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pour le
On prendra soin de la rédaction et de bien justifier toutes les réponses.
Exercice 1 :
L’ONF (organisme national des forêts) gère, aux alentours de Dammartin-en-Goële, une forêt comptant 30 000 arbres. Afin de l’entretenir, on décide d’abattre chaque année 4% des arbres existants et de replanter 1500 jeunes arbres. Le nombre d’arbre dans la forêt sera modélisé par une suite où on noteunle nombre d’arbres (en milliers) l’année 2016 +n.
1. Justifier queu0=30 et pour tout nombre entier natureln,un+1=0.96un+1.5.
2. On considère la suite (vn) définie surNpar :vn=37.5−un. (a) Démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison 0.96.
(b) Calculerv0, puis pour tout nombre entier natureln, exprimervnen fonction den. En déduire le sens de variation de (vn).
(c) En déduire que pour tout entier natureln,un=37.5−7.5×0.96nainsi que le sens de variation de la suite (un).
3. (a) En quelle année le nombre d’arbres de cette forêt aura-t-il dépassé de 10% le nombre d’arbres de la forêt en 2016 ? (b) Conjecturer la limite de la suite (un). Interpréter ce résultat.
Exercice 2 :
Des joueurs se réunissent autour d’un labyrinthe avec une souris. Ce labyrinthe a 4 issues et est modélisé ci-dessous, la souris partant du point A. Aux points B, D et F, on a mis des bouts de fromages afin d’attirer la souris. On estime alors la probabilité que la souris aille vers ses points égale à7
8.
On attribue un nombre de points (indiqués entre parenthèses sur le schéma) que gagnent les joueurs lorsque la souris passe par une intersection.
On note X la variable aléatoire qui donne le nombre total de points gagnés à l’issue d’une partie, c’est-à-dire une fois la souris arrivée en D, E, F ou G.
1. (on donnera ici les résultats sous forme de fraction) (a) Déterminer la loi de probabilité de X.
(b) Calculer l’espérance de X.
2. Un joueur effectue 8 parties de suite et on suppose que ces huit parties sont indépendantes.
On considère qu’une partie est gagnée si le joueur obtient 20 points à celle-ci.
(a) Calculer la probabilité qu’il gagne exactement 2 parties. Arrondir au millième (attention à bien rédiger tout le raison- nement).
(b) Calculer la probabilité qu’il gagne au moins une partie. Arrondir au millième.
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Exercice 3 :
Une entreprise fabrique des canapés. Le coût de fabrication, en euros, dexcanapés est donné par :
C(x)=0.04x3−0.4x2+380x+6000
Chaque canapé est vendu 912 euros, donc la recette pour la vente dexcanapés est donnée par l’expressionR(x)=912x. Le bénéfice (positif ou négatif ) réalisé par l’entreprise pour la fabrication et la vente dexcanapés est défini parB(x)=R(x)−C(x).
1. Calculer les bénéfices réalisés par l’entreprise pour la fabrication de 10, 50, 100, 120 canapés.
2. Exprimer en fonction dexle bénéfice réalisé pour la fabrication et la vente dexcanapés.
3. Déterminer le nombre de canapés que l’entreprise doit fabriquer et vendre pour réaliser le bénéfice maximal.
4. Calculer ce bénéfice maximal.
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