Convergence dominée

(1)

Intégrales dépendant d'un paramètre

Convergence dominée

Exercice 1 [ 00921 ][Correction]

Calculer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants : (a) un =Rπ/4

0 tanⁿxdx (b) vn=R+∞

0 dx xⁿ+e^x

Étudier la limite éventuelle, quandntend vers+∞, de la suite In =

Z +∞

0

xⁿ 1 +xⁿ⁺²dx. Exercice 3 [ 00746 ][Correction]

Calculer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants : (a) un =R+∞

0

sinⁿx

x² dx (b) un=R+∞

0

xⁿdx

xⁿ⁺²+1 (c) un=R+∞

0

xⁿdx x²ⁿ+1

Vérier que la suite de terme général u_n =

Z +∞

0

sin(nt) nt+t²dt est bien dénie et étudier sa convergence.

Calculer

n→+∞lim Z +∞

0

e^−tsinⁿ(t) dt.

Établir que

Z +∞

−∞

1 + t²

n −n

dt−−−−−→

n→+∞

Z +∞

−∞

e^−t²dt.

Montrer que

un= (−1)ⁿ Z +∞

0

dt (1 +t³)ⁿ est dénie pourn≥1.

Calculer

n→+∞lim Z +∞

0

dt (1 +t³)ⁿ. En déduire la nature de la série de terme généralu_n.

Montrer que la fonctionfn donnée par

fn(x) =ln(1 +x/n) x(1 +x²) est intégrable surR^∗+.

Montrer que la suite de terme généralun=nR+∞

0 fn(x) dxconverge vers une limite à préciser.

Soitf: [0 ; +∞[→Ccontinue.

On suppose que la fonctionf converge en+∞vers une limite nie`. Déterminer la limite quandn→+∞de

µn= 1 n

Z n 0

f(t) dt.

Soitf ∈ C⁰(R⁺,R⁺)bornée. On pose, pourn∈N, In=

Z +∞

0

nf(t)e^−ntdt. Déterminer la limite deIn quandn→+∞.

(2)

Soitf:R+→Rcontinue et bornée.

Déterminer la limite quandn→+∞de Z +∞

0

nf(x) 1 +n²x²dx.

Soitf:R+→Rde classeC¹ intégrable ainsi que sa dérivée.

(a) Déterminer pourx >0

n→+∞lim Z +∞

0

ncost(sint)ⁿf(xt) dt. (b) Préciser le mode de convergence.

Étudier

n→+∞lim Z

√n

0

1−t²

n ⁿ

dt.

Étudier

n→+∞lim Z n

0

1 + x

n n

e^−2xdx.

Déterminer un équivalent de Z n

0

s 1 +

1−x

n ⁿ

dx.

Déterminer

n→+∞lim Z n

0

cosx

n ⁿ²

dx.

Calculer

n→+∞lim Z +∞

0

n!

Qn

k=1(k+x)dx.

SoitF une application continue décroissante deRdansR, tendant vers 1 en−∞

et vers0 en+∞. Soient deux réelshet δvériant0< h < δ. (a) Déterminer la limite éventuelle de

In= Z 1

0

F √

n(δt−h) dt. (b) On pose

Sn =

n−1

X

k=0

F √

n

δk+ 1 n −h

. Déterminer un équivalent deS_n lorsquentend vers+∞.

Soitf une application réelle de classe C¹ sur[a;b]avec0< a <1< b etf(1)6= 0. Soit(fn)la suite de fonctions telle que

fn(x) = f(x) 1 +xⁿ. (a) Déterminer la limite simple de(fn).

(b) Établir l'égalité suivante :

n→+∞lim Z b

a

fn(t) dt= Z 1

a

f(t) dt. (c) Montrer que

Z 1 a

tⁿ⁻¹fn(t) dt∼ln 2 n f(1).

(3)

Pourn∈N^∗ et x∈R, on pose

fn(x) = n

√π

1− x² 2n²

²ⁿ⁴ .

Soitgune fonction continue surRet nulle en dehors d'un segment[a;b]. Montrer que

n→+∞lim Z

R

fn(x)g(x) dx=g(0).

Soitf: [0 ; 1]→Rune fonction continue vériantf(1)6= 0. Déterminer un équivalent quandntend vers l'inni de

In = Z 1

0

tⁿf(t) dt.

(a) Rappeler une condition nécessaire et susante pour qu'une fonction dérivable sur un intervalle soit strictement croissante.

(b) Soit f: [a;b]→R+ continue dont l'ensemble des zéros est d'intérieur vide et n∈N^∗.

Montrer qu'il existe une unique subdivision(x0, . . . , xn)de[a;b]vériant :

∀i∈J1 ;nK, Z x_i

xi−1

f(x) dx= 1 n

Z b a

f(x) dx. (c) Soit g: [a;b]→R+ continue. Calculer

n→+∞lim 1 n

n

X

i=1

g(xi).

Soitaetbstrictement positifs. On dénit deux suites(an)et(bn)par a0=a, b0=b et∀n∈N, an+1=an+bn

2 , bn+1=p anbn.

(a) Montrer que les suites(an)et(bn)convergent vers une même limite, notée M(a, b).

(b) On pose

T(a, b) = Z +∞

−∞

du

p(a²+u²)(b²+u²). Montrer

T a+b

2 ,√ ab

=T(a, b). On pourra utiliser le changement de variableu=¹₂

t−^ab_t . (c) Montrer

T(a, b) = π M(a, b).

