3.5 Champs de vecteur à croissance sous-linéaire

Équations différentielles

Cours de L3 par Frédéric Hélein

, janvier–avril 2021

Mardi 9 mars 2021

3.3.2 L’intervalle maximal est un ouvert

Une autre conséquence du théorème de Cauchy–Lipschitz est le résultat suivant.

Proposition 3.1 SoitX ∈C⁰(U,Rⁿ)une application localement lipschitzienne en espace soit (t0, x₀)∈U. Considérons la solution maximale (I^{M ax}, y) du problème de Cauchy

∀t∈I^{M ax}, dy

dt(t) =X(t, y(t)) et y(t₀) = x₀ Alors est un intervalle ouvert.

Démonstration – Raisonnons par l’absurde et supposons I^{M ax} ne soit pas ouvert, par exemple, I^{M ax} = ]t−, t₊]. Comme U est ouvert, il est possible d’appliquer le théorème de Cauchy–Lipschitz avec les données de Cauchy (t+, y(t+)) : ∃ε > 0, tel que, si I_ε :=

]t₊−ε, t₊+ε[,∃z ∈C¹(I_ε,Rⁿ), solution de

∀t ∈I_ε, ^dz_dt(t) = X(t, z(t)) z(t+) = y(t+)

Ainsizetysont définies et sont solutions de la même équation différentielle sur l’intervalle ]t−, t₊]∩]t₊−ε, t₊+ε] =]t₊−ε, t₊]et coïncident ent₊. Donc, d’après le résultat d’unicité de Cauchy–Lipschitz, ces deux applications coïncident sur tout]t₊−ε, t₊]. On peut donc prolonger y en une application y¯∈C¹(]t−, t₊+ε[,Rⁿ), définie par

∀t∈]t−, t₊], y¯(t) := y(t),

∀t∈]t₊−ε, t₊+ε[, y(t) :=¯ z(t)

Alorsy¯prolonge la solution y, ce qui contredit le fait quey est la solution maximale.

3.4 Un critère d’explosion des solutions

Supposons à présent que l’équation différentielle ^dy_dt(t) = X(t, y(t)) soit définie pour un champ de vecteur X ∈ C¹(I ×Ω,Rⁿ), où I ⊂ R est un intervalle et Ω ⊂ Rⁿ est un ouvert. Nous savons que la solution maximale de cette équationn’est pas nécessairement définie sur tout l’intervalle I, c’est à dire qu’il est possible que I^{M ax} ⊂ I et I^{M ax} 6= I.

Cela se produit par exemple pour l’équation ^dy_dt = y² et nous pouvons observer dans cet exemple que les valeurs detoù la solution cesse d’exister sont celles où la solutionexplose, ce qui signifie que sa norme tend vers+∞. Cette situation est générale comme le montre le résultat suivant.

1. Université de Paris, Licence 3 de Mathématiques,[email protected]

3.4.1 Le théorème principal

Dans ce qui suit, I ⊂Rdésigne un intervalle et nous convenons quesupI désigne, soit la borne supérieure de I, si I est majoré, soit +∞, si I est non majoré. De même infI désigne, soit la borne inférieure deI, siI est minoré, soit −∞, siI est non minoré.

Théorème 3.1 (Sortie définitive de tout compact) Soit I un intervalle de R, Ωun ouvert deRⁿ etX ∈C⁰(I×Ω,Rⁿ)un champ de vecteur localement lipschitzien en espace.

Soit (]t−, t₊[, y) une solution maximale de l’équation ^dy_dt(t) =X(t, y(t)).

(i) si t₊ < supI, alors y(t) sort définitivement de tout compact lorsque t tend vers t₊, ce qui signifie

∀K ⊂Ω, siK est compact, ∃t¯∈ ]t+, t₊[, ∀t∈ [¯t, t₊[, y(t)6∈K (1) (ii) si infI < t−, alors y(t)sort définitivement de tout compact lorsque t tend verst−,

ce qui signifie

∀K ⊂Ω, si K est compact, ∃¯t∈ ]t+, t₊[, ∀t∈ ]t−,t],¯ y(t)6∈K (2) Démonstration — Nous nous contenterons de montrer (i), le résultat (ii) étant totalement symétrique. Nous raisonnons par l’absurde en supposant qu’il existe une solution maxi- male (]t−, t₊[, y) telle que t₊ <supI et que (1) n’est pas vérifié.

