là

Exercice 1.1. Soitx= (x₁, . . . , x_n)∈Rⁿ. On pose, pourp∈]1,+∞[, kxkp=

n

X

i=1

|xi|^p

!^1/p

, kxk∞= sup

1≤i≤n

|xi|.

1. Démontrer quek · k1,k · k2 etk · k∞sont des normes sur Rⁿ. 2. Démontrer que

kxk∞≤ kxk2≤ kxk1≤nkxk∞ et kxk2≤√ nkxk∞, pour toutx∈Rⁿ. Discuter le casn= 1.

3. Représenter dansR²la boule unité fermée{x= (x1, x2)∈R²:kxkp≤1}pour p= 1,2et ∞.

4. L’objectif de cette question est de prouver quek · kp est une norme surRⁿ pour toutp∈]1,+∞[.

(a) Montrer que, pour touts, t≥0, st≤ s^p p +t^q

q, oùq est donné par1/q= 1−1/p.Indication : on pourra fixertet étudier la fonction s7→st−s^p

p −t^q q.

(b) Pourx,y∈Rⁿ\{0}, on poseα=kxkp et β=kykq. Montrer, pour touti, que

|xiy_i|

αβ ≤ |xi|^p pα^p +|yi|^q

qβ^q, et en déduire

n

X

i=1

|x_iy_i| ≤ kxk_pkyk_q. (En utilisant l’inégalité triangulaire à gauche, on obtient la fameuse inégalité de Hölder :|x·y| ≤ kxk_pkyk_q, qui généralise l’inégalité de Cauchy–Schwarz.) (c) En remarquant que|xi+yi|^p≤ |xi+yi|^p−1|xi|+|xi+yi|^p−1|yi|, montrer quek · kpvérifie l’inégalité

triangulaire, puis conclure.

N.B. Dans la suite, la norme euclidienne k · k2 sera le plus souvent notéek · k.

Indications.

1. Pour l’inégalité triangulaire pourk · k2, utiliser le produit scalaire sous-jacent (kxk²₂=x·x) pour montrer avec l’identité remarquablekx+yk²₂=kxk²₂+ 2x·y+kyk²₂qu’elle est impliquée par l’inégalité de Cauchy–

Schwarz|x·y| ≤ kxk₂kyk₂ (les deux inégalités sont en fait strictement équivalentes mais ici on n’a pas besoin de la réciproque) puis redémontrer celle-ci directement en étudiant le polynômeP(t) =ktx+yk²₂ (qu’on développera en utilisant de nouveau l’identité remarquable).

2. Se rappeler que, dans le développement dekxk²₂, les doubles produits sont tous positifs.

3. Au vu des inégalités de la question précédente, en notant Bp la boule unité pour la norme p, on doit avoirB1⊂B2⊂B_∞.

4. (a) Étude de fonction classique.

(b) Prendre des valeurs bien choisies poursett. Pour la seconde inégalité, sommer suri. La somme de droite a une valeur toute particulière.

(c) Appliquer l’inégalité de Hölder sur chaque somme du terme de droite en posant d’abord X = (|xi|)1≤i≤n, Y = (|xi+y_i|^p−1)_1≤i≤n, puisX = (|yi|)1≤i≤n et le mêmeY, puis utiliser les relations entrepetq. (Attention, l’inégalité triangulaire ne suffit pas pour faire dek · k_p une norme.)

Exercice 1.2. 1. (Cours) Montrer que toute réunion et toute intersection finie d’ensembles ouverts est un ensemble ouvert. Reprendre la question lorsque les réunions et intersections sont infinies. En déduire les propriétés correspondantes pour les fermés.

2. Montrer que tout singleton est fermé. Proposer un exemple de réunion dénombrable (c’est-à-dire indexée sur l’ensembleN) de singletons qui ne soit pas fermée. Vérifier également que la réunion non-dénombrable S

x∈R{exp(x)}n’est pas fermée.

3. (Cours) Montrer que la boule ouverte unité est ouverte et que la boule fermée unité est fermée.

4. (Cours) Montrer que l’ensemble vide etRⁿ (pour toutn∈N^?) sont à la fois ouverts et fermés.

5. Proposer un exemple d’ensemble ni ouvert ni fermé.

6. Montrer que le produit cartésienE×F ⊂R^n+m est ouvert siE⊂Rⁿ etF ⊂R^msont ouverts, fermé si E etF sont fermés. Que peut-on dire siE est ouvert non-fermé etF est fermé non-ouvert ?

7. Vérifier que l’ensembleG={(x, y)∈R² | xy = 1} est fermé. Que peut-on dire des projections de cet ensemble (c’est-à-dire{x∈R| ∃y∈R (x, y)∈G}et {y∈R| ∃x∈R (x, y)∈G}) ?

Indications.Les résultats de cours doivent être démontrables sans indications !

Remarque : les indications ci-dessous partent du principe que le résultat selon lequel « l’image réciproque d’un fermé, respectivement d’un ouvert, par une application continue est un fermé, respectivement un ouvert » n’a pas encore été vu en cours. Si tel est cependant le cas, certaines questions peuvent être traitées bien plus efficacement, mais il peut être formateur de les traiter tout de même via les définitions d’ouvert et de fermé sans utiliser le résultat susmentionné.

1. Cours. Pour les réunions et intersections infinies, toujours avoir en tête les contre-exemples que sont l’intersection de tous les intervalles ouverts

−_n¹,+¹_n

,n∈N^?et la réunion de tous les intervalles fermés 1

n,1

, n∈N^?.

2. Que peut-on dire d’une suite convergente à valeurs dans un singleton ? Pour le contre-exemple dénom- brable : une famille indexée sur N, c’est une suite. Le contre-exemple le plus simple serait donc celui d’une suite dont au moins une sous-suite convergente¹ ne converge pas vers une valeur de la suite de départ. On peut même être encore plus grossier : la sous-suite pourrait être la suite elle-même ! Enfin, pour la réunion dénombrable, il suffit de réécrire la réunion sous une forme plus habituelle.

3. Cours.

4. Cours.

5. Les possibilités sont infinies. Moralement, il faut utiliser le fait qu’un fermé est « un ensemble contenant toute sa frontière » et qu’un ouvert est « un ensemble n’intersectant pas sa frontière ». Entre ces deux définitions se trouvent tous les ensembles contenant certains points de leur frontière mais pas tous.

6. Le cas E et F fermé est très simple et le cas ouvert peut s’en déduire par passage au complémentaire.

Cela dit il peut être formateur de traiter le cas ouvert directement avec la définition utilisant les boules ouvertes. Pour le casE ouvert non-fermé et F fermé non-ouvert, considérer les points(xn, y)∈E×F avecy fixé quelconque et(xn)une suite convergente à valeurs dansE dont la limite ne soit pas dansE.

Puis, symmétriquement, considérer le point(x, y^?)avecy^? contredisant le fait queF soit ouvert (pour conclure sur ce point, il pourra être utile d’utiliser l’équivalence des normes pour passer par la norme k • k∞, dont les boules sont des pavés).

7. Utiliser la caractérisation séquentielle des fermés pour montrer que le graphe Gest fermé. Déterminer les projections deGn’est ensuite pas difficile et on peut aisément conclure à leur sujet (par exemple, en utilisant le fait que tout singleton est fermé).

Au sujet des deux dernières questions : il peut être démontré que l’image réciproque d’un ouvert, respectivement d’un fermé, par une projection est un ouvert, respectivement un fermé (c’est une conséquence directe du fait que les projections sont des applications continues, cf. le résultat de cours mentionné dans la remarque ci- dessus). Remarquez que connaitre ce résultat permet de montrer directement que le produit cartésien fini d’ouverts, respectivement de fermés, est ouvert, respectivement fermé. Par ailleurs, les projections sont des

« applications ouvertes », c’est-à-dire que la projection d’un ouvert est un ouvert. La dernière question fournit donc un contre-exemple à l’énoncé « la projection d’un fermé est un fermé ».