(a) Justier l'existence de In=

Z +∞

0

dx

(1 +x³)ⁿ pour n∈N^∗. (b) Montrer que la suite(In)n≥1 converge et trouver sa limite.

(c) Étudier la convergence deP(−1)ⁿ⁻¹In et calculer son éventuelle somme.

Intégration terme à terme

Montrer

Z +∞

0

t e^t−1dt=

+∞

X

n=1

1 n².

Prouver l'égalité

Z 1 0

(lnx)² 1 +x² dx= 2

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ (2n+ 1)³.

(4)

Établir que

Z 1 0

lnt 1 +t²dt=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ⁻¹ (2n+ 1)².

Existence et calcul de

Z 1 0

lnt 1−t²dt. Le résultat est à exprimer à l'aide deζ(2).

(a) Établir

Z 1 0

ln(1 +t) t dt=−

Z 1 0

lnt 1 +tdt. (b) En déduire

Z 1 0

ln(1 +t) t dt=

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n² . (c) Calculer cette somme sachant

+∞

X

n=1

1 n² =π²

6 .

(a) Établir

Z 1 0

arctant

t dt=− Z 1

0

lnt 1 +t²dt. (b) En déduire

Z 1 0

arctant t dt=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ (2n+ 1)².

Cette valeur est appelée constante de Catalan, elle vaut approximativement 0,916.

Pourn, m∈N, on pose

In(m) = Z 1

0

xⁿ(lnx)^mdx. (a) CalculerIn(n).

(b) En déduire

Z 1 0

x^−xdx=

+∞

X

n=1

n⁻ⁿ.

Montrer

+∞

X

n=1

n⁻ⁿ = Z 1

0

t^−tdt.

Soientpetk2 entiers naturels, non nul. Soitf_p,k: x7→x^p(lnx)^k. (a) Montrer quef_p,k est intégrable sur]0 ; 1]. Soit

Kp,k= Z 1

0

x^p(lnx)^kdx. (b) ExprimerK_p,k en fonction deK_p,k−1.

(c) ExprimerJ_n =R1

0(xlnx)ⁿdxen fonction den. (d) On poseI=R1

0 x^xdx. Montrer I=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ (n+ 1)ⁿ⁺¹.

Établir que pourp≥2, Z 1

0

(lnx)^p

1−x dx= (−1)^pp!

+∞

X

n=1

1 n^p+1.

(5)

Établir

Z 1 0

x^xdx=

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ nⁿ .

Pour toutn∈Net toutx∈R+, on pose fn(x) =xⁿ(1−√

x). (a) Montrer que

+∞

X

n=1

Z 1 0

f_n(x) dx= Z 1

0

x 1 +√

xdx. (b) En déduire la valeur de

+∞

X

n=1

1

(n+ 1)(2n+ 3).

Montrer

Z 2π 0

e^{2 cos}^xdx=

+∞

X

n=0

2π (n!)².

Soienta∈C,|a| 6= 1etn∈Z. Calculer Z 2π

0

e^int e^it−adt.

Montrer que

∀a, b >0, Z +∞

0

te^−at 1−e^−btdt=

+∞

X

n=0

1 (a+bn)².

Déterminer la limite quandn→+∞de 1

n Z +∞

0

e^−x/n 1 + cos²xdx.

Soientα >0,n∈N. On pose un(α) =

Z π/2 0

(sint)^α(cost)ⁿdt. (a) Nature de la série de terme généralun(1).

(b) Plus généralement, nature de la série de terme généralun(α). (c) CalculerP∞

n=1u_n(α)pourα= 2,3. Exercice 42 [ 02807 ][Correction]

(a) Pour(m, n)∈N², calculer Z 1

0

xⁿ(1−x)^mdx. Pourp∈Z, montrer l'existence de

S_p=

+∞

X

n=1

n^p

2n n

. (b) Calculer S0 etS₋₁.

(c) Sip∈N, proposer une méthode de calcul deSp.

ndésigne un entier naturel non nul.

(a) Justier que l'intégrale

Z +∞

0

n²−x² (n²+x²)²dx est dénie.

(6)

(b) Soit a≥0. Calculer

Z a 0

n²−x² (n²+x²)²dx. En déduire la valeur de

Z +∞

0

n²−x² (n²+x²)²dx puis de

+∞

X

n=1

Z +∞

0

n²−x² (n²+x²)²dx. (c) Soit a≥0. Montrer que la série

+∞

X

n=1

n²−x² (n²+x²)² converge uniformément sur[0 ;a], puis que

Z a 0

+∞

X

n=1

n²−x² (n²+x²)²dx=

+∞

X

n=1

a n²+a². (d) En exploitant une comparaison série-intégrale, déterminer

a→+∞lim

+∞

X

n=1

a n²+a². (e) En déduire que l'intégrale

Z +∞

0 +∞

X

n=1

n²−x² (n²+x²)²dx est convergente et donner sa valeur.

Comparer avec le résultat obtenu en b). Qu'en conclure ?

(a) Démontrer la convergence de la série de terme général an = n!

nⁿ.

(b) Comparer

an etn Z +∞

0

tⁿe^−ntdt. (c) En déduire :

+∞

X

n=1

an = Z +∞

0

te^−t (1−te^−t)²dt.

On pose

In= Z 1

0

1 1 +tⁿdt pour tout entiern >0.

(a) Trouver la limite`de(In). (b) Donner un équivalent de(`−In).

