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Nawfal EL HAGE HASSAN

6janvier2016

1 SUITESNUMÉRIQUES 1

1.1 Dénitionsetpremières propriétés . . . 1

1.2 Convergene . . . 2

1.3 Suites monotones;suitesadjaentes. . . 3

1.4 Suites extraites . . . 4

1.5 Suites de Cauhy . . . 4

1.6 Fontions ontinuesetsuites numériques . . . 5

1.7 Suites réurrentes . . . 5

1.8 Exeries . . . 7

2 SÉRIES NUMÉRIQUES 13 2.1 Dénitionsetpremières propriétés . . . 13

2.2 Critèrede Cauhy; onvergene absolue . . . 15

2.3 Séries àtermes positifs . . . 15

2.4 Multipliation des sériesabsolument onvergentes . . . 18

2.5 Séries semi-onvergentes . . . 18

2.6 Exeries . . . 20

3 SÉRIES DE FOURIER 23 3.1 Séries trigonométriques. . . 23

3.2 Séries deFourier . . . 24

3.3 Exeries . . . 25

SUITES NUMÉRIQUES

1.1 Dénitions et premières propriétés

Dénition 1.1.1. Unesuite(numérique)estuneappliationde

N

^{,privééven-}

tuellement d'un nombre nid'éléments, dans

K

^,où

K = R

^ou

C

^.

Si

x

^{désigne une telle} appliation, pour haque

n ∈ N

^,

x _n = x(n)

^{est appelé le}

terme général d'ordre

n

^{de la suite et on note}

(x _n ) _{n ≥ 0}

^ou

(x _n ) _{n ≥ 0}

^{la suite}

elle-même.

Unesuiteréelle(resp.omplexe)estunesuitenumériquetellepourtout

n ≥ 0

^,

x _n ∈ R

^(resp.

x _n ∈ C

^).

Exemple 1.1.1.

(( − 1) ⁿ )

^,

( _n ¹ )

^et

(n ² )

^{sontdessuites réelles.}

Dénition1.1.2. Deuxsuites

(x _n ) _{n ≥ 0}

^et

(y _n ) _{n ≥ 0}

^{sontégalessi,pourtout}

n ≥ 0

^,

on a

x _n = y _n

^.

Remarque 1.1.1. Il ne faut pas onfondre l'ensemble

E = { x n ; n ≥ 0 }

^des

éléments de la suite

(x _n ) _{n ≥ 0}

^{etla suite}

(x _n ) _{n ≥ 0}

^{.Par exemple,les suites}

(x _n ) _{n ≥ 0}

et

(y _n ) _{n ≥ 0}

^déniesrespetivementpar

x _n = ( − 1) ⁿ

^et

y _n = ( − 1) ⁿ⁺¹

^{ont unmême}

ensemble d'éléments

E = {− 1, 1 }

^{,maisne sont paségales.}

Dénition 1.1.3. 1. Unesuite réelle

(x _n ) _{n ≥ 0}

^{estditemajorée(resp. mino-}

rée)sil'ensembledesestermesestunepartiede

R

^{majorée(resp.minorée),}

e qui peuts'érire :

Il existe

M ∈ R

^(resp.

m ∈ R

^{) tel que pour tout}

n ∈ N

^,

x _n ≤ M

^(resp.

m ≤ x _n

^).

2. Une suitenumérique

(x _n ) _{n ≥ 0}

^{estditebornée s'ilexiste}

A ≥ 0

^{tel quepour}

tout

n ∈ N

^{,on ait}

| x _n | ≤ A

^.

Remarque 1.1.2. Une suite réelle est bornée si elle est à la fois majorée et

minorée.

1.2 Convergene

Dénition 1.2.1. Une suite

(x _n ) _{n ≥ 0}

^{est dite onvergente s'il existe}

ℓ ∈ K

vériant :

∀ ε > 0

^,

∃ N ∈ N

^{tel quepour tout}

n ≥ N

^{,on ait}

| x n − ℓ | < ε

^.

Le nombre

ℓ

^{est appelé limite de la suite}

(x _n ) _{n ≥ 0}

^{. On dit que}

(x _n ) _{n ≥ 0}

^{a pour}

limite

ℓ

^{ou quelasuite}

(x _n ) _{n ≥ 0}

^{onverge vers}

ℓ

^{.Onérit alors}

ℓ = lim

n → + ∞ x _n

^ou

x _{n n} −→

→ + ∞ ℓ

^.

Une suite qui n'est pasonvergenteest ditedivergente.

Rappel. Le orps

R

^estarhimédien, i.e.pour tout

a, b ∈ R

^{tels que}

a > 0

^et

b > 0

^{,il existe}

n ∈ N

^telque

a ≤ nb

^.

Exemple 1.2.1. 1. La suite

( ¹ _n )

^{a pour limite}

0

^.

2. La suite

(( − 1) ⁿ )

^{n'est pasonvergente arpour tout}

ℓ ∈ R

^,ona

max | ℓ − 1 | , | ℓ + 1 |

≥ 1

^.

Remarque 1.2.1. Soient

(x n ) n ≥ 0

^{une suite dans}

K

^et

ℓ ∈ K

^{.On déduit immé-}

diatement dela dénitionquel'on a

n→+∞ lim x _n = ℓ ⇐⇒ lim

n→+∞ x _n − ℓ = 0 ⇐⇒ lim

n→+∞ | x _n − ℓ | = 0 .

Proposition 1.2.1. Lorsqu'elle existe, la limite d'une suite est unique.

Proposition 1.2.2. Toute suite onvergente est bornée.

Remarque1.2.2. Unesuitebornéen'estpasforémentonvergente.Parexemple,

la suite

(( − 1) ⁿ )

^estbornéeetdivergente.

Parmi les suitesnon bornées,on vadistinguer dessuites partiulières:

Dénition 1.2.2. Soit

(x _n ) _{n ≥ 0}

^{une suite réelle.}

1. Ondit que

(x n ) n ≥ 0

^{tend vers}

+ ∞

^{si pour tout}

A > 0

^,ilexiste

N ∈ N

^tel

quepourtout

n ≥ N

^,onait

x _n ≥ A

^{.Danse as,onérit}

lim

n → + ∞ x _n = + ∞

ou

x _{n n} −→

→ + ∞ + ∞

^.

