmi

^{celles visant} à éliminer les _compo- sants les

plus

^{faibles -}

techniques

^{dites de}

"screening" -

^{consiste à laisser vieillir}

un certain

temps, parfois

^sous contraintes

accélérées,

^{un lot de}

composants.

On admet alors

qu’au

^{terme de ce} vieillissement artificiel ou

"déverminage",

on est

passé

^du

point

^{A au}

point

^B de la courbe ^en

baignoire,

^et que la

période

de vie utile à "lambda" constant

peut

^être considérée comme abordée.

Dans ces

conditions,

^comment

expliquer qu’un "déverminage" plus

^pro-

longé

par

exemple

^{que le}

précédent

^et

correspondant

^{de la sorte à un niveau}

de

qualité supérieur

du lot de

composants considéré,

^aurait

conduit, après

consultation des tables de

données,

^{à un taux de} panne

meilleur,

c’est-à-dire

plus

^{faible en} valeur absolue ? Car il

s’agit bien,

^{à ce}

niveau,

^{de taux} de panne constants, dans un cas comme dans l’autre. Faut-il

alors,

^{comme le font cer-}

tains auteurs, ^admettre l’existence de

paliers

horizontaux différents de la courbe

en

baignoire -

^en

pointillés

^{sur la}

figure

^{1 -}

paliers

^d’autant

plus

bas que le

déverminage

^{a été}

davantage prolongé ?

^{Dans cette vision des}

choses,

^on

peut

toutefois se demander

pourquoi,

^{une fois amorcé le}

palier

^{nominal en trait}

plein,

le taux de panne ^ne continue pas à

décroître,

par raison de similitude ^{avec un}

complément

^de

déverminage.

Revue de Statistique Appliquée, 1981, ^vol XXIX, n° ¹

46

Dans

l’optique inverse,

^où l’on considère _{que le} fait de passer d’un dé-

verminage

^{de durée t à un}

déverminage

^{de durée t +}

t 1

conduit à passer du

point

^{B au}

point BI

^{sur la}

partie

descendante de la courbe ^en

baignoire,

^on

ne

peut plus,

^{en toute}

rigueur,

^{raisonner en terme de taux} de panne ^constant dans une

période

d’utilisation du

composant compris

^entre t et t +

tl ,

^ce

qui

^{va à} l’encontre du

principe

^{des tables de données}

qui,

pour ^un niveau de

qualité

^{de ce}

composant correspondant

^{à un}

déverminage

^de durée t, lui ^assi-

gneraient

^un "lambda" bien déterminé et

parfaitement

^constant.

En

résumé,

^{si l’on}

postule

l’existence des

paliers

horizontaux des courbes

en

baignoire,

^{on est} amené à caractériser un niveau de

déverminage

^donné

-

hypothèse

^de

multi-paliers

pour la même courbe en

baignoire -,

^ou

bien,

dans

l’hypothèse

^d’un

palier unique,

par ^une

position plus

^{ou moins basse sur}

la

partie gauche

^{de la courbe.}

Ces deux

approches conduisant,

^{comme on l’a} vu, à des contradictions de

principe

^{avec les tables de}

données,

^il

apparaît légitime d’envisager

^{une nou-}

velle

approche susceptible

^{de déboucher sur un}

profil quelque

peu différent de la

classique

"bath-curve". Pour

cela, quelques compléments

^{de réflexion sur}

la nature

profonde

du lambda vont être

apportés

dans le cadre du

chapitre

suivant.

2. UN POINT DE VUE SUR LA SIGNIFICATION DU LAMBDA

De manière

sous-jacente

^{à sa} formulation

mathématique,

^le "lambda"

traduit,

^{sur un}

plan plus physique,

^la

capacité plus

^{ou moins}

grande

^d’un

composant -

^{ou d’un}

type

déterminé de

composant -

à résister avec succès

aux différentes contraintes d’environnement

auxquelles il

^est

susceptible

d’être soumis.

Or,

comme nous pensons l’avoir démontré au cours de nos réflexions

précédentes,

^il

apparaît

que le "détail" n’est pas fait

parmi

^les

composants

issus d’un même lot de

fabrication, ayant

^{le même niveau de}

qualité

^{et un}

profil

d’utilisation

identique.

