Physiks & Chimie

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Terminale S2

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D.S. n°3

Exercice n°1 : La radioactivité naturelle et provoquée de l’uranium d’après bac Antilles 09/2010 (20 points) 1. À la découverte d’un minerai radioactif : l’Autunite

1.1. Un noyau radioactif est un noyau instable, qui va se désintégrer spontanément, en émettant une particule,  (noyau d’hélium 4),  (soit un électron soit un positron) ou  (photon). Au cours de cette réaction nucléaire, le noyau père (radioactif) se transforme en un noyau fils, plus stable ; il y a libération d’énergie (1).

1.2. L’uranium présent dans l’Autunite comprend 3 isotopes naturels : ²³⁸U, présent en écrasante majorité, ²³⁵U et ²³⁴U.

1.2.1. Des noyaux isotopes sont des noyaux appartenant au même élément chimique : ils ont même nombre de protons mais possèdent des nombres de nucléons, donc de neutrons, différents (0,5).

1.2.2. Les noyaux d’uranium 235 et 238 possèdent tous deux 92 protons. L’uranium 235 possède 143 neutrons tandis que l’uranium 238 possède 146 neutrons (1).

1.3. ²³⁸₉₂U



²³⁴₉₀Th



²³⁴₉₁Pa



²³⁴₉₂U



²³⁰₉₀Th

1.3.1. Les lois de Soddy stipulent qu’au cours d’une réaction nucléaire il y a :

– Conservation du nombre de charge (pas nécessairement du nombre de protons !) (0,5) – Conservation du nombre de nucléons (0,5).

1.3.2. ^_U ^_Th + ^_He (0,5)

Au cours de cette désintégration, il y a conservation du nombre de charge : 92 = 90 + 2 et du nombre de nucléons : 238 = 234 +4 (0,5)

1.3.3. La particule émise est un noyau d’Hélium 4 : il s’agit d’une radioactivité  (0,5).

1.3.4. ^_Th  ^_Pa + _–1^e (0,5)

Au cours de cette désintégration, il y a conservation du nombre de charge : 90 = 91 + (–1) et conservation du nombre de nucléons : 234 = 234 +0 (0,5).

La particule émise est un électron, il s’agit d’une radioactivité ^–. (0,5) 1.4. L’uranium ²³⁸U présente un temps de demi-vie de 4,5.10⁹ années.

1.4.1. La loi de décroissance radioactive peut s’écrire : N(t) = N0.e^–^^t (0,5).

1.4.2. Le temps de demi-vie noté t1/2 est la durée au bout de laquelle le nombre initial de noyaux radioactifs est divisé par deux. C’est aussi la durée nécessaire pour que l’activité initiale soit divisée par 2 (0,5).

1.4.3. Quel que soit t : N(t) = N₀.e^–^^t. Donc à l’instant t1/2 : N(t1/2) = N0.e^–^^t1/2. Or par définition N(t1/2) = N0/2, donc N(t1/2) = N0/2 = N0.e^–^^t1/2. En simplifiant par N0 : 1/2 = e^–^.^t1/2. Ainsi : ln(1/2) = ln(e^–^.^t1/2) soit ln(1/2) = – .t1/2. Or ln(

) = – ln(2), donc ln(2) = .t1/2 et finalement : t1/2 = ln 

 (1,5).

1.4.4. La valeur de la constante de désintégration radioactive  est donc  = ln  t/

= ln 

,.^ = 1,5.10^–10 an^–1 (0,5), soit 4,9.10^–18 s^–1 ( ln 

,.^/(365,24243600)) (0,5)

1.5. L’activité A0 d’une pierre d’Autunite de masse voisine de 100 g, n’est pas négligeable ; elle est voisine de 9000 Bq.

1.5.1. L’activité d’une espèce radioactive est le nombre moyen de désintégration survenue par unité de temps (0,5).

1.5.2. Un becquerel (Bq) représente une désintégration, en moyenne, par seconde (0,5).

1.5.3. A(t) = .N(t).

Le nombre de noyaux N0 d’uranium présents dans cette pierre à la date t = 0 s est N0 = A0/ soit N0 = 

,.^– = 

,10^3–(–18) = 1,8.10²¹ noyaux radioactifs. L’ordre de grandeur est bien de 10²¹ noyaux (1).

1.5.4. A(1000 ans) = 9000e–1,5.10^(–10)1000

= 9000 Bq (0,5).

1.5.5. L’activité de cette pierre reste constante sur une échelle de plusieurs millénaires. Sa décroissance est donc extrêmement lente à l’échelle de temps de la vie humaine (0,5).

1.5.6. L’inhalation prolongée de poussières issues d’une telle pierre engendre des rayonnements dans le corps humain pouvant entrainer une destruction des tissus vivants, des problèmes respiratoires, des cancers, des malformations chez les nouveau-nés lorsque la mère a inhalé ses poussière, etc. (0,5).

1.5.7. L’activité de la source radioactive aura diminué de 1 % lorsqu’elle vaudra 0,99A0. La durée nécessaire est donc t = 

.ln A

At (voir la démonstration en cours) soit t = 

.ln A

,A_ = 

.ln 

,. A.N. : t = 

,.^–ln 

, = 67.10⁶ ans, soit 67 millions d’années ! (2).

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Terminale S2 Page 2 sur 2 2. La radioactivité provoquée de l’uranium :

2.1. Ce type de réaction est une réaction de fission nucléaire (0,5).

2.2. D’après les lois de Soddy déjà citées : 235 + 1 = 94 + A + 31  A = 236 –97 = 139 (0,5).

et 92 + 0 = Z + 54 + 30  Z = 92 – 54 = 38 (0,5).

2.3. Bilan énergétique :

2.3.1. L’énergie de masse d’une masse m est donnée par la relation d’Einstein : E = m.c². où E représente l’énergie de masse en joule, m, la masse en kg et c la célérité de la lumière dans le vide en m.s^–1 (0,5).

2.3.2. E = m.c² = (map – mav).c² = [m(⁹⁴Sr) + m(¹³⁹Xe) + 3.m(n) – m(²³⁵U) – m(n)].c² = [m(⁹⁴Sr) + m(¹³⁹Xe) + 2.m(n) – m(²³⁵U)].c² (0,5).

2.3.3. E = (93,8946 + 138,888 + 21,00866 – 235,120)1,66054×10^–27(3,00×10⁸)² = – 0,3201,66054×10^–27(3,00×10⁸)² = –4,78.10^–11 J (1) soit – 299 MeV (0,5).

On peut aussi procéder autrement :

E = (93,8946 + 138,888 + 21,00866 – 235,120)931,5 = – 298 MeV soit – 4,77.10^–11 J.

La différence, non significative, entre les valeurs est due aux arrondis sur la valeur de c et de l’équivalence masse-énergie entre 1 u et l’énergie de masse exprimée en MeV.

2.4. La variation d’énergie est négative, ce qui prouve que de l’énergie est perdue par le système nucléaire : de l’énergie est donc libérée au cours de cette réaction ! (0,5).