2. Ondit que

(x _n ) _{n ≥ 0}

^{tend vers}

−∞

^{sipour tout}

B < 0

^,ilexiste

N ∈ N

^tel

quepourtout

n ≥ N

^{,on ait}

x _n ≤ B

^{.Danse as,onérit}

lim

n → + ∞ x _n = −∞

ou

x _{n n} −→

→ + ∞ −∞

^.

Remarque 1.2.3. 1. Une suite réelle qui tend vers

+ ∞

^{, ou vers}

−∞

^{, n'est}

pas bornée. Mais la réiproque est fausse. Par exemple, la suite

(( − 1) ⁿ n)

n'est pasbornée, maiselle netendpasvers

+ ∞

^{ou vers}

−∞

^.

2. Ona

lim

n → + ∞ | x _n | = + ∞ ⇐⇒ lim

n → + ∞ 1 x n = 0

^.

Théorème 1.2.1. Soient

(x _n ) _n≥0

^et

(y _n ) _n≥0

^{deux suites réelles} onvergentes telles que

x _n ≤ y _n

^{pour tout}

n ≥ N

^{, alors on a}

lim

n → + ∞ x _n ≤ lim

n → + ∞ y _n

^.

Corollaire 1.2.1. Soient

(x _n ) _{n ≥ 0}

^{une suite réelleonvergente et}

a, b ∈ R

^.

1. S'il existe

N ∈ N

^{tel que pour tout}

n ≥ N

^{, on ait}

a ≤ x _n

^{, alors on a}

a ≤ lim

n → + ∞ x n

^.

2. S'il existe

N ∈ N

^{tel que pour tout}

n ≥ N

^{, on ait}

x _n ≤ b

^{, alors on a}

n → lim + ∞ x _n ≤ b

^.

Théorème1.2.2. Soient

(x n ) n ≥ 0

^,

(y n ) n ≥ 0

^et

(z n ) n ≥ 0

^{dessuitesréellestellesque :}

(

α

^{) Il existe}

N ∈ N

^{tel que pour tout}

n ≥ N

^{, on ait}

x _n ≤ y _n ≤ z _n

^.

(

β

^{) Les deuxsuites}

(x n ) n ≥ 0

^et

(z n ) n ≥ 0

^{onvergent vers la même limite}

ℓ

^.

Alors la suite

(y _n ) _{n ≥ 0}

^{onverge vers}

ℓ

^.

Proposition1.2.3. Soient

(x _n ) _{n ≥ 0}

^et

(y _n ) _{n ≥ 0}

^{dessuitesréellestellesque}

x _n ≤ y _n

pour tout

n ≥ N

^{. Ona :}

1. Si

lim

n → + ∞ x _n = + ∞

^,alors

lim

n → + ∞ y _n = + ∞

^.

2. Si

lim

n → + ∞ y n = −∞

^{, alors}

lim

n → + ∞ x n = −∞

^.

Théorème 1.2.3. Soient

(x n ) n ≥ 0

^et

(y n ) n ≥ 0

^{des suites onvergeant respetive-}

ment vers

ℓ ₁

^et

ℓ ₂

^{. Alors on a :}

1. Lessuites

(x _n + y _n ) _{n ≥ 0}

^et

(x _n y _n ) _{n ≥ 0}

^onvergent respetivement vers

ℓ ₁ + ℓ ₂

et

ℓ ₁ ℓ ₂

^.

2. Pour tout

λ ∈ K

^{, la suite}

(λx n ) n ≥ 0

^{onverge vers}

λℓ 1

^.

3. Si

ℓ 2 6 = 0

^{, la suite}

^x _y ⁿ

n

n ≥ 0

^{est dénie pour}

n

^{assez grand et onverge vers}

ℓ 1

ℓ ²

^.

1.3 Suites monotones; suites adjaentes

Dénition 1.3.1. Soit

(x _n ) _{n ≥ 0}

^{une suite réelle.}

1. Ondit que

(x _n ) _{n ≥ 0}

^{estroissante sipour tout}

n ≥ 0

^{,on a}

x _n ≤ x _n+1

^.

2. Ondit que

(x _n ) _{n ≥ 0}

^estdéroissantesi pour tout

n ≥ 0

^{,on a}

x _n+1 ≤ x _n

^.

3. On dit que

(x _n ) _{n ≥ 0}

^{est monotone si}

(x _n ) _{n ≥ 0}

^{est roissante ou si}

(x _n ) _{n ≥ 0}

est déroissante.

2. Toutesuite réelle déroissante et minorée est onvergente.

Proposition 1.3.1. 1. Toute suite réelle roissante non majorée tend vers

+ ∞

^.

2. Toutesuite réelle déroissante nonminorée tend vers

−∞

^.

Dénition 1.3.2. Deux suites réelles

(x n ) n ≥ 0

^et

(y n ) n ≥ 0

^{sont dites adjaentes}

si

(x _n ) _{n ≥ 0}

^{est roissante,}

(y _n ) _{n ≥ 0}

déroissante, etsi

lim

n → + ∞ y _n − x _n = 0

^.

Théorème1.3.2. Soient

(x _n ) _{n ≥ 0}

^et

(y _n ) _{n ≥ 0}

^{deuxsuites adjaentes.Alorson a:}

1. Pour tout

n ≥ 0

^{, on a}

x _n ≤ y _n

^.

2. Les suites

(x _n ) _{n ≥ 0}

^et

(y _n ) _{n ≥ 0}

^sontonvergentes et ont la même limite.

1.4 Suites extraites

Dénition 1.4.1. Soit

(x _n ) _{n ≥ 0}

^{unesuitenumérique.Onditqu'unesuite}

(y _n ) _{n ≥ 0}

estunesuiteextraiteousous-suitedelasuite

(x _n ) _{n ≥ 0}

^{s'ilexisteuneappliation}

stritement roissante

ϕ

^de

N

^dans

N

^telleque

y _n = x _ϕ(n)

^{,pour tout}

n ∈ N

^.

Exemple 1.4.1. Si

(x _n ) _{n ≥ 0}

^{estune suite,alorslessuites}

(x _2n ) _{n ≥ 0}

^et

(x _2n+1 ) _{n ≥ 0}

sont dessuites extraitesde

(x _n ) _{n ≥ 0}

^.

Lemme 1.4.1. Soit

ϕ : N −→ N

^{une appliation stritement roissante, alors}

pour tout

n ∈ N

^{, on a}

ϕ(n) ≥ n

^.