1. Insistons cependant sur le fait qu’une suite(vn)à valeurs dans le support d’une autre suite(un)n’est pas nécessairement une sous-suite de(un). Par contre la réciproque est vraie, et c’est ce qu’on utilise là : une sous-suite de(un)est bien une suite à valeurs dans le support de(un).

Exercice 1.3. Représenter graphiquement (si possible) les ensembles suivants et déterminer s’ils sont ouverts, fermés ou ni l’un ni l’autre.

A={(x, y)∈R²: 0<|x−1|<1} ; B ={(x, y)∈R²: 0< x≤1} ; C={(x, y)∈R²:|x|<1, |y| ≤1}; D={(x, y)∈R²:x∈Q, y∈Q}; E={(x, y)∈R²:x6∈Q, y6∈Q}; F ={(x, y)∈R²:x²+y²<4, x >0}.

Indications.Les représentations graphiques peuvent donner une intuition très forte de la réponse. Cependant il faut ensuite confirmer cette réponse par une preuve ! Nier qu’un ensemble est ouvert (ou fermé), c’est trouver un contre-exemple à la définition (on verra plus tard, par ailleurs, que les seuls ensembles simultanément ouverts et fermés de Rⁿ sontRⁿ lui-même et l’ensemble vide).

A est représentable graphiquement et peut d’ailleurs s’écrire comme]0,1[∪]1,2[×R. B est représentable graphiquement et s’écrit d’ailleurs]0,1]×R.

C est représentable graphiquement et s’écrit d’ailleurs]−1,1[×[−1,1].

D etE ne sont pas représentables graphiquement. Mais un ensemble d’intérieur vide (c’est-à-dire le complé- mentaire d’un ensemble dense) peut-il être ouvert ? Et un ensemble dense peut-il être fermé ? EtQetR\Qne sont-il pas, l’un et l’autre, denses et d’intérieur vide ?

F est représentable graphiquement et s’écrit comme une intersection de deux ouverts.

Exercice 1.4. 1. Déterminer les égalités entre l’intérieur/l’adhérence d’une partie E ⊂ Rⁿ et l’adhé- rence/l’intérieur de son complémentaire.

2. Soit(Ei)_i∈Iune famille quelconque d’ensembles,F =T

i∈IEi,G=S

i∈IEi. Déterminer l’inclusion entre F¯ et( ¯Ei)_i∈I puis celle entreG¯ et ( ¯Ei)_i∈I . Déterminer de même l’inclusion entre Int(F)et(Int(Ei))_i∈I puis celle entre Int(G) et (Int(Ei))_i∈I. Que dire de plus si l’ensemble d’indices I est fini ? Trouver un contre-exemple avec un ensembleIinfini.

3. On définit un sous-ensembleAdeR² en posant

A={(x, y)∈R²:x²+y²≤2} \ {(x, y)∈R²: (x−1)²+y²≤1}.

Déterminer l’intérieur, l’adhérence et la frontière deA.

Indications.Comme bien souvent en mathématiques, faire un dessin permet de deviner les réponses et doit impérativement être la première étape lors de la résolution de l’exercice !

Rappelons que par optimalité (au sens de l’inclusion) de l’intérieur et de l’adhérence, il y a dans chaque cas une inclusion qui est toujours facilement démontrée (par ex., un fermé contenantEcontient toujoursE). C’est¯ l’égalité ensembliste (autrement dit, l’inclusion réciproque) qui est plus difficile à démontrer. Pour ce faire, on supposera par l’absurde que le candidat n’est pas optimal et on étudiera les éléments xainsi obtenus.

Pour la dernière question, on utilisera d’abord le fait que, pour deux ensembles quelconques de R² E et F, E\F =E∩(R²\F). On remarquera aussi que déterminer l’intérieur et l’adhérence permet d’obtenir directement la frontière par l’égalité∂A= ¯A\Int(A).

Exercice 1.5. Montrer que le support d’une suite convergente de Rⁿ et sa limite forment un sous-ensemble compact deRⁿ.

Indications. Pour montrer que cet ensemble est fermé, se donner une suite convergente à valeurs dans cet ensemble. Écarter le cas trivial d’une suite stationnaire. Montrer alors que, dans tout voisinage de la limite de cette suite, il existe une infinité (dénombrable) de points distincts de l’ensemble. Réordonner cette infinité dénombrable pour en faire une sous-suite extraite de la suite de départ et obtenir ainsi la valeur de la limite de la suite qu’on s’est donné initialement.

Exercice 1.6. Montrer que les ensembles suivants ne sont pas connexes :

A={(x, y)∈R²:x²+y²<1}\{(x, y)∈R²:x= 0, |y| ≤1}, Z, Q.

Indications.PourA, faire un dessin puis vérifier queAs’écrit exactement comme la réunion disjointe de deux ouverts, ce qui permet de conclure par la définition d’ensemble connexe.

Pour ZetQ, on peut utiliser l’équivalence entre connexité et convexité en dimension1.

PourZ, enfin, on peut aussi considérer la fonction deZ→ {0,1}qui a un entier relatif associe1s’il est positif, 0 s’il est strictement négatif, et utiliser une définition équivalente de la connexité.

Exercice 1.7. Soient C₁ et C₂ deux parties ouvertes connexes deRⁿ telles queC₁∩C₂ 6=∅. Montrer que C₁∪C₂ est connexe. Étudier la réciproque.

Indications.Se donner deux pointsxet y deC1∪C2 et construire directement la ligne brisée les joignant.

Exercice 1.8. Un ensemble C⊂Rⁿ est dit connexe par arcs si pour tousa, b∈C, il existe une application continueγ: [0,1]7→Rⁿ telle queγ([0,1])⊂C,γ(0) =aetγ(1) =b.

1. Montrer :C convexe=⇒Cconnexe par arcs =⇒Cconnexe. On supposera C ouvert pour simplifier.

2. Montrer par un exemple qu’un ensemble connexe par arcs n’est pas nécessairement convexe.

Remarque : on signale au passage qu’il existe des ensembles¹ connexes mais non connexes par arc. Les deux notions ne sont donc pas équivalentes !

Indications.

1. La première implication est aisée, même dans le cas oùC n’est pas ouvert.

Pour la seconde implication, on peut, par exemple, procéder par l’absurde : on se donne un ouvert C non-connexe et connexe par arcs. Il existe deux pointsxetydeC tels que toute ligne brisée les joignant ne soit pas contenue dansC. Mais par connexité par arcs, il existe aussi un chemin continuγ([0,1])⊂C les joignant. On construit ensuite une suite de subdivisions de ce chemin de plus en plus fines. Cela induit une suite de lignes brisées qui converge uniformément vers le cheminγ([0,1]).

À chaque raffinement de la subdivision, on associe un point de la ligne brisée correspondante qui ne soit pas dans C. Cela donne une suite de points dans le ferméRⁿ\C. Par convergence uniforme des lignes brisées, l’adhérence de la réunion des lignes brisées est un ensemble fermé et borné, donc compact. Donc à extraction d’une sous-suite près on peut supposer que la suite de points dansRⁿ\C qu’on a construit converge, et sa limite est donc elle-même dansRⁿ\C.

On vérifie ensuite que cette limite est bien un point deγ([0,1]), ce qui donne une contradiction.

