Chapitre : équations.
Motivation : voir la narration de recherche I. Vocabulaire
2x– 5 = x + 10 est une équation où l'inconnue est désignée par la lettre x.
Cette équation a deux membres: le membre de gauche 2x – 5 et le membre de droite : x + 10.
Les solutions de l'équation 2x – 5 = x + 10 sont les valeurs du nombre x pour lesquelles l'égalité 2x – 5 = x + 10 est vérifiée.
Exemple 1 : 3 est-il une solution de l'équation 2x – 5 = x + 10 ?
Pour x = 3, on calcule séparément 2x – 5 et x + 10.
2x – 5 = 2 × 3 – 5 = 6 – 5 = 1 x + 10 = 3+ 10 = 13
On constate que, pour x = 3, 2x – 5 ≠ x + 10. Il n'y a pas égalité entre les deux membres donc 3 n'est pas une solution de l'équation 2x– 5 = x + 10.
Exemple 2 : 15 est-il une solution de l'équation 2x – 5 = x + 10 ?
Pour x = 15, on calcule séparément 2x – 5 et x + 10.
2x – 5 = 2 × 15 – 5 = 30 – 5 = 25 x + 10 = 15+ 10 = 25
On constate que, pour x = 15, 2x – 5 = x + 10. Il y a égalité entre les deux membres donc 15 est une solution de l'équation 2x– 5 = x + 10.
II. Résolution d'une équation: méthode
Méthode 1 : représentation graphique , fonctionne si l'inconnue x apparait une seule fois dans l'équation.
Exemple : × 5 +3
5x3=–7 : x 5x -7
-2 -10
÷5 -3
La solution de l'équation est donc -2 ( ou x = - 2 ) Méthode 2: ( générale)
En utilisant la propriété :
• Une égalité reste vraie en ajoutant ou en soustrayant un même nombre à ses deux membres.
Une égalité reste vraie en multipliant ou en divisant ses deux membres par un même nombre non nul.
but : isoler l'inconnue dans le membre de gauche et appliquer les propriétés des égalités.
5 x + 3 = - 7 5 x + 3 – 3 = - 7 – 3
5 x = - 10 x = - 10
5 x = - 2
III. Autres cas
• x
2 = 4 il faut multiplier les deux membres par 2, on obtient x = 8
• 3 x = 3 x + 1 on soustrait 3 x dans les deux membres, on obtient 0 = 1 comme c'est impossible, l'équation n'admet aucune solution.
• 5 x + 10 = 5 ( x + 2 ) on commence par développer le membre de droite , 5 x + 10 = 5 x + 10 on peut soustraire 5 x + 10 dans les deux membres
0 = 0
x peut prendre n'importe quelle valeur, il y a un infinité de solution.
• 5 x - 3 = 2 x – 5 on commence par éliminer 2x dans le membre de droite : on soustrait 2 x dans chacun des membres
3 x - 3 = - 5 on ajoute 3 dans chaque membre pour éliminer le -3 3 x = - 2 on divise par 3 chaque membre pour éliminer le 3
x = - 2 3 IV. Problèmes
Cas de la narration de recherche : 91 têtes de poules et lapins, 324 pattes.
Déterminer le nombre de poules et de lapins.
Résolution
Soit x le nombre de lapins Nombre de poules : 91 - x
Nombre de têtes : 4×x2×91– x=324 4 x + 2 * 91 – 2 x = 324
2 x + 182 = 324 2 x = 142
x = 71 Il y a 71 lapins et 91 – 71 = 20 poules
Méthode
1. On choisit l'inconnue
2. On transforme le texte en équation
3. On résout l'équation
4. On conclut
