Théorie de la constitution des aimants de Sir William Thomson par extension de la méthode de Vaschy

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Submitted on 1 Jan 1914

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Théorie de la constitution des aimants de Sir William Thomson par extension de la méthode de Vaschy

J.-B. Pomey

To cite this version:

J.-B. Pomey. Théorie de la constitution des aimants de Sir William Thomson par extension de la méth- ode de Vaschy. J. Phys. Theor. Appl., 1914, 4 (1), pp.126-134. �10.1051/jphystap:019140040012601�.

�jpa-00241880�

126

et, pour le coefficient de conductibilité thermique /,

.

Divisant (8) par (4), ^{on obtient :}

c’est-à-dire qu’on ^{retrouve la loi de} Wiedmann-Franz, ix ^{et k étant} regardés ^{comme des} constantes universelles. Je n’insiste pas, ayant ^l l’intention de revenir sur ces questions qui ^n’ont qu’un rapport ^indi-

rect avec le sujet ^actuel.’

THÉORIE DE LA CONSTITUTION DES AIMANTS

DE SIR WILLIAM THOMSON PAR EXTENSION DE LA MÉTHODE DE VASCHY;

Par M. J.-B. POMEY.

Si l’on imagine que chaque élément de volume cZr;; d’un aimant soit

un aimant élémentaire de moment constitué _par deux masses

égales ^{et de} signes contraires d’un fluide fictif agissant ^{suivant la loi}

de Coulomb, ^on a, pour le potentiel ^V, d’après ^{la théorie de Sir}

Wiliam Thomson :

l’intégrale ^{étant étendue au} volume U de l’aimant: la parenthèse représente ^le produit ^{scalaire :}

A, B, C, ^{étant les} composantes ^de I ; ^{on en déduit :}

l’intégrale de surface étant étendue à la snrface de l’aimant ; (Ivi) ’) représente ^le produit scalaire de 1 pair ^{le vecteur unité v,: normal à ~S}

et dirigé ^vers l’iiitérieur de l’aimant. Inversement de (~) ^{on déduit} (~).

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:019140040012601

L’objet ^{de la} présente ^{note est d’établir la formule} (2) ^au moyen

de l’expérience ^{et du} raisonnement, ^{sans faire} appel ^à des fluides fictifs ni à des actions à distance.

Nos hypothèses ^sont les suivantes: les expériences de Coulomb et

l’expérience de l’aimant brisé montrent que, si li ^est l’intensité du

champ magnétique ^{mesuré dans} l’air, ^{on a les deux} propriétés ^sui-

vantes :

La première intégrale ^{est une} intégrale ^de ligne, ^dans laquelle h,

est la composante ^du champ magnétique ^h suivant la tangente ^au

contour d’intégration ; celui-ci forme un chemin fermé quelconque, mais, ^{dans le cas où il} serait tracé en totalité ou en partie ^{à l’inté-}

rieur de la substance d’un corps magnétique, ^l’on devrait supposer que l’on ^a pratiqué ^{dans cette substance un} canal infiniment délié tout autour de la ligne d’intégration ; ^{ce canal} serait vidé de ma-

tière magnétique ^et rempli du fluide ambiant. En chaque point ^du canal, ^le champ magnétique ^{li a alors une} valeur bien définie, ^comme

en tout point ^de l’aii, où l’on fait une observation de champ magné- tique, ^{mais ce} champ réellement observé à une direction et une

intensité variables suivant la forme et la direction du canal au point considérée ; cependant ^nous montrerons qu’il ^{suffit de trois} expé-

riences pour déterminer ^la composante hs qui serait relative à une

direction de canal quelconque ^passant par ^ce point. ^Si l’intégrale

n’était _pas nulle, ^elle mesurerait un flux de courant ; ^{nous excluons}

ce cas, qui ^se rapporte ^{à une autre théorie.}

De même, la seconde intégrale ^{est une} intégrale ^{de surface, dans} laquelle ^j2,t désigne ^la composante ^du champ magnétique perpendi-

culaire à l’élément de surface dS. Quant à la surface d’intégration,

c’est une surface fermée quelconque; ^{mains, dans le cas où cette sur-}

face serait en partie ^{ou en totalité située à} l’intérieur de la substance d’un corps magnétique, il faudrait pratiquer ^une coupure infiniment étroite, ^de façon que la surface d’intégration fût située tout entière à l’intérieur du feuillet ainsi formé. Alors, ^en chaque point ^{de la}

surface d’intégration, ^le champ magnétique devient réellement ob- servable par les procédés ordinaires, ^{mais il a une} direction ^{et une} intensité variables, qui dépendent ^de l’orientation de la coupure.

