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Session 20

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

BACCALAUREAT

Session 20

Série : ES/L

Épreuve : Mathématiques

Durée de l'épreuve : 3 h

Avant de composer le candidat s'ass

CALAUREAT BLANC

Session 2019

Mathématiques

3 h Coefficient

Calculatrice autorisée

Avant de composer le candidat s'assure que le sujet comporte

CALAUREAT

9

Coefficient : 5 (ES) 4 (L)

ure que le sujet comporte 4 pages

(2)

Exercice 1

Commun à tous les candidats

Dans tout cet exercice les résultats seront arrondis au

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

Claude a téléchargé un jeu sur son smartphone.

Le but de ce jeu est d’affronter des obstacles à l’aide de personnages qui peuvent être de trois types

« Terre », « Air » ou « Feu ».

Au début de chaque partie, Claude

peut, en cours de partie, conserver ce personnage ou changer une seule fois de type de personnage.

Le jeu a été programmé de telle sorte que - La probabilité que la partie débute avec

- La probabilité que la partie débute avec un personnage de type « - Si la partie débute avec un personnage de type «

conservé est 0,5 ;

- Si la partie débute avec un personnage de type « est 0,4 ;

- Si la partie débute avec un personnage de type « est 0,9.

On note les évènements suivants :

- T : la partie débute avec un personnage de type « - A : la partie débute avec un personnage de type « - F : la partie débute avec un personnage de type «

- C : Victor conserve le même personnage tout au long de la partie.

1. Recopier et compléter l’arbre de probab

2. Calculer la probabilité que Claude 3. Justifier que la probabilité que Claude

4. On considère une partie au cours de laquelle partie.

Quelle est la probabilité que ce soit un personnage de type «

1

Commun à tous les candidats

Dans tout cet exercice les résultats seront arrondis au centième si nécessaire.

parties A et B sont indépendantes.

a téléchargé un jeu sur son smartphone.

Le but de ce jeu est d’affronter des obstacles à l’aide de personnages qui peuvent être de trois types Claude obtient de façon aléatoire un personnage d’un des trois types et peut, en cours de partie, conserver ce personnage ou changer une seule fois de type de personnage.

Le jeu a été programmé de telle sorte que :

La probabilité que la partie débute avec un personnage de type « Terre La probabilité que la partie débute avec un personnage de type « Air » est 0,5

Si la partie débute avec un personnage de type « Terre », la probabilité que celui avec un personnage de type « Air », la probabilité que celui

Si la partie débute avec un personnage de type « Feu », la probabilité que celui

:

un personnage de type « Terre » ; : la partie débute avec un personnage de type « Air » ; : la partie débute avec un personnage de type « Feu » ;

: Victor conserve le même personnage tout au long de la partie.

Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous.

Claude obtienne et conserve un personnage de type «

Claude conserve le personnage obtenu en début de partie est 0, On considère une partie au cours de laquelle Claude a conservé le personnage obtenu en début de Quelle est la probabilité que ce soit un personnage de type « Air » ?

6 points

Le but de ce jeu est d’affronter des obstacles à l’aide de personnages qui peuvent être de trois types : obtient de façon aléatoire un personnage d’un des trois types et peut, en cours de partie, conserver ce personnage ou changer une seule fois de type de personnage.

Terre » est 0,3 ;

» est 0,5 ;

», la probabilité que celui-ci soit

», la probabilité que celui-ci soit conservé

», la probabilité que celui-ci soit conservé

obtienne et conserve un personnage de type « Air ».

obtenu en début de partie est 0,53.

a conservé le personnage obtenu en début de

(3)

2 Partie B

Tous les samedis, Dominique vient chez Claude pour jouer au jeu « Terre – Air – Feu ».

On sait que Dominique arrive, de façon aléatoire, entre 14 heures et 15 heures.

On note X la variable aléatoire égale à l’heure d’arrivée de Dominique chez Claude.

1. Quelle est la loi suivie par X ? Justifier.

2. Calculer la probabilité que Dominique arrive chez Claude : a. à 14 h 15 ;

b. après 14 h 30 ;

c. avant 14 h 45, sachant qu’à 14 h 30 Dominique n’est toujours par arrivé.

3. Calculer E(X), interpréter le résultat.

Exercice 2 3 points

Commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ par f (x) = x − ln(x).

On appelle Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan et T la tangente à Cf au point d’abscisse x = 3.

On admet que f est continue et positive sur ]0 ; + ∞[ et que la fonction F définie par F (x) = 1

2 x² + x − x ln(x) est une primitive de f sur ]0 ; + ∞[ .