2. Faire un dessin !

Remarque : il y a énormément de remarques à faire sur l’implication connexité par arcs implique connexité (question classique sur la connexité).

D’abord, pour les ensembles ouverts deRⁿ, c’est en fait une équivalence ! Pour les ensembles non-ouverts, elle reste vraie mais la réciproque ne tient plus.

1. Plus ou moins monstrueux.

La preuve ci-dessus repose réellement sur l’hypothèse simplificatrice C ouvert. Il existe (évidemment) des preuves du résultat dans le cas général. Ces preuves ne sont pas forcément plus difficiles mais utilisent souvent un résultat plus avancé sur la connexité qui n’est pas dans votre cours : les ensembles connexes sont exactement les ensembles tels que toute fonction continue de {0,1} dans l’ensemble en question soit constante.

Exercice 1.9. Soitk · kune norme quelconque surRⁿ et K=B(0,1) sa boule unité fermée.

1. Montrer queK est non-vide, convexe, compacte et invariante par la symétrie centralex7→ −x.

2. Trouvernautres invariances, deux à deux distinctes, dans le cas particulier d’une normek · kp,p≥1.

Indications.

1. La norme étant quelconque, on n’a de toute façon que 3 outils possibles : les trois propriétés de la définition de la norme.

2. Se référer au dessin des boules unités dansR² si nécessaire.

Exercice 2.1. Déterminer et représenter l’ensemble de définition des fonctions suivantes : f₁: (x, y)7→

r2x+ 3

y−2 ; f₂: (x, y)7→ln(x+y+ 1) ; f₃: (x, y)7→ ln(1 +x)−ln(1 +y) x²−y² ; f₄: (x, y)7→

x y

y

x ; f₅: (x, y)7→ 1

cos(x−y) ; f₆: (x, y, z)7→tan(p

x²+y²+z²).

Indications.Faire attention au sens à donner àf4(x, y).

Exercice 2.2. Les sous-ensembles deR² suivants sont-ils ouverts ? fermés ? compacts ? 1. A={(x, y)∈R²:x²−sin(y)≤4}

2. B={(x, y)∈R²:x³−4e^y>4}

3. C={(x, y)∈[0,1]²: cos(x)≥0}

Indications.Pour montrer qu’un fermé est compact, il faut montrer qu’il est borné ; étudier la bornitude des ensembles A,B et C ne devrait pas être un problème.

Pour ce qui est de fermé/ouvert, traitons un quatrième exemple pour donner un modèle de rédaction.

Montrons que l’ensemble des matrices inversibles deMn(R)est un ouvert¹. Pour commencer, soitf :Rⁿ

2 →Rl’application qui, à un vecteurv= (vk)1≤k≤ndeRⁿ

2 associe le déterminant de la matriceV = (Vi,j)1≤i,j≤n avecVi,j=v_(i−1)n+j².

D’après les formules du cours d’algèbre linéaire,f est une fonction polynomiale en les éléments deV, c’est-à-dire en les coordonnées dev, et donc continue.

Ensuite, GL_n(R)s’écrit comme

{v∈Rⁿ

2 |f(v)6= 0}=f⁻¹(R^?).

Or R^? est un ouvert, doncf étant continue, l’ensemble des antécédents deR^? parf est un ouvert lui-même.

Exercice 2.3. SoitK1etK2deux compacts deRⁿ. Montrer qu’il existex∈K1ety∈K2tels qued(K1, K2) = d(x, y), oùddésigne la distance euclidienne.

Précision : on rappelle que la distance entre deux ensembles E et F deRⁿ est définie comme d(E, F) = inf{d(x, y)| (x, y)∈E×F}.

Indications. Commencer par vérifier que le produit cartésienK₁×K₂ est lui-même compact. On rappelle qu’une fonction continue, définie sur un compact et à valeurs réelles atteint ses bornes (voir cours).

1. C’est un résultat un peu plus amusant quand même !

2. Rappelons que la correspondance entreV etv est classique et, si nécessaire, bijective et continue (voir l’introduction de n’importe quel cours d’algèbre linéaire).

Exercice 2.4. (Cours)Soitf :Rⁿ→R^mune application continue. Montrer que l’image parf d’un ensemble compact est compacte.

Indications. Vérifier qu’un produit cartésien fini de compacts est un compact et procéder composante par composante en utilisant le résultat de cours pourm= 1.

Il peut être souhaitable de redémontrer, en guise d’exercice, le résultat de cours susmentionné.

Exercice 2.5. Soitf :Rⁿ→Rune application continue.

1. Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes : (a) ∀M >0,∃R >0 tel que|x|> R=⇒ |f(x)|> M.

(b) Pour toute partie bornéeB deR,f⁻¹(B)est une partie bornée de Rⁿ. (c) Pour toute partie compacteKdeR,f⁻¹(K)est une partie compacte deRⁿ.

2. On suppose dans cette question quef est strictement positive et telle quef(x)→+∞quand|x| →+∞.

La fonctionf admet-elle un minimum ? Que peut-on en dire ? Indications.

1. On peut montrer que (a) implique (b) en supposant par l’absurde (a) et non (b). (Il peut être commode de passer par la contraposée de (a)). On peut montrer (b) implique (c) très directement. Enfin on peut montrer (c) implique (a) directement (encore une fois avec la contraposée de (a)).

2. Peut-on faire le lien avec la question précédente ? Se demander à quel point l’hypothèse de positivité de f est nécessaire pour conclure.

Exercice 2.6. On munitRⁿ,n≥2, d’une norme quelconquek · k. SoitT une application linéaire,T ∈ L(Rⁿ).

1. L’applicationRⁿ →R,x7→ kT(x)kest-elle continue surRⁿ?

2. La sphère unitéS :={x∈Rⁿ:kxk= 1} est-elle fermée/ouverte dansRⁿ? Est-elle bornée ? 3. En déduire, en argumentant avec précision, que la quantité|||T|||= max

kxk=1kT(x)kest bien définie.

4. Montrer :∀y∈Rⁿ\{0}, kT(y)k ≤ |||T|||kyk(on utilisera la linéarité deT).

5. En déduire :sup

y6=0

kT(y)k

kyk ≤ |||T|||, puis qu’en fait c’est une égalité(en utilisant la question 3).

Indications.

1. Penser composition.

2. On peut soit passer par les définitions d’ouvert et fermé soit par la caractérisation par les fonctions continues. La bornitude est évidente.

3. Penser fonction continue et compact.

4. Comme dans n’importe quel cours d’algèbre linéaire.

5. Pas de difficulté.

Exercice 2.7. Étudier l’existence des limites suivantes : (a) lim

(x,y)→(0,0)

x²y

x+y ; (b) lim

(x,y,z)→(0,0,0)

xyz+z³

2x³+yz² ; (c) lim

(x,y)→(0,0)

|x|+|y|

x²+y² ; (d) lim

(x,y)→(0,0)

x⁴y

x²−y² ; (e) lim

(x,y,z)→(0,0,0)

xy+yz

x²+ 2y²+ 3z² ; (f) lim

(x,y,z)→(0,0,0)

xyz x+y+z.

Indications.Globalement, il y a deux manières de montrer l’existence d’une limite pour des fonctions expli- cites : en utilisant l’équivalence des normes dans Rⁿ ou, dans R² et pour une limite en(0,0), en passant en coordonnées polaires (et il faut bien comprendre que ces deux manières se confondent, du fait du lien entre coordonnées polaires et k · k₂!).

