Un nouvel algorithme de calcul d une Base de Gröbner

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Base de Gr¨ obner

H. Lombardi Janvier 98

Equipe de Math´´ ematiques de Besan¸con. UMR CNRS 6623.

UFR des Sciences et Techniques. Universit´e de Franche-Comt´e. 25030 Besan¸con Cedex email : henri.lombardi@univ-fcomte.fr

R´esum´e

Nous donnons un nouvel algorithme de calcul d’une base de Gröbner d’un idéal dans un anneau de polynomes. Cet algorithme est de conception radicalement différente de l’algorithme de Buchberger. Il n’utilise ni divisions niS-polynomes. Il est basé sur le controle de la croissance du rang de matrices de Sylvester généralisées successives. Ces matrices sont définies de manière incrémentale en rajoutant à chaque étape de nouvelles colonnes et les lignes nécessaires. L’idée principale est de borner inférieurement et supérieurement les rangs des futures matrices en tant que fonctions du numéro de l’étape en cours, jusqu’à ce que ces fonctions co¨ıncident.

Classification AMS : 13P10, 12Y05, 15A03, 65F50

Mots clés : Bases de Gröbner, Algèbre linéaire, Matrices de Sylvester, Mathématiques Construc- tives.

Introduction

Nous donnons un nouvel algorithme de calcul d’une base de Gröbner d’un idéal dans un anneau de polynomes. Cet algorithme est de conception radicalement différente de l’algorithme de Buchberger (cf. [3], [4], [1]). Il n’utilise ni divisions niS-polynomes. Il est basé sur le controle de la croissance du rang de “matrices de Sylvester” successives.

Si A est une partie finie de k[x₁, . . . , x_r] nous d´efinissons A^[1] = A∪x₁A∪. . .∪x_rA and A^[n+1]= (A^[n])^[1].

Si G0 = [f1, . . . , fs] est une liste de polynomes de k[x1, . . . , xr] nous définissons Gn =G^[n]₀ . Ceci peut être considéré comme une matrice de Sylvester associée à G₀. Nous notons E_n le k-espace vectoriel engendré par G_n.

A partir de Gn nous définissons dans la section 2 une fonction SMICG0(n, m) qui vérifie SMIC(n, m)≤dim(E_m) pour toutm≥n. Nous appelons cette fonction minimum structurel de croissance, prévisible à l’étape npour l’étape m.

Nous définissons dans la section 3 une fonction SMACG0(n, m) qui vérifie SMAC(n, m) ≥ dim(E_m) pour tout m ≥ n. Nous appelons cette fonction maximum structurel de croissance, prévisible à l’étape npour l’étape m.

1

(2)

2 1 PR ÉLIMINAIRES Nous indiquons comment calculer ces fonctions et comment tester leur égalité en utilisant une triangulation sans échange de colonnes de la matrice G_n.

L’algorithme SMIC-SMAC est donné à la section 4. Il se résume en la triangulation des matrices Gn successives jusqu’à ce que le SMIC devienne égal au SMAC.

Le fait que ceci se produit bien est prouvé dans les sections5and7. La deuxième preuve est constructive et pourrait donc fournir des bornes pour le temps d’exécution de l’algorithme.

Diff´erentes questions techniques sont discut´ee dans la section6.

A priori notre algorithme pourrait réduire l’espace utilisé en mémoire lorsqu’on le compare

`

a l’algorithme de Buchberger.

Notre approche est basée sur l’algèbre linéraire bien controlée. Il est donc possible qu’elle soit en rapport étroit avec le travail de J.-C. Faugère qui a développé un nouvel algorithme efficace (FGB) pour calculer les bases de Gröbner et qui s’appuie sur des techniques d’algèbre linéaire et de gestion de la mémoire. Ces liens possibles seront plus clairs lorsque J.-C. Faugère publiera ses résultats.

1 Pr´ eliminaires

Nous introduisons d’abord quelques notations.

Notations 1 Soit kun corps.

– M_r désigne l’ensemble des monomes x^α =x^α₁¹. . . x^α_r^r en r variables. L’ensemble M_r est muni de l’ordre partiel naturel de la divisibilité. On notera x^α|x^β pour x^α divise x^β. Le degré totalα₁+· · ·+α_r de x^α est noté|α|. Le degré total d’un polynomef (le maximum des degrés totaux de ses termes) est noté totdeg(f).

– Un ordre admissible (i.e. un ordre total raffinant la divisibilit´e et compatible avec la multi- plication des monomes) surM_r est fix´e une fois pour toutes. On notera x^α ≤x^β ou aussi α≤β cet ordre admissible.

– Si f est un polynome en r variables dont le terme de tête est cx^α, on note Lm(f) :=x^α le monome de tête de f. Rappelons qu’une base de Gröbner d’un idéal de polynomes I =I(f₁, . . . , f_s) est une famille finie (g₁, . . . , g_t) d’éléments de I telle que le monome de tête de tout élémentf 6= 0 deI soit un multiple de l’un des Lm(gj).

– Si A est une partie dek[x1, . . . , xr] on note A^[0] = A

A^[1] = A∪x₁A∪. . .∪x_rA A^[n+1] = (A^[n])^[1]

– On a A⊂B ⇒A^[1]⊂B^[1] (A⊂B d´esigne l’inclusion au sens large).

– On note deg(A) := max{totdeg(f);f ∈ A} le degré total maximum des éléments de A.

On a donc deg(A^[n]) =n+ deg(A). Par convention, si A est vide deg(A) =−∞.

On suppose d´esormais queA est une partie finie deM_r.

– On note Fri(A) lafrontière inférieurede A, c.-à-d. la partie deA formée par les monomes minimaux pour la divisibilité. On a naturellement Fri(A) = Fri(A^[1]).

– On note val(A) := inf{|α|;x^α ∈ A} le degré total minimum des éléments de A. On a val(A^[n]) = val(A). Par convention, si Aest vide val(A) = +∞.

– On note FA(n) := #(A^[n]) le nombre d’éléments de A^[n]. La fonction n 7→ FA(n) est appelée la fonction de croissancede A.

Le lemme suivant est intuitivement assez naturel.

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Lemme 1 Si A est une partie finie non vide de M_r, alors à partir d’un rang n0 ≤ deg(ppcm(A))−val(A) −r la fonction n 7→ F_A(n) est égale à un polynome en n, que nous noterons HA(n). Lorsque n tend vers l’infini, HA(n) est équivalent à ^n+r_r

c.-`a-d. encore `a n^r/r!.

Le polynome H_A(n) est appelé le polynome de croissance deA. D’après le lemme1, la fonction de croissance deA peut être décrite de manière entièrement explicite.

Nous allons donner une preuve combinatoire du lemme mais auparavant nous montrons un exemple.

