Satisfaction de contraintes

(1)

Satisfaction de contraintes

Pierre De Loor – enib – cerv

deloor@enib.fr www.enib.fr/~deloor

Qu’est ce qu’une contrainte

Contraintes :

U = R * I

F=1/2 ρSv

²

X=pluie -> Y= eau

Distinctions liées à

Domaine (symboles, intervalles, entiers, réels …)

Langage (linéaire, quadratique, extension …)

(2)

Contraintes sur les réels

Problèmes de type « sciences physiques »

Les contraintes linéaires expriment des rapports de grandeurs entre variables continues

Algorithme du simplexe / réels ou rationnel

Complexité polynomiale (en moyenne)

Complexité exponentielle (au pire)

D’autres algorithmes s’attachent à résoudre des contraintes non linéaires (quadratiques,

géométriques).

Quad

Décomposions sémantiques

Contraintes discrètes

Peuvent potentiellement exprimer tout type de contraintes (peuvent être définies en extension)

Configuration d’équipements

Conception, raisonnement temporel

Ordonnancement de tâches

Emploi du temps, puzzles

Complexité exponentielle (NP complet)

Un mécanisme de retour arrière basique est

irréaliste

(3)

Contraintes discrètes avec optimisation : le problème des entrepôts

Client j : demande dj Localisation

possible i : coût fixe fi capacité Mi

Localisation possible

Localisat ion possible

Localisation possible

n

coût cij

Origines de la programmation par contrainte

Mathématiques

Recherche Opérationnelle

Programmation par Contraintes

Informatique

Intelligence

Artificielle

(4)

Quelques outils associés

SICStus Prolog

Domaines Finis (FD), Booleens, Réel

www.sics.se/sicstus

CHIP

Solveur en C/C++ hébergé sous prolog

Concept de ‘contraintes globales’ (alldifferent, circuit, element …)

www.cosytec.com

ECLIPSe

Prolog avec librairies FD, Réels, ensembles

Intégrations de RO (CPLEX, XPRESS-MP)

www.icparc.ic.ac.uk/eclipse

ILOG solver

Solveur en C++ et/ou Java

Ensemble, Réels, FD

ILOG Scheduler est une sur-couche spécialisée dans la planification

SWI-Prolog :

CHR = support pour différents systèmes de contraintes, exploité pour de nombreux domaines;

www.swi-prolog.org

GNU-Prolog :

FD;

http://pauillac.inria.fr/~diaz/gnu-prolog/

Contraintes arithmétiques et prolog

fact(0,1).

fact(X,Y):- X2 is X-1, fact(X2,Z), Y is Z*X.

?- fact(3,X).

X = 6

?- fact(Y,6).

[WARNING: Arguments are not sufficiently instanciated]

Exception: ( 9) _L168 is _G123-1 ?

fact(0,1).

fact(X,Y):- X2 = X-1, fact(X2,Z), Y = Z*X.

?- fact(3,X).

: :

Call: (11)fact(3-1-1-1, _L195) ? creep

Call: (12) 3-1-1-1==0 ? creep Fail: (12) 3-1-1-1==0 ? creep

(5)

Contraintes sur les réels et CHIP

fact(0,1).

fact(X,Y):- X ^> 0, X2 ^= X-1, fact(X2,Z), Y ^=Z*X.

?-fact(5,X).

X=120 ?

?-fact(Y,120).

Y=5 ?

Contraintes sur les domaines finis en CHIP

crypt :-

[S,E,N,D,M,O,R,Y]::0..9,

alldifferent([S,E,N,D,M,O,R,Y]), S#\=0, M#\=0,

1000S + 100E + 10N + D + 1000M + 100O + 10R + E #=

10000M + 1000O + 100N +10E + Y,

labeling([S,E,N,D,M,O,R,Y],0,first_fail,indomain), % vu après

writeln([S,E,N,D,M,O,R,Y]).

allSolutions :-findall(_,crypt,_).