Il n’y a par contre qu’une seule manière de montrer l’inexistence d’une limite : construire deux « chemins » (x, y) = (x, f1(x)) et (x, y) = (x, f2(x)) tels que la fonction, évaluée en ces deux chemins, ait deux limites différentes. C’est une contradiction de l’unicité de la limite. Le premier chemin est en général aussi simple que possible (typiquementf1(x) =x). Le second doit être plus astucieux et utiliser la forme particulière de la fonction. Dans R² et pour une limite en(0,0), il est possible de chercher un chemin en coordonnées polaires (r, θ) = (r, f(r)).

Les résultats attendus sont les suivants : (a) N’existe pas.

(b) N’existe pas.

(c) Existe et vaut +∞.

(d) N’existe pas.

(e) N’existe pas.

(f) N’existe pas.

Exercice 2.8. Soitf :R²\ {(0,0)} →Rdéfinie parf(x, y) = x²y²

x²y²+ (x−y)². Démontrer que

x→0lim lim

y→0f(x, y) = lim

y→0lim

x→0f(x, y) = 0 et que lim

(x,y)→(0,0)f(x, y)n’existe pas.

Indications.Les deux premières limites (imbrications de limites dansR) se calculent directement.

La limite dans R² n’existe pas à partir du moment où on trouve un « chemin » (x, y) = (x, g(x)) tel que f(x, g(x))ne tende pas vers0. Faire simple !

Exercice 2.9. Étudier la continuité des fonctions suivantes définies surR²par 1. f1(x, y) = xy

x²+y² si(x, y)6= (0,0)etf1(0,0) = 0; 2. f2(x, y) =x³+y³

x²+y² si(x, y)6= (0,0)etf2(0,0) = 0.

On étudiera également la continuité des applications partielles au point (0,0).

Indications.

1. Peut-on utiliser l’équivalence des normes pour en déduire le résultat ? Si non, y a-t-il un « chemin » (x, y) = (x, f(x)) particulier (puisqu’on est dans R² et au voisinage de (0,0), on peut passer par les coordonnées polaires,(r, θ) = (r, f(r))) qui donne une limite différente def1(0,0) = 0?

2. Mêmes questions.

Se rappeler du lien entre continuité de la fonction et continuité des fonctions partielles. Se rappeler aussi de la définition des fonctions partielles et donc de ce que signifie leur continuité.

Exercice 2.10. Prolonger par continuité en (0,0) la fonction g : R²\ {(0,0)} → R définie par g(x, y) = xyln(x²+y²).

Indications. Bien lire la question : elle donne d’office la réponse quant à l’existence de la limite. Sachant ceci, il y a deux manières de calculer une limite pour des fonctions explicites : en utilisant l’équivalence des normes dans Rⁿ ou, dans R² et pour une limite en(0,0), en passant en coordonnées polaires (et il faut bien comprendre que ces deux manières se confondent, du fait du lien entre coordonnées polaires et k · k₂!).

Exercice 2.11. On définit la fonctionf surR²\ {(x, x) :x∈R} par f(x, y) =sinx−siny

x−y . Peut-on prolongerf en une fonction continue surR²?

Indications.Il y a deux manières qualitativement très différentes de traiter cet exercice.

Pour commencer, s’il y a une limite quand(x, y)→(x0, x0), qu’est-elle ? Ensuite, pour vérifier rigoureusement cette conjecture, on peut :

1. utiliser les formules de trigonométrie ;

2. observer, plus généralement, qu’il doit y avoir une preuve générale pour des fonctions de ce type où la fonctionsinest remplacé par une fonctiong quelconque (satisfaisant tout de même certaines hypothèses à déterminer). Observer ensuite que f(x, y) ressemble beaucoup à une quantité bien connue du cours d’analyse réelle et retrouver le théorème adéquat.

La seconde preuve est beaucoup plus longue mais présente l’avantage de s’appliquer à une bien plus large classe de fonctions¹.

Exercice 3.1. Calculer les dérivées partielles des applications de l’exercice 2.1, à savoir : f1: (x, y)7→

r2x+ 3

y−2 ; f2: (x, y)7→ln(x+y+ 1) ; f3: (x, y)7→ ln(1 +x)−ln(1 +y) x²−y² ; f4: (x, y)7→

x y

y

x ; f5: (x, y)7→ 1

cos(x−y) ; f6: (x, y, z)7→tan(p

x²+y²+z²).

Indications.Les résultats à obtenir sont :

∂_xf₁(x, y) =

(y−2)

r2x+ 3 y−2

⁻¹ ,

∂yf1(x, y) = q_2x+3

y−2

4−2y,

∂xf2(x, y) =∂yf2(x, y) = 1 x+y+ 1,

∂xf3(x, y) =

x²−y²

x+1 −2x(ln(1 +x)−ln(1 +y)) (x²−y²)² ,

∂yf3(x, y) =

y²−x²

y+1 + 2y(ln(1 +x)−ln(1 +y)) (x²−y²)² ,

∂xf4(x, y) =−y x²

x y

^y_x ln

x y

−1

,

1. Et de ne pas nécessiter une connaissance par cœur du formulaire de trigo. . .

∂_yf₄(x, y) = 1 x

x y

^y_x ln

x y

−1

,

∂_xf₅(x, y) = tan(x−y) cos(x−y),

∂yf5(x, y) = tan(x−y)

−cos(x−y),

∂xf6(x, y, z) = x px²+y²+z²cosp

x²+y²+z²²,

∂yf6(x, y, z) = y px²+y²+z²cosp

x²+y²+z²²,

∂zf6(x, y, z) = z px²+y²+z²cosp

x²+y²+z²².

Exercice 3.2. Que peut-on dire du domaine de définition des dérivées partielles des fonctions f₁ et f₂ de l’exercice 2.9, à savoir :

1. f₁(x, y) = xy

x²+y² si(x, y)6= (0,0)etf₁(0,0) = 0; 2. f₂(x, y) =x³+y³

x²+y² si(x, y)6= (0,0)etf₂(0,0) = 0? Calculer ces dérivées partielles là où elles existent.

Ces fonctions sont-elles différentiables en(0,0)?

Indications. Bien se remmémorer la définition d’une dérivée partielle en un point. Les dérivées partielles peuvent exister même si la fonction n’est pas continue ! Ne pas interprêter l’énoncé trop vite par habitude de l’analyse d’une seule variable et réfléchir avant de se lancer !

En-dehors de(0,0), les dérivées partielles sont clairement définies et leur calcul ne doit pas être un problème.

On peut utiliser les propriétés de symétrie def1et f2 pour aller plus vite.

Si les fonctions sont différentiables, que valent leurs différentielles ? Une fois ces candidates établies et nommées, par exemple, L₁ etL₂, vérifier la différentiabilité, c’est étudier la convergence vers 0de

fi(0 +h,0 +k)−fi(0,0)−Li(h, k) k(h, k)k

quand (h, k)→(0,0). Une question à se poser : dans l’expression ci-dessus, de quelle norme s’agit-il ?

Exercice 3.3. (Cours) SoientU un ouvert deRⁿ et a∈U.

1. Rappeler la définition d’une applicationf :U →Rdifférentiable ena(on pourra commencer par le cas n= 2).

2. Montrer que sif :U →Rdifférentiable ena, alorsf est continue ena.

3. Soitg:U →R^m une fonction différentiable ena. Expliquer pourquoi les coefficients du développement limité à l’ordre 1 deg enasont les dérivées partielles deg ena.

Indications.Reprendre son cours si nécessaire.

Exercice 3.4. On définit dans le plan l’ensembleΓ ={(x, y)∈R²:x⁶+ 3x²y²+y⁴= 64}.

