Chapitre 7.4 La théorie du corps rigide : La dynamique

Chapitre 7.4 – La théorie du corps rigide : La dynamique

La notation de la dynamique du corps rigide

Voici quelques notation que nous allons employer pour appliquer la 2^e loi de Newton sur notre corps rigide :

Notation Explication

(ext) p(int)

p

p F F

F

v v

v

+

= Somme de toutes les forces sur la particule p.

( )

∑

=

=

M

e ep

p F

F

1 ext

v

v Somme des forces extérieures sur la particule p.

Fqp

v Une force interne qu’une particule q applique sur une particule p.

( )

∑

≠

=

=

N

p q q

qp

p F

F

, 1 int

v

v Somme des forces que les autres particules du

système applique sur la particulep.

( )

∑

( )

=

=

N

p

Fp

F

1 ext ext

v

v Somme de toutes les forces extérieures sur les N

particules du système.

( ) ( ) 0

1 int

int =

∑

=

= N

p

F F

v

v Somme de toutes les forces internes sur les N

particules du système. Par la 3^e loi de Newton, ce résultat est égal à zéro.

La 2

^e

loi de Newton appliquée sur un corps rigide

L’application de la 2^e loi de Newton sur l’intégralité du système consiste à additionner l’ensemble des forces et d’en extraire une conséquence. Bien que la position rv_S

et la vitesse vv_S

du corps rigide soit réalisée pour d’un point de référence S, la 2^e loi de Newton met en relation la somme des forces sur l’ensemble du système avec la masse totale du système multiplié avec l’accélération du centre de masse

avCM

du corps rigide le tout inversement :

2^e loi de Newton Expression de l’accélération

avCM Expression de la somme des forces

CM ext ma

Fv v

=

m a_CM F^ext

v

v =

∑

( )

=

=

N

p

Fp

F

1 ext ext

v v

Preuve :

Appliquons la 2^e loi de Newton selon Oxyz (car inertiel) sur une particule p du système :

t F_p p^p

d d v v

= ⇒

t F p

F ^p

N

p q q

qp M

e

ep d

d

, 1 1

v v v

= +

∑

∑

≠

=

=

⇒ _{( ) ( )}

t F p

F_{p p} ^p

d d

int ext

v v v

= +

Effectuons maintenant une sommation de l’ensemble des N équations disponibles afin d’y simplifier la présence des forces internes :

∑

∑

=

=

=

N

p p N

p

p t

F p

1

1 d

dv

v ⇒

_∑ (

_{( ) ( )}

) _∑

=

=

= +

N

p p N

p

p

p t

F p F

1 1

int

ext d

d v v

v

⇒

∑

_{( )}

∑

_{( )}

∑

=

=

=

= +

N

p p N

p p N

p

p t

F p F

1 1

int 1

ext d

d v v

v

⇒

∑

_{( )}

∑

=

=

=

N

p p N

p

p t

F p

1 1

ext d

dv v

⇒

∑

=

=

N

p p

t F p

1

ext d

d v v

⇒

( )

∑

=

=

N

p

p p

t v F m

1

ext d

d v

v

⇒

∑

=

=

N

p p pv t m F

1 ext d

d v

v

⇒

∑

=

=

N

p p pv m m

tm F

1 ext

1 d

d v

v

⇒

t m v

F d

d _CM

ext

v v

= (

∑

=

=

N

p

p pv m m

v

1 CM

1 v

v )

v v

La 2

^e

loi de Newton en rotation appliquée par rapport à l’origine d’un système d’axe Oxyz

L’application de la 2^e loi de Newton en rotation sur l’intégralité du système consiste à additionner l’ensemble des moments de forces et d’en extraire une conséquence. Le résultat qui sera déduit sera raffiné dans les équations qui suivront. Cependant, nous pouvons affirmer sans hésitation le résultat suivant :

t L d d

ext

v

v =

τ

où

∑

_{( )}

=

=

N

p p 1

ext

ext

τ

τ

^{v v} et _p(ext) r_p F_p(ext) v v

v = ×

τ

Preuve :