Exemple 1 Nous donnons un exemple avec A⊂ M₂ A : #A= 53

11 . . . 0 0 . . . . 10 . . . 0 0 . . . . 9 . 0 0 . . . . 0 0 . . . . . 8 . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . . 7 . 0 0 0 0 . . 0 0 0 0 0 0 . 6 . 0 0 0 . . 0 . 0 0 0 0 0 . 5 . 0 0 0 . . . . 0 0 0 0 0 . 4 . 0 0 0 0 . . . 0 . . . . 0 3 . . . . 0 0 . 0 . . . . 2 . . . . 0 0 0 . . . . 1 . . . . 0 . . . . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

A^[1] : #(A^[1]) = 53 + 28 = 81

12 . . . • • . . . . . 11 . . . 0 0 • . . . . 10 . • • . . . . • 0 0 • . . . . 9 . 0 0 • . . . 0 0 • . . . . . 8 . 0 0 0 • . . 0 0 0 • • • . . 7 . 0 0 0 0 • • 0 0 0 0 0 0 • . 6 . 0 0 0 • . 0 • 0 0 0 0 0 • . 5 . 0 0 0 • . . . 0 0 0 0 0 • . 4 . 0 0 0 0 • . • 0 • . . . 0 • 3 . . . . 0 0 • 0 • . . . . 2 . . . . 0 0 0 • . . . . 1 . . . . 0 . . . . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

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4 1 PR ´ELIMINAIRES

A^[2] : #(A^[2]) = 81 + 27 = 108

13 . . . • • . . . . 12 . . . 1 1 • . . . . . 11 . • • . . . . • 0 0 1 • . . . . 10 . 1 1 • . . . 1 0 0 1 • . . . . 9 . 0 0 1 • . . 0 0 1 • • • . . . 8 . 0 0 0 1 • • 0 0 0 1 1 1 • . . 7 . 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 • . 6 . 0 0 0 1 • 0 1 0 0 0 0 0 1 • . 5 . 0 0 0 1 • . • 0 0 0 0 0 1 • . 4 . 0 0 0 0 1 • 1 0 1 • . . 0 1 • 3 . . . . 0 0 1 0 1 • . . . . 2 . . . . 0 0 0 1 • . . . . 1 . . . . 0 . . . . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

A^[3] : #(A^[3]) = 108 + 23 = 131

14 . . . • • . . . . 13 . . . 2 2 • . . . . 12 . • • . . . . • 1 1 2 • . . . . . 11 . 2 2 • . . . 2 0 0 1 2 • . . . . 10 . 1 1 2 • . . 1 0 0 1 2 • . . . . 9 . 0 0 1 2 • • 0 0 1 2 2 2 • . . . 8 . 0 0 0 1 2 2 0 0 0 1 1 1 2 • . . 7 . 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 2 • . 6 . 0 0 0 1 2 0 1 0 0 0 0 0 1 2 • . 5 . 0 0 0 1 2 • 2 0 0 0 0 0 1 2 • . 4 . 0 0 0 0 1 2 1 0 1 2 • . 0 1 2 • 3 . . . . 0 0 1 0 1 2 • . . . . 2 . . . . 0 0 0 1 2 • . . . . 1 . . . . 0 . . . . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

La partie A^[3] contient “le trou” x¹²₁ x⁴₂ (la notion de trou sera discut´ee dans la section7).

(5)

A^[4] : #(A^[4]) = 131 + 23 = 154

15 . . . • • . . . . 14 . . . 3 3 • . . . . 13 . • • . . . . • 2 2 3 • . . . . 12 . 3 3 • . . . 3 1 1 2 3 • . . . . . 11 . 2 2 3 • . . 2 0 0 1 2 3 • . . . . 10 . 1 1 2 3 • • 1 0 0 1 2 3 • . . . . 9 . 0 0 1 2 3 3 0 0 1 2 2 2 3 • . . . 8 . 0 0 0 1 2 2 0 0 0 1 1 1 2 3 • . . 7 . 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 2 3 • . 6 . 0 0 0 1 2 0 1 0 0 0 0 0 1 2 3 • . 5 . 0 0 0 1 2 3 2 0 0 0 0 0 1 2 3 • . 4 . 0 0 0 0 1 2 1 0 1 2 3 • 0 1 2 3 • 3 . . . . 0 0 1 0 1 2 3 • . . . . 2 . . . . 0 0 0 1 2 3 • . . . . 1 . . . . 0 . . . . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

La partie B =A^[4] a son polynome de croissance ´egal `a sa fonction de croissance : pour tout n≥4 on a

F_A(n) = H_A(n) = ^(n+1)(n+2)₂ + 8n+ 9n+ 71 = ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂ + 19n+ 72 FA(n+ 1)−FA(n) =n+ 19

comme on peut le voir avec la proc´edure de comptage ci-dessous A^[4]

9 . + + + + + + + + + + + + + + . . . 8 . + + + + + + + + + + + + + + + . . 7 . + + + + + + + + + + + + + + + + . 6 . + + + + + + + + + + + + + + + + . 5 . + + + + + + + + + + + + + + + + . 4 . + + + + + + + + + + + + + + + + + 3 . . . . + + + + + + + + . . . . 2 . . . . + + + + + + + . . . . 1 . . . . 0 . . . . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

(6)

6 2 LE SMIC Une preuve combinatoire du lemme 1 NotonsX un singleton form´e d’un monome x^α = x^α₁¹. . . x^α_r^r. Nous remarquons que pour une partie finieAde M_r on peut ´ecrire

A^[m]= [

Xsingleton⊂A

X^[m]

Par ailleurs, il est facile de déterminer le nombre d’éléments d’une intersectionX₁^[m]∩X₂^[m] ou plus généralementX₁^[m]∩X₂^[m]∩ · · · ∩Xs^[m]. En effet

X₁^[m]∩X₂^[m]∩ · · · ∩X_s^[m]={x^β ; ppcm(X1, X2, . . . , Xs)|x^β et|β| ≤m+ inf

i=1,...,s(deg(Xi))}

Donc, en posant p:= deg(ppcm(X₁, X₂, . . . , X_s)) et v= inf_i=1,...,s(deg(X_i)) on obtient

#(X₁^[m]∩X₂^[m]∩ · · · ∩X_s^[m]) =

0 si v+m < p

v+m−p+r r

si v+m≥p et donc aussi, puisque ^u+r_r

= 0 pour u=−r, . . . ,−1

#(X₁^[m]∩X₂^[m]∩ · · · ∩X_s^[m]) =

0 si m < p−v−r

v+m−p+r r

si m≥p−v−r

Enfin on conclut en se rappelant la formule qui donne le nombre d’éléments d’une réunion finie d’ensembles finis en fonction des nombres d’éléments des intersections (cf. [8] p. ). Par exemple, en notantAij :=Ai∩Aj,A_ijk :=Ai∩Aj∩A_k etc.

#(A1∪A2∪A3∪A4) = X

1≤i≤4

#(Ai)− X

1≤i≤j≤4

#(Aij) + X

1≤i≤j≤k≤4

#(Aijk)−#(A1234)

2 Le SMIC

Dans toute la suite on considère un corpskfixé et une liste non vide fixéeG0 = [f1, . . . , fs] de polynomes de k[x1, . . . , xr]. On fixe les notations suivantes

Notations 2 – d= deg(G0) – Gn=G^[n]₀

– E_n= Vect(G_n) lek-espace vectoriel engendr´e parG_n.

– Exp(n) := {Lm(f);f 6= 0, f ∈ E_n} l’ensemble des monomes de tˆete des polynomes non nuls deE_n. Notez qu’on a n´ecessairement Exp(n)^[1] ⊂Exp(n+ 1).

– e_n:= #(Exp(n) = dim(E_n) est la dimension duk-espace vectorielE_n= Vect(G_n).

– I(f₁, . . . , fs) est l’idéal engendré par f1, . . . , fs. Définition 3 Pour tout m≥non note

SMIC_G₀(n, m) := SMIC(n, m) := F_Exp(n)(m−n).

On l’appelle le minimum structurel de croissance, prévisible à l’étapenpour l’étapem.

On a imm´ediatement.

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Fait 1 Pour tout n≤n⁰ ≤m on a

SMIC(n, m)≤SMIC(n⁰, m)≤e_m = SMIC(m, m).

Lorsque m tend vers l’infini SMIC(n, m) et e_m sont ´equivalents `a m^r/r!.

En effet SMIC(n, m)≤em ≤FP(m) siP est l’ensemble des monomes pr´esents dansG0.