Théorème 1.4.1. Soit

(x _n ) _{n ≥ 0}

^{une suite numérique.}

1. Si

(x n ) n ≥ 0

^{est onvergente et a pour limite}

ℓ

^{, alors toute suite extraite de}

(x _n ) _{n ≥ 0}

^{onverge aussi vers}

ℓ

^.

2. Si les deux suites extraites

(x _2n ) _{n ≥ 0}

^et

(x _2n+1 ) _{n ≥ 0}

^sontonvergentes et ont la mêmelimite

ℓ

^{, alors}

(x _n ) _{n ≥ 0}

^{est onvergente et a pour limite}

ℓ

^.

Remarque1.4.1. Ilexistedessuitesdivergentesdontonpeutextrairedessuites

onvergentes. Par exemple, la suite de terme général

x _n = ( − 1) ⁿ

^est divergente, et pourtant les suitesextraites

(x _2n ) _{n ≥ 0}

^et

(x _2n+1 ) _{n ≥ 0}

^sont onvergentes.

Théorème1.4.2(Bolzano-Weirstrass). Detoutesuitenumériquebornée, onpeut

extraire une suiteonvergente.

1.5 Suites de Cauhy

On va démontrer unritère de onvergene dessuitesnumériquesqui nefait pas

Dénition1.5.1. Onditqu'unesuitenumérique

(x _n ) _{n ≥ 0}

^{estdeCauhysipour}

tout

ε > 0

^,ilexiste

N ∈ N

^{telquepourtous}

p ≥ N

^et

q ≥ N

^,onait

| x _p − x _q | < ε

^.

Proposition 1.5.1. Toute suite numérique onvergente est deCauhy.

Proposition 1.5.2. Toute suite deCauhy est bornée.

Lemme 1.5.1. Soit

(x _n ) _{n ≥ 0}

^{une suite de Cauhy. Si}

(x _n ) _{n ≥ 0}

^{admet une suite}

extraite qui onverge vers

ℓ

^{,alors la suite}

(x _n ) _n≥0

^{onverge aussi vers}

ℓ

^.

Théorème1.5.1. Unesuitenumérique estonvergentesietseulement sielleest

de Cauhy.

Exemple 1.5.1. Pour tout

n ≥ 1

^{, on pose}

x _n =

n

X

k=1

1

k ²

^{.Alors lasuite}

(x _n ) _{n ≥ 1}

est de Cauhy dans

R

^,dononvergente.

1.6 Fontions ontinues et suites numériques

Théorème1.6.1. Soient

I

^{unintervallede}

R

^,

a ∈ I

^et

f : I −→ R

^unefontion.

Alors

f

^{est ontinue en}

a

^{si,et seulement si,pour toute suite}

(x _n ) _{n ≥ 0}

^d'éléments

de

I

^{onvergeant vers}

a

^{, la suite}

(f (x _n )) _n≥0

^{onverge vers}

f (a)

^.

1.7 Suites réurrentes

Dénition 1.7.1. Soient

I

^{un intervalle de}

R

^et

f : I −→ I

^{une fontion.}

Toute suite

(x _n ) _{n ≥ 0}

^{dénie par}

x ₀

^{donné dans}

I

^{, et la relation de réurrene}

x n+1 = f (x n )

^pourtout

n ∈ N

^{,est appelée suite réurrente.}

Exemple 1.7.1. La suite dénie par

x ₀ = 1

^et

x _n+1 = 1 1 + x n

est une suite

réurrente, quipeutêtre assoiéeà lafontion

f

^déniesur

I = [0, 1]

^par

f (x) = 1

1 + x

^.

Proposition 1.7.1. Soient

I

^{un intervalle de}

R

^,

f : I −→ I

^{une fontion et}

(x _n ) _{n ≥ 0}

^{une suitedéniepar}

x ₀

^donnédans

I

^{,etla relationderéurrene}

x _n+1 = f (x _n )

^{pour tout}

n ∈ N

^{. Alors on a les propriétés suivantes :}

1. Si

(x _n ) _{n ≥ 0}

^{onverge vers}

ℓ ∈ I

^etsi

f

^estontinueen

ℓ

^{,alors ona}

f(ℓ) = ℓ

^.

2. Si

f

^{est roissante, alors la suite}

(x n ) n ≥ 0

^{est monotone. Si de plus}

I

^est

borné, alors

(x _n ) _{n ≥ 0}

^est onvergente.

3. Si

f

^estdéroissante,alorslessuites

(x _2n ) _{n ≥ 0}

^et

(x _2n+1 ) _{n ≥ 0}

^{sontmonotones}

et ontdessensde variationsopposés. Sideplus

I

^{est borné,alors les suites}

(x _2n ) _{n ≥ 0}

^et

(x _2n+1 ) _{n ≥ 0}

^sont onvergentes. Si elles ont la même limite

ℓ

^,

alors

(x _n ) _{n ≥ 0}

^{onverge vers}

ℓ

^{. Sinon,}

(x _n ) _{n ≥ 0}

^est divergente.

Exemple 1.7.2. Étudier la suite dénie par

x ₀ ∈ [0, 2]

^et

x _n+1 = √ x _n

^{, pour}

tout

n ∈ N

^.

Exemple 1.7.3. Étudier lasuitedéniepar

x ₀ = 1

^et

x _n+1 = 1

1 + x _n

^{,pour tout}

n ∈ N

^.

Dénition 1.7.2. Soient

I

^{unintervallede}

R

^et

f : I −→ I

^{unefontion.Ondit}

que

f

^{est ontratante s'il existe une onstante}

K ∈ [0, 1[

^{telle que pour tout}

x, y ∈ I

^{,on ait}

| f(x) − f(y) | ≤ K | x − y k

^.

Remarque 1.7.1. Soient

I

^{un intervalle de}

R

^et

f : I −→ I

^{une fontion.}

1. Si

f

^estontratante, alors

f

^estontinue.

2. Supposons

f

^{dérivable sur}

I

^{et à dérivée bornée. Notons}

K = sup

x ∈ I | f ^′ (x) |

^.

D'après le théorème des aroissements nis, on a alors

| f (x) − f (y) | ≤ K | x − y |

^{. Si}

K ∈ [0, 1[

^{, alors}

f

^estontratante. Par exemple,si

I = [ ¹ ₂ , 1]

etsi

f(x) = _1+x ¹

^,alorsona

f (I) ⊂ I

^,

f

^{estdérivablesur}

I

^etona

| f ^′ (x) | ≤

4

9 < 1

^{,pour tout}

x ∈ I

^.