1. Montrer queΓest un compact deR².

2. Montrer queΓadmet une droite tangente en(2,0), dont on déterminera l’équation.

3. La courbeΓ admet-elle des tangentes horizontales ? verticales ? Indications.

1. Comment montre-t-on qu’un tel ensemble est un fermé ? Pour montrer qu’il est borné, considérer la limite quandk(x, y)k →+∞dex⁶+ 3x²y²+y⁴.

2. Après avoir vérifié que (2,0) ∈ Γ, si l’on ne connait pas la formule générale pour la tangente à une telle courbe, on pourra se demander comment généraliser la formule donnant la tangente à une courbe Γ⁰ d’équation y =f(x)en un point(a, f(a)), qui est pour rappel la droite∆⁰ d’équation f⁰(a)x−y = f⁰(a)a−f(a). Pour ce faire, on pourra voirΓ⁰comme la ligne de niveau0de la fonctiong(x, y) =f(x)−y puis trouver un vecteur normal à la droite∆⁰ ainsi qu’un point particulier de∆⁰¹.

3. Découle naturellement des observations de la question précédente.

Exercice 3.5. Soient U un ouvert deRⁿ,a∈U et v∈Rⁿ. On dit qu’une fonctionf :U →Rest dérivable enasuivantv si

lim

t→0, t6=0

f(a+tv)−f(a)

t existe.

Dans ce cas, ce nombre est appelé dérivée def enasuivantv et est notéf_v⁰(a). On suppose dans la suite que f est dérivable enasuivantv.

1. Soitφ:R→Rdéfinie par φ(t) =f(a+tv). Que peut-on dire deφ? À quoi correspondent les dérivées partielles def si elles existent ?

2. Soit f : R² →R définie par f(x, y) = y²/x si x 6= 0 et f(0, y) = y, pour tout y ∈ R. Montrer que f est dérivable au point (0,0) suivant tout vecteur de v ∈ R². Calculer f_v⁰(0,0). L’application f est-elle différentiable en(0,0)?

3. Supposonsf différentiable ena. Montrer que, pour tout vecteurv= (v₁, . . . , v_n), f_v⁰(a) =

n

X

i=1

∂f

∂xi

(a)vi=∇f(a)·v.

4. SoitS(0,1) ={v∈Rⁿ:kvk= 1}la sphère unité de Rⁿ pour la norme euclidienne. Notons M = sup

v∈S(0,1)

f_v⁰(a).

Montrer que M est en fait un maximum atteint en un vecteur v ∈ S(0,1) que l’on peut expliciter et donner la valeur deM. Donner une interprétation géométrique.

5. Vous êtes sur une montagne dont la surface est donnée par l’équationz= max(−x²−y²+ 1800,0), au pointA de coordonnées(20,20,1000). Quelle direction devez-vous choisir pour atteindre le sommet au plus vite ?

Indications.

1. Voir cours.

2. Bien observer qu’il s’agit d’étudier la limite, quandt →0, de ^f(tv)_t . Puis se remmémorer que si f est différentiable en(0,0), alors elle y est également continue.

3. Utiliser la définition de la différentielle.

4. Bien remarquer qu’il s’agit de la sphère unité pour la norme euclidienne. La norme euclidienne vérifie une propriété fameuse que les autres normes ne vérifient pas nécessairement et qui permet d’exploiter un peu plus l’expression démontrée à la question précédente, quelle est-elle ?

1. On peut trouver, exactement de la même manière, l’équation du plan tangent, quand il existe, à une surface d’équation h(x, y, z) = 0. On peut même pousser la généralisation en dimensionnet obtenir l’équation de l’hyperplan tangent à une surface h

(xi)_1≤i≤n

= 0.

5. Ne pas se laisser embrouiller par lemax, qui est complètement superflu au voisinage deA. Poser ensuite f(x, y) =−x²−y²+ 1800. Interprêter mathématiquement « atteindre le sommet au plus vite » comme

« avoir la plus forte croissance en altitude possible dans l’immédiat »¹, tout en se rappelant que l’altitude est exactementf(x, y)et que la croissance de f en(20,20)dans une certaine direction² v= (v₁, v₂)∈ S(0,1)est précisémentf_v⁰(20,20).

Exercice 3.6. Définition : on dit d’une fonctionf :Rⁿ →R^p qu’elle est homogène de degrés >0 si :

∀λ >0, ∀x∈Rⁿ, f(λx) =λ^sf(x).

Soits >0etf :R²→Rune fonction homogène de degréset de classeC¹. Montrer que les dérivées partielles def sont homogènes de degré s−1et que f vérifie l’équation d’Euler, c’est-à-dire que pour toutx∈R²,

sf(x) =x1

∂f

∂x₁(x) +x2

∂f

∂x₂(x).

À l’aide la fonction φ : λ 7→ λ^−sf(λx), montrer que la réciproque est vraie également (c’est-à-dire, toute solutionC¹de l’équation d’Euler ci-dessus est homogène de degré s).

Indications.Très concrètement, quelles opérations/manipulations peut-on faire surf? En particulier, quelles opérations conduisant à des dérivées partielles ?

Réponse : dériver !

Question subsidiaire : combien y a-t-il de variables par rapport auxquelles on peut dériver dans ce problème ? Indication supplémentaire si la précédente ne suffit pas : écrire l’égalitéf(λx) =λ^sf(x)sous la formeg(λ, x) = h(λ, x).

Pour la réciproque : connaissant le résultat, à quoi s’attend-on vis-à-vis de la fonctionφ? Comment exploiter cette intuition ?

Exercice 3.7. Soithune fonction R² → Radmettant des dérivées partielles surR² par rapport à chacune de ses deux variables. Donner l’expression des dérivées partielles des fonctions suivantes à l’aide de ∂1het de

∂2h:

f(x, y) =h(x−y, x+y), g(x, y) =h(x²+y², xy).

Indications. Rappel sur la formule de la chaine : pour trois fonctions a, b et c, compatibles vis-à-vis de la composition de sorte quea◦b=c, on a

Dc(X) =Da(b(X)).Db(X).

1. Un modélisateur attentif remarquera que cette approche est particulièrement naïve et peut aisément être mise en défaut, par exemple en cachant des crevasses sur le trajet de plus forte pente, ou encore en prenant en compte le fait que la vitesse du promeneur décroit quand le dénivelé augmente. Par ailleurs, insistons sur le fait que le gradient ne pointe pas a priori vers le maximum de la fonction.

2. Une direction à deux dimensions car le promeneur ne peut pas s’envoler ! Il est obligé de se déplacer sur le sol de la montagne qui est localement une surface 2D (ce genre d’intuition géométrique conduit à définir ce qu’on appelle les sous-variétés différentielles). En d’autres termes, la question que se pose le promeneur en regardant sa carte IGN est « dois-je aller plutôt au nord, au sud, à l’est ou à l’ouest ? », qui est bien une question d’orientation 2D. On peut donc voir la sphère unité euclidienne de R² comme une rose des vents !

Exercice 3.8. Soit f une fonction R² → Rqui admet sur R² des dérivées partielles d’ordre 1. Si g(r, θ) = f(rcosθ, rsinθ), donner l’expression de ∂g

∂r et ∂g

∂θ en fonction des dérivées partielles def.

Indications. Rappel sur la formule de la chaine : pour trois fonctions a, b et c, compatibles vis-à-vis de la composition de sorte quea◦b=c, on a

Dc(X) =Da(b(X)).Db(X).

Exercice 3.9. Soit f : R³ → R une application différentiable sur R³ telle que ∂f /∂z = 0. En déduire l’expression générale de f.

Indications.Que dirait-on d’une fonctionf :R→Rtelle quef⁰= 0?

Exercice 3.10. (Cours) SoientU un ouvert deRⁿ eta∈U. Une fonctionf :U →Rest dite de classeC¹ en asi ses dérivées partielles existent et sont continues ena. Montrer qu’une applicationC¹enaest différentiable ena. Étudier la réciproque.