(c) Justier

Z 1 0

ln(1 +y) y dy=

+∞

X

k=0

(−1)^k (k+ 1)².

(d) Donner un développement asymptotique à trois termes de(I_n).

(a) Déterminer la limite` quandn→+∞de I_n =

Z 1 0

1 1 +tⁿdt. (b) Donner un équivalent de

In−`. (c) Justier

Z 1 0

ln(1 +tⁿ) dt=

+∞

X

k=1

(−1)^k−1 k(nk+ 1). (d) En déduire un équivalent de

Z 1 0

ln(1 +tⁿ) dt

et donner un développement asymptotique à trois termes deIn.

(7)

(a) Si(s, λ)∈R^∗+×C, quelle est la nature de la série de terme général λⁿ

s(s+ 1). . .(s+n)

pourn≥0? Àλxé, on note∆λ l'ensemble dess >0tels que la série converge, et on noteFλ(s)la somme de cette série.

(b) Calculer lim_{s→sup ∆}_λFλ(s).

(c) Donner un équivalent deF_λ(s)quand s→inf ∆_λ. (d) Sin≥1, calculer :

Z 1 0

(1−y)^s−1yⁿdy. (e) En déduire une expression intégrale deF_λ(s).

Soit(a_n)_n≥0 une suite bornée. Calculer

n→+∞lim Z +∞

0

e^−2t

+∞

X

p=n

ap

t^p p!

! dt.

Six >1, on poseζ(x) =P+∞

n=1 1

n^x. Montrer Z +∞

2

(ζ(x)−1) dx=

+∞

X

n=2

1 n²lnn.

Soit, pourn∈N,

un= Z π/2

0

cos

π 2 sinx

ⁿ dx. (a) Étudier la convergence de la suite (u_n)_n≥0.

(b) Quelle est la nature de la série de terme généralun?

Donner la nature de la série de terme général un =

Z +∞

0

e^−tcos²ⁿtdt.

Soitn∈N^∗.

(a) Ensemble de dénition de

In(x) = Z +∞

0

dt (1 +t^x)ⁿ. (b) Montrer que si x >1,PIn(x)diverge.

(c) CalculerIn(2) pourn≥1.

(a) Donner les limites éventuelles en+∞des suites de termes généraux U_n =

Z 1 0

dt

(1 +t³)ⁿ etV_n= Z +∞

1

dt (1 +t³)ⁿ. (b) Quelles sont les natures des séries

X

n≥1

U_n et X

n≥1

V_n?.

Pourn∈N^∗, soit f_n l'application dénie par

fn(x) =

(_{2 sh(x)}

e^nx−1 six∈]0 ; +∞[

α six= 0.

(a) Pour quelle valeurs deαla fonctionfn est-elle continue ? Dans la suite, on prendra cette valeur deα.

(b) Montrer que fn est bornée.

(c) Montrer queR+∞

0 fn(x) dxexiste pourn≥2.

(8)

(d) ExprimerR+∞

0 fn(x) dxcomme la somme d'une série.

Pourn≥1, on pose

I_n= Z +∞

0

dt (1 +t³)ⁿ. (a) Déterminer la limite de la suite(In).

(b) Établir que pour tout entiern≥1,

In+1=3n−1 3n In.

(c) Déterminer α∈Rtel qu'il y ait convergence de la suite de terme général un= ln(n^αIn).

(d) En déduire la convergence de la série X

n≥1

1 nIn

et exprimer sa somme à l'aide d'une intégrale.

(a) Pourk∈N^∗, calculer

I_k = Z 1

0

t^k−1ln(t) dt. (b) Pourn∈N, on pose

Rn=

+∞

X

k=n+1

(−1)^k−1 k² . ExprimerRn à l'aide d'une intégrale.

(c) Calculer

+∞

X

n=0

Rn.

Intégration terme à terme par les sommes partielles

Montrer que, poura >0 Z 1

0

dt 1 +t^a =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ na+ 1.

Pour toutα >0, établir que Z 1

0

x^α−1 1 +xdx=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ n+α.

(a) Établir poura, b >0l'égalité Z 1

0

t^a−1 1 +t^b dt=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ a+nb. (b) Calculer

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ 3n+ 1.

Montrer

Z +∞

0 +∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n²+t² dt= π

2

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹

n .

Soitp∈N^∗. Pour toutn∈N, on pose Sn=

Z +∞

0

t^p

e^t−1e^−ntdt. (a) Montrer l'existence de l'intégrale dénissantSn.

(9)

(b) Poura, b∈N^∗, on pose

T(a, b) = Z +∞

0

t^ae^−btdt. Simplier l'expression deT(a, b).

(c) Montrer que pour tout natureln S0=p!

n

X

k=1

1

k^p+1 +Sn. (d) Montrer que la suite(Sn)converge vers 0.

(e) Montrer

S0=p!

+∞

X

k=1

1 k^p+1.

Etude de fonctions concrètes

(a) Justier que l'intégrale suivante est dénie pour toutx >0 f(x) =

Z 1 0

t^x−1 1 +tdt.

(b) Justier la continuité de f sur son domaine de dénition.

(c) Calculerf(x) +f(x+ 1)pourx >0.

(d) Donner un équivalent def(x)quand x→0⁺ et la limite def en+∞.

On pose

F(x) = Z +∞

0

e^−t 1 +txdt. (a) Montrer queF(x)est bien dénie pour toutx≥0. (b) Montrer que F est de classeC^∞ sur[0 ; +∞[.