Théorème 1.7.1 (Dupointxe). Soient

I = [a, b]

^{un intervalle borné fermé de}

R

^et

f : I −→ I

^{une fontion} ontratante. Alors on a :

1. L'équation

f (x) = x

^{a une unique solution}

r

^dans

I

^{, appelée point xe de}

f

^dans

I

^.

2. Toutesuite réurrente dénie par

x ₀ ∈ I

^et

x _n+1 = f (x _n )

^{pour tout}

n ∈ N

^,

onverge vers e pointxe

r

^.

1.8 Exeries

1. Montrer quesi lasuite

(u _n ) _{n ∈} N

^{onverge, alors lasuite}

( | u _n | )

^{onverge. La}

réiproqueest-ellevraie?

2. Montrer qu'une suite de nombres omplexes

(u _n ) _{n ∈} N

^{onverge vers}

0

^{si et}

seulement si, lasuite de réelspositifs

( | u _n | ) _{n ∈} N

^{onverge aussivers}

0

^.

3. Soit

(z n ) n ∈ N

^{une suitede nombresomplexes. Montrer quelasuite}

(z n ) n ∈ N

est onvergente si et seulement si les deux sous-suites

(z _2n )

^et

(z _2n+1 )

onvergent verslamême limite.

4. Soit

(z _n ) _{n ∈} N

^{unesuitedenombresomplexes.Onsupposequeles}sous-suites

(z _2n )

^,

(z _2n+1 )

^,

(z _3n )

^{onvergent. Montrerque lasuite}

(z _n )

^onverge.

5. Montrer qu'une suite omplexe

(z n )

^{est onvergente si et seulement si les}

deux suites réelles

(u _n )

^et

(v _n )

^, respetivement partie réelle et imaginaire de

(z _n )

^,sont onvergentes.

6. Soient

(x _n ) _n∈ N

^{une suite onvergente vers}

0

^et

(y _n ) _n∈ N

^{une suite bornée.}

Montrer quelasuite

(x _n y _n ) _{n ∈} N

^onvergevers

0

^.

7. Etudier laonvergene de lasuite

(a ⁿ ) n ≥ 0

^,où

a

^{est unréel xé.}

8. Soit

(u _n ) _{n ∈} N

^{une suite de réelsstritement positifs.Montrerque :}

(a) S'ilexisteunréel

λ

^etunentier

p

^telsque

∀ n ≥ p

^,

u _n+1

u _n ≥ λ > 1

^,alors

n → lim + ∞ u _n = + ∞

^;

(b) S'ilexisteunréel

λ

^etunentier

p

^telsque

∀ n ≥ p

^,

u _n+1

u n ≤ λ < 1

^,alors

n → lim + ∞ u _n = 0.

() Énoner des résultats analogues si l'on suppose

lim

n → + ∞

u _n+1

u _n = l ∈ [0, + ∞ ]

^.

(d) Étude des suites

u _n = n ^α

n!

^,où

α ∈ R

^;

⁵ _n! ⁿ

^et

_n ^n! n

^.

9. Étudier les suitessuivantes, déniespar leur termegénéral

u _n u _n = n ² + 1

√ n ⁴ + 1 ; u _n = √

n + 1 − √

n + 5 ; u _n = n ²

2 ⁿ ; u _n = 1 2 + 1

n n

; u _n = 2 ⁿ n!

u _n = 1 ² + 2 ² + · · · + n ²

√ n ⁶ + 1 ; u _n = n ^1/n ; u _n = ne ^{− n} ; u _n = 1 + 2 + · · · + n n ² u _n = ln(n)

√ n + 1 ; u _n = sin( nπ

3 ) ; u _n = a ⁿ

n! , a ∈ R ; u _n = n n ² + n

n ² + 1 + · · · + n (n + 1) ² u _n = 2 ⁿ sin( θ

2 ⁿ ), θ ∈ R ; u _n = 1! + 2! + · · · + n!

n! ; u _n = (1 − 1 3 )(1 − 1

5 ) · · · (1 − 1

2n + 1 ) ;

10. Montrer quel'ona

n → lim + ∞

1+ x n

n

= e ^x

^où

x ∈ R ; lim

n → + ∞

1+ 1 n

n

= e ; lim

n → + ∞

1 − 1 n

n

= 1 e

n → lim + ∞

1+ 1 n ²

n

= 1 ; lim

n → + ∞

1+ 1

√ n n

= + ∞ ; lim

n → + ∞

1 − 1

√ n n

= 0.

11. Déterminerlesonstantes

a, b > 0

^tellesque

lim

n →∞ n ^b p

an ² + n + 1 − p

n ² + 1

soit nie.

12. Soit

α ∈ R

^telque

α

π ∈ R \ Z

^.

(a) Montrer que

n → lim + ∞ sin(nα)

^existe

⇐⇒ lim

n → + ∞ cos(nα)

^existe

(b) En déduire que

lim

n → + ∞ sin(nα)

^n'existepas.

() Soit

α ∈ R

^{.En déduireque}

(i)

lim

n → + ∞ sin(nα)

^existe

⇐⇒ α ∈ πZ

^{, et que dans e as, on a}

sin(nα) = 0

^.

(ii)

lim

n → + ∞ cos(nα)

^existe

⇐⇒ α ∈ 2πZ

^{, et que dans e as, on a}

cos(nα) = 1

^.

(iii)

lim

n → + ∞ e ^inα

^existe

⇐⇒ α ∈ 2πZ

^{, et que dans e as, on a}

e ^inα = 1

^.

13. Soit

(u _n )

^{une suite réelle. Montrer que si}

(u _n )

^{est onvergentedans}

R

^,elle

possède aumoinsl'une despropriétés suivantes:

(a) il existe unindie

h

^telque

u _h = sup

n ∈ N

u _n

^;

(b) il existe unindie

k

^{tel que}

u _k = inf

n ∈ N u _n

^.

14. (Moyenne de Césaro) Soit

(u n ) n ∈ N

^{une suite de nombres omplexes}

onvergeant vers

ℓ

^{.Ononsidère lasuite}

(v _n ) _{n ∈} N

^déniepar

v n = 1

n (u 1 + u 2 + · · · + u n ).

