SECTION : Mathématiques

(1)

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Equipe maths secondaire

Sujet proposé (2010)

EXAMEN BACCALAUREAT PROPOSE PAR L’EQUIPE DE

Tunisiamath^®

SECTION : Mathématiques

EPREUVE : MATHEMATIQUES

DUREE : 4 heures COEFFICIENT : 4

P a g e | 1

QQuueessttiioonnnnaaiirree àà cchhooiixx mmuullttiipplleess :: ((QQCCMM)) Cet exercice est un

Cet exercice est un Cet exercice est un

Cet exercice est un questionnairequestionnairequestionnairequestionnaire àààà choixchoixchoixchoix multiplesmultiplesmultiples ....Pourmultiples PourPourPour chacunechacunechacune deschacunedesdes sixdessixsix questionssixquestionsquestionsquestions, trois , trois , trois , trois réponsesréponsesréponsesréponses SontSontSontSont proposées ; une seule de ces réponses

proposées ; une seule de ces réponses proposées ; une seule de ces réponses

proposées ; une seule de ces réponses convient.convient.convient.convient. Indiquer surIndiquer surIndiquer sur laIndiquer surlala copielacopiecopiecopie lelele numérolenuméronuméronuméro dededede lalala questionlaquestionquestionquestion êtreêtreêtreêtre copiercopiercopiercopier lalalala réponse

réponseréponse

réponse exactesexactesexactesexactes ssssansansans justifieransjustifierjustifier lejustifierlele choixlechoixchoixchoix effectué.effectué.effectué.effectué.

Q Q Q

Q1111 :l’entier 5 est un inverse modulo 6 de:l’entier 5 est un inverse modulo 6 de:l’entier 5 est un inverse modulo 6 de:l’entier 5 est un inverse modulo 6 de : : : : aaa

a)))) 5 b) 5 b) 5 b) 5 b) ----5 c) 15 c) 15 c) 1 5 c) 1 Q

Q Q

Q2222 :::: On pose On pose On pose :::: On pose x====8 n-1; y====5 n 6++++ où où où où n∈∈∈∈ℕ _alors_alors_alors_alors_x_∧∧∧∧_y divise divise divise divise aaa

a)))) 40 b) 53 c) 840 b) 53 c) 8 40 b) 53 c) 840 b) 53 c) 8 QQ

QQ3333 : : : : L’ensemble des points L’ensemble des points L’ensemble des points L’ensemble des points 4 3

M cost; cost;1- sint ; t

5 5

 

∈

∈∈

  ∈

 

 

  ℝdans dans dans dans ^R.O.N

((((

^{O, i, j, k}

))))

êstêstêstest ::::

aaa

a)))) Un cercle b) Une sphère c) Un planUn cercle b) Une sphère c) Un plan Un cercle b) Une sphère c) Un planUn cercle b) Une sphère c) Un plan Q

Q Q

Q44 44: : : : Soit l’arbre pondéré suivantSoit l’arbre pondéré suivantSoit l’arbre pondéré suivant :::: Soit l’arbre pondéré suivant

B

0,3 0,3 0,3 0,3 A B EtEtEtEt ^{p B}

(((( ))))

⁼⁼⁼⁼^{0, 41} alors alors alors alors ^{p B/ A}

(((( ))))

vautvautvautvaut : a) 0,3 b) 0,6 c) 0,9: a) 0,3 b) 0,6 c) 0,9: a) 0,3 b) 0,6 c) 0,9 : a) 0,3 b) 0,6 c) 0,9

A B

0,8 0,8 0,8 0,8 B

QQQQ55 55: Si X suit la loi exponentielle de paramètre : Si X suit la loi exponentielle de paramètre : Si X suit la loi exponentielle de paramètre : Si X suit la loi exponentielle de paramètre

λ ==== 0,1

alors l’arrondi au centième de alors l’arrondi au centième de alors l’arrondi au centième de alors l’arrondi au centième de

^p (((( ^x >>>> ¹⁰ ))))