(c) CalculerF⁽ⁿ⁾(0)pour toutn∈N.

Soit

F:x7→

Z +∞

0

e^−xt 1 +t²dt.

Montrer queF est solution surR^∗+ de limite nulle en+∞de l'équation diérentielle

y⁰⁰+y= 1 x. Exercice 65 [ 00537 ][Correction]

Soit

f:x7→

Z +∞

0

e^−xt² 1 +t²dt. (a) Montrer quef est dénie et continue surR+.

(b) Montrer que f est dérivable surR^∗+ et solution de l'équation diérentielle y−y⁰=

√π 2√

x.

Soit

g(x) = Z +∞

0

e^−tx²dt 1 +t³ .

(a) Calculerg(0)en réalisant le changement de variable t= 1/u. (b) Étudier les variations deg sur son domaine de dénition.

(c) Étudier la limite degen+∞.

Soit

f:x7→

Z +∞

0

dt 1 +x³+t³. (a) Montrer quef est dénie surR+.

(b) À l'aide du changement de variable u= 1/t, calculerf(0). (c) Montrer quef est continue et décroissante.

(d) Déterminerlim_+∞f.

(10)

Soit

f:x7→

Z π/2 0

cost t+xdt.

(a) Montrer quef est dénie, continue surR^∗+. Étudier les variations def. (b) Déterminer les limites def en0⁺ et+∞.

(c) Déterminer un équivalent def en0⁺ et +∞.

Soitf la fonction donnée par f(x) =

Z π/2 0

sin^x(t) dt. (a) Montrer quef est dénie et positive sur]−1 ; +∞[. (b) Montrer que f est de classeC¹ et préciser sa monotonie.

(c) Former une relation entref(x+ 2)et f(x)pour toutx >−1. (d) On pose pour x >0,

ϕ(x) =xf(x)f(x−1). Montrer que

∀x >0, ϕ(x+ 1) =ϕ(x). Calculerϕ(n)pour n∈N^∗.

(e) Déterminer un équivalent à f en−1⁺.

Montrer que, pour toutxréel positif, Z +∞

0

arctan(x/t) 1 +t² dt=

Z x 0

lnt t²−1dt.

SoitΩ ={z∈C|Rez >−1}. Siz∈Ω, on pose f(z) =

Z 1 0

t^z 1 +tdt.

(a) Montrer quef est dénie et continue surΩ.

(b) Donner un équivalent def(x)quandxtend vers−1. (c) Donner un équivalent def(z)quand Re(z)→+∞.

Pourx∈R, on pose

f(x) = Z +∞

0

sin(xt) e^t−1 dt. (a) Dénition def.

(b) Continuité et dérivabilité de f. (c) Écriref(1)comme somme de série.

On pose, pourx >0,

f(x) = 1 x

Z +∞

0

1−e^−tx 1 +t² dt.

Montrer quef est de classeC² sur]0 ; +∞[et trouver des équivalents simples def en 0 et en+∞.

Pourx >0, on pose

f(x) = Z x

−x

√ dt 1 +t²√

x²−t². (a) Montrer quef est dénie et continue.

(b) Déterminer les limites def en0⁺et +∞.

(a) Déterminer le domaine de dénition de f(x) =

Z x 1

cos²t t dt. (b) Donner un équivalent def en0et en +∞.

(11)

(a) Déterminer l'ensemble de dénition de f(x) =

Z 1 0

dt

pt(1−t)(1−x²t). (b) Donner la limite de f enx= 1.

On pose

f(α) = Z +∞

0

dx x^α(1 +x). (a) Étudier l'ensemble de dénition def.

(b) Donner un équivalent def en 0.

(c) Montrer que le graphe de f admet une symétrie d'axex= 1/2. (d) Montrer que f est continue sur son ensemble de dénition.

(e) Calculer la borne inférieure def.

Énoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA Exercice 78 [ 02556 ][Correction]

Pourx >0, on pose

F(x) = Z 1

0

lnt t+xdt. (a) Montrer queF est de classeC¹ sur]0 ; +∞[. (b) Calculer F⁰(x)et en déduire l'expression de

G(x) =F(x) +F(1/x). (c) Soit θ∈R. Calculer

Z 1 0

t−1 t+ 1

lnt

t²+ 2tch(θ) + 1dt. Exercice 79 [ 03889 ][Correction]

Soit

g:x7→

Z +∞

0

e^−xt 1 +tdt.

Montrons queg est solution surR^∗+ de l'équation diérentielle

−y⁰+y= 1 x.

Calcul de fonction intégrale

Étudier

f:x7→

Z 1 0

t−1 lnt t^xdt. Exercice 81 [ 03888 ][Correction]

(a) Montrer que l'applicationg:x7→R1 0

t^x−1

lnt dt est dénie sur]−1 ; +∞[. (b) Justier queg est de classeC¹ et calculerg⁰(x).

(c) En déduire une expression simple deg(x)pourx >−1.

Soit

F:x7→

Z +∞

0

sin(xt) t e^−tdt. (a) Justier queF est dénie et de classeC¹ surR.

(b) Calculer F⁰(x).

(c) En déduire une expression simpliée deF(x).

Pour toutxréel, on pose f(x) =

Z +∞

0

cos(xt)

√t e^−tdtetg(x) = Z +∞

0

sin(xt)

√t e^−tdt. Existence et calcul de ces deux intégrales.

Soit

F(x, y) = Z +∞

0

e^−xt−e^−yt

t dtavecx, y >0.