(a) Démontrer que

lim

n → + ∞ v _n = ℓ

^{.La réiproqueest-ellevraie?}

(b) Démontrerque,silasuite

(u _n ) _{n ∈} N

^{àtermesstritementpositifsonverge}

vers

ℓ

^{, alors il en est de même de la suite}

(w _n ) _{n ∈} N

^{dénie par}

w _n =

√ n u ₁ u ₂ . . . u _n .

^Réiproque?

() Soit

(u _n ) _{n ∈ N}

^{une suite de nombres réels. Ondénit les suites}

(v _n ) _{n ∈ N}

et

(w _n ) _{n ∈} N

^{par :}

v _n = 1

n (u ₁ + u ₂ + · · · + u _n ), w _n = 1

n (u ² ₁ + u ² ₂ + · · · + u ² _n ).

Prouverl'inégalité suivante :

(u ₁ + u ₂ + · · · + u _n ) ² ≤ n(u ² ₁ + u ² ₂ +

· · · + u ² _n ).

Montrer que, si

lim

n → + ∞ (w _n ) = 0

^,alors

lim

n → + ∞ (v _n ) = 0

^.Réiproque?

(d) Montrer que si la suite

x _n+1 − x _n

^{a pour limite}

ℓ

^{, la suite}

(x _n /n)

^a

pour limite

ℓ

^.

(e) Montrer que si

(x _n ) _{n ∈} N

^{est une suite à termes positifs, et si la suite}

x _n+1 /x _n

^{apour limite}

ℓ

^,lasuite

√ ⁿ x _n

^{a pour limite}

ℓ

^.

(f) Étudier laonvergene etdéterminer lalimitedessuites:

u _n =

n

X

p=1

1

pn , v _n = p ⁿ

n ³ + n ² − 1.

15. Montrer quelasuite

u _n = 1 + 1 2 + 1

3 + · · · + 1

n

^{n'est pasde Cauhy.}

16. Montrer quelasuite

u _n = 1 + 1 2 ² + 1

3 ² + · · · + 1

n ²

^{est de Cauhy.}

17. Montrerquelasuite

u _n =

n

X

k=1

1

k(k + 1)

^{estonvergenteetalulersalimite.}

18. Pour tout

z ∈ C

^{,on pose}

u _n (z) =

n

X

k=0

z ^k

k!

^{.Montrer que}

lim

n → + ∞ u _n (z)

^existe.

(On appelle ette limite "exponentielle de

z

^{" eton lanote}

e ^z

^.

19. Soit

(a _n ) _{n ∈} N

^{une suite réellebornéeet}

p

^{unnombrepositif.Montrer quela}

suite

X ⁿ

k=0

a _k p ^k

n ∈ N

onverge. Appliation :on xe un entier naturel

p > 1

etonsuppose

a _n ∈ { 0, . . . , p − 1 }

^{;alors lalimite enquestionestledévelop-}

pement

p −

^{adid'unnombre réel dans}

[0, 1]

^.

20. On onsidèreune suite de nombres omplexes

(x _n ) _{n ∈} N

^{pour laquelleexiste}

k ∈ [0, 1[

^{tel que,}

∀ n ≥ 1

^{, on ait}

| x _n+1 − x _n | ≤ k | x _n − x _{n − 1} |

^{.Montrer que}

(x n )

^{onverge enutilisant leritère de Cauhy.}

21. Montrer queles deuxsuitessuivantes sont adjaentes :

u _n = 1 − 1 2 + 1

3 − · · · + 1

2n − 1 − 1

2n ; v _n = u _n + 1

2n + 1

22. On pose

u ₀ = a

^et

v ₀ = b

^{, ave}

0 < a < b

^{. On onsidère les deux suites}

(u _n ) _{n ≥ 0}

^et

(v _n ) _{n ≥ 0}

^{dénies par}

u _n+1 = √ u _n v _n v _n+1 = u _n + v _n

2 .

Montrerqueesdeuxsuitessontadjaentes,etendéduirequ'ellesonvergent

vers une limite

ℓ ∈ ] √

ab, a + b 2 [

^.

23. Pour tout

n ∈ N ^∗

^{on pose}

S n =

n

X

k=0

1

k!

^et

T n = S n + _nn! ¹

^.Montrerque

S

^et

T

^{sontdeux suitesadjaentes. Endéduire que}

e

^est irrationnel.

24. Soient

α ∈ R

^et

ε > 0

^{. Montrer qu'il existe}

u ∈ Q

^et

v ∈ R \ Q

^{tels que}

| u − α | < ε

^et

| v − α | < ε

^{.Autrement dit,}

Q

^et

R \ Q

^{sont denses dans}

R

^.

25. Montrer que la suite

(u _n ) _{n ∈ N}

^{dénie par}

u ₀ = 1

^et

u _n+1 = cos(u _n )

^est

onvergente.

26. Soient

a

^et

b

^{deux nombres réels donnés ave}

0 < a < 1

^{. Étudier la suite}

(x _n ) _{n ∈} N

^{déniepar :}

x ₀ ∈ R

x _n+1 = a sin(x _n ) + b ∀ n ≥ 0

27. Étudier les suitesréurrentes suivantes, suivantla valeur initiale

u 0 ∈ R

^.

u _n+1 = √

2u _n + 3 ; u _n+1 = √

2 − u _n ; u _n+1 = 4

π arctan(u _n ) ; u _n+1 = ln(1+u _n ) .

28. Étudier lasuite

(x n ) n ∈ N

^{déniepar :}

x ₀ = √

2

^et

x _n+1 = √

2 + a _n ∀ n ≥ 0

29. Soit

a ∈ R ⁺

^{.Étudier lasuite}

(x _n ) _{n ∈ N}

^{dénie par :}

x 0 ≥ √

a

^et

x n+1 = 1 2

x n + a x _n

∀ n ≥ 0

30. Étudier les suites

(x _n ) _{n ∈} N

^{dénies par :}

( x ₀ = 1 x _n+1 = x _n

1 + x ² _n ∀ n ≥ 0 ,







x ₀ = 0 x _n+1 = 8 + x ² _n

6 ∀ n ≥ 0

31. Étudier les suites

(x _n ) _{n ∈} N

^{dénies par :}







x ₀ = 1 x _n+1 = 1

2 + x _n ∀ n ≥ 0 ,







x 0 = 0 x _n+1 = 2

1 + x ² _n ∀ n ≥ 0

32. Ononsidère lasuite réurrente

u n+1 = 3 + 2u n

2 + u _n = f (u n )

^,

u 0 = − 1

^.