La fiabilité de tous les

composants

^{du lot est} ainsi rendue

banalisée,

^ce

qui

^{revient à affecter le même} "lambda" à chacun de ces

composants.

^Plus

précisément,

la succession des défaillances survenant au cours du

temps

^n’est

envisagée

ainsi que ^sous les

auspices

d’un processus de mortalité

poissonien

affectant l’ensemble du

lot,

^sans

préjugé

^{du fait} que tel

composant ayant

^été trouvé défaillant avant tel autre

pouvait

^être

"poten-

tiellement" moins résistant _que ce dernier.

Dans ces

conditions,

^une

philosophie

différente consiste à ne

plus

^ad-

mettre cette identité de "résistances

potentielles"

pour chacun des

composants

d’un même lot. Nous

allons,

^au

contraire,

caractériser un

composant

^donné par ^un certain

degré

de résistance à une contrainte de nature déterminée

(élec- trique, thermique... )

^On

désignera

ainsi par

ri

la résistance

potentielle

du

ième _composant

à la contrainte de

nature j. En première approximation,

il suffira d’admettre que ^la

quantité _ri,j représente

le niveau maximum de contrainte de

nature j

que

peut supporter

^sans détérioration notable le

ième

composant

considéré. Le processus est, ^en

réalité, plus complexe,

^{en raison des}

Revue de Statistique Appliquée, 1981, vol. XXIX, n’ 1

47

effets cumulatifs des contraintes

répétées

et, ^a

fortiori,

de contraintes combinées de natures différentes.

La

présente philosophie

n’en serait pour ^autant pas

invalidée,

^car il suffi-

rait,

pour ^être

plus précis,

^de considérer de manière

plus

^{extensive une fonction}

globale ri,j&#x3E;

^dans

laquelle

^le

symbole (j)

^{traduit la}

prise

^en

compte

^de contraintes simultanées

1, 2 , ... , j , ....

En suivant cette

philosophie,

^{nous nous trouvons ainsi fondés à admettre}

que le

phénomène

"défaillance" d’un

composant

"i"

est,

^en

réalité,

^{la résul-}

tante de deux facteurs tout à fait

indépendants

^{l’un de l’autre :}

- d’une

part

^la résistance

ri,j

^du

^composant

^{à toute}

contrainte j

- d’autre

part

^le

spectre

véritable de chacune des contraintes

auxquelles

ce

composant

^{est soumis.}

De manière

plus imagée,

^{on a}

représenté,

^{sur la}

figure 2,

^{un même}

spectre

de contrainte de

nature j appliquée

^{à deux}

composants

^{i et}

k,

^{d’un même}

type,

^mais

présentant

des niveaux différents de résistance à la

contrainte j , soit respectivement _rij

^et

_rk,j.

^{Si l’on}

admet,

^en

première approxima- tion,

que ^ces niveaux restent à peu

près

^{constants dans la}

période

de "vie utile" des

composants

considérés - autrement-dit avant les

premiers symptômes

de l’usure - on

voit,

^{sur la}

figure 2,

que les

composants

^{i et} k seraient res-

pectivement

défaillants aux instants

ti

^et

tk

^avec

tk &#x3E; ti

^’

Figure ²

En

réalité,

^deux

composants

différents ne sont

jamais

^{soumis à des}

spectres

de

contraintes j rigoureusement identiques.

^C’est

pourquoi,

^en

pratique,

^deux

composants qui présenteraient,

^{dans un cas limite}

théorique,

des niveaux

équi-

valents de résistance à l’ensemble des contraintes

(j ),

^ont peu de chance de tomber défaillants simultanément. Plus

précisément,

^celà

signifie

que, si le taux de défaillance d’un

composant

^donné

est,

pour ^un environnement

déterminé,

directement corrélé à sa résistance aux contraintes

(j ) auxquelles

^{il est soumis}

c’est,

^en

revanche,

^le

spectre

^exact des contraintes

(j) qui

^{est la cause d’un}

processus de mortalité

apparemment poissonien.

La connaissance

parfaite

^d’un

tel

spectre

multidimensionnel étant

pratiquement inaccessible,

^on

conçoit

^bien

que le

phénomène

^de défaillance

catalectique puisse

^{être considéré comme} étant

davantage

^{de nature} aléatoire que ^{de nature} déterministe.