Poury >0, montrer quex7→F(x, y)est de classeC¹ surR^∗+ et calculer

∂F

∂x(x, y). En déduire la valeur deF(x, y).

(12)

On pose

F(x) = Z +∞

0

e^−t−e^−2t

t cos(xt) dt. (a) Quel est le domaine de dénition réelI de la fonctionF? (b) Justier que la fonction F est de classeC¹ surI.

(c) ExprimerF(x)à l'aide des fonctions usuelles.

Soita, bdeux réels strictement positifs.

(a) Justier l'existence pour toutx∈Rde F(x) =

Z +∞

0

e^−at−e^−bt

t cos(xt) dt. (b) Justier queF est de classeC¹surRet calculerF⁰(x).

(c) ExprimerF(x)

On pose

z:x7→

Z +∞

0

e^(−1+ix)t

√t dt et on donneR+∞

0 e^−t²dt=√ π/2. (a) Justier et calculer z(0).

(b) Montrer que zest dénie, de classe C¹surRet z⁰(x) = −1

2(x+ i)z(x). (c) En déduire l'expression dez(x).

En dérivant la fonction déterminer l'expression de la fonction g(x) =

Z +∞

−∞

e^−t²e^txdt.

(a) Existence de

F(x) = Z +∞

0

e^−t²ch(2xt) dt.

(b) Calculer F(x)en introduisant une équation diérentielle vériée parF. (c) CalculerF(x)directement par une intégration terme à terme.

Ensemble de dénition, dérivée et valeur de f:x7→

Z +∞

0

ln(1 +x²t²) 1 +t² dt. Exercice 91 [ 03660 ][Correction]

Pourx >0, on pose

F(x) = Z π/2

0

ln cos²(t) +x²sin²(t) dt. (a) Justier queF est dénie et de classeC¹ sur]0 ; +∞[. (b) Calculer F⁰(x)et en déduire un expression deF(x).

Z 2π 0

ln(1 +xcost) cost dt. Exercice 93 [ 00556 ][Correction]

Soit

F(x) = Z π/2

0

ln(1 +xsin²t) dt sur[0 ; +∞[. (a) Justier queF est bien dénie et continue.

(b) Étudier la dérivabilité sur[0 ; +∞[et donner l'expression de sa dérivée via le changement de variableu= tant.

(c) Établir que

F(x) =π(ln(1 +√

1 +x)−ln 2).

(13)

f(x) = Z +∞

0

ln(x²+t²) 1 +t² dt. Exercice 95 [ 00551 ][Correction]

Soit

F(x) = Z 1

0

ln 1 + 2tcosx+t²

t dt.

(a) Justier queF est dénie et de classeC¹ sur[0 ;π/2]

(b) Calculer F⁰(x)sur[0 ;π/2]

(c) Donner la valeur deF(0) puis celle deF(x)sachant

+∞

X

k=1

(−1)^k−1 k² = π²

12.

Pourn∈N^∗ et x >0, on pose In(x) =

Z +∞

0

dt (x²+t²)ⁿ. (a) Justier l'existence deIn(x).

(b) Calculer I1(x).

(c) Justier queIn(x)est de classeC¹et exprimer I_n⁰(x). (d) ExprimerIn(x).

SoitF la fonction dénie par : F(x) =

Z +∞

0

arctan(xt) t(1 +t²) dt. (a) Montrer queF est dénie et de classeC¹ surR+.

On admet l'identité

x²−1

(1 +x²t²)(1 +t²) = x²

1 +x²t² − 1 1 +t² valable pour toutxet tdansR

(b) Déterminer l'expression de F(x).

Soit

F:x7→

Z +∞

0

e^−xtsint t dt.

(a) Justier queF est dénie et de classeC¹ surR^∗+ et calculerF⁰(x). (b) En déduire une expression simpliée deF(x)pour toutx >0.

Étude théorique

Soitf une application continue de R×[a;b]dansR.

Expliquer pourquoif est uniformément continue surS×[a;b]pour tout segment S deR.

En déduire queF:x7→Rb

af(x, t) dtest continue surR.

Pourx∈R, on poseg(x) =R1

0 e^xtdt. À l'aide de la question précédente, étudier la continuité deg. Retrouver le résultat en calculantg(x).

Soientf:I×R→Retu, v:I→Rcontinues.

Montrer la continuité de la fonction x7→

Z v(x) u(x)

f(x, t) dt.

Soitf:R→Rde classeC^∞ vériantf(0) = 0. Montrer que la fonction

g:x7→f(x) x

se prolonge en une fonction de classeC^∞ surRet exprimer ses dérivées successives en 0 en fonction de celles def.

(14)

Soientf:I→Rune fonction de classeC^∞ eta∈Rtels que f(a) =f⁰(a) =· · ·=f^(α−1)(a) = 0. (a) Montrer qu'on a pour toutx∈I

f(x) = Z x

a

(x−t)^α−1

(α−1)! f^(α)(t) dt.

(b) En déduire qu'on peut écrire f(x) = (x−a)^αg(x)avecg de classeC^∞ surR.

Soitf:R→Rdénie parf(x) = ^sin_x^x six6= 0et f(0) = 1. Montrer quef est de classeC^∞surRet vérier

sup

t∈R

f⁽ⁿ⁾(t) ≤ 1

n+ 1.

Transformée de Fourier et intégrales apparentées

On pose

z:x7→

Z +∞

0

e^(−1+ix)t²dt. (a) Montrer quezest dénie, de classe C¹surRet vérie

z⁰(x) = −1 2(x+i)z(x). (b) En déduire l'expression de z(x)sachant z(0) =√

π/2.