(a) Le fait que (1) ne soit pas satisfait signifie qu’il existe un compact K ⊂Ω tel que

∀¯t∈ ]t+, t₊[, ∃t ∈ [¯t, t₊[, y(t)∈K

En appliquant cette propriété pour des valeurs det¯qui tendent verst₊ (par exemple pour

¯t=t₊− ¹_k, avec k∈N^∗), nous obtenons qu’il existe une suite (tk)k∈N∗ telle que [ ∀k ∈N^∗, t_k ∈ ]t−, t₊[ et y(tk)∈K ] et lim

k→+∞

t_k =t₊

Comme K est compact, il est possible d’extraire une sous-suite (tϕ(k))k∈N∗ de (tk)k∈N∗

telle que (y(t_ϕ(k)))k∈N∗ converge vers une limite y₊ ∈K. Pour alléger les notations, nous noterons t_k=t_ϕ(k). Ainsi

k→lim+∞y(tk) =y₊∈K ⊂Ω

Interlude — L’idée est de procéder comme dans la preuve de la proposition 3.1, sauf que les choses sont compliquées par le fait quet₊n’est pas dans l’intervalle sur lequel est défini y et que rien ne garantit a priori que y(t) tend vers y₊ lorsque t tend vers t₊ (cela n’est vrai que pour une suite). Nous allons pour cela construire un piège, sous la forme d’un voisinage de(t₊, y₊), de la forme]t₊−τ, t₊+τ[×B¯(y₊, r)(voir plus bas), et attendre que (tk, y(tk))passe dans ce piège.

(b) Comme I et Ω sont ouverts, il existe α > 0 et r > 0 tels que le compact K₊^2α,2r :=

[t₊−2α, t₊+ 2α]×B¯(y₊,2r)soit inclus dans I×Ω(ici B¯(y₊,2r)désigne la boule fermée de centre y₊ et de rayon 2r). Comme X est localement lipschitzien par rapport à x, il existe une constante C > 0telle que

∀(t, x),(t, x^′)∈K₊^2α,2r, kX(t, x^′)−X(t, x)k ≤Ckx^′−xk

De plus nous pouvons aussi borner X sur ce même compact : il existe V>0tel que

∀(t, x)∈K₊^2α,2r, kX(t, x)k ≤V

Nous appliquons le théorème de Cauchy–Lipschitz. Notons K₊^α,r := [t₊ −α, t₊ +α]× B(y¯ +, r), nous avons : ∀(s, x)∈K₊^α,r,

∃τ >0, ∃z ∈C¹(]s−τ, s+τ[,Rⁿ), solution de _dz

dt(t) = X(t, z(t)), ∀t∈]s−τ, s+τ[

z(s) = x

La chose importante ici est le fait que τ peut être choisi indépendamment de (s, x)∈ K₊^α,r. En effet, en examinant la preuve du théorème de Cauchy–Lipschitz, on voit qu’il suffit de supposer que τ <min(α,_C¹,_V^r).Le piège est prêt.

(c) Commelim_k→+∞t_k =t₊ et lim_k→+∞y(t_k) =y₊, il existek ∈N^∗ tel que (t_k, y(t_k))∈]t₊−τ, t₊+τ[×B(y¯ ₊, r)

On applique alors ce qui précède avec(s, x) = (tk, y(tk)): il existez ∈C¹(]tk−τ, tk+τ[,Rⁿ) tel que

z(tk) =y(tk) et

∀t∈ ]tk−τ, t_k+τ[, dz

dt(t) =X(t, z(t))

D’après le théorème d’unicité de Cauchy–Lipschitz, y et z coïncident sur ]t−, t₊[ ∩ ]tk− τ, t_k+τ[ = ]t_k−τ, t₊[et on peut donc prolongeryen une solutiony¯définie sur]t−, t₊[∪]t_k− τ, t_k+τ[ = ]t−, t_k+τ[. Ort₊−τ < t_k, ce qui équivaut àt₊ < t_k+τ : l’intervalle]t−, t_k+τ[

contient donc strictement ]t−, t₊[, ce qui signifie que y n’est pas la solution maximale,

c’est une contradiction.