Définition 4 Nous appelons triangulation selon les colonnes d’une matrice M toute méthode algorithmique qui remplace la matriceM par une autre matriceM⁰ qui engendre le même espace de vecteurs colonnes et qui, pour chaque ligne possède au plus une colonne dont le coefficient de tête est sur cette ligne.

Une manière de déterminer Exp(n) est de trianguler selon les colonnes la matrice dont les vecteurs colonnes sont les éléments de G_n écrits sur la base des monomes présents à l’étapen (c.-à-d. les monomes dansP^[n]) ordonnée en décroissant selon l’ordre admissible.

Nous serons particulièrement intéressés par des triangulations selon les colonnes etsans échange de colonnes . Dans ce cas, il faut remarquer que les numéros de ligne des pivots successifs ne vont pas en décroissant, ce qui nuit un peu à l’aspect “triangulaire” de la matrice obtenue. Voir la figure ci-dessous.

• . . . . x . . . • . . x . • . . . . x . x . . . x . . x . x • . . . . x . x x . . . • . . . x • . . . . x x x x . . . x x • . x x x x . . . x x x . x x x x . . • . . . . x x x x • . . . . x x x x x . x x x x . x x x x x . x x x x . x x x x x • . . . . . x x x x x x x x x x • x x x x x x x x x x x

Exemple d’une matrice produite par une triangulation selon les colonnes sans ´echange de colonne.

Nous avons supprimé les colonnes réduites à 0.

Nous mettons.pour 0,•pour les pivots, xpour une entr´ee arbitraire.

Mais l’important pour nous est de bien gérer l’évolution de Exp(n), et ceci est beaucoup plus facile avec une triangulation sans échange de colonnes.

Lorsque nous parlons d’une triangulation sans ´echange de colonnes, nous sous-entendons toujours qu’il s’agit d’une triangulation selon les colonnes.

3 Le SMAC

Nous définissons maintenant G_n comme une liste ordonnée. Le polynome x^αf_i précède le polynomex^βf_j dans la listeG_nsi α=β eti < j ou si β précèdeαpour l’ordre lexicographique

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8 3 LE SMAC des monomes avec x1 >· · ·> xr. Ceci implique que si x^αfi précèdex^βfj dans la liste Gn alors cela reste vrai dans la liste G_n+1, et en outre x_hx^αf_i précède x_hx^βf_j (pourh = 1, . . . , r) dans la liste Gn+1.

La liste G_n peut être également construite selon la règle récursive suivante, où • représente la concaténation des listes.

Nous nous contentons d’expliquer le cas r= 3. On pose

G¹₀ =G²₀ =G³₀ =G₀ puis G³_n+1=x₃G³_n•G₀

G²_n+1 =x₂G²_n•G³_n+1 et enfin G_n+1 =G¹_n+1=x₁G¹_n•G²_n+1

Si nous considérons G_n comme une liste de vecteurs colonnes, donc comme une matrice, nous avons là une variante ou une généralisation des matrices de Sylvester usuelles. On a immédiatement.

Lemme 2 Si x^αfi est combinaison linéaire des vecteurs qui le précèdent dans la liste Gn alors cela reste vrai dans la liste Gn+1, et en outre x_hx^αfi est combinaison linéaire des vecteurs qui le précèdent dans la listeG_n+1(pour h= 1, . . . , r) .

Remarque 1 Le polynome x^αfi est combinaison linéaire des vecteurs qui le précèdent dans la liste G_n si et seulement si il est tué (réduit à 0) dans une triangulation deG_n sans échange de colonnes.

Notation 5 La liste finie G0 = [f1, . . . , fs] de polynomes de k[x1, . . . , xr] ´etant fix´ee, pour j= 1, . . . , son noteM_j,n la partie suivante deM_r.

Mj,n :={x^α;x^αfj est combinaison linéaire des vecteurs qui le précèdent dans la listeGn} Un corollaire immédiat du lemme2 est le suivant.

Corollaire 1 Pour j= 1, . . . , s et pour tout m≥n∈Non a Mj,n[1] ⊂Mj,n+1 et M_j,n^[m−n]⊂Mj,m

Remarquons maintenant que la dimension e_n de E_n est ´egale au nombre de vecteurs non tu´es dans une triangulation deGn. Autrement dit :

e_n= dim(E_n) =

s

X

j=1

n+r n

−#(M_j,n)

.

Ceci nous conduit naturellement `a la d´efinition du SMAC.

D´efinition 6 Pour tout m≥non note

SMAC_G₀(n, m) := SMAC(n, m) :=Ps j=1

m+r m

−F_M_j,n(m−n) . On l’appelle le maximum structurel de croissance, prévisible à l’étapenpour l’étapem.

Vues les remarques et le corollaire qui précèdent la définition on a immédiatement.

Fait 2 Pour tout n≤n⁰ ≤m on a

SMAC(n, m)≥SMAC(n⁰, m)≥e_m = SMAC(m, m).

Voici un autre fait, simple et crucial.

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Fait 3 Supposons que SMIC(n, n+ 1) = SMAC(n, n+ 1).

Alors en+1 = SMIC(n, n+ 1) = SMAC(n, n+ 1), Exp(n+ 1) =Exp(n)^[1] et pour j= 1, . . . , s, M_j,n+1 =M_j,n^[1]. En particulier Fri(Exp(n)) = Fri(Exp(n+ 1)) et pour m≥n+ 1, SMIC(n+ 1, m) = SMIC(n, m) et SMAC(n+ 1, m) = SMAC(n, m).

A contrario lorsqueSMIC(n, n+ 1)<SMAC(n, n+ 1)alorsSMIC(n+ 1, n+ 1)>SMIC(n, n+ 1) ou SMAC(n+ 1, n+ 1)<SMAC(n, n+ 1), et Exp(n)^[1] 6=Exp(n+ 1)ou M_j,n^[1] 6=M_j,n+1 pour l’un desj = 1, . . . , s.

On en déduit le théorème suivant.

Th´eor`eme 1 Si pour un entier n on a

∀m≥n SMIC(n, m) = SMAC(n, m) alors

— pour tout m≥n, em = SMIC(n, m)

— Fri(Exp(n)) = Fri({Lm(I(f₁, . . . , fs))})

— les polynomes de la triangulée de G_n dont le monome de tête est un élément de la frontière inférieure Fri(Exp(n))forment une base de Gröbner minimale de l’idéalI(f₁, . . . , f_s)

Enfin, le rapprochement des fonctions SMIC et SMAC est inexorable comme l’affirme le th´eor`eme suivant, dont nous donnerons deux preuves dans les sections 5 et7.

Théorème 2 Pour tout système G0 = [f1, . . . , fs] dansk[x1, . . . , xr]on a

∃n∈N ∀m≥n SMIC(n, m) = SMAC(n, m)

Remarque 2 Si pour un entier n tous les M_j,n ´etaient non vides, alors la fonction m 7→

SMAC(n, m) serait, pourmassez grand, un polynome de degré< r, ce qui est incompatible avec le fait que SMAC(n, m) majore em qui est équivalent à m^r/r!. Il reste donc toujours au moins un indice j pour lequel M_j,n est vide. Par ailleurs, tant qu’il reste au moins deux M_j,n vides la croissance à l’infini de m 7→SMAC(n, m) est trop forte pour que les fonctions SMIC(n, .) et SMAC(n, .) puissent co¨ıncider.

4 L’algorithme SMIC–SMAC

Les résultats précédents conduisent à l’algorithme suivant.

Entr´ee Une liste non videG0 = (f1, . . . , fs) de polynomes non nuls dek[x1, . . . , xr].

Sortie Une base de Gr¨obner minimaleGde I(f₁, . . . , f_s).