(6)

Résolution de CSP discrets

Algorithmes de base

Exemple de CSP discret

Variables et domaine

Contraintes et relations

En extension

{a,b,c}

{a,b}

X1 X2 X3 X4 x5

Domaines Variables

r1={(a,b),(a,c),(b,c)}

r2={(a,b),(a,c),(b,c)}

r3={(a,b)}

r4={(a,b)}

r5={(a,b)}

v1=(x3,x1) v2=(x3,x2) v3=(x3,x4) v4=(x3,x5) v5=(x4,x5) C1=(v1,r1)

C2=(v2,r2) C3=(v3,r3) C4=(v4,r4) C5=(v5,r5)

Relation Variables

Contraintes

C1 : (x3=a et x1=b) ou (x3=a et x1=c) ou (x3=b et x1=c) Contraintes

binaires

(7)

Exemple de CSP discret

Graphe de contraintes

Instanciation partielle

A={x1→b,x2 →a,x3 → a}

Satisfait C1

Viole C2

Ne satisfait pas C3

Ne viole pas C3

{a,b}

X3

{a,b,c}

X1

(a,b) (a,c) (b,c)

C1 :

(a,b) (a,c) (b,c)

{a,b,c}

X2

{a,b}

X4

{a,b}

X5 C2 :

C4:(a,b) C3:(a,b)

C5:(a,b)

Instanciation consistante

Une instanciation est consistante si elle ne viole aucune contrainte (elle peut être partielle)

Vérifier qu’une instanciation est consistante est un problème facile (polynomiale)

Une solution est une instanciation complète consistante

Vérifier qu’une instanciation est une solution est un problème facile

Un CSP est consistant s’il existe une solution

Vérifier qu’un CSP est consistant est NP-complet

(8)

Instanciation globalement consistante

Une instanciation est globalement consistante si elle peut être étendue en une solution.

Propriété très utile pour savoir s’il est intéressant de prolonger une instanciation

Mais très difficile à établir

(La consistance globale d’une instanciation vide est équivalente à la consistance du CSP)

Une instanciation globalement consistante

Une solution Une instanciation globalement inconsistante

Exemple

Fabrication d’une voiture

Les portières et le capot sont faits à Lille, mais le constructeur ne dispose que de peinture rose, rouge et noire

La carrosserie est à Hambourg, où l’on a de la peinture blanche, rose, rouge et noire

Les pare-chocs, faits à Palerme, sont toujours blancs

La bâche du toit ouvrant, qui est faite à Madrid, ne peut être que rouge

Les enjoliveurs sont faits à Athènes, où l’on a de la peinture rose et de la peinture rouge

La carrosserie doit être de la même couleur que les portières, les portières de la même couleur que le capot, le capot de la même couleur que la carrosserie

Les enjoliveurs, les parc chocs et le toit ouvrant doivent être plus clairs que la carrosserie

(9)

Exemple

{a,b, c,d}

X3

{a}

X1

(a,b) (a,c) (a,d)

(b,b) (c,c) (d,d)

{a,b,c}

X2

{b,c}

X4

{b,c,d}

X5

(b,c) (b,d) (c,d)

{c}

X6

(b,b) (c,c) (d,d) (b,b)

(c,c) (d,d) (c,d)

pare-chocs portière

toit-ouvrant enjoliveurs

carrosserie

a:blanc, b:rose, c:rouge, d:noir

Définition formelle

P=(X,D,C)

X={x1,x2,x3,x5,x6}

D ={

(a),(a,b,c),(a,b,c,d),(b,c),(b,c,d),(c)

}

C={

(x1,x3):((a,b),(a,c),(a,d)), (x2,x3):((b,b),(c,c),(d,d))

…}

Solutions

S1={x1→a,x2→d,x3→d,x4→b,x5→d,x6→c}

S2={x1→a,x2→d,x3→d,x4→c,x5→d,x6→c}

capot

Consistance globale d’un CSP

Equivalence :

Deux CSP sont équivalents s’ils possèdent les mêmes solutions.