êstêstest :::: êst a) 0,63 b) 0,37 c) 0,91

a) 0,63 b) 0,37 c) 0,91a) 0,63 b) 0,37 c) 0,91 a) 0,63 b) 0,37 c) 0,91 QQQQ6666 : On donne la série double: On donne la série double: On donne la série double: On donne la série double

(((( ^{X, Y} ))))

^:

La droite La droite La droite

La droite de régression de de régression de de régression de de régression de

Y

en en en en

X

a pour équationa pour équationa pour équationa pour équation ::::

a) a) a) a)

y = 1,51x+ 7,9

b) b) b) b)

y = 7,9 x+1,51

c) c) c) c)

y = 1,51x 7,9 −−−−

X

3030 3030 40404040 5050 5050 6060 6060 7070 7070

Y

4242 4242 80808080 9090 9090 9595 9595 110110 110110

(2)

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P a g e | 2 EExxeerrcciiccee II ::

Soit l’équation dans ℂ_{:(E) :}z - 2 + 4 i z + 10 i- 9 z+18 + 6 i = 0³

(((( ))))

²

(((( ))))

1)

a) Vérifier que 3 est une racine de (E).

b) Déduire les autres solutions de (E).

2) Soit ^{R= O,i,j}

(((( ))))

un repère orthonormé direct. On pose : A(3) ; B(1+2i) et C(-2+2i). a) Vérifier que OABCest un parallélogramme.

b) Justifier l’existence d’un unique déplacement f et un unique antidéplacement g transformant O en B et A en C.

c) Donner la nature et les éléments caractéristiques de f.

d) Vérifier que : g=f S _{(((( ))))}_OA

e) Déduire la former réduite de g.

EExxeerrcciiccee IIII ::

1) On considère l’équation différentielle (E) : y'+y=e^-x.

a) Soit g la fonction définie sur ℝ par : ^{g x =axe}

(((( ))))

^-x^(où^a^∈^∈^∈^∈^ℝ⁾

Déterminer le réel a pour que la fonction g soit une solution de (E)

b) Montrer que si y est une solution de (E) si est seulement (y-g) est une solution de (E’) : y'+y=0

c) Résoudre alors l’équation différentielle (E) et tel que ^{y 0 =1}

(((( ))))

^.

2) Soit la fonction f définie sur ℝ par : ^f

(((( )))) ((((

^x ^{= +}^{= +}^{= +}^{= +}¹ ^{x e}

))))

⁻⁻⁻⁻^x

a) Dresser le tableau de variation de f.

b) Soit ¹

(((( ))))

0

1

I====

∫∫∫∫

++++x e dx⁻⁻⁻⁻^x . Montrer que : 3 2 I= −= −= −= −e

c) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1. On pose :

n-1 n

k =0

1 k

U = f

n n

   

  

  

  

  

∑

 

∑

∑ ∑

i) Montrer que pour tous ^k^∈^∈^∈^∈

[[[[

^{0, n-1}

]]]]

^{, on a :} ¹

(((( ))))

0

1 k+1 1 k

f f x dx f

n n n n

   

≤ ≤

   

   

 

∫∫∫∫

 

ii) En déduire que : _n e- 2

I U I+

≤ ≤ ne

≤≤ ≤≤

≤ ≤ puis calculer

nlim U_n

→+∞→+∞

→+∞→+∞ .

(3)

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P a g e | 3

EExxeerrcciiccee IIIIII ::

Note : Les deux parties A et B sont indépendantes Partie A

Partie A Partie A Partie A ::::

Soit n un entier naturel.

a) Montrer que : ⁷^{2 n}^{+ ≡}^{+ ≡}^{+ ≡}^{+ ≡}³ ^{0 mod 4}

(((( ))))

^.

b) Montrer que : ⁴^{4 n 2}⁺⁺⁺⁺ ⁻⁻⁻⁻³ⁿ⁺³^≡^≡^≡^≡^{0 mod11}

(((( ))))

^.