Appliquons la 2^e loi de Newton en rotation par rapport à l’origine de Oxyz (car inertiel) sur une particule p du système :

t L_p

p d

d v v =

τ ^⇒

t F L

r F

r ^p

N

p q q

qp p M

e

ep

p d

d

, 1 1

v v v

v v

=

× +

×

∑

∑

≠

=

=

⇒

t F L

r F

r ^p

N

p q q

qp p

M

e ep

p d

d

, 1 1

v v v

v v

=

× +

×

∑ ∑

≠

=

=

⇒ _{( ) ( )}

t F L

r F

r_{p p p p} ^p

d d

int ext

v v v

v v

=

× +

×

⇒ _{( ) ( )}

t L_p

p

p d

d

int ext

v v

v +τ =

τ

Effectuons maintenant une sommation de l’ensemble des N équations disponibles afin d’y simplifier la présence des forces internes :

∑

∑

=

=

=

N

1

1 d

d

p N p

p

p t

L v

τv ^⇒

_∑ (

_{( ) ( )}

) _∑

=

=

= +

N

1 1

int

ext d

d

p N p

p

p

p t

L v v

v τ

τ

⇒ _{( )}

∑

=

=

N

1

ext d

d

p p

t L v τv

⇒ _{( )}

∑

=

=

N

1 ext d

d

p

Lp

t v v

τ

⇒ _{( )}

t L d d

ext

v

v =

τ _■

La décomposition du moment de force à partir du centre de masse

Le moment de force total externe appliquée sur notre corps rigide se doit d’être évalué par rapport à l’origine de Oxyz si l’on veut le faire correspondre à la variation du moment cinétique dans le temps

t L/d dv

mesuré lui aussi par rapport à l’origine de Oxyz.

Cependant, une réorganisation de l’information nous simplifiera notre analyse. Si l’on décompose nos vecteurs rv_p

tel que

CM

CM p

p r r

rv v v +

= ,

selon Oxyz, ceci nous permettra de décomposer nos calculs de moments de forces de la façon suivante :

CM ext CM

ext τ

τ ^v

v v

v =r ×F + où

∑

_{( )}

=

×

=

N

p

p

p F

r

1

ext CM

CM

v v

τ

v

Preuve :

( )

∑

=

=

N

p p 1

ext

ext

τ

τ

^{v v ⇒}

∑

_{( )}

=

×

=

N

p

p

p F

r

1

ext ext

v v

τ

v

⇒

_∑ ( )

_{( )}

=

× +

=

N

p

p

p F

r r

1

ext CM

CM ext

v v v

τ

v

⇒

_∑ (

_{( ) ( )}

)

=

× +

×

=

N

p

p p

p r F

F r

1

ext CM

ext CM

ext

v v v v

τ

v

⇒

∑

_{( )}

∑

_{( )}

=

=

× +

×

=

N

p

p p

N

p

p r F

F r

1

ext CM

1

ext CM

ext

v v v v

τ

v

⇒

∑

_{( )}

∑

_{( )}

=

=

× +

×

=

N

p

p p

N

p

p r F

F r

1 CM ext

1 ext CM

ext

v v v v

τ

v

⇒ τ_{ext CM ext} τ^v_CM v v

v =r ×F + ■

La 2

^e

loi de Newton en rotation sur un corps rigide

L’application de la 2^e loi de Newton en rotation sur un corps rigide permet d’obtenir une relation entre la somme des moments de force τ^v_CM mesuré par rapport au centre de masse rv_CM

du corps rigide et l’accélération angulaire α^v du corps rigide. Puisque l’accélération angulaire α^v ne dépend pas de la position rv_S

du corps rigide (point autour duquel il tourne selon Oxyz), résoudre cette équation permet d’obtenir directement l’état de changement de la rotation du corps.

Outils de calcul

( )

∑

=

×

=

N

p

p

p F

r

1 CM ext

CM

v v

τ

v avec rv_pCM rv_p rv_CM

−

=

( ) ^T

R I R

I_S = _S→O ^S _S→O

(

R

)

I^{( )}R ^T R I^{( )}

(

R

)

^T

t I

O S S

O S O S S O S S

d d

→

→

→

→ + ×

×

= ω^v ω^v

(

r r I r r^T

)

m

U_{CMS S} v_CMS v_{S 3} v_CMSv_S

−

⋅

− =

( )

(

v r r v I v r^T r v ^T

)

t m U

S S CM S S CM 3 S CM S S CM S S

S CM

d

d v v v v v v v v

−

−

⋅ +

⋅

− =

(

r r I r r ^T

)

m

U_{CMS CM} v_CMS v_{CM 3} v_CMSv_CM

−

⋅

− =

Équation générale (rv_S rv_CM

≠ )

( )