On considère

ϕ:x7→

Z +∞

0

e^itx 1 +t²dt. (a) Montrer la dénie et la continuité de ϕsurR.

(b) Montrer que ϕest de classeC¹ surR^∗ et montrer que ϕ⁰(x) = i

Z +∞

0

te^itx 1 +t²dt. (c) Montrer que pourx >0,

ϕ⁰(x) = i Z +∞

0

ue^iu x²+u²du et déterminer un équivalent deϕ⁰(x)quand x→0⁺. (d) La fonctionϕest-elle dérivable en0?

On étudie

f(x) = Z +∞

0

e^−t²cos(xt) dt. (a) Donner le domaine de dénition def.

(b) Calculer f en formant une équation diérentielle.

(c) Calculerf en exploitant le développement en série entière de la fonction cosinus.

g(x) = Z +∞

0

e^−t²cos(xt) dt sachantg(0) =√

π/2.

Fonction d'Euler

Démontrer que la fonction

Γ : x7→

Z +∞

0

t^x−1e^−tdt est dénie et de classeC^∞ sur]0 ; +∞[.

(15)

(a) Démontrer que la fonctionΓdonnée par Γ(x) =

Z +∞

0

t^x−1e^−tdt est dénie et continue sur]0 ; +∞[.

(b) Démontrer que la fonction Γest de classeC² sur]0 ; +∞[.

(c) En exploitant l'inégalité de Cauchy Schwarz, établir que la fonction x7→ln Γ(x)est convexe.

L'objectif de cet exercice est de calculer Z +∞

0

ln(t)e^−tdt. (a) Montrer que pour tout t∈[0 ;n],

0≤

1− t n

n−1

≤e.e^−t. (b) Établir que

n→+∞lim Z n

0

ln(t)

1− t n

n−1

dt= Z +∞

0

ln(t)e^−tdt. (c) Observer que

Z n 0

ln(t)

1− t n

n−1

dt= lnn+ Z 1

0

(1−u)ⁿ−1 u du. (d) Conclure que

Z +∞

0

ln(t)e^−tdt=−γ oùγdésigne la constante d'Euler.

On rappelleR+∞

0 e^−t²dt=

√π 2 . Pourx >0, on pose

Γ(x) = Z +∞

0

e^−tt^x−1dt.

(a) Montrer que cette fonction est dénie et indéniment dérivable sur]0 ; +∞[. On étudiera la régularité en se restreignant àx∈[a;b]⊂]0 ; +∞[.

(b) Calculer Γ(n+ 1)pour n∈N.

(c) En réalisant le changement de variablet=n+y√

n, transformer l'intégrale Γ(n+ 1)en

nⁿ eⁿ

√n Z +∞

−∞

f_n(y) dy oùf_n(y) = 0poury≤ −√

x,0≤f_n(y)≤e^−y²^/2 pour−√

t < y≤0 et 0≤f_n(y)≤(1 +y)e^−y pour y >0 ett≥1.

(d) En appliquant le théorème de convergence dominée établir la formule de Stirling :

n!∼√ 2πnnⁿ

eⁿ.

(a) Donner le domaine de dénition de la fonction Γ :x7→

Z +∞

0

t^x−1e^−tdt. (b) Calculer l'intégrale

I_n(x) = Z n

0

t^x−1

1− t n

n

dt.

(c) Expliquer rapidement pourquoi 1−_n^tⁿ converge verse^−tet montrer que Γ(x) = lim

n→+∞

n^xn!

x(x+ 1). . .(x+n).

Établir que pour toutx >0 Z 1

0

t^x−1e^−tdt=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ n!(x+n).

(16)

Applications au calcul d'intégrales

L'objectif de ce sujet est de calculer I=

Z +∞

0

e^−t

√t dt. Pourx≥0, on pose

F(x) = Z +∞

0

e^−xt

√t(1 +t)dt. (a) Justier que la fonction F est bien dénie

(b) Déterminer une équation linéaire d'ordre 1 dont F est solution sur]0 ; +∞[. (c) CalculerF(0)et la limite deF en+∞.

(d) En déduire la valeur deI.

On pose, pourx≥0,

F(x) = Z +∞

0

e^−xt1−cost t² dt.

(a) Montrer queF est continue sur[0 ; +∞[et tend vers 0 en+∞. (b) Montrer que F est deux fois dérivable sur]0 ; +∞[et calculerF⁰⁰(x).

(c) En déduire la valeur deF(0)puis la valeur de l'intégrale convergente Z +∞

0

sint t dt. Exercice 116 [ 00542 ][Correction]

(a) Justier la convergence de l'intégrale I=

Z +∞

0

sint t dt. (b) Pour tout x≥0, on pose

F(x) = Z +∞

0

e^−xtsint t dt. Déterminer la limite deF en+∞.

(c) Justier queF est dérivable sur]0 ; +∞[et calculerF⁰

(d) En admettant la continuité deF en 0 déterminer la valeur deI.

Pourx∈R+ ett≥0, on posef(x, t) = e^−xtsinctoùsinc(lire sinus cardinal) est la fonctiont7→ ^sint_t prolongée par continuité en 0.

Pourn∈N, on pose

un(x) =

Z (n+1)π nπ

f(x, t) dt. (a) Montrer queu_n(x) = (−1)ⁿRπ

0 g_n(x, u) duavecg_n(x, u)qu'on explicitera.