1

128

Nous montrerons qu’en ^{réalité trois} expériences suflisent pour que l’on puisse prédéterminer ^la composante h,, ^{relative à une} coupure

quelconque passant par le point ^considéré.

’Tout cela suppose qu’on ^ne modifie pas l’état magnétique ^{de la}

substance quand ^{on enlève une} portion de matière infiniment petite«

En résumé, ^les quantités ^{hs et h,1} qui figurent dans les deux inté-

grales ^sont directement empruntées ^à l’expérience. Quant ^{aux rela-}

tions (3) ^et (4), ^c’est par ^induction que ^{nous les} supposons géné-, rales, après les avoir vérifiées dans le cas d’une ou de plusieurs aiguilles uniformément aimantées placées dans l’air.

Soit donc 0 un point quelconque ^{situé à} l’intérieur d’un corps

magnétique ^{ou d’un} aimant, ^{dans un} champ constant ; ^{soit ds un} élément du contour d’intégration passant par ^ce point ; ^traçons

des canaux respectivement ^de longueur dJ, dx, successive- ment bout à bout et parallèles ^{aux trois axes, de façon à} partir ^{de 0}

et à arriver à l’extrémité de ds. En vertu de la propriété exprimée

par (3), j’aurai :

Hx, Hy, Hz, désignant respectivement ^les composantes tangen- tielles de l’intensité du champ ^{dans les canaux dx,} dy, ^dz.

Soit alors H le vecteur qui ^a pour composantes Hx, Hy, ^c’est

ce vecteur que, par définition, j’appelle ^le champ magnétique ; ^dans l’air, ^cette définition concorde avec celle qu’on ^donne d’ordinaire.

De plus j’aurai évidemment, H, ^{étant la} projection ^{de H sur ds :.}

En comparant (5) ^avec (6), j’en ^{déduis :}

et par suite : (8) D’où:

L’équation (7) ^montre que les trois expériences qui ^{ont donné ~~}

suffisent pour déterminer la valeur hs ^{de la} composante tangentielle

,

de l’intensité dans un canal de direction quelconque ^ds.

En résumé, j’ai donc défini expérimentalement ^{un vecteur FI} qui, ^en

dehors de la substance des aimants, ^se réduit à l’intensité du champ, qui ^est bien déterminé à l’intérieur des aimants et qui jouit ^{de la} propriété ^{d’avoir une} distribution irrotationnelle.

Ce vecteur est pour ^nous l’intensité du champ ^au point ^0.

De même, ^{si au} point ^{0 de} l’aimant je ^trace diverses coupures, dans chacune d’elles j’observerai ^{une intensité} différente du champ

,

magnétique ; ^{ce ne seront} pas ^non plus ^{les mêmes valeurs} que dans les canaux précédents.

Si en particulier la coupure ^est perpendiculaire ^{à l’axe} des, ^{ou à}

l’axe des _~, ou à l’axe des z, ^{on aura} des intensités différentes, ^dont

nous considérons seulement les composantes ^normales Bx, By, Bz.

