BACCALAUREAT
Session 20
Série : ES - Spécialité Mathématiques
Épreuve : Mathématiques
Durée de l'épreuve : 3 h
Avant de composer le candidat s'ass
CALAUREAT BLANC
Session 2019
Spécialité Mathématiques
Mathématiques
3 h Coefficient
Calculatrice autorisée
Avant de composer le candidat s'assure que le sujet comporte
CALAUREAT
9
Coefficient : 7
ure que le sujet comporte 4 pages
Exercice 1
Commun à tous les candidats
Dans tout cet exercice les résultats seront arrondis au
Les parties A et B sont indépendantes
Partie A
Claude a téléchargé un jeu sur son smartphone.
Le but de ce jeu est d’affronter des obstacles à l’aide de personnages qui peuvent être de trois types
« Terre », « Air » ou « Feu ».
Au début de chaque partie, Claude
peut, en cours de partie, conserver ce personnage ou changer une seule fois de type de personnage.
Le jeu a été programmé de telle sorte que
- La probabilité que la partie débute avec un personnage de type « - La probabilité que la partie débute avec un personnage de type « - Si la partie débute avec un personnage de type «
conservé est 0,5 ;
- Si la partie débute avec un personnage de type « est 0,4 ;
- Si la partie débute avec un personnage de type « est 0,9.
On note les évènements suivants :
- T : la partie débute avec un personnage de type « - A : la partie débute avec un personnage de type « - F : la partie débute avec un personnage de type «
- C : Victor conserve le même personnage tout au long de la partie.
1. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci
2. Calculer la probabilité que Claude 3. Justifier que la probabilité que Claude
4. On considère une partie au cours de laquelle partie.
Quelle est la probabilité que ce soit un personnage de type «
1
Commun à tous les candidats
Dans tout cet exercice les résultats seront arrondis au centième si nécessaire.
Les parties A et B sont indépendantes.
a téléchargé un jeu sur son smartphone.
Le but de ce jeu est d’affronter des obstacles à l’aide de personnages qui peuvent être de trois types Claude obtient de façon aléatoire un personnage d’un des trois types et peut, en cours de partie, conserver ce personnage ou changer une seule fois de type de personnage.
Le jeu a été programmé de telle sorte que :
que la partie débute avec un personnage de type « Terre La probabilité que la partie débute avec un personnage de type « Air » est 0,5
Si la partie débute avec un personnage de type « Terre », la probabilité que celui Si la partie débute avec un personnage de type « Air », la probabilité que celui
Si la partie débute avec un personnage de type « Feu », la probabilité que celui
:
: la partie débute avec un personnage de type « Terre » ; : la partie débute avec un personnage de type « Air » ; : la partie débute avec un personnage de type « Feu » ;
: Victor conserve le même personnage tout au long de la partie.
ompléter l’arbre de probabilités ci-dessous.
Claude obtienne et conserve un personnage de type «
Claude conserve le personnage obtenu en début de partie est 0, On considère une partie au cours de laquelle Claude a conservé le personnage obtenu en début de Quelle est la probabilité que ce soit un personnage de type « Air » ?
6 points
Le but de ce jeu est d’affronter des obstacles à l’aide de personnages qui peuvent être de trois types : obtient de façon aléatoire un personnage d’un des trois types et peut, en cours de partie, conserver ce personnage ou changer une seule fois de type de personnage.
Terre » est 0,3 ;
» est 0,5 ;
», la probabilité que celui-ci soit
», la probabilité que celui-ci soit conservé
», la probabilité que celui-ci soit conservé
obtienne et conserve un personnage de type « Air ».
obtenu en début de partie est 0,53.
a conservé le personnage obtenu en début de
2 Partie B
Tous les samedis, Dominique vient chez Claude pour jouer au jeu « Terre – Air – Feu ».
On sait que Dominique arrive, de façon aléatoire, entre 14 heures et 15 heures.
On note X la variable aléatoire égale à l’heure d’arrivée de Dominique chez Claude.