(a) Montrer quel'équation

ℓ = f (ℓ)

^{admetdeux solutions}

ℓ ₁

^et

ℓ ₂

^.

(b) Montrerquelasuite

v _n = u _n − ℓ ₁ u n − ℓ 2

estunesuitegéométrique,etaluler

v n

^.

() En déduire l'expressionde

u _n

^{en fontion de}

n

^{,puisla limitede}

(u _n )

^.

(d) Peut-on appliquerle théorèmedu point xe?

33. On onsidère lafontion

f (x) = x ² − ¹ ₄

^{,on sedonne unréel}

x ₀ ∈ R

^{,et on}

se xe pour but d'étudier la suite dénie par réurrene par :

u ₀ = x ₀

^et

u _n+1 = f (u _n )

^.

(a) Traer le graphe de la fontion

f

^{, déterminer ses zéros et ses deux}

pointsxes

α < β

^.

(b) Soit

I = [ − ¹ ₄ , 0]

^{. Montrer que}

f (I ) ⊂ I

^{et donner une majoration de}

| f ^′ (t) |

^,

t ∈ I

^{.Endéduirequesi}

x 0 ∈ I

^{,alorslasuite}

(u n )

^onvergevers

α

^.

() Onsupposeque

x ₀ ∈ ] − β, β[

^{.Montrerqu'ilexisteunentier}

n

^,pouvant

dépendrede

x ₀

^,telque

u _n ∈ I

^{etendéduirequelasuite}

(u _n )

^onverge

enore vers

α

^.

(d) Étudier lasuite

(u n )

^si

x 0 = ± β

^{puis si}

| x 0 | > β

^.

34. Soient

(a, b) ∈ C ^∗ × C

^et

(u _n ) _{n ∈ N}

^{lasuitedénieparlarelationderéurrene:}

∀ n ∈ N, u _n+1 = au _n + b.

(a) Démontrer que si

a = 1

^,

( ∀ n ∈ N) u _n = u ₀ + nb

^{, et que si}

a 6 = 1

^,

( ∀ n ∈ N) u _n − r = a ⁿ (u ₀ − r)

(déterminer lenombre

r

^).

(b) La suite

(u _n ) _{n ∈ N}

^{est-elleonvergente?}

35. On onsidère lasuite dénie par :

u 0 ∈ R ; ∀ n ∈ N , u n+1 = u n

3 − 2u _n = f (u _n ).

(a) Montrer quel'équation

f (ℓ) = ℓ

^{admetdeux solutions}

ℓ ₁

^et

ℓ ₂

^.

(b) Montrer que la suite

(v _n ) _{n ∈} N

^{dénie par}

v _n = u n − ℓ 1

u _n − ℓ ₂

^{est une suite}

géométrique.

() Exprimer le terme général

v _n

^{en fontion de}

n

^{, puis le terme général}

u _n

^{enfontion de}

n

^.Caluler

lim

n → + ∞ u _n

^.

SÉRIES NUMÉRIQUES

2.1 Dénitions et premières propriétés

Dénition 2.1.1. Soit

(x _n ) _{n ≥ 0}

^{une suite réelle. On appelle série de terme}

général

x n

^,notée

X

n ≥ 0

x n

^ou

X x n

^{,leoupledesdeuxsuites}

(x n ) n ≥ 0 , (S n ) n ≥ 0

où

S _n =

n

X

p=0

x _p

^{estlasomme partielledes}

n + 1

^{premiers termesde lasérie.}

Parfoison onsidèreune suite

(x _n ) _{n ≥ n} 0

^{.Onlui assoielasuite}

(x _n ) _{n ≥ 0}

^{telle que}

x _n = 0

^pour

0 ≤ n ≤ n ₀ − 1

^,etlasérieorrespondantesera notée

X

n≥n ⁰

x _n

^.

Dénition 2.1.2. Sila suite

(S _n ) _{n ≥ 0}

^{a une limite}

S

^{,on dit que lasérie}

X

n ≥ 0

x _n

est onvergenteetapour somme

S

^.Onnotealors

S =

+ ∞

X

n=0

x _n

^.

Silasuite

(S _n ) _{n ≥ 0}

^{n'apasde limite,alors lasérie}

X

n ≥ 0

x _n

^{est dite}divergente.

Étudier siunesériedonnéeestonvergente oudivergente,'estétudiersanature.

Dénition 2.1.3. Soit

X

n ≥ 0

x _n

^{unesérieonvergenteayantpoursomme}

S

^.Leréel

R _p = S − S _p

^{estappelé reste d'ordre}

p

^{delasérie.En fait,ona}

R _p =

+ ∞

X

n=p+1

x _n

^.

Notez quelasérie

X

n ≥ 0

x _n

^{onverge vers}

S

^{setraduit par}

lim

p → + ∞ R _p = 0

^.

Exemple 2.1.1 (Série géométrique). C'est une série de terme général

x _n =

aq ⁿ

^,ave

a, q ∈ R

^et

a 6 = 0

^.

1. Si

q = 1

^{,on a}

S _n = (n + 1)a

^{,don lasérie}

X

n ≥ 0

x _n

^diverge.

2. Si

q 6 = 1

^{,on a}

S _n = a 1 − q ⁿ⁺¹ 1 − q

^.

(i) Pour

| q | < 1

^{,on a}

lim

n → + ∞ S _n = a

1 − q

^{,don lasérie}

X

n≥0

x _n

^{onverge et}

a pour somme

a 1 − q

^.

(ii) Pour

| q | > 1

^ou

q = − 1

^{,la suite}

(S _n ) _{n ≥ 0}

^{n'a pas de limite etla série}

X

n ≥ 0

x _n

^diverge.

Exemple 2.1.2. Série de termegénéral

x _n = f (n + 1) − f (n)

^,où

f

^{est une}

fontion donnée. On a alors

S n =

n

X

p=0

x p = f (n + 1) − f (0)

^{. Par onséquent,}

la série

X

n ≥ 0

x n

^{onverge si, et seulement si, la suite}

(f (n)) n ≥ 0

^est onvergente.

