A l’aide des angles d’Euler, g ∈ SO(3) s’´ ecrit

Assistant: joseph.saliba@epfl.ch Corrig´ e 4 11/03/2013

1 Exercice 1

A l’aide des angles d’Euler, g ∈ SO(3) s’´ ecrit

g = R

(φ)R

(θ)R

(ψ),

o` u R

(α) est la rotation d’un angle α autour de l’axe j . En identifiant SO(2) ` a une rotation autour de l’axe 3, on peut choisir comme repr´ esentant de [g]

l’´ el´ ement ˜ g = R

(φ)R

(θ). En effet, pour g ∈ SO(3), posons h = g

˜ g. Ce h est un ´ el´ ement de SO(2)

h = g

g ˜ = R

(ψ)R

(θ)R

(φ)R

(φ)R

(θ) = R

(ψ) ∈ SO(2), et tel que ˜ g = gh. Donc

SO(3)/SO(2) = { R

(φ)R

(θ) | φ ∈ [0, 2π[, θ ∈ [0, π] } .

Comme repr´ esentant dans

[g], on prend ¯ g = R

(θ)R

(ψ). Comme pr´ ec´ edemment, on v´ erifie que ¯ gg

∈ SO(2); ainsi

SO(2) \ SO(3) = { R

(θ)R

(ψ) | θ ∈ [0, π], ψ ∈ [0, 2π[ } .

Quant ` a la sph´ ere S

, tout x ∈ S

est d´ ecrit, en coordonn´ ees sph´ eriques, par les deux angles θ ∈ [0, π] et φ ∈ [0, 2π[, selon

~

x = (cos φ sin θ, sin φ sin θ, cos θ).

On voit donc qu’il y a une correspondance biunivoque entre ~ x et ˜ g ou ¯ g. Soit l’application f : SO(2) \ SO(3) −→ S

R

(θ)R

(φ) −→ ~ x =





cos φ sin θ sin φ sin θ

cos θ





Munissons SO(2) \ SO(3) et S

des distances

d

(A, B) = max

1≤i,j≤3

| A

− B

| d

(~ x, ~ y) = max

1≤j≤3

| x

− y

| .

Ceci donne une structure d’espace m´ etrique ` a SO(2) \ SO(3) et S

. Montrons la continuit´ e de l’application f ; on a

R

(θ)R

(φ) =





1 0 0

0 cos θ sin θ 0 − sin θ cos θ









cos φ sin φ 0

− sin φ cos φ 0

0 0 1





=





cos φ sin φ 0

− cos θ sin φ cos θ cos φ sin θ sin θ sin φ − sin θ cos φ cos θ





1

donc

d

(A, A

) < δ

⇒

⇒ max

1≤i,j≤3

| A

− A

| < δ

⇒| A

− A

| < δ

∀ i, j = 1, 2, 3

⇒| cos φ sin θ − cos φ

sin θ

| < δ

| sin φ sin θ − sin φ

sin θ

| < δ

| cos θ − cos θ

| < δ

⇒| x

− x

| < δ

∀ j = 1, 2, 3

⇒ max

1≤j≤3

| x

− x

| < δ

⇒ d

(~ x, ~ x

) < δ

f est donc continue. La continuit´ e de f

peut ˆ etre montr´ ee de la mˆ eme fa¸con . On a donc

S

' SO(2) \ SO(3)

Un raisonnement analogue permet d’´ etablir que S

' SO(3)/SO(2).

2 Exercice 2

La caract´ eristique d’Euler est donn´ ee par χ(X) = s − c+f, o` u s est le nombre de sommets, c le nombre de cˆ ot´ es, f le nombre des faces. Pour calculer χ on peut utiliser le fait que ces espaces sont hom´ eomorphes ` a des espaces quotients obtenus ` a partir de R

en utilisant des relations d’´ equivalence opportunes:

1. Tore T

' R

/ ∼ avec x ∼ y ⇔ x

− y

= 2πn

, x

− y

= 2πn

, n

∈ Z 2. Ruban de Moebius M ' R

/ ∼ avec x ∼ y ⇔ x

− y

= 2πn,

x

= ( − 1)

y

, n ∈ Z

3. Bouteille de Klein K ' R

/ ∼ avec x ∼ y ⇔ x

= ( − 1)

y

+ 2πn

, x

− y

= 2πn

, n

∈ Z

4. L’espace projectif RP

' R

/ ∼ avec x ∼ y ⇔ x

= ( − 1)

y

+ 2πn

, x

= ( − 1)

y

+ 2πn

, n

∈ Z

On a donc (voir Fig.(1)):

1. χ(T

) = 1 − 2 + 1 = 0;

2. χ( M ) = 2 − 3 + 1 = 0;

3. χ( K ) = 1 − 2 + 1 = 0 4. χ(RP

) = 2 − 2 + 1 = 1

2

A A A A

B A

B A

A A

A A

B A

B A

T

M K RP

Fig. 2.2: Espaces quotient deR²: toreT², ruban de MoebiusM, bouteille de KleinKet de l’espace projectif RP².

2.6 Caractéristique d’Euler

La caractéristique d’Euler est donnée par χ( X ) = s − c + f , où s est le nombre de sommets, c le nombre de côté, f le nombre de faces.

1. Tore T

χ( T

) = 1 − 2 + 1 = 0.

2. Ruban de Moebius M χ(M) = 2 − 3 + 1 = 0.

3. Bouteille de Klein K χ(K) = 1 − 2 + 1 = 0.

4. Espace projectif RP

χ( RP

) = 2 − 2 + 1 = 1.

6-i

Figure 1: Espaces quotient de R

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