Variables

Mj : (pourj= 1, . . . , s) la liste des monomes x^α tels que x^αfj est tu´e par la triangulation sans ´echange de colonnes deG_n,

V : liste des vecteurs non nuls obtenus dans cette triangulation, E : la liste des monomes de tête des éléments de V,

F ri : une liste de monomes (la frontière inférieure deE), G: la liste des polynomes de V correspondants àF ri, F ini: variable booléenne,

n: numéro de l’étape en cours Début

G:= [ ], F ri:= [ ], M_j := [ ] (pour j= 1, . . . , s), E:= [ ], F ini:=Faux,n:= 0, R´ep´eter

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10 5 UNE PREUVE DE TERMINAISON DE L’ALGORITHME SMIC–SMAC Calculer V le r´esultat de la triangulation sans ´echange de colonnes de la

liste G_n (en profitant des calculs faits à l’étape précédente si n >0), Actualiser les listes G,F ri,E (à partir de V) et Mj pourj = 1, . . . , s (à partir des vecteurs tués dans la triangulation),

Si F ri= [0] alors F ini=V rai % (I(f₁, . . . , f_s) =I(1)) sinon Si un seul des M_j est vide alors

Si SMIC(n, n+ 1) = SMAC(n, n+ 1) alors

Si ∀m≥n SMIC(n, m) = SMAC(n, m) alors F ini=Vrai, Si F ini=Faux alors n:=n+ 1,

Jusqu’`a ce que F ini Retourner G

Fin

Notez que le test

∀m≥n SMIC(n, m) = SMAC(n, m) ?

est de nature algorithmique en vertu du lemme 1. Cette question sera discut´ee en d´etail dans la section 6.

Et que l’algorithme termine en vertu du th´eor`eme 2.

Si on note V_n le résultat de la triangulation sans échange de colonnes de la liste G_n, on voit que lorsqu’on passe à l’étape suivante la liste x1Vn représente le début de la triangulation sans échange de colonnes de la liste Gn+1, c.-à-d. la triangulation du début de la listeGn+1 qui est justement égale à x₁G_n. Par ailleurs dans le reste de la liste G_n+1, qui est égal à G²_n+1 il est inutile de faire figurer les éléments des Mj,n[1]. Une bonne gestion des choses permet donc d’économiser une part substantitelle du calcul dans les triangulations successives.

La base de Gröbner minimale qui est calculée par cet algorithme est optimale en ce sens qu’elle est donnée par des combinaisons linéaires de plus bas degré possible des polynomes de départ. Lorsqu’on actualise G etF ri on garde chaque élément f de G provenant de l’ancienne triangulation jusqu’au moment où il est rendu inutile par l’apparition d’un nouveau monome de tête dans F ri, divisant strictement celui def, ce qui chassef deG.

5 Une preuve de terminaison de l’algorithme SMIC–SMAC

Les deux preuves de terminaison que nous donnons dans cette section et dans la section 7 sont inspirées des preuves du lemme de Dickson (dans sa version classique [7] et dans sa version constructive [11]). Néanmoins, nous sommes obligés d’introduire des notions ad hoc de suites croissantes, suites stationnaires, suites qui pausent, sans arriver à faire rentrer ceci dans le moule usuel des ensembles partiellement ordonnés vérifiant les conditions de chaine ascendante.

La preuve que nous donnons dans cette section est assez simple, mais non constructive.

Nous avons tout d’abord besoin d’introduire un ensemble particulier.

Notation 7 On note M_r,δ l’ensemble des couples (n, A) o`u n∈NetA est une partie finie de M_r v´erifiant deg(A)≤n+δ.

Il est clair, avec les notations des sections pr´ec´edentes que chaque couple (n, Exp(n)) est un

´

elément deM_r,d et chaque couple (n, Mj,n) est un élément de M_r,0.

Définition 8 Une suiten7→(n, A_n)à valeurs dans M_r,δ est ditecroissantesi pour toutnon a A_n^[1]⊂A_n+1. Elle est dite stationnaire(au delà de n₀) si pour tout n≥n₀ on a A_n^[1] =A_n+1.

(11)

Il est clair que la suite n 7→ (n, Exp(n)) est croissante dans M_r,d et que les suites n 7→

(n, M_j,n) sont croissantes dans M_r,0. On ´etablit alors tout d’abord le

Lemme 3 (Lemme `a la Dickson, non constructif )Pour tous entiers r ≥1 etd≥0, toute suite croissante n7→(n, A_n) dansM_r,d est stationnaire.

Preuve La preuve se fait par r´ecurence sur l’entier r.

Pour r = 1.

Ici, nous utilisons une notion de “trou” dans une partie finie de M₁ (c.-à-d. de N) qui est claire par elle même, puisque l’ordre est total. Ou bien An est vide pour tout n et la suite est stationnaire. Ou bien il existe un premier entiern₁pour lequelA_n₁ est non vide. Pourn≥n₁ les deux suites d’entiers naturelsn7→Fri(An) et n7→n+d−deg(An) sont des suites décroissantes donc stationnaires à partir d’un certain rang n2 ≥ n1. Si δ est la largeur du plus grand trou dansA_n₂, la suite n7→(n, A_n) est surement stationnaire à partir du rangn₂+δ.

Passage de r−1 `ar (r≥2).

Soitn7→(n, An) une suite croissante dansM_r,d. Ou bienAnest vide pour toutnet la suite est stationnaire. Ou bien il existe un premier entiern₁ pour lequelA_n₁ est non vide. Pourn≥n₁ la suite d’entiers naturelsn7→n+d−deg(A_n) est décroissante donc stationnaire à partir d’un rang n2 ≥n1. Soit xâ avec a= (a1, . . . , ar) un monome de plus haut degré dans An2 et B = {xâ}.

Pour n≥n₂ on a

A_n=B^[n−n²^]∪ [

b,j

(H_b,j ∩A_n)

où les Hb,j (avec j ∈ {1, . . . , r}) forment une famille finie d’“hyperplans affines” dans M_r,d. Précisément chaque H_b,j est formé des monomes x^α où αj = b avec b l’un des entiers < aj. Chaque suiten 7→(n, H_b,j ∩A_n) peut alors être vue comme une suite croissante dans M_r−1,d. Par hypothèse de récurrence, toutes ces suites stationnent (dans leurs espaces respectifs) à partir d’un rangn3 ≥n2. PosonsBn:=B^[n−n²^](d’oùBn[1] =Bn+1) etC_n,b,j :=H_b,j∩An. Il n’est pas difficile de voir que pourn≥n₂ on a

An[1] =Bn[1] ∪ [

b,j

C_n,b,j^[1]^r−1

(on a mis un indice r−1 à l’exposant [1] pour indiquer que chaque Cn,b,j[1]r−1 est considéré dans son espaceM_r−1,d). En effet il n’est pas possible qu’un (C_n,b,j)^[1]considéré dansM_r,d avec b=a_j −1 contienne un élément qui soit “au dessus” de B_n+1. Ceci achève la preuve.

Preuve non constructive du théorème 2 D’après le lemme précédent la suite n 7→

(n, Exp(n)) est stationnaire dans M_r,d et les suitesn7→(n, M_j,n) sont stationnaires dansM_r,0, tout ceci `a partir d’un rang n0. On a donc pour m ≥ n ≥ n0, SMIC(n, m) = SMIC(n0, m) et SMAC(n, m) = SMAC(n₀, m). Alors, vu le fait 3 les fonctions m 7→ SMIC(n₀, m) et

m7→SMIC(n₀, m) (pourm≥n₀) sont ´egales.