1. Quelle est la loi suivie par X ? Justifier.
2. Calculer la probabilité que Dominique arrive chez Claude : a. à 14 h 15 ;
b. après 14 h 30 ;
c. avant 14 h 45, sachant qu’à 14 h 30 Dominique n’est toujours par arrivé.
3. Calculer E(X), interpréter le résultat.
Exercice 2 3 points
Commun à tous les candidats
On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ par f (x) = x − ln(x).
On appelle Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan et T la tangente à Cf au point d’abscisse x = 3.
On admet que f est continue et positive sur ]0 ; + ∞[ et que la fonction F définie par F (x) = 1
2 x² + x − x ln(x) est une primitive de f sur ]0 ; + ∞[ .
1. La tangente T à Cf passe-t-elle par l’origine du repère ? Justifier.
2. Justifier algébriquement que f est convexe sur ]0 ; + ∞[.
3. Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire du domaine du plan compris entre l'axe des abscisses, la courbe Cf et les droites d'équations = 1 et = 3.
3
Exercice 3 6 points
Commun à tous les candidats
Une société vend des trottinettes.
La vente mensuelle varie entre 1 000 et 6 000 trottinettes.
Une étude montre que la recette mensuelle totale de l’entreprise est de 70 000 euros lorsqu’elle vend 1 000 trottinettes. On note r (x) la recette mensuelle réalisée par l’entreprise, exprimée en dizaine de milliers d’euros, pour la vente de x milliers de trottinettes.
1. Donner r(1).
2. On admet que, pour tout x ∈ [1 ; 6], la recette mensuelle est modélisée par : r(x) = 6 + x + 2ln(x).
a. Montrer que, pour tout x ∈ [1 ; 6], r′(x) = x + 2 x . b. Étudier les variations de r sur l’intervalle [1 ; 6].
3. a. Justifier que l’équation r(x) = 10 admet une unique solution α dans l’intervalle [1 ; 6], puis donner une valeur approchée de α au millième.
b. Déterminer le nombre minimal de trottinettes à partir duquel l’entreprise réalise une recette supérieure à 100 000 euros.
4. a. Soit g la fonction définie pour tout x ∈ [1 ; 6] par g(x) = 2ln(x).
Montrer que la fonction G définie pour tout x ∈ [1 ; 6] par G(x) = 2x[ln(x) – 1] est une primitive de la fonction g .
b. En déduire une primitive R de la fonction r sur l’intervalle [1 ; 6].
c. Donner une valeur approchée à la dizaine d’euros de la valeur moyenne de la recette totale lorsque l’entreprise vend entre 2 000 et 4 000 trottinettes.
4
Exercice 4 5 points
A traiter par les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité A rédiger sur une copie séparée
Les habitants d’une île se rendent régulièrement sur le continent.
En 2012, deux compagnies maritimes A et B offrent la traversée, et 60% des habitants de l’île voyagent avec la compagnie A.
Mais les différentes campagnes publicitaires font évoluer cette répartition.
Une enquête indique alors que chaque année, 20% des clients de la compagnie A changent au profit de la compagnie B, et que 10% des clients de la compagnie B choisissent la compagnie A.
Pour tout entier naturel n, l’état probabiliste de l’année 2012 + est défini par la matrice ligne
= où désigne la proportion des habitants de l’île qui voyagent avec la compagnie A et désigne la proportion des habitants de l’île qui voyagent avec la compagnie B.
Partie A
1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.
2. Ecrire la matrice de transition M de ce graphe en prenant A et B dans cet ordre.
3. Préciser l’état initial puis montrer par le calcul que = 0,52 0,48 .
4. Déterminer pour ce trafic maritime, la prévision de répartition entre A et B en 2015.
5. Déterminer par le calcul l’état stable et l’interpréter.
Partie B
1. En utilisant la relation = donner l’expression de en fonction de et . 2. En déduire que = 0,7 + 0,1.
3. Pour tout entier naturel n, on pose ! = −
".
Démontrer que ! est une suite géométrique dont on précisera la raison et le terme initial.
4. Donner l’expression de ! en fonction de n.
5. En déduire que pour tout entier naturel n, = #
$× 0,7 +
" . 6. Calculer la limite de la suite et l’interpréter.