Indications. Voir cours. Toujours avoir un contre-exemple en tête pour ce genre de question. On peut construire un tel contre-exemple en repartant de la question similaire à une seule variable : trouver une fonction dérivable non-C¹.

Exercice 3.11. Soit h : R³ → R³ définie par h(x, y, z) = (e^2y +e^2z, e^2x+e^2z, x−y). Montrer que hest un C¹-difféomorphisme entre deux ouverts U ⊂ R³ et V ⊂ R³ que l’on déterminera. Expliciter la matrice jacobienne associée.

Indications.U etV ne sont pas uniques, on peut construire deux paires distinctes(U1, V1)et(U2, V2). Pour chacune de ces deux paires, on peut déterminer explicitement l’inverse deh. C’est exactement montrer queh (restreinte au départ à Ui et à l’arrivée à Vi) est bijective. Pour ensuite répondre entièrement à l’exercice, il ne reste qu’une vérification routinière à faire.

Poserh(x, y, z) = (u, v, w)et calculerv−uen fonction de wet y. En déduire l’expression dey en fonction de (u, v, w)(attention, c’est ici qu’il faut préciser les ouverts !) puis en déduire la suite de l’inversion.

Exercice 3.12. 1. Montrer que les fonctions suivantes sont desC¹-difféomorphismes, respectivement de ]0,+∞[×]0,2π[→R²\([0,+∞[×{0})

et de

]0,+∞[×]0,2π[×R→R³\([0,+∞[×{0} ×R) : (r, θ)7→(rcosθ, rsinθ),

(r, θ, z)7→(rcosθ, rsinθ, z).

Pour chacune de ces fonctions, calculer la jacobienne associée et vérifier que le jacobien est toujours non-nul. Comment appelle-t-on ces changements de coordonnées ?

2. SoitA∈ Mn(R). À quelle condition nécessaire et suffisante la fonction de Rⁿ →Rⁿ,x7→A.x, est-elle unC¹-difféomorphisme ?

Indications.Exercice classique qui ne devrait poser aucun problème.

Exercice 3.13. On poseΩ =R²\ {(0,0)}. Soitf :R²→Rla fonction définie par

f(x, y) =







xyx²−y²

x²+y² si(x, y)∈Ω 0 si(x, y) = (0,0).

1. Montrer quef est différentiable surΩet calculer sa différentielle.

2. Montrer quef est différentiable en(0,0)et que sa différentielle est nulle.

3. Montrer quef admet en tout point des dérivées partielles secondes ∂²f

∂x∂y et ∂²f

∂y∂x, et calculer la valeur de ces dérivées en(0,0). Que peut-on en déduire pour la continuité de ces dérivées partielles secondes en (0,0)?

Indications.

1. Différentiabilité triviale. Les dérivées partielles sont (sans préciser, volontairement, laquelle est laquelle) : y(x⁴+ 4x²y²−y⁴)

(x²+y²)² , −x(y⁴+ 4x²y²−x⁴) (x²+y²)²

2. Calculer les dérivées partielles par la définition, utiliser la définition de la différentiabilité et conclure le calcul par équivalence des normes. La question est posée de manière piégeuse : on détermine en fait un candidat pour la différentielle avant de montrer que la fonction est différentiable, comme toujours d’ailleurs.

3. Sur Ω, c’est encore une fois trivial (on ne demande pas de les calculer sur Ω, inutile de s’embarquer dans des calculs superflus !). Le calcul des dérivées partielles secondes croisées en (0,0) se fait comme précédemment. On conclut à l’aide d’un théorème du cours sur les fonctions de classeC².

Exercice 3.14. 1. SoientI un intervalle deRetf :I→Rune application convexe.

(a) Montrer que pour tousa, b, c∈I tels quea < b < c, f(b)−f(a)

b−a ≤ f(c)−f(a)

c−a ≤ f(c)−f(b) c−b .

On pourra commencer par faire un dessin. En déduire que pourx0∈I, l’applicationx7→ f(x)−f(x₀) x−x0

est croissante surI\{x0}.

(b) En déduire que f admet une dérivée à gauche et à droite en tout point x₀ ∈ ˚I, puis que f est continue sur˚I.

2. Soitf :Rⁿ→Rune application convexe,n≥2.

(a) Soient aet v deux éléments quelconques de Rⁿ. Montrer quet 7→ f(a+tv)admet une dérivée à droite et à gauche en0.

(b) Soitu∈Rⁿ à coordonnées positives tel que kuk1= 1. Montrer par récurrence que f(u)≤

n

X

i=1

uif(ei).

En déduire quef est bornée sur la sphère unité pour la normek · k1.

(c) Soit u ∈ Rⁿ tel que kuk1 = 1 et considérons φ : [−1,1] → R définie par φ(λ) = f(λu)−f(0).

Montrer que φ est convexe. En déduire qu’il existe M > 0 tel que, pour tout u ∈ Rⁿ de norme kuk1= 1,

−λM ≤f(λu)−f(0)≤M λ ∀λ∈[−1,1].

(d) En déduire quef est continue à l’origine, puis qu’elle est continue sur toutRⁿ. Indications.

1. (a) Écrirebsous la forme ta+ (1−t)c, avect∈]0,1[.

(b) On rappelle qu’une fonction monotone bornée converge.

2. (a) On est ramené à une fonction convexe deR→R.

(b) On peut généraliser sans difficultés l’inégalité pour les barycentres aux fonctions convexes deRⁿ→ R. Puis on voitucomme un barycentre de la famille (0, e1, e2, . . . , en).

On peut ensuite répéter le procédé pour chacune des2ⁿ familles(0, 1e1, . . . , nen)avec(i)_1≤i≤n∈ {−1,1}ⁿ et obtenir ainsi la borne sur la sphère unité pour la norme1.

(c) La convexité deφest aisément démontrée. On peut ensuite appliquer les résultats sur les fonctions convexes réelles à celle-ci tout en remarquant queφ(0) = 0.

(d) Pour obtenir la convexité sur toutRⁿ, on peut translater l’origine en posantf_a(u) =f(u+a).

Exercice 4.1. Soitf :Rⁿ→Rune application convexe eta∈Rⁿ tel que

∂f

∂x_i(a) = 0, 1≤i≤n.

Montrer queaest un minimum pour la fonction f. Pour cela, on pourra commencer parn= 1.

On pourra s’aider des résultats et des indications de l’Exercice 3.14.

Indications.Le casn= 1se déduit facilement de la croissance d’une certaine fonction.

Le casn≥2peut se faire en posantφ_v:t7→f(a+tv)pourv∈Rⁿ tel quekvk1= 1et en se ramenant au cas n= 1.

Attention, on ne sait pas que la dérivée def enasuivantvest nulle, on sait que lesndérivées partielles def enale sont ; c’est différent ! Mais en utilisant finement le fait quekvk1= 1, on va pouvoir en fait montrer bel et bien que la dérivée def enasuivantvest nulle.

Exercice 4.2. Écrire le développement limité à l’ordre 2 des fonctionsf au point(x0, y0)et déterminer si le point est un point critique et, si oui, s’il s’agit d’un minimum local, d’un maximum local ou d’un point selle :

1. f(x, y) = sin(x+ 2y), (x0, y0) = (0,0); 2. f(x, y) = 1

x²+y²+ 1, (x₀, y₀) = (0,0); 3. f(x, y) =e^(x−1)2cosy, (x0, y0) = (1,0).