6 Pour une implantation de l’algorithme

Pour une bonne gestion des triangulations des matrices G_n successives

Une premi`ere affaire importante dans l’implantation de l’algorithme est la bonne gestion des triangulations des matrices Gn successives. Sur ce point, nous ne pouvons que renvoyer au savoir faire des experts des matrices creuses structur´ees (voir par exemple le livre [2] pour les matrices Toeplitz par blocs et les articles [5], [6] et [13] pour les matrices quasi-Toeplitz).

(12)

12 6 POUR UNE IMPLANTATION DE L’ALGORITHME Quelques exemples pour y voir plus clair La partie la plus d´elicate dans l’implantation de l’algorithme est le test

∀m≥n SMIC(n, m) = SMAC(n, m) ?

qui doit être effectué dans le cas où il reste exactement un seul desMj,n vide et où SMIC(n, n+ 1) = SMAC(n, n+ 1) (qui sont faciles à tester).

A vrai dire, il semble tr`` es improbable que les deux premières questions aient re¸cu une réponse positive et que le test d’égalité des fonctions SMIC et SMAC re¸coive une réponse négative. Dans la mesure où le test n’a pas à être effectué bien souvent, on pourrait donc se contenter, en appliquant le lemme1, d’une procédure na¨ıve qui serait de compter chacun desB^[m]jusqu’àm= ppcm(B)−val(B). Mais cette procédure na¨ıve semble inutilement coûteuse. Nous proposerons dans le paragraphe suivant les esquisses de deux autres procédures après avoir examiné deux nouveaux exemples.

Intuitivement, et en suivant la preuve du lemme 1, on peut penser que la fonction de croissance deA^[n]est égale à son polynome de croissance dès queA^[n]a rempli les “trous” qui doivent l’être entre la frontière inférieure et le ppcm des monomes dansA. Ceci est confirmé sur les deux exemples suivants, où la même procédure de comptage qu’à l’exemple1peut être mise en place.

Exemple 2 Avec la partie B suivante, val(B) = 3, ppcm(B) = x⁶₁x⁵₂, deg(ppcm(B)) = 11, deg(B) = 8, et la fonction de croissance de B^[n] devient égale à son polynome de croissance, à l’étape 6, exactement au moment prévu par le lemme 1.

6 . . . . 5 . 0 . . . . 4 . . . . 3 . . . . 2 . . . 0 . . . 1 . . 0 . . . . 0 . . . . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

B^[6]

11 . • . . . . 10 . 5 • . . . . 9 . 4 5 • . . . . 8 . 3 4 5 • . • . . . . 7 . 2 3 4 5 • 5 • . . . . 6 . 1 2 3 4 5 4 5 • . . . . . 5 . 0 1 2 3 4 3 4 5 • . . . . 4 . . 3 4 5 • 2 3 4 5 • . . . 3 . . 2 3 4 5 1 2 3 4 5 • . . 2 . . 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 • . 1 . . 0 1 2 3 4 5 • . . . . . 0 . . . . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

On obtient H_B(n) = ^{(n−1)(n−2)}₂ + 5n+ 4n+ 8 = ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂ + 8n+ 9 avec la proc´edure de comptage suivante (le ppcm est en O).

(13)

11 . x . . . . | . . . . 10 . x x . . . | . . . . 9 . x x x . . | . . . . 8 . x x x x . | o . . . . 7 . x x x x x | o o . . . . 6 . x x x x x | o o o . . . . . 5 . x x x x x | O o o o . . . . --- 4 . . + + + + + + + + + . . . 3 . . + + + + + + + + + + . . 2 . . + + + + + + + + + + + . 1 . . + + + + + + + . . . . . 0 . . . . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Exemple 3 Avec la partie C suivante, val(C) = 3, ppcm(C) = x⁷₁x⁷₂, deg(ppcm(C)) = 14, deg(C) = 10, et la fonction de croissance de C^[n]devient égale à son polynome de croissance, à l’étape 4, bien avant le moment prévu par le lemme 1

7 . . 0 . . . . 6 . . . 0 . . . . 5 . . 0 . . . . 4 . . . . 3 . . . 0 . . 2 . 0 0 . . . . 1 . . . 0 . . . . 0 . . . . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

C^[4]

11 . . • . . . . 10 . . 3 • . . . . 9 . . 2 3 • . . . . 8 . . 1 2 3 • . . . . 7 . . 0 1 2 3 • • . . . . . 6 . • 1 0 1 2 3 3 • . . . . 5 . 3 0 1 2 3 • 2 3 • . . . 4 . 2 2 3 • 3 • 1 2 3 • . . 3 . 1 1 2 3 2 3 0 1 2 3 • . 2 . 0 0 1 2 1 2 3 • . . . . 1 . . . 0 1 2 3 • . . . 0 . . . . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

On obtient H_C(n) = ^(n+1)(n+2)₂ + 6n+ 2n+ 11 = ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂ + 10n+ 12 avec la proc´edure de comptage suivante, (le ppcm est enO).

(14)

14 6 POUR UNE IMPLANTATION DE L’ALGORITHME 11 . . x . . . . | . . . .

Enfin le lecteur ou la lectrice n’aura pas de mal à fournir un exemple où la procédure de comptage donnée dans ces dessins peut être mise en place avant queA^[n]contienne le ppcm de A.

Des suggestions pour d´eterminer algorithmiquement les fonctions de croissance qui nous int´eressent

Notre première suggestion est d’essayer de décrire le plus économiquement possible, ou du moins, de manière relativement économique, une partieA sous forme d’une réunion de partiesX_i^[mⁱ^]où les Xi sont des singletons :

A=[

i∈I

X_i^[mⁱ^]

Le nombre d’éléments deA^[m]qui est la réunion desX_i^[m+mⁱ^]est alors calculé selon la procédure donnée dans la preuve du lemme 1 (avec les petites modifications évidentes nécessaires).

Si on a obtenu une écriture économique pour Aet si on passe à une partieA⁰ contenantA^[1]

(ce qui est le cas lors de l’ex´ecution de l’algorithme SMIC–SMAC) on commence par remarquer que si A⁰ est la r´eunion disjointe deA^[1] et de C alors

A⁰ =[

i∈I

X_i^[mⁱ^+1] ∪ [

Xsingleton⊂C

X

Ensuite, il faut examiner si une procédure de simplification de l’écriture ci-dessus peut être mise en oeuvre, sinon à chaque étape, du moins de manière suffisamment fréquente pour éviter l’explosion combinatoire redoutée.

Une deuxième proposition est d’utiliser une procédure de comptage analogue à celle que nous avons montrée sur nos dessins en 2 variables. Une telle procédure consiste à découper

“intelligemment” l’espaceM_ren une réunion disjointe de “sous espace affines”H_u de différentes dimensions de manière que les intersectionsH_u∩A^[m]aient rapidement un comportement facile

`

a décrire. Par exemple chacune de ces intersections pourrait être un ensemble du type “ensemble des monomes multiples d’un monome donné et de degré inférieur à max(0, m+m₀) (oùm₀ ∈Z)

`

a l’int´erieur du sous espace affine H_u”.

On peut sans doute procèder de manière récursive par rapport à la dimension de ces sous espaces.

Tout d’abord, on cherche un monome x^α de profondeur maximum dans A, c.-`a-d. un monome de degr´e le plus petit possible parmi ceux pour lesquels l’ensemble

(15)

{x^β : α|β et|β| ≤deg(A)}

est contenu dansA. Le premier sous espace affineH_u est alorsH₁ :={x^β : α|β}. On consid`ere ensuite les sous espaces affines de dimension r−1 convenables Hb,j, et on d´efinit

H_b,j :=H_b,j∩ {x^β : ∀k < j β_k ≥α_k}={x^β : β_j =α_j , ∀k < j β_k≥α_k}

de sorte que le complémentaire deH₁ est considéré comme la réunion disjointedes sous espaces affinesH_b,j.