( ^{ω ω} ) ^ω ( ) ^α

τ

^v_CM ^v_CM ^v_S ^v_CM ^{v v v}_CMS ^{S CMS S v} _{S CMSS CMS CM} ^v d

d d d

−

−

−  + + −







 +

+

×

×

×

−

×

= I U U

t U t

r I r

m v v m

Ce qui nous donnera

( ) ( ( ) )

_^

















 +

−

×

×

× +

×

−

− +

= _{− −} ⁻

τ ω ω

⁻

ω

α

^{v v v v v v v v v}

t U t r I

r m v v m U

U

I d

d d

d S CMS S S

CM CM

S CM CM

1 CM S CM S S CM S

Équation particulière de la rotation autour du centre de masse (rv_S rv_CM

= et vv_S vv_CM

= , donc I_S ≡ I_CM)

α

ω

τ

^v_CM ^{CM v} _CM ^v d

d I

t

I +

=

Ce qui nous donnera



 



 −

= ⁻

τ ω

α

^{v v v}

t I I

d d _CM

CM 1 CM

Preuve :

t L d d

ext

v

v =

τ

⇒ ^τv_ext

(

^v_CM ^v_S

(

_{S CMS S}

)

^ωv

)

d d

+ −

+

×

= mr v I U

t

⇒ ^τv_ext

(

^v_CM ^v_S

) ( (

_{S CMS S}

)

^ωv

)

d d d

d

+ −

+

×

= I U

v t r t m

⇒ ^τv_ext

(

^v_CM ^v_S

) (

_S^ωv

) (

_{CMS S}^ωv

)

d d d

d d

d

+ −

+

×

= U

I t v t

t r m

⇒

U t t

U I t

t I t r v

m t v

m r

d d d

d d d d

d d d d

d

S S CM S

S CM S

S S CM S

CM ext

ω ω ω ω

τ

v v v v

v v

v v v

−

− +

+ +

+

× +

×

=

⇒ τ^v_ext ^v_CM ^v_S ^v_CM ^v_S ^Sω^v _Sα^{v CMS S}ω^v _{CMS S}α^v d

d d

d

−

− +

+ + +

× +

×

= U

t I U

t a I r m v v m

⇒

^τ

^v_ext ^v_CM ^v_S ^v_CM ^v_S ^{S CMSS}

^ω

^v

(

_{S CMS S}

) ^α

^v

d d d d

−

−  + +







 +

+

× +

×

= I U

t U t

a I r m v v m

Nous allons maintenant remplacer l’accélération av_S

du point S par l’expression

(

_CMS

)

S CM CM

S a r r

av v v v v v v

×

×

−

× +

= α ω ω

et obtenir l’expression suivante :

( )

( ^{α ω ω} ) ^ω ( ) ^α

τ

^v_ext ^v_CM ^v_S ^v_CM ^v_CM ^v_CMS ^{v v v v}_CMS ^{S CMS S v} _{S CMS S} ^v d

d d d

−

−  + +







 +

+

×

×

−

× +

× +

×

= I U

t U t

r I r

a r m v v m

⇒

( ) ( ( ) )

( ) ^α

ω

ω ω α

τ

v v

v v v v v v v v

v v v v

S S CM S S

S S CM

S CM CM

S CM CM CM

CM S

CM ext

d d d d

−

−  + +







 +

+

×

×

×

−

×

× +

× +

×

=

U t I

U t I

r r

m r

r m a r m v v m

Pour isoler α^v dans cette équation, nous devrons restructurer le terme

(

^v

^α

^v

)

v v

×

×

=mr_CM r_CMS

T .

Par analogie avec l’expression précédente

( ^ω

^{v v}

) (

^{v v v v}

) ^ω

^v

v v

S S CM S

S CM 3 S S CM S

CM S

3 =mr × ×r =m r ⋅r I −r r =U −

L ^T

alors nous avons :

(

^v

^α

^v

)

v v

×

×

=mr_CM r_CMS T

⇒ ^Tv=−mrv_CM ^×

( ^α

^v×rv_CMS

)

⇒ T^v=−m

(

r^v_CMS⋅r^v_CM I₃ − r^v_CMSr^v_CM^T

) ^α

^v

⇒

α

^v

v

CM S CM −

−

= U

T et U_{CMS CM} m

(

rv_CMS rv_CM I₃ rv_CMSrv_CM^T

)

−

⋅

− =

Si l’on remplace T

v, nous aurons le résultat suivant :

( ) ( ( ) )