L’un peut être plus simple que l’autre

Exemple : un CSP P’ dont le domaine de x3=(a,d) est équivalent au CSP P précédent

Contrainte induite :

Une contrainte est induite si elle est respectée par toutes les solutions

Exemple : x3:((d)) est induite par P

Intérêt : elle peut être ajoutée au CSP et diminuer la difficulté de recherche d’une solution

Consistance globale :

un CSP est globalement consistant si les valeurs imposées par chaque contrainte séparément font partie des solutions.

Intérêt : toute instanciation partielle satisfaisant une contrainte sans violer les autres est globalement consistante et peut être étendue à une solution

P n’est pas globalement consistant

Exemple , l’instanciation partielle (x1→a, x3→b)

(10)

Résolution de CSP

Problèmes classiques

Trouver une solution (NP-difficile)

Satisfiabilité : Prouver qu’un CSP est consistant (NP- complet)

Trouver toutes les solutions

Exhiber une solution particulière qui optimise un ou plusieurs critères

Estimer ou calculer le nombre de solutions

Trouver pour une variable, un ensemble de valeurs qui se trouve dans toutes les solutions

Etc …

Illustration de la compléxité

n variables de cardinalité d

m contraintes

Générer/tester = m*d^n contraintes à tester au pire

Exemple :

n = 20, d = 5 et m = 20

Si le test d’une contrainte prend 10

^-6

secondes

Le générer/tester peut prendre 60 ans

Le CSP P précédent : 432 vérifications de

contraintes

(11)

Algorithme du backtrack

Tester avant de continuer à générer :

tester toutes les variables instanciées une à une

pare-chocs a X1

portière b c d X2

carrosserie a b c d a b c d a b c d X3

enjoliveurs b c b c b c X4

capot b c d b c d X5

toit-ouvrant c c X6

Solution 59 vérifications au + explications d’inconsistances

3+(4*3+4)+(2*3+2*3+2)+(3+3*2+3*2+3)+(2+1+2+2+1)

Filtrage

Simplifier le travail du backtrack

Modifier le CSP en un CSP équivalent

Contraintes induites

(12)

Filtrage

Arc-consistance de P

{a,b, c,d}

X3

{a}

X1

(a,b) (a,c) (a,d)

(b,b) (c,c) (d,d)

{d,b,c}

X2

{b,c}

X4

{b,c,d}

X5

(b,c) (b,d) (c,d)

{c}

X6

(b,b) (c,c) (d,d) (b,b)

(c,c) (d,d) (c,d)

pare-chocs portière

toit-ouvrant enjoliveurs

carrosserie

capot

X1-X3 : (a,a) impossible

X6-X3 : (c,b) et (c,c) impossibles X2-X3 : pas de problèmes

X2-X3 : (b,b) et (c,c) impossibles X3-X5 : (b,b) et (c,c) impossibles

Procédure AC3

P’’

Backtrack sur P’’

P’’ est globalement consistant

L’algorithme est glouton

pare-chocs a X1

portière d X2

carrosserie d X3

enjoliveurs b c X4

capot d X5

1^erSolution 15 vérifications au +

(13)

Un CSP arc-consistant et inconsistant

X1 0,1

X2 0,1 X3 0,1

(0,1) (1,0) X1\=X2

(0,1) (1,0) X1\=X3

(0,1) (1,0) X3\=X2

Panel d’algorithmes d’arc-consistance

Si m est le nombre de contraintes de cardinalité d

AC3 : O(m*d^3)

AC4 : O(m*d^2) mais complexité spatiale importante

AC5 : O(m*d) mais restreint à certains types de contraintes

AC6 : la meilleure complexité spatiale en O(m*d)

et complexité temporelle en moyenne très bonne

(14)

K-consistance

L’objectif est de se rapprocher d’un CSP globalement consistant pour ne plus avoir à faire un backtrack

Un CSP est k-consistant si toute instanciation consistante de k-1 variable peut être étendue à une k

^ième

variable tout en restant consistante

K-consistance forte : un CSP est fortement k-consistant si il est k- consistant et (k-1)-consistant et (k-2)-consistant et …