On dit alors quela situation est convexe si on a :

∀j ∀b < α_j H_b,j∩A6=∅ ⇒ ∀b⁰∈[b, α_j[H_b⁰_,j∩A6=∅ Ceci n´ecessite peut-ˆetre d’attendre unA^[m] convenable.

Une fois un tel m atteint, on traite chaque H_b,j∩A^[m] non vide en commen¸cant par chercher dansH_b,j un monome deprofondeur maximum par rapport à H_b,j∩A^[m], c.-à-d. un monome de degré le plus petit possible dansH_b,j parmi ceux pour lesquels l’ensemble

H_b,j∩ {x^β : α|βet|β| ≤deg(A^[m]∩H_b,j)}

est non vide et contenu dans A^[m]∩ H_b,j. Et ainsi de suite.

7 Une preuve de terminaison constructive

Nous commen¸cons par une notation.

Notation 9 Si A est une partie finie de M_r et k un entier >0 on note A^[−k] l’ensemble des monomes x^α tels que{x^α}^[k]⊂A.

La partieA^[−k] est donc la plus grande partieB telle que B^[k]⊂A. On a les inclusions A^[−k][k]⊂A⊂A^[k][−k], A^[−k][−`]=A^[−k−`](` >0, k≥0)

A⊂B ⇒ A^[−k]⊂B^[−k]

de sorte que

A^[−k]=A[−k][k][−k] et A^[k]=A^[k][−k][k]

Cette section est divisée en trois sous-sections. Dans la première, nous discutons la notion de trou dans une partie finie A de M_r. Cette discussion nous sert à introduire la deuxième sous- section dans laquelle nous donnons les définitions nécessaires pour notre preuve constructive de terminaison.

Qu’est-ce qu’un trou, et qu’est-ce qu’une partie sans trou ?

Dans l’exemple1, en posantC=A^[4][−4], on obtientC^[4] =A^[4]avec la fonction de croissance de C ´egale au polynome de croissance de A. Dans le dessin ci-dessous, nous avons indiqu´e A avec des 0 et C\A avec des croix.

(16)

16 7 UNE PREUVE DE TERMINAISON CONSTRUCTIVE 11 . . . 0 0 . . . .

10 . . . 0 0 . . . . 9 . 0 0 . . . . 0 0 • • . . . 8 . 0 0 0 . . . 0 0 0 • • . . 7 . 0 0 0 0 . . 0 0 0 0 0 0 . 6 . 0 0 0 • • 0 • 0 0 0 0 0 . 5 . 0 0 0 • • • • 0 0 0 0 0 . 4 . 0 0 0 0 • • • 0 • • • • 0 3 . . . . 0 0 • 0 . . . . 2 . . . . 0 0 0 . . . . 1 . . . . 0 . . . . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Sur cet exemple, il semble raisonnable de considérer que les “trous” deA sont les éléments de C\A. On voit que la fonction de croissance deA minore son polynome de croissance. Mais ce phénomène est loin d’être général.

Exemple 4 Avec la partieDci-dessous par exemple 5 . . . .

4 . 0 . . . . 3 . . . . 2 . . . . 1 . . . 0 0 . . . .

0 1 2 3 4 5 6

on obtient H_D(n) = ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂ + 6n−1 de sorte que H_D(1) = 5 et H_D(0) = −1, donc H_D(0) = FD(0)−3 et HD(1) = FD(1)−1.

7 . 3 . . . . 6 . 2 3 . . . . 5 . 1 2 3 . . . . . 4 . 0 1 2 3 3 . . . 3 . . . 2 3 . . 2 . . . 1 2 3 . 1 . . . 0 1 2 3 0 . . . . 0 1 2 3 4 5 6 7 8

La fonction de croissance de D majore son polynome de croissance. On pourrait peut-être désigner des “antitrous” o de D dans M₂ comme suit, dans la mesure où, si on affectait les antitrous d’un poids égal à −1 tant qu’ils n’ont pas été remplis, on trouverait la fonction de croissance égale au polynome de croissance.

5 . . . . 4 . 0 o o . . . 3 . . . . 2 . . . o . 1 . . . 0 . 0 . . . . 0 1 2 3 4 5 6

(17)

Exemple 5 Plus inqui´etant, on peut trouver une partieE combinant un trou en positif et un antitrou, si bien que son polynome de croissance co¨ıncide avec la fonction de croissance mais qu’il ne serait pas raisonnable d’affirmer queE est sans trou. Avec l’exemple ci-dessous,

4 . . . . 3 . 0 . . . . 0 . . . 2 . . 0 . . . 0 0 . . 1 . . 0 0 . . 0 . 0 . 0 . . . .

0 1 2 3 4 5 6 7 8

on obtient pour toutnFE(n) = HE(n) = ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂ + 9n+ 9 comme on peut le voir en consid´erant A^[2].

5 . 2 . . . . 2 . . . . 4 . 1 2 . . . 1 2 . . . 3 . 0 1 2 . . 0 1 2 . . 2 . . 0 1 2 . 0 0 1 2 . 1 . . 0 0 1 2 0 1 0 1 2 0 . . . . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 On peut d´esigner un trou xet peut-ˆetre un antitrouo.

4 . . . . 3 . 0 . . . . 0 . . . 2 . . 0 . . . 0 0 . . 1 . . 0 0 o . 0 x 0 . 0 . . . . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Néanmoins, il semble difficile de donner une définition satisfaisante des trous et des antitrous dans le cas général.

Trois d´efinitions utiles

Dans cette sous-section, nous essayons de rendre en partie compte des intuitions données précédemment en deux variables. Plutot que définir précisément les trous et les antitrous, nous proposons des définitions correspondant à l’absence de trou et d’antitrou. Ces définitions sont surtout adaptées pour faire fonctionner notre preuve constructive de terminaison. Dans la définition 10 l’absence de trou ne controle intuitivement que les trous en positif.

D´efinition 10 Une partie finie A de M_r est ditesans trou si pour tous entiersk≥0 et ` >0 on a A^[k]=A^[k+`][−`].

De la définition résulte que si A est sans trou, il en va de même pour tous lesA^[k] (k≥0). En outre on a immédiatement le fait suivant.

Fait 4 Supposons A sans trou, A^[k]⊂B et A^[k+`]=B^[`]. Alors A^[k]=B.

Dit sous une autre forme : siA est sans trou,A^[k]⊂B etA^[k]6=B alors pour tout entier` >0, A^[k+`]6=B^[`] et F_A(k+`)<F_B(`).

(18)

18 7 UNE PREUVE DE TERMINAISON CONSTRUCTIVE En effet (pour le premier cas) on aB ⊂B^[`][−`]=A^[k+`][−`]=A^[k].

Nous donnons maintenant une d´efinition d’en ensemble stable, correspondant `a l’intuition d’un ensemble sans trou ni antitrou.

D´efinition 11 Une partie finie A de M_r est dite stable si elle est sans trou et si sa fonction de croissance co¨ıncide avec son polynome de croissance.

De la définition résulte immédiatement que si A est stable, il en va de même pour tous les A^[k] (k≥ 0). Il semble probable, mais nous n’avons pas réussi à le démontrer, que pour toute partieA, la partie A^[cÂ^] est stable, où cAest l’entier deg(ppcm(A))−val(A)−r donné dans le lemme 1.

D´efinition 12 Une suite k 7→ (n_k, A_k) `a valeurs dans M_r,δ est dite croissante si pour tout k < ` on a n_k < n_` et A^[n_k^`⁻ⁿ^k^]⊂ A_`. On dit que la suite pause entrek et ` > k si d’une part A_k est stable, et d’autre partA^[n_k^`⁻ⁿ^k^]=A_`.