Exemple, onsidérons la série

X

n ≥ 1

1

n(n + 1)

^{.On a}

1

n(n + 1) = − 1 n + 1 + 1

n

^{, d'où}

S n = 1 − 1

n + 1

^{.Don lasérie}

X

n ≥ 1

1

n(n + 1)

^{est onvergente eta pour somme}

1

^.

Proposition 2.1.1. Soient

X

n ≥ 0

x _n

^et

X

n ≥ 0

y _n

^{deux séries}onvergentes et ontpour sommes respetives

S

^et

T

^.Soit

λ ∈ R

^{, alors on a :}

1. La série

X

n ≥ 0

x _n + y _n

^{est onvergente et a pour somme}

S + T

^.

2. La série

X

n ≥ 0

λx _n

^{est onvergente et a pour somme}

λS

^.

Théorème 2.1.1 (Condition néessaire de onvergene). Si la série

X

n ≥ 0

x _n

^est

onvergente, alors on a

lim

n → + ∞ x _n = 0

^.

Remarque 2.1.1. En pratique, 'est la forme négative du théorème qui est la

plus utile:

Silasuite

(x n ) n ≥ 0

^{ne tendpasvers}

0

^{,alors lasérie}

X

n ≥ 0

x n

^diverge.

Exemple 2.1.3. Si

x _n = ( − 1) ⁿ

^{,alors lasérie}

X

n ≥ 0

x _n

^{diverge. Mais on peut voir}

ela d'une autre manière ar on a

S _2n = 1

^et

S _2n+1 = 0

^{etdon la série}

X

n ≥ 0

x _n

diverge.

Remarque 2.1.2. La réiproque duthéorème préédent estfausse.Il existe des

séries divergentes dont le termegénéral tendvers

0

^{. Par exemple, la série}

X

n ≥ 1

1 n

est divergente etpourtant ona

lim

n→+∞

1 n = 0

^.

Théorème2.1.2. La nature d'unesérienehangepas sil'onmodieunnombre

ni de termes.

2.2 Critère de Cauhy; onvergene absolue

Théorème 2.2.1 (Critère de Cauhy). La série

X

n ≥ 0

x _n

^{est onvergente si, et}

seulement, siellevérie la ondition :

Pourtout

ε > 0

^,ilexiste

N ∈ N

^{telque pourtout}

p > q ≥ N

^,onait

p

X

n=q+1

x _n <

ε

^.

Dénition 2.2.1. La série

X

n ≥ 0

x n

^{est absolument onvergente si la série}

X

n ≥ 0

| x _n |

^est onvergente.

Théorème 2.2.2. Toutesérie absolumentonvergente est onvergente.

Remarque 2.2.1. La réiproque du théorème préédent est fausse. On verra

que la série

X

n ≥ 1

( − 1) ⁿ

n

^est onvergente, alors on sait déjà que la série

X

n ≥ 1

1 n

^est

divergente.

2.3 Séries à termes positifs

Théorème 2.3.1. Soit

X

n ≥ 0

x _n

^{une série à termes positifs,} 'est-à-dire

0 ≤ x _n

^,

pour tout

n ≥ 0

^(ou

n ≥ n ₀

^{). Alors la série}

X

n ≥ 0

x _n

^{onverge si et seulement si}

la suite des sommes partielles

(S _n ) _{n ≥ 0}

^{est majorée. Dans e as, on a}

+ ∞

X

n=0

x _n = sup

n ≥ 0

S _n

^.

Remarque 2.3.1. Soit

X

n ≥ 0

x _n

^{une sérieàtermespositifs.Silasuitedessommes}

partielles

(S _n ) _{n ≥ 0}

^{n'est pasmajorée, alors ona}

lim

n → + ∞ S _n = + ∞

^.

Théorème 2.3.2 (Critère de omparaison). Soient

X

n ≥ 0

x _n

^et

X

n ≥ 0

y _n

^{des séries}

telles que

0 ≤ x _n ≤ y _n

^{à partir d'un ertain rang}

n ₀

^.

1. Si

X

n ≥ 0

y n

^{onverge, alors}

X

n ≥ 0

x n

^onverge.

2. Si

X

n ≥ 0

x _n

^{diverge, alors}

X

n ≥ 0

y _n

^diverge.

Corollaire2.3.1. Soient

X

n ≥ 0

x _n

^et

X

n ≥ 0

y _n

^{deuxsériesà termespositifs.S'ilexiste}

a > 0

^et

b > 0

^{telsque, pour tout}

n ≥ n ₀

^{, on ait}

ax _n ≤ y _n ≤ bx _n

^{, alors}

X

n ≥ 0

x _n

^et

X

n ≥ 0

y _n

^{sont demême nature.}

Corollaire 2.3.2. Soient

X

n ≥ 0

x _n

^et

X

n ≥ 0

y _n

^{deuxséries à termes positifs.}

1. Si

lim

n → + ∞

x _n

y _n = 0

^{, alors on a :}

(i) Si

X

n≥0

y _n

^onverge,

X

n≥0

x _n

^onverge.

(ii) Si

X

n ≥ 0

x n

^diverge,

X

n ≥ 0

y n

^diverge.

2. Si

lim

n → + ∞

x _n

y _n = c

^{, ave}

c > 0

^{, alorsles séries}

X

n ≥ 0

x _n

^et

X

n ≥ 0

y _n

^sontdemême

nature.

3. Si

lim

n → + ∞

x _n y n

= + ∞

^{, alors on a :}

(

α

^{) Si}

X

n ≥ 0

y n

^diverge,

X

n ≥ 0

x n

^diverge.

(

β

^{) Si}

X

n ≥ 0

x _n

^onverge,

X

n ≥ 0

y _n

^onverge.

Théorème2.3.3. Soient

X

n ≥ 0

x _n

^et

X

n ≥ 0

y _n

^{deuxsériesàtermesstritementpositifs}

telles que à partir d'unertain rang

n ₀

^{,on ait}

x _n+1

x _n ≤ y _n+1

y _n

^.

1. Si

X

n ≥ 0

y _n

^{onverge, alors}

X

n ≥ 0

x _n

^onverge.

2. Si

X

n ≥ 0

x _n

^{diverge, alors}

X

n ≥ 0

y _n

^diverge.

Théorème 2.3.4 (Règle de Cauhy). Soit

X

n ≥ 0

x n

^{une série à termes positifs.}

1. S'il existe

K

^{, ave}

0 ≤ K < 1

^{, telque, àpartir d'un ertain rang}

n ₀

^{, on ait}

√ n x _n ≤ k < 1

^{, alors la série}

X

n ≥ 0

x _n

^onverge.

