IUT GB - Fiche de TD – Combinatoire, probabilités élémentaires
Exercice 1.
1. On lance trois dés (équilibrés) indiscernables, numérotés de 1 à 6. Calculer : - le nombre de brelans (3 valeurs de dés identiques) que l’on peut observer.
- le nombre de lancers donnant une paire que l’on peut observer.
- le nombre de lancers donnant trois numéros distincts que l’on peut observer.
- En déduire le nombre total de résultats que l’on peut observer.
Peut-on utiliser ces résultats pour calculer les probabilités en utilisant les cas « favorables » et
« possibles » ?
2. On suppose que les trois dés ont des couleurs différentes. Reprendre les calculs de la question précédente dans ce contexte.
3. En déduire la probabilité de réalisation de chacun de ces trois cas (tous les lancers de trois dés sont évidemment supposés équiprobables).
Exercice 2. Lors d’une collecte de sang, 27 personnes se sont présentées. On a noté la répartition suivante : Groupe A B AB O Total
Nombre 6 4 2 15 27 À l’issue de la collecte, on prélève au hasard 4 flacons.
1. Calculer le nombre de prélèvements possibles de quatre flacons.
2. Calculer le nombre prélèvements donnant 4 flacons du même groupe. Quelle est la probabilité que cela se réalise ?
3. Calculer le nombre prélèvements donnant au moins un flacon du groupe A. Quelle est la probabilité que cela se réalise ?
4. Quelle est la probabilité que les quatre groupes sanguins prélevés soient différents ?
Exercice 3. Dans une classe de 𝑛𝑛 élèves, calculer le nombre de listes possibles des dates d’anni- versaires (les élèves étant supposés triés dans l’ordre alphabétique, et on considérera pour simplifier qu’une année compte 365 jours). Quelle est la probabilité qu’au moins deux élèves aient la même date d’anniversaire. Que vaut cette probabilité pour une classe de 28 élèves ? De 35 élèves ? De 40 élèves ?
Exercice 4. Au loto (ancienne version), il y avait 49 boules numérotées de 1 à 49. Un tirage est composé de 6 numéros distincts. Pour gagner quelque chose, il fallait avoir au moins trois bons numéros. Quelles sont les probabilités :
1. De tirer les 6 bons numéros ?
2. De tirer exactement 5 bons numéros ? 3. De tirer au moins trois bons numéros ?
Exercice 5. Chez le lapin, la robe tachetée (𝑇𝑇) domine sur la robe unicolore (𝑡𝑡) et la coloration noire (𝑁𝑁) domine sur la coloration brune (𝑛𝑛). On croise deux lapins de génotypes 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑛𝑛𝑛𝑛 × 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑁𝑁𝑁𝑁 : tous les descendants de la génération 𝐹𝐹1 sont noirs et tachetés de génotype 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑁𝑁𝑛𝑛. Les individus de la génération 𝐹𝐹2, issus de deux lapins noirs tachetés de la 𝐹𝐹1, ont alors les génotypes suivants :
Génotype 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑁𝑁𝑛𝑛 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑁𝑁𝑛𝑛 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑁𝑁𝑛𝑛 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑛𝑛𝑛𝑛 Probabilité
1. Calculer les probabilités de chaque génotype.
2. Calculer les probabilités du tableau suivant pour un lapin de 𝐹𝐹2
Couleur Tacheté noir Tacheté brun Unicolore noir Unicolore brun Probabilité
3. Sachant qu’un lapin de 𝐹𝐹2 est noir tacheté, quelle est la probabilité qu’il ait pour génotype 𝑇𝑇𝑡𝑡𝑁𝑁𝑛𝑛 ? 4. Quelle est la probabilité qu’un lapin de 𝐹𝐹2 soit noir ?
5. Sachant qu’un lapin de 𝐹𝐹2 est tacheté, quelle est la probabilité qu’il soit noir ? 6. Expliquer la coïncidence des deux derniers résultats.
Exercice 6. Pour diagnostiquer une maladie du mouton, on a mis au point un test, mais qui n’est pas parfait : il peut y avoir des « faux positifs » c’est-à-dire des moutons pour lesquels le test est positif et qui ne sont pas malades, et à l’inverse des « faux négatifs » pour lesquels le test est négatif alors que le mouton est bien atteint par la maladie.
On note les événements 𝑀𝑀 : « le mouton est malade » 𝑇𝑇 : « le test est positif ».
On connaît les caractéristiques du test :
sa sensibilité qui est la probabilité que le test soit positif pour une bête est malade, que l’on suppose de 90% ; sa spécificité qui est la probabilité que le test soit négatif lorsque la bête est saine, que l’on suppose à 85%.
On suppose que 20% des moutons d’une région sont atteints par la maladie.
1. Écrire les événements 𝐹𝐹+ : « le mouton est un faux positif » et 𝐹𝐹− : « le mouton est un faux négatif » en fonction de 𝑀𝑀 et 𝑇𝑇.
2. Écrire les données de l’exercice sous forme de probabilités.
3. Pour un mouton pris au hasard, calculer la probabilité qu’il soit positif au test.
4. Sachant qu’un mouton est positif au test, calculer la probabilité qu’il soit malade.
5. Sachant que le mouton est négatif au test, calculer la probabilité qu’il ne soit pas malade.
6. Calculer l’efficacité du test c’est-à-dire la probabilité qu’il n’y ait pas d’erreur commise ℙ(𝐹𝐹��� ∩ 𝐹𝐹+ ���−).
Exercice 7. Les tableaux ci-dessous donnent la répartition des groupes sanguins de la population française et les compatibilités entre donneur et receveur.
Rhésus
Groupes sanguin Total
rhésus Receveur
Donneur
Receveur
Donneur
O A B AB O A B AB Rh+ Rh-
Rh+ 37% 39% 7% 2% O X Rh+ X X
Rh- 6% 6% 2% 1% A X X Rh- X
Total groupe B X X
AB X X X X
Un X dans les deux derniers tableaux indique la compatibilité. En particulier, un donneur universel est du groupe O rhésus rh- et un receveur universel du groupe AB rhésus Rh+.
1. Calculer les lois (dites marginales) des variables ``Groupe'' et ``Rhésus''.
2. Si je suis du groupe A rhésus Rh+, quelle proportion de la population peut me donner son sang ? 3. Sachant qu'un individu tiré au hasard est du groupe O, quelle est la probabilité qu'il soit donneur
universel ?
4. Sachant qu'un individu tiré au hasard est de facteur rhésus Rh+, quelle est la probabilité qu'il soit receveur universel ?
5. Lors d'un don du sang, 25 personnes se sont présentées. Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins un donneur universel parmi elles ?
6. Pour un donneur et un receveur pris au hasard, calculer les probabilités conditionnelles de compatibilités du tableau suivant :
Sachant que le donneur est O+ A+ B+ AB+ O- A- B- AB- Probabilité de compatibilité
En déduire la probabilité qu'ils soient compatibles en général.