( ) ^α

ω

ω ω α

τ

v v

v v v v v v

v v v v

S S CM S S

S S CM

S CM CM

CM S CM CM

CM S

CM ext

d d d d

−

−

−

+

 +







 + +

×

×

×

−

− +

× +

×

=

U t I

U t I

r r

m U

a r m v v m

⇒

( )

( )

( ) ^α

ω

ω ω τ

v v

v v v v v

v v v v

CM S CM S S CM S S

S S CM

S CM CM

CM CM S

CM ext

d d d d

−

−

−  + + −







 + +

×

×

×

−

× +

×

=

U U

t I U t I

r r

m a r m v v m

Par la suite, nous pouvons décomposer notre moment de force sous la forme

CM ext CM

ext

τ

τ

^v

v v

v =r ×F +

et faire des associations de termes afin de retirer la référence à l’accélération du centre de mass :

( )

( )

( ) ^α

ω

ω ω τ

v v

v v v v v

v v v v v

v

CM S CM S S CM S S

S S CM

S CM CM

CM CM S

CM CM

ext CM

d d d d

−

−

−  + + −







 + +

×

×

×

−

× +

×

= +

×

U U

t I U t I

r r

m a r m v v m F

r

⇒

( ) ( ( ) )

( ) ^α

ω

ω ω τ

v v

v v v v v

v v v v v

v

CM S CM S S CM S S

S S CM

S CM CM

CM CM

S CM CM

ext CM

d d d d

−

−

−  + + −







 + +

×

×

×

−

× +

×

= +

×

U U

t I U t I

r r

m a

m r

v v m F

r

⇒

( ) ( ( ) )

( ) ^α

ω

ω ω τ

v v

v v v v v

v v v v v

v

CM S CM S S CM S S

S S CM

S CM CM

ext CM S CM CM

ext CM

d d d d

−

−

−  + + −







 + +

×

×

×

−

× +

×

= +

×

U U

t I U t I

r r

m F r v v m F

r

⇒

^τ

^v_CM ^v_CM ^v_S ^v_CM

( ^ω

^v

( ^ω

^{v v}_CMS

) )

^{S CMSS}

^ω

^v

(

_{S CMS S CMS CM}

) ^α

^v

d d d d

−

−

−  + + −







 +

+

×

×

×

−

×

= I U U

t U t

r I r

m v v m

Pour calculer le tout, il suffit d’utiliser les expressions suivantes :

•

(

R

)

I^{( )}R ^T R I^{( )}

(

R

)

^T

t I

O S S

O S O S S O S S

d d

→

→

→

→ + ×

×

=

ω

^v

ω

^v

• m

( (

v r r v

)

I v r^T r v ^T

)

t U

S S CM S S CM 3 S CM S S CM S S

S CM

d

d v v v v v v v v

−

−

⋅ +

⋅

− =

• ^U_CMS−_S ^=m

(

^rv_CMS^⋅rv_S^I₃ ^{− rv}_CMS^rv_S^T

)

• U_{CMS CM} m

(

rv_CMS rv_CM I₃ rv_CMSrv_CM^T

)

−

⋅

− =

Nous pouvons établir notre relation entre le moment de force total appliquée par rapport au centre de masse selon Oxyz et notre accélération angulaire

α

en isolant l’accélération angulaire :

( )

( ^{ω ω} ) ^ω ( ) ^α

τ

^v_CM ^v_CM ^v_S ^v_CM ^{v v v}_CMS ^{S CMS S v} _{S CMS S CMS CM} ^v d

d d d

−

−

−  + + −







 + +

×

×

×

−

×

= I U U

t U t r I

r m v v m

⇒

( ) ^α

^v

^τ

^{v v v v}

( ^ω

^v

( ^ω

^{v v}

) )

_

^ω

^v







 +

−

×

×

× +

×

−

=

−

+ _{− −} ⁻

t U t r I

r m v v m U

U

I d

d d

d S CMS S S

CM CM

S CM CM

CM S CM S S CM S

⇒

( ) ( ( ) )

_^

















 +

−

×

×

× +

×

−

− +

= _{− −} ⁻

τ ω ω

⁻

ω

α

^{v v v v v v v v v}

t U t

r I r

m v v m U

U

I d

d d

d S CMS S S

CM CM

S CM CM

1 CM S CM S S CM S

Dans le cas où rv_S rv_CM

= et vv_S vv_CM

≡ , alors rv_CMS =0

et plusieurs termes seront nuls :

• U_CMS−S =0

• 0

d d _{CMS S}

− = t U

• U_CMS−CM =0

• mvv_CM×vv_S =0

• mrv_CM×

(

v×

(

v×rv_CMS

) )