L’arc-consistance est une 2-consistance

La 3-consistance forte s’appelle la ‘chemin-consistance’

Certains algorithmes établissent ces consistances mais leur complexité est souvent un écueil

Amélioration du Backtrack

Heuristiques d’explorations

Ordre d’instanciation des variables (first-fail : faire apparaître vite les violations de contraintes)

Ordre d’instanciation des valeurs

Ordre de vérification des contraintes

Ces ordres peuvent être redéfinis durant la résolution

Sophistication de l’algorithme

Méthodes rétrospectives

Faire le point après chaque instanciation et remonter leurs conséquences dans l’arbre (élagage)

Backtrack intelligent (conflict based backjumping, graph based backjumping, dynamic backtracking, local changes)

Mémorisation de contraintes

Méthodes prospectives

Déclencher, après chaque instanciation, des instanciations annexes pour détecter, à priori, des instanciations non globalement consistantes

Forward-checking, check backward …

(15)

Exemple

Heuristiques : ordre d’instanciation (fixe)

Ordre (a) : domaine le + petit → {X1,X2,X3,X4}

Ordre (b) : degrés d’implication (nb contraintes) →{X2,X4,X3,X1} (par exemple)

Ordre (c) dureté des contraintes →{X4,X3,X2,X1} (par exemple)

{1,2,3}

X3 (2)

{1,2}

X2 (2)

{1,2,3,4} X4 (2)

X1 {1}

X3=X4+2 (1/12)

X2.X4>1 (7/8)

X1<=X2 (1) X2<=X3 (5/6)

X2 (1)

Heuristiques sur backtrack

1 X1

1 2 X2

1 2 3 1 2 3 X3

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 X4

A (domaine)

1 2 X2

1 2 3 4 1 2 3 4 X4

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 X3

1 X1

B (degrés)

C (dureté)

1 2 3 4 X4

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 X3

1 2 X2

1 X1

(16)

Méthode rétrospective

Backtrack intelligent : le backjumping

pare-chocs a X1

X3 est une variable de conflit (à cause des contraintes entre X6 et X3), Il est inutile de faire un simple backtrack sur X5, car aucune instanciation contenant X3->c ne sera consistante : élagage

{a,b, c,d}

X3 X1{a}

(a,b) (a,c) (a,d)

(b,b) (c,c) (d,d)

{a,b,c}

X2

{b,c}

X4

{b,c,d}

X5 (b,c)

(b,d) (c,d)

{c} X6

(b,b) (c,c) (d,d) (b,b) (c,c) (d,d) (c,d)

Mémorisation de contraintes + backjumping

pare-chocs a X1

X3\=b

{a,b, c,d}

X3 X1{a}

(a,b) (a,c) (a,d)

(b,b) (c,c) (d,d)

{a,b,c}

X2

{b,c}

X4

{b,c,d}

X5 (b,c)

(b,d) (c,d)

{c} X6

(b,b) (c,c) (d,d) (b,b) (c,c) (d,d) (c,d)

X3\=c X2\=c

X2\=b

(17)

Re-exploitation de la mémorisation

pare-chocs a X1

X2\=b; X3\=b; X3\=c; X2\=c

Méthode prospective Forward-checking

Check forward

arc-consistance dégradée, très efficace

Si une variable x1 est instanciée, on réduit seulement les ensembles des variables non instanciées par arc-consistance.

FC(V,A)

Si V=φalors A est une solution Sinon

Soit xi∈V

Pour tout v ∈di faire Push(V-{xi})

si check-forward(xi,v,V) alors FC(V-{xi}, A∪{xi->v}) finsi

Pop(V-{xi}) FinPour Finsi

Check-forward(xi,v,V) Soit consistant=true

Pour tout xj∈V-{xi} tant que consistant faire Pour tout v’∈dj faire

si{xi->v, xj->v’} est non consistante alors dj<-dj-{v’}

finsi finPour si dj = φ

alors consistant <- false finsi

finPour

(18)