2. Si,àpartird'unertainrang

n 0

^,ona

√ ⁿ x n ≥ 1

^{,alorslasérie}

X

n ≥ 0

x n

^diverge.

Corollaire 2.3.3. Soit

X

n ≥ 0

x _n

^{une série à termes positifs.}

1. Si

lim

n → + ∞

√ n

x n = ℓ

^{, ave}

ℓ < 1

^{,alors la série}

X

n ≥ 0

x n

^onverge.

2. Si

lim

n→+∞

√ n x _n = ℓ

^{, ave}

ℓ > 1

^{,alors la série}

X

n ≥ 0

x _n

^diverge.

3. Si

lim

n → + ∞

√ n

x n = 1

^{, on nepeut pas onlure.}

Remarque 2.3.2. Donnons deux exemples de séries de nature diérentes telles

que

lim

n → + ∞

√ x _n = 1

^.

1. Soit

x _n = 1

n

^{. On a}

lim

n → + ∞

√ n x _n = 1

^{et on a déjà vu que la série}

X

n ≥ 1

x _n

diverge.

2. Soit

x _n = 1

n ²

^{. On a}

lim

n → + ∞

√ n x _n = 1

^{. Comme on a}

lim

n → + ∞

x _n y n

= 1

^{, où}

y _n = 1

n(n + 1)

^{,alors les deuxséries}

X

n ≥ 0

x _n

^et

X

n ≥ 0

y _n

^{sont de même nature.}

Or ona déjà vuque

X

n ≥ 0

y _n

^{onverge, don}

X

n ≥ 0

x _n

^onverge.

Théorème 2.3.5 (Règlede d'Alembert). Soit

X

n ≥ 0

x _n

^{unesérie à termesstrite-}

ment positifs.

1. S'il existe

K

^{, ave}

0 < K < 1

^{, telque, àpartir d'un ertain rang}

n 0

^{, on ait}

x _n+1

x n ≤ k < 1

^{, alors la série}

X

n ≥ 0

x _n

^est onvergente.

2. Si, à partir d'un ertain rang

n ₀

^{, on a}

x _n+1

x _n ≥ 1

^{, alors la série}

X

n ≥ 0

x _n

^est

divergente.

Corollaire 2.3.4. Soit

X

n ≥ 0

x n

^{une série à termes positifs.}

1. Si

lim

n → + ∞

x _n+1

x _n = ℓ

^{, ave}

ℓ < 1

^{, alors la série}

X

n≥0

x _n

^onverge.

2. Si

lim

n → + ∞

x _n+1 x n

= ℓ

^{, ave}

ℓ > 1

^{, alors la série}

X

n ≥ 0

x _n

^diverge.

3. Si

lim

n → + ∞

x _n+1

x _n = 1

^{,on nepeut pas onlure.}

Dénition 2.3.1. Onappelle sériedeRiemann une sériede laforme

X

n ≥ 0

1 n ^α

^.

Proposition2.3.1. LasériedeRiemann

X

n ≥ 0

1

n ^α

^{est onvergentesi,etseulement}

si,

α > 1

^.

2.4 Multipliation des séries absolument onvergentes

Théorème 2.4.1. Soient

X

n ≥ 0

x _n

^et

X

n ≥ 0

y _n

^{deux séries absolument} onvergentes, de sommesrespetives

S

^et

T

^{. La série produit determe général}

w _n = x ₀ y _n + x ₁ y _{n − 1} + · · · + x _n y ₀

est absolumentonvergnte eta pour somme

ST

^.

2.5 Séries semi-onvergentes

Dénition2.5.1. Unesérie

X

n ≥ 0

x _n

^estditesemi-onvergente,sielleestonver- gentesans êtreabsolument onvergente.

Dénition 2.5.2. Une série

X

n ≥ 0

x _n

^{estdite alternée, si pour tout}

n ∈ N

^,

x _n

^et

x _n+1

^{sont designeontraire. Siona}

x ₀ > 0

^{,leterme généralde séries'érit alors}

sous laforme

( − 1) ⁿ | x n |

^.

Théorème2.5.1(Critèredessériesalternées). Pourqu'une sériealternée

X

n ≥ 0

x _n

soit onvergente, il sut que la suite

( | x _n | ) _{n ≥ 0}

^tendevers

0

^{en déroissant.Dans}

e as, pour tout

n ∈ N

^{, lereste}

R _n

^{est du signede}

x _n+1

^{et on a}

| R _n | ≤ | x _n+1 |

^.

Exemple 2.5.1. La série

X

n ≥ 0

( − 1) ⁿ

n

^estalternée onvergente.

Théorème 2.5.2 (Abel). Soit

X

n ≥ 0

a _n x _n

^{une série. Onsuppose que :}

1.

(a _n ) _n≥0

^{est une suite de termes positifs, déroissante et tendantvers}

0

^.

2. Ilexisteuneonstante

M > 0

^{telleque,pourtout}

n, m ∈ N

^,onait

m

X

p=n

x _p ≤ M

^.

Alors la série

X

n ≥ 0

a _n x _n

^est onvergente.

Remarque 2.5.1. Le ritère des séries alternées peut se déduire du théorème

d'Abel.

Exemple 2.5.2. Étudier lanature desséries

X

n ≥ 0

a n cos(nx)

^et

X

n ≥ 0

a n sin(nx)

^,où

(a _n ) _n≥0

^{est unesuite de termes positifs,}déroissante ettendant vers

0

^.

Pour

x 6 = 2kπ

^{, on a}

m

X

p=n

e ^ipx = e ^inx − e ^i(n+1)x 1 − e ^ix

^{, d'où}

m

X

p=n

e ^ipx

≤ 2

| 1 − e ^ix |

^{. Par}

onséquent, on a

m

X

p=n

cos(px)

≤ 2

| 1 − e ^ix |

^et

m

X

p=n

sin(px)

≤ 2

| 1 − e ^ix |

^{. Comme}

on a

sin(2kπ) = 0

^{,on en onlut que:}

1.

X

n ≥ 0

a _n cos(nx)

^{onvergepour tout}

x 6 = 2kπ

^.

2.

X

n ≥ 0

a _n sin(nx)

^{onverge pour tout}

x ∈ R

^.