Indications.On a :

1. Df(x, y) = cos(x+ 2y) 2 cos(x+ 2y)

,D²f(x, y) =

−sin(x+ 2y) −2 sin(x+ 2y)

−2 sin(x+ 2y) −4 sin(x+ 2y)

. 2. Df(x, y) =

−_(x2+y^2x2+1)² −_(x2+y^2y2+1)²

,D²f(x, y) =

8x²−2(x²+y²+1) (x²+y²+1)³

8xy (x²+y²+1)³ 8xy

(x²+y²+1)³

8y²−2(x²+y²+1) (x²+y²+1)³

! . 3. Df(x, y) =

2(x−1)e^(x−1)2cosy −e^(x−1)2siny

,

D²f(x, y) = 2e^(x−1)2cosy(1 + 2(x−1)²) −2e^(x−1)2(x−1) siny

−2e^(x−1)2(x−1) siny −e^(x−1)2cosy

! .

Remarque : est-il vraiment nécessaire de calculer les Hessiennes en toute généralité ?

Exercice 4.3. Trouvez les points critiques des fonctions suivantes et déterminez si ce sont des minima locaux, des maxima locaux ou des points selle :

1. f(x, y) =x³+ 6x²+ 3y²−12xy+ 9x; 2. f(x, y) = sinx+y²−2y+ 1;

3. f(x, y, z) = cos 2x·siny+z²; 4. f(x, y, z) = (x+y+z)². Indications.On a :

1. Df(x, y) = 3 x²+ 4x−4y+ 3 2y−4x

,D²f(x, y) = 6

x+ 2 −2

−2 1

. 2. Df(x, y) = cosx 2y−2

,D²f(x, y) =

−sinx 0

0 2

. 3. Df(x, y, z) = −2 sin (2x) siny cos (2x) cosy 2z

D²f(x, y, z) =





−4 cos (2x) siny −2 sin (2x) cosy 0

−2 sin (2x) cosy −cos (2x) siny 0

0 0 2



.

4. Df(x, y, z) = 2 (x+y+z) 1 1 1

,D²f(x, y, z) = 2





1 1 1 1 1 1 1 1 1



.

Exercice 4.4. Soitf :R²→Rla fonction définie parf(x, y) =x³−3x(1 +y²).

1. Étudier les extrema locaux def.

2. SoitD={(x, y)∈R²:x²+y²≤1}. Montrer quef admet un maximumM et un minimumm surD.

3. Soit(x, y)∈D. Montrer que sif(x, y) =M ouf(x, y) =m, alorsx²+y²= 1.

4. Étudier la fonctiont7→f(cost,sint). En déduire les valeurs deM et m.

Indications.

1. ∇f(x, y) = 3

x²− 1 +y²

−2xy

et D²f(x, y) = 6

x −y

−y −x

. 2. Que peut-on dire de l’ensembleD?

3. « Simple »¹ déduction de la question 1. Bien comprendre ce qu’il se passe !

4. Étude de fonction réelle, certes un peu difficile. Penser aux astuces usuelles (isoler le terme dans la dérivée dont le signe est inconnu, etc.). On rappelle que

cos (t)²−sin (t)²= 2 cos (t)²−1 = cos (2t).

Exercice 4.5. Quel est le point du plan d’équation(2x−y+z= 16)le plus proche de l’origine ? On pourra montrer que l’étude de ce problème revient à déterminer le minimum d’une fonction de deux variables que l’on trouvera.

Indications.Soit(x, y, z)∈R³. Comment exprime-t-on la distance (euclidienne) entre ce point et l’origine ? Comment ensuite exploiter le fait qu’il s’agisse d’un point du plan ?

Exercice 4.6. Soit f(x, y) = x²+xy+y²−3x−6y. Montrer que f admet au plus un extremum. Écrire f(x, y) + 9comme la somme de deux carrés et en déduire quef admet−9comme valeur minimale.

1. et très classique !

Indications. Écrire f(x, y) + 9 comme la somme de 2 carrés se fait par la fameuse « forme canonique ».

Attention, il ne peut pas s’agir de la somme d’un carré n’impliquant que xet d’un autre carré n’impliquant que y à cause du terme xy. Il s’agit donc de d’abord « avaler » tous les termes dépendant d’une des deux variables y compris ce xy, ce qui créera nécessairement des termes dans l’autre variable, puis de transformer le reste en un carré de la seule variable restante.

On peut par exemple chercher une expression de la forme (αx+βy+γ)²+ (δy+ω)².

On peut ensuite calculer explicitement et très facilement les coordonnées du point où est atteint le minimum !

Exercice 4.7. Soitf la fonction définie surR²parf(x, y) =x²−xy². 1. Montrer que(0,0)est le seul point critique def.

2. Montrer que (0,0) n’est pas un extremum local mais que pourtant la restriction de f à toute droite passant par(0,0)admet en ce point un minimum local.

Indications.x7→x²(1−α²x)est équivalente au voisinage de0à x².

Pour montrer que (0,0) n’est pas un extremum local de f, il faut trouver un « chemin » y =g(x) tel que g :R7→Rsoit continue, satisfasseg(0) = 0, et tel quef(x, g(x))n’admette pas un minimum en0. Chercher ung polynomial afin de pouvoir mettre à profit ce qu’on sait sur les polynômes au voisinage de0.

Exercice 5.1. Pour les fonctions suivantes, déterminer, si cela a un sens, gradient, divergence et rotationnel : f(x, y, z) =x²+ 3xy, g(x, y, z) = (3x²+yz, x²+yzcosx,3), h(x, y, z) = (2x²+ 5z, e^z, xy).

Indications.Sont définis∇f, ∇ ·g, ∇ ∧g,∇ ·h,∇ ∧h. On doit obtenir :

∇f(x, y, z) =



 2x+ 3y

3x 0



,

∇ ·g(x, y, z) = 6x+zcosx,

∇ ∧g(x, y, z) =





−ycosx y 2x−yzsinx−z



,

∇ ·h(x, y, z) = 4x,

∇ ∧h(x, y, z) =



 x−e^z

5−y 0



.

Exercice 5.2. 1. Soit α ∈ R et a ∈ R³. Déterminer divergence et rotationnel des fonctions suivantes R³→R³ :

f(x) =αx, g(x) = x

|x|, h(x) =a∧x.

2. (a) Soit

(u, v)∈ C¹(R³,R)× C¹(R³,R³).

Démontrer la formule :

∇ ·(uv)(x) =∇u(x)·v(x) +u(x)∇ ·v(x),

(b) Calculer pour toutλ∈Rla divergence deg_λ:x7→ _|x|^xλ en utilisant l’égalité

|x|^λgλ(x) =x.

Retrouver en particulier la divergence de g. Pour quelle valeur de λ la divergence de gλ est-elle nulle ?

Indications.

1. Calculs faciles. Attention,gn’est pas différentiable (ni même continue) en0.

2. Il s’agit d’une généralisation de (uv)⁰ =u⁰v+uv⁰. La valeur deλ attendue pour annuler ∇ ·g_λ est un nombre entier strictement positif.

Exercice 5.3. Soita∈R³ etg∈ C¹(R³;R³). Exprimerdiv(a∧g)en fonction deaet rotg.

Indications.Après un calcul simple, on doit aboutir à−a·(∇ ∧g).

Exercice 5.4. Soientf, g∈ C¹(R³;R³). On pose (f· ∇)g=f1

∂g

∂x1

+f2

∂g

∂x2

+f3

∂g

∂x3

. 1. Expliquer, du point de vue du formalisme, la notation précédente.