1. La tangente T à Cf passe-t-elle par l’origine du repère ? Justifier.

2. Justifier algébriquement que f est convexe sur ]0 ; + ∞[.

3. Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire du domaine du plan compris entre l'axe des abscisses, la courbe Cf et les droites d'équations = 1 et = 3.

(4)

3

Exercice 3 6 points

Commun à tous les candidats

Une société vend des trottinettes.

La vente mensuelle varie entre 1 000 et 6 000 trottinettes.

Une étude montre que la recette mensuelle totale de l’entreprise est de 70 000 euros lorsqu’elle vend 1 000 trottinettes. On note r (x) la recette mensuelle réalisée par l’entreprise, exprimée en dizaine de milliers d’euros, pour la vente de x milliers de trottinettes.

1. Donner r(1).

2. On admet que, pour tout x ∈ [1 ; 6], la recette mensuelle est modélisée par : r(x) = 6 + x + 2ln(x).

a. Montrer que, pour tout x ∈ [1 ; 6], r′(x) = x + 2 x . b. Étudier les variations de r sur l’intervalle [1 ; 6].

3. a. Justifier que l’équation r(x) = 10 admet une unique solution α dans l’intervalle [1 ; 6], puis donner une valeur approchée de α au millième.

b. Déterminer le nombre minimal de trottinettes à partir duquel l’entreprise réalise une recette supérieure à 100 000 euros.

4. a. Soit g la fonction définie pour tout x ∈ [1 ; 6] par g(x) = 2ln(x).

Montrer que la fonction G définie pour tout x ∈ [1 ; 6] par G(x) = 2x[ln(x) – 1] est une primitive de la fonction g .

b. En déduire une primitive R de la fonction r sur l’intervalle [1 ; 6].

c. Donner une valeur approchée à la dizaine d’euros de la valeur moyenne de la recette totale lorsque l’entreprise vend entre 2 000 et 4 000 trottinettes.

(5)

4

Exercice 4 5 points

Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L

Dans tout cet exercice, les résultats seront arrondis à l’unité.

Une entreprise commercialise des produits « Vegan ».

L’évolution de ses ventes est présentée dans le tableau suivant :

Années 2013 2014 2015 2016 2017 2018

Chiffre d’affaires (milliers d’euros) 330 361 392 432 489 539 1. Calculer le taux d’évolution en pourcentage du chiffre d’affaires entre 2013 et 2014.

Arrondir au dixième.

2. Un cabinet d’étude avait, en 2013, conduit une étude et modélisé le chiffre d’affaires des ventes de produits Vegan par une suite ( ) où, pour tout entier naturel , représentait le chiffre

d’affaires, exprimé en milliers d’euros, de l’année 2013 + .

Dans cette modélisation, on suppose que le chiffre d’affaires augmente de 9% chaque année à partir de 2013 et on construit un algorithme donnant en sortie le terme pour un entier naturel donné par l’utilisateur.

a. Dans les algorithmes ci-dessous, est un entier, donné par l’utilisateur, qui désigne le nombre d’années écoulées depuis l’année 2013 et un nombre réel qui désigne le chiffre d’affaires en 2013 + N. Justifier que les algorithmes A et C ne conviennent pas.

Algorithme A Algorithme B Algorithme C

← 330

Pour variant de 1 à ← 1,09 × Fin Pour

← 330

Pour variant de 1 à ← 1,09 × Fin Pour

Pour variant de 1 à ← 330

← 1,09 × Fin Pour

On admet que l’algorithme B convient.

b. Pour la valeur 5 de saisie dans l’algorithme B, recopier puis compléter, en le prolongeant avec autant de colonnes que nécessaire, le tableau ci-dessous.

Valeur de 1 …

Valeur de 330 …

c. Justifier, qu’au vu de ces résultats, le cabinet d’étude conclut que ce modèle n’est pas pertinent dès 2017.

3. Le cabinet d’étude décide de modéliser ce chiffre d’affaires, exprimé en milliers d’euros, par la suite ( ) définie par = 432 et #$ = 0,9 + 110 pour tout entier naturel .

Le terme représente alors ce chiffre d’affaires en 2016 + . a. Calculer $ et %.

b. On pose & = − 1100 pour tout entier naturel . Montrer que la suite (& ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

c. Pour tout entier naturel , exprimer & en fonction de .

En déduire que = 1100 − 668 × 0,9 pour tout entier naturel .

d. Ce modèle permet-il d’envisager que le chiffre d’affaires dépasse un jour 2 millions d’euros ? e. Trouver, par le calcul, le plus petit entier tel que 1100 − 668 × 0,9 > 1000.

Interpréter la valeur trouvée, dans le contexte de l’exercice.

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