=0

ω

ω

Ainsi, l’expression de l’accélération angulaire

α

^v où I_S ≡I_CM prendra la forme réduite



 



 −

= ⁻

τ ω

α

^{v v v}

t I I

d d _CM

CM 1

CM

avec

(

R

)

I^{( )}R ^T R I^{( )}

(

R

)

^T

t I

O S S

CM O S O S S CM O S CM

d d

→

→

→

→ + ×

×

=

ω

^v

ω

^v

Situation A : L’accélération angulaire d’un corps rigide à 3 particules non-colinéaire calculé rapport au centre de masse. Un corps rigide est composé de d’une particule 1 de masse m₁ =5 kg située à la coordonnée rv₁ =0

, d’une particule 2 de masse m₂ =5 kg située à la coordonnée m

2 3i r v v

= et d’une particule 3 de masse m₃ =5 kg située à la coordonnée r₂

(

3i 4 j

)

m v v v

+

= . Le

système subit une force extérieur F 7j N v v

= appliquée sur la particule 2. On désire évaluer l’accélération angulaire α^v sachant que la vitesse angulaire du corps rigide est

(

i j k

)

rad/s

v v v v

+ +

ω

= et

que le corps rigide n’est pas tourné (q) =0 ).

Évaluons la masse totale m du système :

∑

=

=

N

p

mp

m

1

⇒ m=m₁ +m₂ +m₃

⇒ m=

(

5kg

) (

+ 5kg

) (

+ 5kg

)

⇒ m=15 kg Évaluons la position du centre de masse rv_CM

du système :

∑

=

=

N

p p pr m m

r

1 CM

1 v

v ⇒ _CM ¹

(

m₁r₁ m₂r₂ m₃r₃

)

rv m v v v

+ +

=

⇒ r

( ) ( ( ) ( )

i

( ) ( )

i

( ) (

i j

) )

v v v

v v

4 3 5 3 5 0 15 5

1

CM = + + +

⇒ r_CM

(

2i 1,333j

)

m v v v

+

=

Évaluons le moment de force total extérieur appliquée sur le corps rigide par rapport au centre de masse :

( )

∑

=

×

=

N

p

p

p F

r

1

ext CM

CM

v v

τ

v ⇒ _CM r_2CM F_2(ext) v v

v = ×

τ

⇒

(

r r

)

F

v v v

v_CM = ₂ − _CM ×

τ

(rv_pCM rv_p rv_CM

−

= )

⇒

( ( ) (

i i j

) ) ( )

j v v

v v v

7 333

, 1 2

CM = 3 − + ×

τ

⇒

(

i j

) ( )

j

v v v v

7 333 ,

CM = +1 ×

τ

⇒ _CM =7k N⋅m v v

τ

Évaluons le moment d’inertie du corps rigide par rapport à son centre de masse. Puisque nos particules sont uniquement situées dans le plan xy, alors les termes

0

=

−

=

∆r r r

• ∆r_y1CM =r_y1−r_yCM ⇒ ∆r_y1CM =

( ) (

0 − 1,333

)

⇒ ∆r_y1CM =−1,333 m

• ∆r_x2CM =r_x2 −r_xCM ⇒ ∆r_x2CM =

( ) ( )

3 − 2 ⇒ ∆r_x2CM =1 m

• ∆r_y2CM =r_y2 −r_yCM ⇒ ∆r_y2CM =

( ) (

0 − 1,333

)

⇒ ∆r_y2CM =−1,333 m

• ∆r_x3CM =r_x3 −r_xCM ⇒ ∆r_x3CM =

( ) ( )

3 − 2 ⇒ ∆r_x3CM =1 m

• ∆r_y3CM =r_y3 −r_yCM ⇒ ∆r_y3CM =

( ) (

4 − 1,333

)

⇒ ∆r_y3CM =2,666 m Les termes sur la diagonale du tenseur d’inertie seront les suivants :

•

_∑ ( )

=

∆ +

∆

=

N

p

zp yp

p

xx m r r

I

1

2 CM 2

CM

CM ⇒ I_xxCM =m₁∆r_y1CM² +m₂∆r_y2CM² +m₃∆r_y3CM²

⇒ I_xxCM =

( )(

5 −1,333

)

² +

( )(

5 −1,333

)

² +

( )(

5 2,666

)

²

⇒ I_xxCM =53,33 kg⋅m²

•

_∑ ( )