3.4.2 Les corollaires

Le théorème précédent admet plusieurs corollaires.

Corollaire 3.1 Soit I un intervalle de R, Ω un ouvert de Rⁿ et X ∈ C⁰(I ×Ω,Rⁿ) un champ de vecteur localement lipschitzien en espace. Soit(I^{M ax}, y) une solution maximale de l’équation ^dy_dt(t) = X(t, y(t)). Supposons qu’il existe un compact K ⊂ Ω tel que y(t) reste dans K pour tout temps. Alors I^{M ax} =I.

Démonstration — Cette proposition est équivalente à sa contraposée qui s’énonce : si I^{M ax} 6= I, alors ∀K, compact inclus dans Ω, y(t) sort au moins une fois de K. Or cet énoncé est lui-même une conséquence du théorème 3.1 qui affirme que, si I^{M ax} 6=I, alors

y(t) sort définitivement de tout compact.

Corollaire 3.2 Soit Ω un ouvert de Rⁿ et X ∈ C⁰(R ×Ω,Rⁿ) un champ de vecteur localement lipschitzien en espace. Soit (I^{M ax}, y) une solution maximale de l’équation

dy

dt(t) = X(t, y(t)). Supposons qu’il existe un compact K ⊂ Ω tel que y(t) reste dans K pour tout temps. Alors I^{M ax} =R.

Démonstration — Ce résultat est lui-même un cas particulier du corollaire précédent.

Exemples

(i) Nous avons vu qu’aucune solution maximale de l’équation y^′ =y² n’est définie sur tout R, à l’exception de la solution nulle. En effet, pour une donnée de Cauchy y(t₀) = y₀ 6= 0, la solution maximale est y(t) = _1+y0^y_(t⁰_0−t) et est définie sur ]−

∞, t0 + _t¹₀[, si y₀ > 0, et sur ]t0+ _t¹₀,+∞[, si y₀ < 0. Nous sommes dans un cas d’explosion de la solution à l’instant t₀+_y¹₀.

(ii) Le système

( dy¹

dt = y²p

1 + (y¹)²+ (y²)² =y²p

1 +kyk²

dy¹

dt = −y¹p

1 + (y¹)²+ (y²)² =−y¹p

1 +kyk²

est non linéaire, avec une non linéarité qui croît de façon quadratique lorsquekyk:=

p(y¹)²+ (y²)² tend vers +∞, comme dans l’exemple précédent. Néanmoins nous observons que, si y= (y¹, y²) est une solution, alors

dkyk²

dt = 2y¹dy¹

dt + 2y²dy²

dt = 2 y¹y²−y²y¹ p

1 +kyk² = 0.

Cela implique que y(t) prend ses valeurs dans le cercle de centre (0,0)et de rayon ky(t₀)k, qui est compact. Donc d’après le corollaire précédent, les solutions maxi- males sont définies sur tout R.

3.5 Champs de vecteur à croissance sous-linéaire

Définition 3.1 Soit I un intervalle de R et X ∈ C¹(I ×Rⁿ,Rⁿ). On dit que X est à croissance sous-linéaire s’il existe des constantes C₁, C₂ >0 telles que

∀(t, x)∈I×Rⁿ, kX(t, x)k ≤C₁+C₂kxk (3) Exemples

(i) Tout système linéaire de la forme ^dy_dt(t) = A(t)y(t) +B(t), où A ∈ C⁰(I, M(n,R)) et B ∈C⁰(I,Rⁿ) sont bornés surI est à croissance sous-linéaire.

(ii) L’équation ^dy_dt =p

1 +y² à est croissance sous-linéaire.

(iii) L’équation ^dy_dt =y² n’est pas à croissance sous-linéaire.