(b) Montrer que la série de fonctions de terme général un converge uniformément surR+.

(c) On poseU(x) =P+∞

n=0un(x). Justier queU est continue et expliciterU sous la forme d'une intégrale convergente.

(d) Montrer que U est de classeC¹ sur]0 ; +∞[et calculer U⁰(x). (e) ExpliciterU(x)pour x >0 puis la valeur de

U(0) = Z +∞

0

sint t dt.

Pourx∈R+, soit

f(x) = Z +∞

0

sint t e^−txdt. (a) Justier la dénition def(x).

(b) Montrer que f est classeC¹ surR^∗+. (c) Calculerf(x)six∈R^∗+.

(d) Montrer que f est continue en 0. Qu'en déduit-on ?

SoitF la fonction dénie par : F(x) =

Z +∞

0

arctan(xt) t(1 +t²) dt. (a) Montrer queF est dénie et de classeC¹sur R+.

(17)

(b) Déterminer l'expression de F(x). (c) Calculer

Z +∞

0

arctan²t t² dt.

(a) Montrer que pour tout x >−1 Z 1

0

ln(1 +xt)

1 +t² dt= ln 2

2 arctanx+π

8ln(1 +x²)− Z x

0

ln(1 +t) 1 +t² dt. (b) En déduire la valeur de

Z 1 0

ln(1 +t) 1 +t² dt.

(a) Déterminer le domaine de dénition réel de F(x) =

Z π/2 0

arctan(xtanθ) tanθ dθ. (b) Calculer F(x).

(c) En déduire les valeurs de

Z π/2 0

θ tanθdθ et de

Z π/2 0

ln(sinθ) dθ.

(18)

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]

À chaque fois, on vérie que les fonctions engagées sont continues par morceaux.

(a) Sur[0 ;π/4[,tanⁿx−−−→^{CV S} 0 tanⁿx

≤1 =ϕ(x)intégrable sur [0 ;π/4[donc u_n→

Z π/4 0

0 dx= 0. (b) Sur[0 ; +∞[, _xn¹+e^x

−−−→CV S f(x)avecf(x) = e^−x sur[0 ; 1[et f(x) = 0sur ]1 ; +∞[.

De plus

1 xⁿ+e^x

≤e^−x=ϕ(x)avecϕintégrable sur [0 ; +∞[donc

v_n → Z 1

0

e^−xdx=e−1 e . Exercice 2 :[énoncé]

En découpant l'intégrale I_n=

Z 1 0

xⁿ

1 +xⁿ⁺²dx+ Z +∞

1

xⁿ 1 +xⁿ⁺²dx.

En appliquant le théorème de convergence dominée aux deux intégrales, on obtient In→

Z +∞

1

dx x² = 1. Exercice 3 :[énoncé]

À chaque fois, on vérie que les fonctions engagées sont continues par morceaux.

(a) Ici, on ne peut appliquer le théorème de convergence dominée sur[0 ; +∞[

après une majoration de|sinx|par 1 car la fonction dominanteϕ(x) = 1/x² ne sera pas intégrable sur]0 ; +∞[. Pour contourner cette diculté, on découpe l'intégrale.

un= Z +∞

0

sinⁿx x² dx=

Z 1 0

sinⁿx x² dx+

Z +∞

1

sinⁿx x² dx.

On a

Z 1 0

sinⁿx x² dx

≤ Z 1

0

sinⁿ⁻²(x)

dx car |sinx| ≤ |x|.

Sans dicultés, par le théorème de convergence dominée Z 1

0

sinⁿ⁻²(x) dx→0 et donc

Z 1 0

sinⁿx

x² dx→0.

Aussi

Z +∞

1

sinⁿx x² dx

≤ Z +∞

1

|sinx|ⁿ x² dx. Or ^|sinx|_x2 ⁿ

−−→CS f(x)avecf(x) = 0pour toutx6=π/2 [π]. De plus ^|sin_x2^x|ⁿ ≤ _x¹2 =ϕ(x)avecϕintégrable sur [1 ; +∞[donc

Z +∞

1

|sinx|ⁿ x² dx→

Z +∞

1

f(x) dx= 0 puisu_n→0.

(b) On écrit

u_n= Z 1

0

xⁿdx xⁿ⁺²+ 1 +

Z +∞

1

xⁿdx xⁿ⁺²+ 1.

On a

Z 1 0

xⁿdx xⁿ⁺²+ 1

≤ Z 1

0

xⁿdx= 1 n+ 1

et Z +∞

1

xⁿdx

xⁿ⁺²+ 1 −−−−−→

n→+∞

Z +∞

1

dx x² = 1

en vertu du théorème de convergence dominée et via la domination

xⁿ xⁿ⁺²+1

≤ _x¹2 sur[1 ; +∞[. Ainsiu_n→1.

(c) On écrit

un= Z 1

0

xⁿdx x²ⁿ+ 1 +

Z +∞

1

xⁿdx x²ⁿ+ 1.

On a

Z 1 0

xⁿdx x²ⁿ+ 1

≤ Z 1

0

xⁿdx= 1 n+ 1

et

Z +∞

1

xⁿdx x²ⁿ+ 1

≤ Z +∞

1

dx xⁿ = 1

n−1

(19)

doncun→0.

On peut aussi appliquer le théorème de convergence dominée mais c'est moins ecace.

Posons

fn: t7→ sin(nt) nt+t².