En appliquant le fait4on voit que la suite pause entre ket`si et seulement si elle pause entre k etk+ 1, k+ 1 et k+ 2, . . .,`−1 et`. Notez `a ce sujet qu’il est important que Ak soit sans trou.

Il est clair, avec les notations des sections pr´ec´edentes que toute suite extraite de la suite n7→ (n, Exp(n)) est croissante dans M_r,d et que tout suite extraite d’une suite n 7→ (n, Mj,n) est croissante dansM_r,0.

Lemme `a la Dickson, constructif, et preuve de terminaison On ´etablit maintenant le

Lemme 4 (Lemme `a la Dickson, constructif )Pour tous entiersr ≥1etd≥0, toute suite croissante k7→(n_k, A_k) dansM_r,d pause entre deux indices successifs.

Preuve La preuve se fait par r´ecurence sur l’entier r.

Pour r = 1. Ici, une partie de M₁ est stable si et seulement si l’ensemble des degrés est un intervalle de N. On considère une suite croissante k7→ (n_k, A_k) dans M_1,d. Si A0 =A1 est vide, la suite pause entre 0 et 1. Sinon, par exemple A₀ est non vide. Posons f_k := (n_k+d)− deg(A_k) + deg(Fri(A_k)). La suite k 7→ f_k est décroissante dans N. Soit δ_k la largeur du plus grand trou dansA_k.

Siδ_k= 0 etf_k+1 < f_kalors le plus grand trou dansA_k+1(s’il y en a un) se trouve tout au début ou tout à la fin et sa largeur est inférieure ou égale àf_k−f_k+1−1 doncf_k+1+δ_k+1 < f_k=f_k+δ_k. Siδ_k >0 et f_k+1=f_k alors δ_k+1=δ_k−1 etf_k+1+δ_k+1< f_k+δ_k.

Si δ_k > 0 et f_k+1 < f_k alors le plus grand trou dans A_k+1 est ou bien de largeur δ_k−1 (s’il est à l’intérieur de A_k) ou bien de largeur inférieure ou égale à f_k−f_k+1 −1 (s’il est à une des extrémités). Dans le premier cas fk+1+δk+1 < fk+δk+1 < fk+δk. dans le deuxième cas f_k+1+δ_k+1 < f_k< f_k+δ_k.

Dans ces trois premiers cas, on a doncf_k+1+δ_k+1< f_k+δ_k.

Enfin la suite pause entre ket k+ 1 si et seulement siδk= 0 et fk+1 =fk. Ceci se produit au maximum apr`esf₀+δ₀< n₀+d´etapes.

Passage de r−1 `ar (r≥2).

Remarquons d’abord que puisque “toute suite croissante pause dans dansM_r−1,d” (au sens de la d´efinition12) alors “toute liste finie de suites croissantes pausent simultan´ement dansM_r−1,d”.

(19)

Il suffit en effet de le voir pour deux suites k 7→ (n_k, A_k) et k 7→ (m_k, B_k). Si ki est la i–ème valeur pour laquelle k 7→ (n_k, A_k) pause entre k_i et k_i+1, on considère la suitei 7→ (m_k_i, B_k_i), qui pause par exemple t et t+ 1. Alors on voit facilement quek 7→ (nk, Ak) et k 7→ (mk, Bk) pausent simultanément entrektetkt+ 1.

On considère maintenant une suite croissante k7→(n_k, A_k) dans M_r,d. Si A₀ =A₁ est vide, la suite pause entre 0 et 1. Sinon, par exempleA₀ est non vide. Posonsf_k:= (n_k+d)−deg(A_k). La suitek7→f_k est décroissante dansN. On notek0 = 0, puis k1, . . ., ku, . . . les indices successifs pour lesquels f_k_u < f_k_u−1. La suite u7→ k_u est une suite qui ne peut avoir plus quef₀ termes, et ces termes sont découverts au cours du déroulement de la suitek7→(n_k, A_k).

Pour une valeur de u fixée, on considère un monome xâ(u) avec a(u) = (a1(u), . . . , ar(u)), de plus haut degré dansA_k_u. On noteB(u) ={xâ(u)}. Pour k≥k_u on écrit

Ak=B(u)^[n^k⁻ⁿ^ku^] ∪ [

b,j

(Hb,j∩Ak)

où les H_b,j (avec j ∈ {1, . . . , r}) forment une famille finie d’“hyperplans affines” dans M_r,d. Précisément chaque H_b,j est formé des monomes x^α où α_j =b avec b l’un des entiers< a_j(u).

Si nous posons pourk≥ku

B_u,k :=B(u)^[n^k⁻ⁿ^ku^] et C_u,k,b,j :=H_b,j∩A_k

la suite k 7→ (n_k, B_u,k) est stationnaire dans M_r,d et les suites k 7→ (n_k, C_u,k,b,j) sont des suites croissantes dansM_r−1,d. Par hypothèse de récurrence, ces dernières suites pausent simul- tanément entreh_u eth_u+ 1 pour un certain h_u ≥k_u.

Sif_h_u₊₁=f_k_u alors en posant `=h_u on a

A_`^[n^`+1⁻ⁿ^`^]=B_u,`^[n^`+1⁻ⁿ^`^] ∪ [

b,j

C_u,`,b,j^[n^`+1⁻ⁿ^`^]^r−1

(on a mis un indicer−1 à l’exposant [n_`+1−n_`] pour indiquer que chaqueC_u,`,b,j^[n^`+1⁻ⁿ^`^]^r−1 est considéré dans son espace M_r−1,d). En effet il n’est pas possible qu’unC_u,`,b,j^[n^`+1⁻ⁿ^`^] considéré dans l’espace entier M_r,d avec b = aj(u)−1 contienne un élément qui soit “au dessus” de B_u,`^[n^`+1⁻ⁿ^`^]. En conséquence, la suite k 7→ (n_k, A_k) pause entre ` et `+ 1. On définit alors hv =hu pour toutv > u.

Sif_h_u₊₁ < f_k_u alorsk_u+1 est d´efini et se trouve entre k_u eth_u+ 1. Dans ce cas, on recommence avec u+ 1 et on obtient h_u+1.

Ainsi, la suiteu7→hu est une suite infinie bien d´efinie, croissante au sens large. Comme elle ne peut pas ˆetre strictement croissante pendant plus que f₀ termes, elle pause certainement. Ceci

ach`eve la preuve.

Fait 5 Supposons queExp(n) soit stable avec Exp(n+r) =Exp(n)^[r] et que pour j= 1, . . . , s, M_j,n soit stable avec M_j,n+r=M_j,n^[r].

Alors ∀m≥n SMIC(n, m) = SMAC(n, m).

Preuve En effet, pour h = 1, . . . , r on a alorsExp(n+h) =Exp(n)^[h] et (pour j = 1, . . . , s) M_j,n+h = M_j,n^[h]. D’après les faits 3 (page 9) et 4 (page 17), cela donne de proche en proche SMIC(n, n+h) = SMAC(n, n+h) et les deux polynomes de degré r sont donc égaux.

Preuve constructive du théorème 2 D’après le lemme 4 la suite n 7→ (nr, Exp(nr)) et les suitesn7→(nr, M_j,nr) pausent simultanément dansM_r,d. On conclut en appliquant le fait 5.

On notera que cette preuve du théorème 2 fournit une nouvelle preuve constructive de l’existence d’une base de Gröbner pour un idéal de type fini dans k[x₁, . . . , x_r] et donc aussi du Hilbert basis theorem (voir [14], [15], [12], [11]).