Cette

philosophie

^étant

acceptée,

^il

apparaît

^à

présent

intéressant d’en

explorer

^les

conséquences

^{au niveau d’un lot entier de}

composants.

Revue de Statistique Appliquée, 1981, vol. XXIX, n° ¹

48

Dans ^cet

objectif,

^la

prise

^en

compte

de l’existence d’un

éventail, plus

ou moins

étendu,

^des résistances à la contraW te des différents

composants

^{du lot}

conduit,

^de

façon naturelle,

^à l’utilisation d’une

approche bayesienne.

3. UNE MODELISATION BAYESIENNE DU TAUX DE DEFAILLANCE

Considérons un lot de

composants

^d’un

type

^{déterminé et issu d’une} même

ligne

de fabrication.

Si l’on

admet,

pour

chaque composant

individualisé "i" de ce

lot,

^une résistance

ri,j&#x3E;

^au

^spectre

de contraintes

j&#x3E;,

^{on est conduit à admettre}

l’existence

d’une

distribution

statistique g(ri,j&#x3E;)

^des

^quantités ri,j&#x3E;. Or,

on l’a vu

précédemment,

^{le taux de}

défaillance

Xi du

composant i

^{est une}

quantité mathématique

directement corrélée à la résistance au

spectre

^de contraintes

ri,

j&#x3E; de ce

composant,

^ce

qui signifie qu’à

^{une fonction}

ri,j&#x3E;

donnée

correspond univoquement

^{une valeur Ai} déterminée.

. Par

conséquent,

l’existence de la distribution

g(ri,j&#x3E;)

^entraîne

^celle,

de manière aussi

univoque,

^{de la même} distribution

g(Ài)

^{sur les taux de dé-}

faillance des

composants

du lot considéré.

Notons bien que, contrairement à

l’approche bayesienne classique

^dans

laquelle

^la

quantité

^Xi

apparaîtrait

comme une variable aléatoire censée re-

présenter

^{un taux de} défaillance

unique

^mais

inconnu, chaque

^{Ài est} ici par- faitement déterminé par univocité ^avec la fonction

ri,j&#x3E;

^{et a,} par consé-

quent

^{une valeur}

"objective".

^La distribution

g(03BBi) -que

^nous

désignerons dorénavant,

pour

simplifier

l’écriture _par

g(X)- représente

^{ainsi la} distribution de

quantités physiques parfaitement

déterminées -celle des taux de défail- lance des

composants

^d’un

lot -,

^{et non celle d’une variable} aléatoire.

Cepen- dant,

^à

partir

^{du moment} où le nombre de

composants

^{du lot est} suffisament

important,

^ce que ^nous supposerons, nous sommes fondés à admettre une va-

riation sensiblement continue sur l’ensemble des "lambda" du lot

considéré,

et donc à traiter la distribution

g(X)

^comme celle d’une variable aléatoire pour

laquelle

^la

quantité

différentielle dX

représenterait,

^en

réalité,

^{la diffé-}

rance élémentaire des taux de défaillance entre deux

composants

^{de résis-}

tances à la contrainte infiniment voisines.

Ces remarques étant

faites,

^{revenons sur} la fonction

g(X).

Celle-ci reflète la distribution

statistique

des "lambda" des

composants

survivants du lot à

un moment défini de l’existence - ou de l’utilisation - de ce dernier. En

effet,

il a été vu

précédemment -

^sur

l’exemple

^{de la}

figure

2 - que les

composants ayant

^les "lambda" les

plus

^{élevés sont ceux}

qui,

^a

priori,

^ont tendance à tomber défaillants le

plus rapidement.

^Celà

signifie qu’au

^{fur et à mesure de l’évolu-}

tion de la vie

opérationnelle

^des

composants

^{du lot}

considéré,

^la moyenne de la distribution

g(03BB)

^{va se}

déplacer

^{vers la}

gauche,

^{comme le}

précise

^la

figure

^3.

