Epreuve 1

(1)

Exercice 1:

Chaque réponse juste rapporte 0,75 points ; toute réponse fausse coûte 0,5 points ; pas de réponse ne rapporte ni n’enlève rien. Si toutes les réponses sont justes un bonus de 1 point est donné.

Soit la fonction

f x( )  



x 3



e^^x

et C sa courbe représentative.

a.

Pour t out x0, on a : ( )f x   x 3.

b. La droite d’équation

y0

est asymptote à la courbe C.

c. La dérivée de f est

f x'( ) (2 x e)^^x

.

d. La fonction f admet un unique extremum.

e. Pour tout réel

me²

, l’équation

f x( )m

admet soit 0 soit 2 solutions.

f. La fonction

g x( ) (  x 3)e^^x

n’est pas dérivable en 0.

g. La fonction f est-elle une solution de l’équation différentielle

y' y 7e^^x

?

h. La valeur moyenne de f entre 0 et 1 est … Exercice 2 :

Dans le plan complexe muni du repère orthonormé direct (O u v; , ), on considère les points A d’affixe 3i et B d’affixe 6 ; unité graphique : 1 cm.

Partie A

1. Montrer qu’il existe une similitude directe et une seule qui transforme A en O et O en B. Préciser ses éléments caractéristiques.

2. Montrer qu’il existe une similitude indirecte et une seule qui transforme A en O et O en B.

Partie B

(2)

1. Soit f la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z' 2i z6 où

z désigne le conjugué de z.

Montrer que f possède un point invariant et un seul. On note K ce point.

2. Soit h l’homothétie de centre K et de rapport 1

2. On pose gf h.

a. Montrer que g est une isométrie laissant invariant le point K.

b. On désigne par M’’ l’image du point M d’affixe z par la transformation g. Montrer que l’écriture complexe de g est

'' 2 2

z  i z  i où z’’ est l’affixe de M’’.

c. Montrer qu’il existe sur l’axe (O v; ) un unique point invariant par g ; on le note L. Reconnaître alors la transformation g.

d. En déduire que la transformation f est la composée d’une homothétie h’ suivie de la réflexion d’axe (KL). Préciser les éléments caractéristiques de h’.

3. Déterminer les droites  telles que f () et  soient parallèles.

Exercice 3:

Un quincaillier achète des ampoules à trois fournisseurs dans les proportions suivantes : 20 % au premier fournisseur, 50 % au deuxième fournisseur et 30 % au troisième fournisseur.

Le premier fournisseur fabrique 97 % d’ampoules sans défaut, le deuxième fournisseur fabrique 98 % d’ampoules sans défaut, le troisième fournisseur fabrique 95 % d’ampoules sans défaut.

1. On choisit une ampoule au hasard dans le stock. On note D l’événement « l’ampoule est défectueuse »,

F1 l’événement « l’ampoule provient du premier fournisseur

»,

(3)

F2 l’événement « l’ampoule provient du deuxième fournisseur » et

F3 l’événement « l’ampoule provient du troisième fournisseur ».

a. Calculer la probabilité de l’événement D, notée P(D).

b. Sachant que l’ampoule choisie est défectueuse, quelle est la probabilité PD(F1) qu’elle provienne du premier fournisseur ? Donner la valeur exacte et une valeur approchée à 10⁻³ près de PD(F1).

2. On suppose que la probabilité qu’une ampoule soit sans défaut est de 0,969.

On monte 12 ampoules sur un lustre. Calculer la probabilité R qu’une ampoule au plus soit défectueuse. On donnera une valeur approchée à 10⁻³ près de R.

3. La durée de vie en heures d’une ampoule, notée T, suit une loi de durée de vie sans vieillissement (ou loi exponentielle) de paramètre  = 1/50 000 = 2.10⁻⁵.

