Chapitre 5 : Les fractions
Si je coupe un morceau en trois parties égales, j’obtiens un tiers de ce morceau.
Ce nombre ne peut pas s’écrire sous forme décimale. C’est un nombre rationnel.
1) Ecriture fractionnaire:
Une division peut s’écrire sous forme de fraction.
Exemple : numérateur 1 : 3 = 1
3
dénominateur
Dans une fraction, le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers.
La barre de fraction s’écrit SUR la grosse interligne.
1
3 se lit « 1 sur 3 » ou bien « 1 tiers ».
Quand le dénominateur est 10 ou 100 ou 1000…, on dit que la fraction est décimale comme par exemple 5
10 . 1
3 et 5
10 ne sont pas des nombres entiers, 1
3 n’est pas un nombre décimal, ils sont tous les deux rationnels.
2) Demi-droite graduée :
Une fraction peut représenter un partage.
Exemple : on partage un segment en 3 parties égales. Le premier morceau de segment représente 1
3 du segment de départ. On peut ainsi graduer une demi-droite :
0 1
3 1 4
3 2 3 4 x
Pour placer la fraction 4
3 , on partage l’unité en 3 et on prend 4 morceaux.
Sur la demi-droite graduée, les nombres sont rangés dans l’ordre, de gauche à droite, du plus petit au plus grand.
Le symbole «
<
» veut dire « est plus petit que » 13
<
23<
431
<
43<
2On peut toujours intercaler une fraction (un nombre rationnel) entre deux nombres. Mais il n’existe pas de nombre entier entre 1 et 2.
3) Egalité de deux fractions :
Exemple :
Exemple :
1
4 = 2
8 Le numérateur et le dénominateur de la fraction 1
4 ont été multipliés par 2.
1 4 =
1 x 2 4 x 2 = 2
8
C’est vrai dans « l’autre sens » : 2 8 =
2 x 1 2 x 4 = 1
4
Le numérateur et le dénominateur sont dans la table de 2.
C’est vrai pour 2, pour 3 et pour n’importe quel nombre différent de zéro.
Lorsqu'on multiplie ou divise le numérateur ET le dénominateur d’une fraction par un même nombre différent de zéro, on obtient une fraction égale.
Attention, on n’a pas le droit d’ajouter ou soustraire !
4) Pour simplifier une fraction :
On repère dans quelle table de multiplication se trouvent le numérateur et le dénominateur. On écrit cette multiplication et on barre le même nombre en haut et en bas. On essaie 2, 3 et 5 pour commencer.
Exemples : 8
10 =
2 x 4 2 x 5 = l4
5 9
12 =
3 x 3 3 x 4 =
l3 4
Remarques :
● On arrête de simplifier AVANT d’avoir une virgule. Le numérateur et le dénominateur d’une fraction doivent toujours être des nombres entiers.
● La calculatrice en mode « math » donne la fraction simplifiée au maximum.
Rappels :
● Les nombres divisibles par 2 se terminent par 0, 2, 4, 6 ou 8.
● Les nombres divisibles par 5 se terminent par 0 ou 5.
● La somme des chiffres d’un nombre divisible par 3 est dans la table de 3 ou est divisible par 3.
5) Comparaison de fractions
3
8 < 4
8
3 huitièmes est plus petit que 4 huitièmes
● Si les fractions ont le même dénominateur, la plus petite est celle qui a le plus petit numérateur.
● Si les fractions n’ont pas le même dénominateur, on les met au même dénominateur.
Exemple : Comparer 4 3 et
7 6 On les met au dénominateur 6 :
4 3 =
4 x 2 3 x 2 = 8
6 et 8 6 > 7
6 donc 4 3 > 7
6
Remarque : Pour comparer deux fractions, on peut aussi calculer leur écriture décimale en faisant la division.
6) Addition et soustraction de fractions :
k8 1 + 28 = 38
1 huitième de gâteau + 2 huitièmes de gâteau = 3 huitièmes de gâteau (et pas 3 seizièmes !)
Pour ajouter ou soustraire deux fractions qui ont le même dénominateur : On ajoute ou soustrait les numérateurs et on GARDE le DENOMINATEUR.
Exemples : l 1 8 + 2
8 = 1 + 2 8 = l3
8 et 3 8 – 2
8 = 3 – 2 8 = l1
8 Attention, on n’ajoute surtout pas les dénominateurs !
Pour ajouter ou soustraire deux fractions ayant un dénominateur différent, on les transforme pour avoir le même dénominateur
Exemple : A = 1 8 + 1
4 ● B = 2
3 + 1 4 A = 1
8 + 1 x 2
4 x 2k1 1k B = 2 x 4
3 x 4 + 1 x 3 4 x 3
A = 1 8 + 2
8 B = 8
12 + 3 12 A = 1 + 2
8 = 3
8 B = 11
12
Remarques :
● On n’ajoute surtout pas les dénominateurs !
● Attention, quand on transforme une seule des deux fractions à ne pas oublier de recopier l’autre !
+ =
Annexe : extrait du programme officiel 2016 :
Nombres rationnels
Fractions, fractions irréductibles, cas particulier des fractions décimales.
Comparer, ranger, encadrer des nombres rationnels.
Repérer et placer un nombre rationnel sur une droite graduée.
Montrer qu'il est toujours possible d'intercaler des rationnels entre deux rationnels donnés, contrairement au cas des entiers.
- Ordre sur les nombres rationnels en écriture décimale ou fractionnaire.
- Égalité de fractions.
Dès le début du cycle 4, les élèves construisent et mobilisent la fraction comme nombre qui rend toutes les divisions possibles. En 5e, les élèves calculent et comparent proportions et fréquences, justifient par un raisonnement l'égalité de deux quotients, reconnaissent un nombre rationnel.