Partie Partie Partie Partie BBBB ::::

On donne l’équation :

(((( ))))

^E¹ ^{: 5}^x⁻⁻⁻⁻³^y⁼⁼⁼⁼¹^où

(((( ))))

^{x y}^, ^{∈ ×}^{∈ ×}^{∈ ×}^{∈ ×}^ℤ ^ℤ

1)

a) Vérifier que si est solution de

(((( ))))

^E¹ ^alors^x^≡≡≡≡^{2 mod 3}

(((( ))))

^.

Donner une solution particulière de l’équation

(((( ))))

E1 . b) On donne l’équation :

(((( ))))

^E² ^{: 5}^x⁻⁻⁻⁻³^y⁼⁼⁼⁼⁷^où

(((( ))))

^{x y}^, ^{∈ ×}^{∈ ×}^{∈ ×}^{∈ ×}^ℤ ^ℤ

Déduire de a) une solution particulière de l’équation

(((( ))))

E1 puis la résoudre.

2) On pose : a = 3n+ 2 et b = 5 n+1

a) Justifier que

(((( ))))

^{a, b} est une solution de

(((( ))))

E2 .

b) On pose : d=a∧∧∧∧b^.Quelle sont les valeurs possibles de d . c) Déterminer alors les entiers naturels n pour que a b∧ =∧ =∧ =∧ =1

EExxeerrcciiccee IIVV ::

1) Soit la fonction g définie sur ℝ par : ^g

(((( ))))

^x ^{= −}^{= −}^{= −}^{= −}¹ ^xe⁻⁻⁻⁻^x

a) Dresser le tableau de variation de g. en déduire son signe.

b) Calculer ¹

(((( ))))

0

g t dt

∫∫∫∫

^.

2) Soit 1

f :x 1 ^x

xe⁻⁻⁻⁻

֏ −−−− définie sur ℝ

a) Dresser le tableau de variation de f.

b) Tracer VVVV_f dans un repère orthonormé ^{R= O,i,j}

(((( ))))

(4)

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P a g e | 4

c) Vérifier que pour tous t≥≥≥≥0^{on a :}¹ ^f

(((( ))))

^e

t e-1

≤ ≤

3) Soit Fla fonction définie sur : ^I^{= +∞}^{= +∞}^{= +∞}^{= +∞}

[[[[

^1,

[[[[

^par

(((( ))))

^{ln( )}

(((( ))))

0

F tf t dt

x

x ====

∫∫∫∫

a) Montrer que pour tous x∈∈∈∈I^{on a :}

(((( (((( )))) )))) _{(((( ))))} (((( (((( )))) ))))

(((( ))))

2 2

ln ln

2 F 2 1

x e x

x e

≤ ≤

−−−−

b) Calculer _n^{lim F x}_→+∞_→+∞_→+∞_→+∞

(((( ))))

^et

(((( ))))

n

lim F x

→+∞ x

→+∞

→+∞→+∞

c) Montrer que F est dérivable sur I et que

(((( ))))

ln x f ln x

(((( )))) (((( (((( )))) ))))

F' x = x

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((((

))))

(((( ))))

(((( ))))

λ ==== 0,1

p (((( x >>>> 10 ))))

(((( X, Y ))))

Y

X

y = 1,51x+ 7,9

y = 7,9 x+1,51

y = 1,51x 7,9 −−−−

X

Y

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(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( )))) ((((

))))

(((( ))))

∫∫∫∫

∑

∑

∑ ∑

[[[[

]]]]

(((( ))))

∫∫∫∫

SECTION : Mathématiques

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

∫∫∫∫

(((( ))))

SECTION : Mathématiques

(((( ))))

[[[[

[[[[

(((( ))))

(((( ))))

∫∫∫∫

(((( (((( )))) )))) (((( )))) (((( (((( )))) ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

(((( )))) (((( (((( )))) ))))

^p (((( ^x >>>> ¹⁰ ))))

(((( ^{X, Y} ))))

(((( (((( )))) )))) _{(((( ))))} (((( (((( )))) ))))