Nous allons à

présent préciser

^ces réflexions de manière

plus analytique,

en

désignant

par :

-

f(t/03BB)

^la densité de

probabilité

^{de l’instant} de panne d’un

composant ayant

un taux de défaillance

égal

^{à À}

Revue de Statistique Appliquée, 1981, vol. XXIX, ^{n° 1}

49

-

f(t)

^la distribution inconditionnelle de l’instant d’une _panne

portant

^sur l’ensemble des

composants

^{du lot considéré.}

Figure 3

Sur la base de ces

définitions, l’expression

de la distribution incondition- nelle

f(t) peut

^être

établie,

^{en suivant la méthode}

bayesienne,

^{comme étant une}

probabilité marginale

^{de l’instant} de panne

portant

^sur l’ensemble des valeurs des

"lambda", c’est-à-dire,

^a

priori,

^{entre zéro et l’infini.}

Il s’en _{suit que :}

v

La difficulté

majeure

^{réside en}

^fait,

^{comme dans toute}

approche

^{de nature}

bayesienne,

^dans le "bon choix" de la distribution a

priori - c’est-à-dire

^{à l’ins-}

tant "zéro" -

g0(03BB).

^{Il va de soi que cette} distribution doit refléter au mieux la véritable

dispersion

^des "lambda" des

composants

^{du lot en début de vie}

opérationnelle

^{de ce dernier.}

Or,

^cette

dispersion

est, dans la

pratique, plus

^{ou moins mal connue. On}

pourrait,

par

exemple, imaginer

^une distribution uniforme dans le cas de l’in- certitude

maximum,

ou, dans

l’hypothèse

de meilleures connaissances sur

cette

dispersion,

^des distributions de

type

^{Weibull ou}

log-normales.

Dans le cas

présent,

^nous

préfèrerons partir

d’une distribution de

type

gamma à deux

paramètres,

^{a et}

(3 ,

^{et celà} pour les deux ^raisons suivantes :

- la

conjuguée

^naturelle

bayesienne

^de la loi de

probabilité exponentielle, correspondant

^{ici à} la fonction

f(t/À),

^{n’est autre} que la loi gamma

- de par l’existence de deux

paramètres

^{et des}

aspects

^très différents

susceptibles

d’être

pris

par la loi gamma suivant les valeurs attribuées à ces

paramètres,

cette loi

s’adapte

^{bien à des}

types

de distribution très variés et

présente

^de

la sorte une

grande souplesse

d’utilisation.

Nous considérons donc comme distribution initiale des "lambda" du lot de la fonction :

où

r(a + 1) représente

^{la fonction} gamma

incomplète

^pour la valeur a + 1 de la variable.

De

plus,

^nous admettrons que ^cette distribution gamma initiale ^est celle des "lambda" d’un lot dont les

composants

"franchement défectueux" - c’est-

Revue de Statistique Appliquée, 1981, ^vol XXIX, n° 1

50

à-dire

qui

^ne fonctionneraient

déjà

pas à l’instant zéro - ^ont

préalablement

été éliminés _par un certain nombre de contrôles

préliminaires (contrôles visuels, tests électriques, etc.).

La notion de "lambda" liée ultérieurement à ^un _processus de mortalité

exponentiel

^ne

semble,

^en

effet,

^devoir

présenter

^aucune

signification

pour des

composants déjà

défectueux en début

d’utilisation,

^{autrement dit}

préalable-

ment à l’instant zéro.

En tenant

compte

^de

l’hypothèse

^{de mortalité}

exponentielle pouvant

s’appliquer

^{à un}

composant

^bien

défini,

^on

peut

^{écrire :}

expression

^dans

laquelle

^À

représente

^{le taux de} défaillance _propre au compo- sant considéré.

La distribution inconditionnelle de l’instant _{de panne} au niveau de l’ensemble des

composants

^{du lot}

peut

^donc

s’écrire, d’après (1) :

Après intégrations

par

partie successives,

^{il vient :}

En

désignant

par

R(t)

^{la fiabilité} inconditionnelle sur le lot à l’instant t, ^on

peut

^{encore écrire :}

Enfin,

^{si l’on}

désigne

par

h(t)

^{le taux de} défaillance inconditionnel sur

le lot à l’instant t, ^{on a :}

soit, d’après (4)

^et

(5) :

Ce dernier résultat est très

important.

^{Il montre en effet} que, ^sous

l’angle bayesien

^{et dans}

l’hypothèse

d’une distribution a

priori

^de

type

gamma, le taux

de défaillance inconditionnel décroît

hyperboliquement

^{avec le}

temps

^{de fonc-} tionnement.