Théorème 3.2 Soit I un intervalle de R et X ∈ C⁰(I ×Rⁿ,Rⁿ) un champ de vecteur localement lipschitzien en espace et à croissance sous-linéaire. Alors, toute solution maxi- male de l’équation ^dy_dt(t) = X(t, y(t)) est définie sur tout I.

Démonstration — Nous allons montrer que si (I^{M ax}, y) est une solution maximale de

dy

dt(t) =X(t, y(t))et si t₀ ∈I^{M ax}, alors

(i) pour tout intervalle borné [a, b]⊂I, la solutiony est bornée sur[a, b] ∩ I^{M ax}; (ii) le précédent résultat se traduit en disant que la restriction de y à [a, b] ∩ I^{M ax}

prend ses valeurs dans un compact de Rⁿ, ce qui permet d’appliquer le corollaire 3.1 pour montrer que la restriction de y à[a, b] ∩ I^{M ax} est définie sur tout [a, b]; (iii) Comme le raisonnement précédent est valable pour tout intervalle [a, b] ⊂ I^{M ax} contenant t₀ et comme I est la réunion de tels intervalles, on en déduit que y est définie sur tout I.

Ainsi il suffit de montrer (i) et le reste suivra.

Pour tout t ∈ [a, b] ∩ I^{M ax}, posons u(t) := ky(t)k². Cela définit une application de classe C¹ à valeur [0,+∞[. Nous avons, en utilisant (3)

du dt(t)

= 2

y,dy

dt

≤2kyk

dy dt

= 2kyk kX(t, y)k

≤ 2kyk(C₁+C₂kyk) = 2C₁kyk+ 2C₂kyk² Donc, en utilisant l’inégalité 2C₁kyk ≤C₁²+kyk², nous obtenons

du dt

≤α+βu,

oùα :=C₁² etβ := 1 +C₂. Cela équivaut aux deux inégalités 0≤ du

dt +βu+α et du

dt −βu−α≤0 (4)

La première de ces inégalités équivaut à : 0≤e^βt

du

dt +βu+α

= d dt

e^βtu+ α βe^βt

Donch

t7−→e^βtu+^α_βe^βti

est une fonction croissante sur[a, b] ∩ I^{M ax}, ce qui entraîne en particulier que,∀t ∈[a, b] ∩ I^{M ax},

t≤t₀ =⇒ e^βt

u(t) + α β

≤e^βt0

u(t0) + α β

⇐⇒ u(t)≤e^β(t0−t)

u(t0) + α β

−α β Un raisonnement analogue montre que la deuxième inégalité dans (4) implique que, ∀t∈ [a, b] ∩ I^{M ax},

t≥t₀ =⇒ u(t)≤e^β(t−t0)

u(t₀) + α β

−α β

On en conclut que u(t)est majoré par

u(t₀) + ^α_β

max e^β(t0−a), e^β(b−t0)

−^α_β. Doncy est

bornée sur[a, b] ∩ I^{M ax}.

Exemples

(i) Nous retrouvons ainsi que tout système linéaire dont les coefficients sont bornés ad- met des solutions sur tout le domaine où est défini l’équation, comme nous l’avions vu grâce à la formule de Dyson.

(ii) Le théorème que nous avons montré entraîne que l’équation ^dy_dt =p

1 +y² admet une solution sur tout R.

(iii) Le théorème est optimal au sens où, si le champ de vecteur X a une croissance légèrement plus forte qu’une croissance linéaire, alors les solutions de l’équation différentielle ne sont pas nécessairement définies sur tout l’intervalle. Par exemple, si α > 0 et si X ∈ C^∞(R×]0,+∞[,R) est défini par X(t, x) = x^1+α, alors X a une croissance surlinéaire et, pour t₀ ∈R et y₀ ∈]0,+∞[, la solution de l’équation

dy

dt =y^1+α telle que y(t₀) = y₀ est

y(t) = y₀

(1 +αy₀^α(t₀−t))^1/α Cette solution définie sur]− ∞, t₀+_αy^1α

0[et elle explose lorsque ttend verst₀+_αy^1α

0.