La fonctionfn est dénie et continue par morceaux sur]0 ; +∞[. Quandt→0⁺,f_n(t)∼_nt+t^nt2 →1.

Quandt→+∞;fn(t) = O

1 t²

.

On peut donc armer quefn est intégrable sur]0 ; +∞[. Pourt∈]0 ; +∞[.

Quandn→+∞,fn(t) = O

1 n

donc la suite(fn)converge simplement vers la fonction nulle.

De plus, pourt≤π/2, on a, sachant|sinu| ≤ |u|, fn(t)

≤ nt nt+t² ≤1 et pourt≥π/2,

fn(t) ≤ 1

nt+t² ≤ 1 t². Ainsi|fn| ≤ϕavec

ϕ:t7→

(1 sit∈[0 ;π/2]

1/t² sit∈]π/2 ; +∞[.

La fonctionϕétant intégrable sur]0 ; +∞[, on peut appliquer le théorème de convergence dominée et armer

un → Z +∞

0

0 dt= 0.

La fonction intégrée ne converge pas simplement en lest=π/2 +π[2π]. Pour contourner cette diculté on raisonne à l'aide de valeurs absolues.

Z +∞

0

e^−tsinⁿ(t) dt

≤ Z +∞

0

e^−t sinⁿt

dt.

On a

f_n(t) =

e^−tsinⁿ(t)

−−→CS f(t) avec

f(t) =

(0 sit6=π/2 [π]

e^−t sinon.

Les fonctionsfn etf sont continues par morceaux et fn(t)

≤e^−t=ϕ(t)

avecϕcontinue par morceaux intégrable sur [0 ; +∞[donc par convergence dominée :

n→∞lim Z +∞

0

e^−tsinⁿ(t) dt= Z +∞

0

f(t) dt= 0.

Les fonctions données par

fn(t) = 1 +t²/n−n

sont dénies et continues par morceaux surR.

La suite de fonctions(fn)converge simplement versf avecf(t) = e^−t² dénie et continue par morceaux surR.

Soitt∈Rxé et considérons

ϕ:x7→ −xln(1 +t²/x) dénie sur[1 ; +∞[.

En étudiant le signe deϕ⁰⁰, on démontreϕ⁰ est croissante. Orlim+∞ϕ⁰= 0et doncϕ⁰ est négative.

La fonctionϕest donc décroissante et par conséquent, pour toutn∈N^∗ f_n(t)

≤

1 +t² n

−n

= exp(ϕ(n))≤exp(ϕ(1)) = 1 1 +t². La fonctiont7→1/(1 +t²)est intégrable surR.

Par convergence dominée Z +∞

−∞

1 + t²

n −n

dt−−−−−→

n→+∞

Z +∞

−∞

e^−t²dt.

(20)

La fonctiont7→ _(1+t¹3)ⁿ est continue par morceaux sur[0 ; +∞[et on observe 1

(1 +t³)ⁿ ∼

t→+∞

1 t³ⁿ avec3n >1 donc l'intégraleR+∞

0 dt

(1+t³)ⁿ est bien dénie pourn≥1.

Par application du théorème de convergence dominée (en prenantϕ(t) = _1+t¹3

pour dominatrice), on obtient

n→+∞lim Z +∞

0

dt

(1 +t³)ⁿ = 0.

La décroissance de(|u_n|)et la positivité de l'intégrale étant des propriétés immédiates, on peut appliquer le critère spécial et armer quePun converge.

fn est dénie et continue par morceaux sur ]0 ; +∞[.

Quandx→0⁺,fn(x)→ _n¹, on peut donc la prolonger par continuité.

Quandx→+∞,f_n(x) = o

1 x²

. Par suitef_n est intégrable sur]0 ; +∞[.

un= Z +∞

0

nln(1 +x/n) x(1 +x²) dx. Posons

gn(x) =nln(1 +x/n)

x(1 +x²) =nfn(x). Pourx >0, quand n→+∞, gn(x)→ _1+x¹2.

De plus, sachantln(1 +u)≤u, on a g_n(x)

≤_1+x¹₂ =ϕ(x)avecϕintégrable.

Par convergence dominée,

un → Z +∞

0

dx 1 +x² =π

2. Exercice 9 :[énoncé]

Par changement de variable

µ_n= Z 1

0

f(ns) ds. Par convergence dominée

µn→`.

Par le changement de variableu=nt In=

Z +∞

0

f(u/n)e^−udu. Par convergence dominée, sachant

f(u/n)

≤ kfk_∞e^−u=ϕ(u) avecϕintégrable, on obtient

In→ Z +∞

0

f(0)e^−udu=f(0).

Par le changement de variableu=nx, Z +∞

0

nf(x) 1 +n²x²dx=

Z +∞

0

f(u/n) 1 +u² du. Posons alorsf_n:u7→ ^f(u/n)_1+u2 dénie surR+.

La suite de fonctions(f_n)converge simplement vers f_∞:u7→ f(0)

1 +u².

Les fonctionsf_n etf sont continues par morceaux surR+. f_n(u)

≤ kfk_∞

1 +u² =ϕ(u) avecϕintégrable sur R+.

Par convergence dominée, Z +∞

0

nf(x)

1 +n²x²dx−−−−−→

n→+∞

Z +∞

0

f(0)

1 +u²du=πf(0) 2 . Exercice 12 :[énoncé]

(a) Pourx >0, posons

un(x) = Z +∞

0

ncost(sint)ⁿf(xt) dt.