Nous admettrons toutefois une telle

représentation

^comme valide dans la limite de

période

dite de "vie utile" caractérisant le

type

^de

composant

^consi- déré. En

effet,

^{le modèle}

(6)

^ne traduit pas l’effet de vieillissement

qui,

^comme

l’on

sait, apparaît

^au bout d’une

période généralement

^assez

longue.

^Plus

pré- cisément,

^{si l’on revient aux} considérations

théoriques exposées

^au

paragraphe 2,

on devra relier le

phénomène

de vieillissement à ^une

décroissance,

^à

partir

^d’un

Revue de Statistique Appliquée, 1981, vol. XXIX, n° ¹

51

temps

^de fonctionnement

plus

^{ou moins}

long,

^{de la fonction} "résistance à la contrainte"

ri,j qui

avait été

supposée

^{constante pour un}

composant

^donné

(Fig.2).

La

prise

^en

compte

^du

phénomène

^de vieillissement

pourrait

^conduire

à un modèle

général, quel

que soit t, ^{du taux de} défaillance inconditionnel

le facteur

exponentiel,

^dans

lequel

^la constante y ^est nettement inférieure à

10-4

_pour la

majorité

^des

types

^de

composants,

^{étant reconnu comme re-}

présentant

^{assez bien l’effet du} vieillissement sur le taux de défaillance.

Il est aisé de

démontrer, enfin,

que la décroissance du taux de défail- lance inconditionnel

h(t)

^{traduit bien le}

déplacement

^{vers la}

gauche

de la dis- tribution a

priori g0(03BB). ^Soit,

^en

^effet, g(À/t)

la distribution des taux de défaillance des

composants

^{encore en vie à l’instant t.}

Cette distribution ^a pour

expression,

^{en vertu du théorème de}

Bayes :

Il

apparaît

donc que la distribution

g(X/t)

^{est une} distribution de

type

gamma dont les

paramètres ^ci’

^et

(3’

^{sont tels} que :

La valeur _moyenne

n/(À)

^{de cette} nouvelle distribution n’est autre que le ^taux de défaillance inconditionnel à l’instant t.

On

peut

^en effet vérifier _{que :}

en

désignant

par

mo(À)

^{la valeur moyenne de} la distribution initiale

g0(03BB).

Le

déplacement

^{dans le}

temps

^{vers la}

gauche

^de la distribution

g(X/t)

peut

^{donc être mesuré} par la

quantité

^{1 +}

ot : rapport

^{entre les} moyennes des distributions

g(X/t)

^et

go(X).

On

peut

^{enfin noter le} resserrement de la distribution

g(X/t)

^{au cours}

du

temps.

^En

effet,

^{si l’on}

désigne

par

(/(À) l’écart-type

^{de cette distribu-}

tion à l’instant t , ^{on a :}

où

a(X) représente

^l’écart

type

de la distribution initiale

go(A) .

Le resserrement au cours du

temps

^{de la} distribution

g(03BB/t) peut

donc être

également

caractérisé par la

quantité

^{1 +}

j3t : rapport

^entre les

écart-types

des distributions

g(X/t)

^et

go(X).

Revue de Statistique Appliquée, 1981, vol XXIX, ^n° 1

52

4. CONCLUSION ET PERSPECTIVES D’APPLICATION

L’approche bayesienne qui

^vient d’être menée ^sur le taux de défaillance des

composants électroniques

^débouche naturellement sur un nouveau

profil

de la

"classique"

^{courbe en}

baignoire.

^En

réalité,

^{le terme de}

"baignoire"

appliqué

^à ce nouveau

profil

^{devient même}

incorrect,

^{dans la mesure où le}

palier

horizontal n’existe

plus.

^{Si l’on se}

base,

^en

effet,

^sur le modèle

géné-

ralisé

(7)

^{du taux de} défaillance

inconditionnel,

^{on voit en effet}

apparaître,

sur la courbe ^en trait

plan

tracée dans le

plan (t , X)

^du

diagramme

^tri-

dimensionnel de la

figure

^{4 :}

- une

période

de décroissance

hyperbolique qui

caractérise la vie utile du lot de

composants

- une remontée

exponentielle qui

caractérise le vieillissement des

composants

à

partir

^d’un

temps

de fonctionnement élevé :