Selon cette loi, pour tout x de [0 ; +∞[,

0

( )

x t

P Tx 



e^^dt^. a. Quelle est la probabilité P1 qu’une ampoule dure plus de 25 000 heures ? Donner la valeur exacte de P1.

b. Quelle est la probabilité P2 qu’une ampoule dure plus de 50 000 heures ? Donner la valeur exacte de P2.

c. Quelle est la probabilité P3 qu’une ampoule dure plus de 50 000 heures, sachant qu’elle a déjà duré 25 000 heures ? Donner la valeur exacte de P3.

Exercice 4:

Il s’agit de résoudre dans le système

   

 

13 19 6 12 S n

n

 

 

 .

1. Démontrer qu’il existe un couple (u ; v) d’entiers relatifs tel que : 19u + 12v = 1.

(4)

(On ne demande pas dans cette question de donner un exemple d’un tel couple).

Vérifier que, pour un tel couple, le nombre 13 12 6 19

N   v  u est une solution de (S).

2. a. Soit n0 une solution de (S), vérifier que le système (S)

équivaut à

 

0 0

19 12 n n n n

 

 

 .

b. Démontrer que le système

 

0 0

19 12 n n n n

 

 

 équivaut à

 

0 12 19 nn  .

3. a. Trouver un couple (u ; v) solution de l’équation 19u + 12v = 1 et calculer la valeur de N correspondante.

b. Déterminer l’ensemble des solutions de (S) (on pourra utiliser la question 2. b.).

4. Un entier naturel n est tel que lorsqu’on le divise par 12 le reste est 6 et lorsqu’on le divise par 19 le reste est 13.

On divise n par 228 = 1219. Quel est le reste r de cette division ?

Problème :

Partie A :

1. On considère la fonction g définie sur par : g x( ) x e^x^¹. a. Etudier les variations de g (on ne demande pas les limites).

Calculer g(1), en déduire le signe de g.

b. En déduire que pour tout réel x, x 1

xe e

  , puis que 1xe^^x 0.

(5)

2. On désigne par f la fonction définie sur par ( ) 1

1 ^x

f x

xe^

  . Soit C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé (unités : 3 cm)

a. Vérifier que f est définie sur .

b. Déterminer les limites de f en  et .

c. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations.

d. Ecrire une équation de la tangente T à C au point d’abscisse 0. Tracer T puis C.

3. a. Déterminer les images par f des intervalles [0, 1] et [1,

[.

b. En déduire que 1 ( ) 1 f x e

  e

 pour tout x positif ou nul.

Partie B.

Soit 1

( )

1 ^x

f x

xe^

  définie sur [0, 1]

1. Donner une interprétation géométrique du nombre

1 0

( ) I



f x dx^.

2. Soit n un nombre entier naturel non nul, et

1 0

n

n nx

J 



x e^ dx^.

a. A l’aide d’une intégration par parties, montrer que ₁ 2 1 J  e. b. On se propose de calculer J2 sans utiliser une intégration par parties : déterminer les coefficients a, b et c tels que la fonction H(x) définie par H x( ) ( ax²bx c e ) ^²^xsoit une primitive de

2 2

( ) ^x

h x x e^ . En déduire que ₂ 1 5₂ 4 1

J e

 

   ^.

(6)

3. Pour tout entier n non nul, on pose u_n 1 J₁J₂ ... J_n.

a. Montrer que pour tout réel x,

 

¹

2 2 1

1 ...

1

x n

x x n nx

x

xe

xe x e x e

xe

 

  



     

 ^.

b. En déduire que ¹ ¹ ⁽ ¹⁾

0

n n x ( )

Iun



x ^{  }e f x dx^.

c. En utilisant A.1.b montrer que pour tout x positif ou nul :

1 ( 1) 1

0 ⁿ ⁿ ^x 1 x e n

e

  

   .

En déduire que

 

1 ( 1) 1

0 ( )

1

n n x

x e f x n

e e

  

 

 puis un encadrement de u_n. Déterminer lim n

n

u



.

4. Montrer que ₂ ₂ ₂ 1

( 1)

u I u

e e

  

 ^. ^Sachant ^que

2 1 1 2

u  J J , trouver deux nombres d1 et d2 tels que 0< d1-

d2<10^–1 et d1<I< d2.