=

∆ +

∆

=

N

p

zp xp

p

yy m r r

I

1

2 CM 2

CM

CM ⇒ I_yyCM =m₁∆r_x1CM² +m₂∆r_x2CM² +m₃∆r_x3CM²

⇒ I_yyCM =

( )(

5 −2

)

² +

( )( )

5 1² +

( )( )

5 1²

⇒ I_yyCM =30 kg⋅m²

•

_∑ ( )

=

∆ +

∆

=

N

p

yp xp

p

zz m r r

I

1

2 CM 2

CM

CM ⇒ I_zzCM =

(

30kg⋅m²

) (

+ 53,31kg⋅m²

)

⇒ I_zzCM =83,33 kg⋅m²

• 0

1

CM CM

CM =−

∑

∆ ∆ =

= N

p

yp xp p

xy m r r

I ^⇒ _^











∆

∆ +

∆

∆ +

∆

∆

−

=

CM 3 CM 3 3

CM 2 CM 2 2 CM 1 CM 1 1 CM

y x

y x y

x

xy m r r

r r m r

r m I

⇒

( )( )( ) ( )( )( )

( )( )( )

^_





 +

− +

−

− −

= 5 1 2,666

333 , 1 1 5 333 , 1 2 5

CM

Ixy

⇒ I_xyCM =−20 kg⋅m² Voici notre tenseur d’inertie par rapport au centre de masse :

















=

CM CM

CM

CM CM

CM

CM CM

CM CM

zz zy

zx

yz yy

yx

xz xy

xx

I I

I

I I

I

I I

I I

⇒

















=

CM CM

CM

CM CM

CM

0 0

0 0

zz yy

yx

xy xx

I I

I

I I

I (ex : 0

1

CM CM

CM =−

∑

∆ ∆ =

= N

p

zp xp p

xz m r r

I )

⇒

















−

−

=

33 , 83 0 0

0 30 20

0 20 33 , 53

ICM (I_xyCM =I_yxCM)

Évaluons la matrice I_CM⁻¹ à partir d’une application¹ réalisant l’inversion d’une matrice :

















− =

012 , 0 0 0

0 4 044 , 0 6 016 , 0

0 6 016 , 0 025 , 0

1

ICM

Évaluons la dérivée du tenseur d’inertie I_CM par rapport au temps. Puisque l’on peut considérer que le corps est connu dans le référentiel O, car il n’est pas tournée (q)=0

), alors notre matrice de rotation

O

RS→ est telle que R_S→O =R_S→O^T =I₃. Ainsi, dI_CM /dt donnera le résultat suivant :

(

R

)

I^{( )}R ^T R I^{( )}

(

R

)

^T

t I

O S S

CM O S O S S CM O S CM

d d

→

→

→

→ + ×

×

=

ω

^v

ω

^v

⇒

(

I

)

I^{( )}I I I^{( )}

(

I

)

^T

t I

3 S

CM 3 3 S CM 3 CM

d

d =

ω

^v× +

ω

^v×

⇒ ^{( ) ( )}

T

x y

x z

y z

x y

x z

y z

I I

I I I t I

I

































−

−

− +

































−

−

−

= _{3 CM}^S _{3 3 CM}^S ₃

CM

0 0 0

0 0

0 d

d

ω ω

ω ω

ω ω ω

ω

ω ω

ω ω

⇒ ^{( ) ( )}

T

x y

x z

y z

x y

x z

y z

I t I

I

















−

−

−

 +















−

−

−

=

0 0

0 0

0 0

d

d _S

CM S CM CM

ω ω

ω ω

ω ω ω

ω

ω ω

ω ω

⇒ ^{( ) ( )}

















−

−

−

 +















−

−

−

=

0 0

0 0

0 0

d

d _S

CM S CM CM

x y

x z

y z

x y

x z

y z

I t I

I

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

⇒

















−

−

−

















−

− +

















−

−

















−

−

−

=

0 0

0 33 , 83 0 0

0 30 20

0 20 33 , 53 33

, 83 0 0

0 30 20

0 20 33 , 53 0 0 0

d d _CM

x y

x z

y z

x y

x z

y z

t I

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

⇒









+

−

−

−

−

+









−

−

−

=

0 33

, 83 33

, 83

30 20

20 30

20 33

, 53 33

, 53 20

0 30

20 20

33 , 53

33 , 83 20

33 , 53

33 , 83 30

20 d

d _CM

x y

z z

x y

z z

x z

z

y z

z

t

I

ω ω ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω

ω ω

ω