Figure ⁴

Dans cette

optique,

^{la mise en} fonctionnement d’un lot donné de

composants peut apparaître

^{comme un}

déverminage qui

^se

poursuit

^{dans le}

temps,

^{dans la}

mesure

où,

avant usure, le taux de _panne inconditionnel ^au niveau des

composants

survivants continue à décroître. Le

déverminage

"effectif" reste,

toutefois,

^une

opération

^de vieillissement

particulière qui

^{consiste à amener dans un minimum}

de

temps,

^{le taux de} panne inconditionnel

depuis

l’extrémité

gauche Mo

^de

la courbe

h(t) jusqu’à

^un

point

^M suffisamment à droite sur cette

courbe,

^la

mise en oeuvre de contraintes accélérées

(Ex : température

^de

^{125° C,}

^tension

de

blocage

maximum pour les

semi-conducteurs, etc.) permettant

^{de réduire} artificiellement la durée nécessaire à cette

opération.

Par voie de

fait,

^le

déverminage

"effectif"

peut

^être perçu ^{comme un} essai de vieillissement artificiel d’une durée telle

qu’au

^{bout de}

l’opération,

^les

composants

survivants aient atteint un niveau de fiabilité

compatible

^{avec un}

objectif requis.

^En

effet,

^{soit :}

- X*

l’objectif requis

^{sur le taux} de défaillance dans des conditions déterminées de fonctionnement du

composant

- K le coefficient d’accélération de _pannes dû aux contraintes en

déverminage

par

rapport

^aux contraintes

opérationnelles.

Revue de Statistique Appliquée, 1981, vol. XXIX, n° 1

53

La durée t* du

déverminage

nécessaire pour atteindre

l’objectif

^{visé est}

telle _{que :}

h(Kt*)

⁼

À*, soit,

^dans

l’hypothèse

d’une distribution a

priori

de

type

gamma ^sur les taux de défaillance des

composants

^{du lot :}

Cette relation ne

prend

^{un sens que}

lorsque l’objectif

visé n’est _pas

déjà

atteint à l’instant

zéro,

^ce

qui impose : (a

⁺

1) j8

&#x3E;

À*.

Dans cette

hypothèse,

^{la durée cherchée a pour}

expression :

La formule

(9)

^est

susceptible

^de

présenter

^{un intérêt}

pratique lorsqu’on

est en mesure de connaître les

paramètres

^{a et}

j3

^de la distribution _gamma

a

priori.

^Ces

paramètres dépendent

^en

particulier

^du

type

^de

composant

^consi-

déré,

^{du niveau de}

qualité correspondant

^{et du} fournisseur. Une méthode _pos- sible _pour déterminer a

et (3

consiste à

analyser

^le

comportement,

^{en vieil-} lissement

contrôlé,

^{d’un ou de}

plusieurs

^{lots de}

composants

^du

type

^considéré

et issus de

lignes

^de fabrication

homogènes

^{chez le même} fournisseur. Cette

méthode,

^{illustrée en} annexe sur un cas

d’espèce

traité par

l’auteur, permet

d’une

part

^{de tester} la validité du modèle

"gamma"

^a

priori,

et, ^d’autre

part,

cette validité étant

supposée acquise,

^de déterminer les meilleurs estimations de a

et 13

^{en fonction de la} distribution des pannes observées ^sur l’essai de vieillissement.

En

définitive,

^il

apparaît

que

l’hypothèse

d’une distribution a

priori

^sur

les taux de défaillance des

composants

^{d’un même lot}

présente

^{un intérêt}

tant sur un

plan pratique

que ^{sur un}

plan

^{formel. Pour sa}

part,

^{l’auteur a} pu

éprouver

^la validité d’un modèle de

type

gamma lors de

l’exploitation

^d’un

certain nombre de résultats d’essais de vieillissement relatifs à des résistances et à des semi-conducteurs discrets. Il ^est

probable, toutefois,

que le modèle

"gamma"

^{ne saurait}

prétendre

^à l’exhaustivité en vue d’une

application

^{à des}

composants

^issus de certaines

lignes

^de fabrication et, ^a

fortiori,

^{à la totalité}

des

types

^de

composants

existants. C’est la raison pour

laquelle

^il

apparaît indispensable,

^aux yeux de

l’auteur,

^de

poursuivre

^les

investigations

^{dans un}

champ d’application plus

vaste - circuits

intégrés logiques

^ou

analogiques, mémoires,

^{etc. - afin} de connaître les limites de la loi _gamma dans ce

type

d’utilisation et, ^{hors de ces}

limites,

^de déterminer d’autres natures des lois

"a

priori" susceptibles

^de

présenter

^{une meilleure}

compatibilité

^{avec les ré-}

sultats

expérimentaux.