2. Expliciter les coordonnées du vecteur(f · ∇)g.

3. Démontrer :∇(f·g) = (f· ∇)g+f∧rotg+ (g· ∇)f+g∧rotf. Indications.

1. Ce qu’il faut bien observer est qu’a priori ∇g n’a pas de sens. Donc (f · ∇)g ne peut pas être égal à f· ∇g!

2. Bien se demander quelle est la dimension de _∂x^∂g

i. 3. Il s’agit d’une généralisation de(uv)⁰=u⁰v+uv⁰.

Exercice 5.5. SoientU ={(x, y)∈R²:x >0}et V =]0,+∞[×]−^π₂,^π₂[. On définit la fonction Ψ : V → R²,

(r, θ) 7→ (rcosθ, rsinθ).

1. Montrer queU etV sont des ouverts deR²et queΨest de classeC¹et bijective deV surU. Déterminer Ψ⁻¹.

2. Soitf : U →Rde classeC¹surU. On pose

F(r, θ) =f ◦Ψ(r, θ) =f(rcosθ, rsinθ).

(a) Montrer quef est de classeC¹ surU et calculer ∂F

∂r et ∂F

∂θ en fonction de ∂f

∂x et ∂f

∂y. (b) Montrer que f vérifie l’équation

(E) a∂f

∂x(a, b) +b∂f

∂y(a, b) =p

a²+b² arctan b

a

∀(a, b)∈U si et seulement siF vérifie l’équation

(E⁰) ∂F

∂r(r₀, θ₀) =θ₀ ∀(r₀, θ₀)∈V.

(c) Déterminer toutes les fonctionsf : U →Rde classeC¹surU qui vérifient l’équation (E).

Indications.

1. U et V ouverts : peut se faire soit par la définition d’ensemble ouvert, soit par une fonction continue bien choisie.Ψde classe C¹ : trivial. Bijectivité et inverse : question classique qui ne doit pas poser de problème.

2. (a) Rappel sur la formule de la chaine : pour trois fonctions a, b et c, compatibles vis-à-vis de la composition de sorte quea◦b=c, on a

Dc(X) =Da(b(X)).Db(X).

(b) Simple déduction des questions précédentes.

(c) Sachant que F est C¹ sur l’ouvert connexe V, comment caractériser les fonctions F satisfaisant (E⁰)?

Exercice 5.6. SoitD={(x, y)∈R²:x >0}. On cherche les fonctionsf ∈ C¹(D;R)qui vérifient (E) x∂f

∂x +y∂f

∂y = 0 ∀(x, y)∈D.

1. Vérifier queϕ(x, y) =y/xest solution de(E).

2. Soitg∈ C¹(R;R). Montrer queg◦ϕest solution de(E).

3. Soitf une solution de(E). Montrer quef(u, uv)ne dépend que dev.

4. Donner l’ensemble des solutions de(E).

Indications.

1. Simple calcul.

2. Rappel sur la formule de la chaine : pour trois fonctionsa,betc, compatibles vis-à-vis de la composition de sorte quea◦b=c, on a

Dc(X) =Da(b(X)).Db(X).

3. La fonction (u, v) 7→f(u, uv), de classe C¹, définie sur l’ouvert connexe D, ne dépend que de v ssi sa dérivée partielle par rapport àuest nulle.

4. La question 3 est à comprendre comme une réciproque de la question 2. Sif(u, uv)ne dépend que dev, peut-on mettref sous la formeg◦ϕ?

Exercice 5.7. On cherche les fonctionsf :R²→Rtelles que

∂f

∂u(u, v) + 2u∂f

∂v(u, v) = 0 pour tout(u, v)∈R². (1) Soitφ:R²→R² l’application définie parφ(x, y) = (x, y+x²).

1. En calculant l’application réciproque, montrer queφ est bijective. Vérifier que φet φ⁻¹ sont de classe C¹.

2. Soitf :R²→Rune fonction de classeC¹. Posonsg=f◦φ.

(a) Montrer quegest de classeC¹.

(b) Montrer que f est solution de (1) si et seulement si ∂g

∂x = 0.

3. Soit f : R² → R une fonction de classe C¹. Montrer que f vérifie (1) si et seulement s’il existe une fonctionh:R→Rde classeC¹telle que f(u, v) =h(v−u²)pour tout(x, y)∈R².

Indications.

1. Expliciter l’application réciproque, c’est exactement montrer la bijectivité.

2. Rappel sur la formule de la chaine : pour trois fonctionsa,betc, compatibles vis-à-vis de la composition de sorte quea◦b=c, on a

Dc(X) =Da(b(X)).Db(X).

3. PuisquegestC¹etR²est connexe,∂xg= 0ssi il existe une fonctionh∈ C¹(R,R)telle queg(x, y) =h(y).

Remarque : la même méthode permet de déterminer les solutions de l’équation de transport à coefficients constants (voir cours). Elle peut être généralisée assez largement.

Exercice 5.8. Résoudre l’équation des cordes vibrantes : ∂²f

∂x² = ∂²f

∂y² à l’aide du changement de variables u= ^x+y₂ etv= ^x−y₂ (on suppose quef estC²).

Indications.Voir les exercices 5.5, 5.6, 5.7 pour la méthodologie générale. Il s’agit de vérifier que le changement de variables proposé induit bien un C¹-difféomorphisme, de trouver une égalité équivalente à l’équation des cordes vibrantes dans ces nouvelles variables, puis de traduire concrètement cette égalité équivalente pour obtenir l’ensemble des solutions.

Exercice 6.1. 1. Montrer que l’équationx⁵+ 3xy−y⁶ = 1 définit y comme une fonction implicite de x au point(1,0). On noteφcette application.

2. Retrouver la formule générale permettant de calculerφ⁰ au voisinage dex= 1. En déduireφ⁰(1)etφ⁰⁰(1).

Indications.

1. Poserf(x, y) =x⁵+ 3xy−y⁶−1 et chercher à appliquer àf le théorème des fonctions implicites.

2. Pour « montrer » queφest deux fois dérivable, il faut invoquer le raffinement du théorème des fonctions implicites qui dit que si f est de classe C^k, alorsφ l’est aussi. Ensuite, pour calculer φ⁰(1) et φ⁰⁰(1), il faut dériver deux fois avec la formule de la chaine l’égalitéf(x, φ(x)) = 0, vraie dans un voisinage de1.

Rappel sur la formule de la chaine : pour trois fonctionsa,betc, compatibles vis-à-vis de la composition de sorte quea◦b=c, on a

Dc(X) =Da(b(X)).Db(X).

Exercice 6.2. 1. Soitf :R²→Rdéfinie parf(x, y) =x²+y⁴−3xy+x−1. Montrer qu’on peut appliquer àf le théorème des fonctions implicites au voisinage du point(2,1).

2. Notons φ la fonction implicite. Montrer que φ est deux fois dérivable. En déduire un développement limité deφà l’ordre 2 au pointx= 2.

Indications.

1. Application directe du cours.

2. Pour « montrer » queφest deux fois dérivable, il faut invoquer le raffinement du théorème des fonctions implicites qui dit que sif est de classeC^k, alorsφl’est aussi. Pour obtenirφ⁰ etφ⁰⁰, il faut dériver deux fois avec la formule de la chaine l’égalité f(x, φ(x)) = 0, vraie dans un voisinage de 2. Rappel sur la formule de la chaine : pour trois fonctionsa,bet c, compatibles vis-à-vis de la composition de sorte que a◦b=c, on a

Dc(X) =Da(b(X)).Db(X).

Exercice 6.3. Montrer que les relations proposées définissent, au voisinage du couple (a, b) indiqué, une fonction implicite y=φ(x). Donner un développement limité à l’ordre 3 de φena.

1. f(x, y) =x³+y³−3xy−1 = 0,(a, b) = (0,1)