Forward checking

pare-chocs a X1

carrosserie b c d X3

enjoliveurs b c X4

capot d X5

toit-ouvrant c X6

V={x1,x2,x3,x4,x5,x6}, A={}

cf(x1,a,V-x1)=true -> d3={b,c,d}

d1= {a}, d2={b,c,d}, d3={a,b,c,d}, d4={b,c}, d5={b,c,d}, d6={c}

fc(V-x1,{x1->a}) -> xi=x2, v=b cf(x2,b,V-x1-x2)=true->d3={b}, d5={b}

fc(V-x1-x2,{x1->a,x2->b}) -> xi=x3, v=b cf(x3,b,V-x1-x2-x3)=false

fc(V,{}) -> xi=x1, v=a

fc(V-x1,{x1->a}) -> xi=x2, v=c cf(x2,c,V-x1-x2)=true->d3={c}, d5={c}

fc(V-x1-x2,{x1->a,x2->c}) -> xi=x3, v=c cf(x3,c,V-x1-x2-x3)=false

fc(V-x1-x2,{x1->a,x2->d}) -> xi=x3, v=d cf(x3,d,V-x1-x2-x3)=true->d4={c,b}, d5={d}

fc(V-x1,{x1->a}) -> xi=x2, v=d cf(x2,d,V-x1-x2)=true->d3={d}, d5={d}

fc(V-x1-x2-x3,{x1->a,x2->d,x3->d}) -> xi=x4, v=b cf(x4,d,V-x1-x2-x3-x4)=true

fc(V-x1-x2-x3-x4,{x1->a,x2->d,x3->d,x4->b}) -> xi=x5, v=d cf(x5,d,V-x1-x2-x3-x4-x5)=true

fc(V-x1-x2-x3-x4-x5,{x1->a,x2->d,x3->d,x4->b,x5->d}) -> xi=x6, v=c cf(x6,c,φ)=true

{a,b, c,d}

X3 X1{a}

(a,b) (a,c) (a,d)

(b,b) (c,c) (d,d)

{a,b,c}

X2

{b,c}

X4

{b,c,d}

X5 (b,c)

(b,d) (c,d)

{c} X6

(b,b) (c,c) (d,d) (b,b) (c,c) (d,d) (c,d)

Bilan sur les algorithmes de résolutions

Il existe peu de comparaisons expérimentales entre les algorithmes.

Il est actuellement impossible de prévoir l’efficacité d’un algorithme face à un problème donné.

Dans les cas généraux les méthodes prospectives fonctionnent en moyenne mieux

Des méthodes hybrides existent (forward checking + mémorisation de contraintes + backtrack intelligent)

On peut définir des classes de CSP plus simples à résoudre (classes polynomiales : complexité polynomiale)

De nombreux travaux portent sur la résolution de CSP

dynamiques qui implique la résolution partielle de CSP

(19)

Bibliographie

Cohen J. (1990) Constraint logic programming languages. Communication of the ACM, Vol. 33, n°7, July 1990, P. 52-68.

Colmeraurer A. (1990) An introduction to Prolog III. Communication of the ACM, Vol 33, n°7, July 1990, p. 71-90.

Cras J.-Y. (1993) A review of industrial constraint solving tools (1993).

Fron A. (1994) Programmation par contraintes. Addison-Wesley - 1994.

Hentenryck P.V. (1989) Constraint satisfac tion in logic programming. MIT Press - 1989.

ILOG (1999) ILOG Solver : reference manual 4.4. ILOG -- 1999.

CHIP, System Documentation, (3 tomes), 1996.

Laurière J.-L. (1978) A Language and a program for stating and solving combinatorial problems. Artificial Intelligence, Vol 10, n°1, 1978, p. 29-127.

Jean-Marc Alliot, Thomas Schiex : Intelligence artificielle et informatique théorique, Cepadues.

ICAPS-04 : Tutorial on Constraint Satisfaction for Planning and Scheduling

Fages F. (1996) Programmation Logique par contraintes, Edition Ellipses.

Satisfaction de contraintes