ANNEXE

Une illustration

numérique

^de

l’approche

menée dans le

présent

^article

est

présentée

^{ici sur}

l’exemple

d’un essai de vieillissement

portant

^{sur des tran-} sistors non fiabilisés du

type

^{2N 1565.}

Revue de Statistique Appliquée, 1981, vol. XXIX, n° 1

54

Les conditions de l’essai ont été les suivantes :

- durée totale de l’essai : 5000 heures

- fonctionnement continu : 600

mW; Vce

^{= 40 V}

-

température

ambiante :

25°C

- nombre d’éléments conformes à t ⁼ 0 : 893

- définition des défauts : selon critères CCTU.

Le tableau 1

présente

^{les résultats de l’essai de} vieillissement. On _y fait

apparaître

^les informations suivantes :

- les

cinq

^{tranches de}

temps

successives

(t 1, t2 ) comprises

^{entre les}

points

^de relevés

- les

temps

^{milieux :}

tm = t1 + t2 2

- le nombre de

composants

^trouvés défectueux dans

chaque

^tranche

(t 1 t2

^C

- le nombre de

composants

survivants en début de

chaque

^tranche

(t1, t2) :

ⁿ

- l’inverse de l’estimateur du taux de panne instantané ^aux

temps tm :

Les résultats de cet essai

peuvent

^{se corréler avec}

l’approche théorique

menée dans cet article de la

façon

^{suivante. Il a été vu} que,

lorsqu’on prend

pour distribution ^a

priori

^{des taux de}

panne

^une loi gamma, le ^taux de panne inconditionnel au niveau du lot est une fonction

hyperbolique

^du

temps.

Si l’on

reprend l’expression (6),

^on voit que l’inverse du ^taux de _panne inconditionnel s’écrit :

Autrement

dit, h-1 (t)

^{est une} fonction linéairement croissante avec

le

temps.

^{Dans le}

système

^d’axe

(t , h-1 ),

^{la droite}

h-1 (t) peut

^{être définie}

par les deux

caractéristiques

suivantes :

- ordonnée à

l’origine :

Si donc l’on

parvient

^{à évaluer}

expérimentalement

^{les deux} caractéris-

tiques

^{a et b dans un essai de} vieillissement d’un lot de

composants déterminé,

on voit que les estimateurs des

paramètres

^a

et 03B2

^de la distribution _gamma

a

priori peuvent

être obtenus par les relations :

Cette méthode de calcul

ayant

été choisie dans notre

exemple,

^{on a}

tracé,

sur la

figure 5,

la droite

(D) s’ajustant

^{le mieux avec les}

cinq points expéri-

mentaux

(méthode

^{des moindres}

carrés).

Revue de Statistique Appliquée, 1981, vol XXIX, n° 1

55 TABLEAU 1

Résultat d’un essai de vieillissement

portant

^sur 893 transistors 2N 1565

Figure 5. - Evolution

de -1

avec le temps

Les résultats obtenus sont les suivants :

- coefficient de corrélation : ^{r =}

0,971

- ordonnée de

(D)

^à

l’origine :

^{a = 26.933}

(heures)

-

pente

^de

(D) :

^{b =}

16,682.

On constate donc une excellente corrélation entre la droite

théorique

et les résultats

expérimentaux,

^ce

qui démontre,

^{sur cet}

exemple,

^{le bien-fondé}

de la loi _gamma comme distribution a

priori.

Les estimateurs de a et

de (3

^ont

ici _pour valeurs :

Revue de Statistique Appliquée, 1981, vol. XXIX, n° 1

56

Le taux de panne instantané ^a alors _pour

expression :

A titre

d’exemple,

^on obtiendrait par

extrapolation,

^{dans les limites de}

validité de ce modèle :

- à 10000 heures :

h(10000)

⁼

5,16.10-6/h

- à 50000 heures :

h(50000)

⁼

1,16.10-6/h

- à 100000 heures :

h(100000)

⁼

5,9.10-7/h

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