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20 7 UNE PREUVE DE TERMINAISON CONSTRUCTIVE

Conclusion

Dans cette section nous donnons d’abord quelques arguments pour étayer l’idée que notre algorithme pourrait être plus performant que l’agorithme de Buchberger. Ensuite nous indiquons des axes de recherche future.

L’algorithme SMIC–SMAC est une généralisation décisive de l’algorithme exposé en deux variables dans la thèse de 3ème cycle [9] de A. Kanber : Algorithme de calcul d’une base de Gröbner d’un Idéal de K[X, Y] par Triangulation de “Matrices de Sylvester”, soutenue sous la direction de l’auteur et de S. Labhalla.

Ce dernier algorithme était lui-même une généralisation décisive de l’algorithme [10] de réduction de Hermite d’une matrice à coefficients polynomiaux.

Dans la mise au point précise de l’algorithme en deux variables, lequel n’était pas réfléchi di- rectement en termes SMIC–SMAC, A. Kanber a utilisé une définition très subtile d’une “frontière supérieure” de Exp(n) dont nous ne savons pas si elle peut être généralisée en plus que deux variables, et qui simplifie le test d’arrêt, d’ailleurs légèrement différent de celui de l’algorithme SMIC–SMAC. Une première implantation rudimentaire semble indiquer une économie substan- tielle de l’espace mémoire utilisé en comparaison avec l’algorithme de Buchberger.

L’algorithme SMIC–SMAC et les algorithmes qui l’ont précédé ont été en bonne partie mo- tivés par la comparaison entre l’algorithme d’Euclide et l’agorithme des sous-résultants. Dans l’algorithme des sous-résultants, on évite de calculer des restes de restes . . . de restes, et cela permet de mieux controler la taille des coefficients lorsque les entrées sont dansZpar exemple.

L’expérimentation faite par G. Villard au sujet de l’algorithme Hermipol donné en [10] a montré une économie spectaculaire d’espace mémoire en comparaison de l’agorithme na¨ıf. Notre espoir est qu’une éconmie de même type soit réalisée dans notre algorithme en comparaison de l’algorithme de Buchberger. Il semble possible qu’une économie soit également réalisée en ce qui concerne les degrés des polynomes manipulés. En revanche, il est possible que notre algorithme soit conduit à créer un beaucoup plus grand nombre de polynomes que ne le fait l’algorithme de Buchberger.

De nombreuses variantes et extensions de l’algorithme SMIC–SMAC peuvent ˆetre envisag´ees.

Primo il serait intéressant d’examiner en détail le cas homogène. Secundo, il faudrait donner une généralisation de l’algorithme pour calculer d’autres types de bases de Gröbner par exemple pour les modules. Tertio, il faudrait étudier les rapports étroits qui semblent exister entre le SMAC et le module des relations entre les générateurs de départ.

Nous terminons sur une question que nous laissons ouverte et qui nous intrigue au plus haut point.

La fonctionm7→e_m= dim(E_m) est égale à partir d’un certain rangn₀ au polynomeH(m) = SMIC(∞, m) = SMAC(∞, m) qui est par définition la valeur des fonctionsm7→SMIC(n, m) et m7→SMAC(n, m) pour netm assez grand.

Notons que la fonction SMIC dépend a priori l’ordre admissible considéré. Par contre la fonction SMAC et la fonction m 7→ e_m = dim(E_m), donc a fortiori la fonction H(m) = SMIC(∞, m) = SMAC(∞, m) sont tout à fait indépendantes de l’ordre admissible.

N’est-on pas pourtant assuré (cela semble intuitivement extrêmement plausible) que, aux environs de l’étapen₀ (entre l’étapen₀/r et l’étape rn₀ par exemple) l’ensemble G calculé par l’algorithme SMIC–SMAC est en fait une base de Gröbner de l’idéal considéré ?

Un tel résultat malgré sa plausibilité semblerait impliquer un écart relativement faible entre les degrés de différentes bases de Gröbner minimales pour différents ordres admissibles, en contra- dition avec les idées couramment admises en la matière.

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Ceci nous semble mériter une étude attentive qui pourrait prendre la forme suivante : si l’ensemble G calculé à l’étape n₁ par l’algorithme SMIC–SMAC est une base de Gröbner de l’idéal (et rappelons que ceci se produit de manière optimale), à quelles étapes peut on être assuré d’une part que l’algorithme s’arrête, et d’autre part queem devient égal à H(m) ? Remerciements Nous remercions tout particulièrement A. Galligo, M.-F. Roy, L. González- Vega, L. Pottier, H. Perdry, A. Kanber, B. Sadik, M. El Kahoui et S. Labhalla pour toutes les discussions, suggestions et encouragements qui ont permis d’élaborer et d’améliorer l’agorithme exposé ici.

R´ ef´ erences

[1] Becker T., Weispfening V. : Gr¨obner Bases. Springer 1993. 1

[2] Bini D., Pan V. : Polynomial and matrix computations, vol 1 : Fundamental Algorithms.

Birkha¨user, 1994. 11

[3] Buchberger B. :Gr¨obner Bases : an algorithmic method in polynomial ideal theoryin Mul- tidimensional Systems Theory, ed. Bose N. K., D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, 1985, 184–232. 1

[4] Cox Q., Little J, O’Shea D. : Ideals, Varieties, and Algorithms. (Springer Verlag UTM) (1992). 1

[5] Emiris I., Pan V. :The structure of sparse resultant matrices. Proceedings ISSAC 97. ACM Publications, 1997. 11

[6] Emiris I., Pan V. : Symbolic and numeric methods for exploiting structure in constructing resultant matrices. Preprint. 11

[7] Galligo A. :Algorithmes de calcul de Bases Standard. Technical Report. Universit´e de Nice.

1983. 10

[8] Hardy G., Wright E. : An introduction to the theory of numbers. 5th edition, Clarendon Press, 1979. 6

[9] Kanber A. : Algorithme de calcul d’une base de Gröbner d’un Idéal de K[X, Y] par Trian- gulation de “Matrices de Sylvester”.Thèse de 3ème cycle, novembre 97, Marrakech. 20 [10] Labhalla S., Lombardi H., Marlin R. : Algorithmes de calcul de la réduction de Hermite

d’une matrice `a coefficients polynomiaux.Theoretical Computer Science,161, 1996, 69–92.

20

[11] Lombardi H., Perdry H. :The Buchberger Algorithm as a Tool for Ideal Theory of Polyno- mial Rings in Constructive Mathematics. In ”Gr¨obner Bases and Applications (Proc. of the Conference 33 Years of Gr¨obner Bases)”. B. Buchberger and F. Winkler (eds.), Cambridge University Press, London Mathematical Society Lecture Notes Series, vol. 251 (1998). 10, 20

[12] Mines R., Richman F., Ruitenburg W. A Course in Constructive Algebra. Universitext.

Springer-Verlag, 1988. 20

[13] Mourrain B., Pan V. :Solving special polynomial systems by using structured matrices and algebraic residues. Proc. Workshop on Foundations of Computational Mathematics, Cucker F., Shub M. (eds). Springer LNCS 1997. 11

[14] Richman F. :Constructive aspects of Noetherian rings.In : Proc. Amer. Mat. Soc. 4. 436–

441.(1974) 20

(22)

22 TABLE DES MATI `ERES [15] Seidenberg A. :What is Noetherian ? In : Rend. Sem. Mat. e Fis. di Milano 44. 55–61(1974)

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Table des mati` eres

Introduction 1

1 Pr´eliminaires 2

2 Le SMIC 6

3 Le SMAC 7

4 L’algorithme SMIC–SMAC 9

5 Une preuve de terminaison de l’algorithme SMIC–SMAC 10

6 Pour une implantation de l’algorithme 11

7 Une preuve de terminaison constructive 15

Conclusion 20