J’appelle ^{B le vecteur} qui ^a pour composante B~, By, ^{et c’est lui} qui ^sera pour ^nous l’induction magnétique. ^{Je vais montrer} qu’il

satisfait à la condition solénoïdale :

A cet effet, je ^{considère un} tétraèdre élémentaire formé d’une base oblique ^{dS et} de trois faces perpendiculaires ^{aux axes dSx,} ds7, qui ^ne sont autres que les projections de dS. En réalité je sup- pose que ^ces faces sont des coupures. Soit hn ^la composante ^normale

à dS de l’intensité du champ observée dans la coupure ds ; ^{en vertu} de la propriété (4), j’aurai :

Or, ^{si on} appelle ^{Bn la} composante ^{normale de} B, ^{on a aussi :}

d’où par comparaison :

Or la première intégrale, appliquée à ^{une surface fermée, est nulle,}

donc on a :

d’où la propriété (10) ^{div ~3 - o.}

L’équation ^hn

^{Bn montre} que les trois expériences qui ^{ont donné}

J. de 5’ série, ^{t. IV.} (Février 1914.) ⁹

130

le vecteur B suffisent pour déterminer la composante ^{normale de}

l’intensité du champ ^{dans une} coupure d’orientation quelconque.

En résumé, j’ai ^défini expérimentalement ^{un vecteur} B ; ^{ce vecteur}

se réduit, ^dans l’air, ^à l’intensité du champ magnétique; ^à l’intérieur d’un aimant, ^il représente ^ce que ^nous appelons l’induction magné- tique. ^Sa distribution est solénoïdale.

D’autre part, ^{il est} aisé de démontrer : 1° qu’à la surface de l’ai- mant, la composante tangentielle ^{de H est continue, et 2°} qu’à ^{la sur-}

face de l’aimant la composante normale de B est continue.

e 1

d . 1 ^_ fI

d . , , d Cela posé, considérons le vecteur -4 ^{7t qui se réduit à zéro dans}

l’air. Appelons-le ^{1. Il sera,} pour nous, la définition de l’intensité d’aimantation. Nous pourrons écrire, conformément à la théorie

générale ^{de M.} Mallard,

lo représentera l’aimantation permanente, puis, c~H représentant

une fonction vectorielle linéaire de H, ^{le terme} mH représentera ^l’ai-

mantation temporaire. D’ailleurs, ^{comme on est dans le cas de} l’éga-

lité symétrique, ^{la fonction} p ^est antoconjuguée.

Ces préliminaires ^nous permettent d’appliquer ^{au vecteur H le}

théorème de Vaschy, que ^{nous allons} rappeler ^{en notation vec-}

torielle.

Je pose :

vi étant le vecteur unité dirigé ^vers l’intérieur du champ.

Je pose, ^{en outre :}

Le théorème de Vaschy s’exprime par ^la formule :

Appliquons ^{cette formule.}

Pour cette application, ^nous devons considérer la surface de l’ai-

mant comme une surface de discontinuité; cependant, ^{sur cette sur-}

face, nous aurons T - o, parce que H n’éprouve pas de discontinuité

tangentielle.

On aura d’ailleurs _{y =} o, parce qu’on ^{a rot H ~} o, de sorte que le second terme disparaît ^{dans la formule} (18).

En ce qui concerne c, sa valeur en un point ^de la surface de dis- continuité est donnée par l’équation :

où Hi et Hg ^{sont les} composantes ^du champ ^à l’intérieur et à l’exté- rieur de l’aimant et _vi et ve les ^{vecteurs unités} dirigés respectivement

vers l’intérieur et vers l’extérieur de l’aimant.

Or on a par définition de ^{1 :}

On a aussi, ^à l’extérieur de l’aimant :

(22) 1Blais :

puisque ^la composante ^{de B est continue.}

Il reste donc :

Calculons enfin p ^en fonction de I ; ^on a, d’après (16) ^et (20) :

Or, d’après (10), ^{on a :} div B - o; il ^reste donc :

Reportons ^{ces résultats dans} (1 7), ^{il vient :}

132

Et de cette formule, ^{on retombe sur} la formule primitive (1) ^de

Sir William Thomson.

~ Nous pouvons appliquer ^{les mêmes} principes ^à la définition du vecteur courant et du vecteur intensité du champ électrique ^{à l’inté-}

rieur d’un conducteur, parcouru par ^{un courant} perlnanent.

L’hypothèse, c.’est que l’on change infiniment peu la distribution du courant en pratiquant dans la substance du conducteur des ca- naux infiniment déliés, ^et que l’intégrale ^de ligne ^du champ ^élec- trique ^{est nulle} poùr tout contour fermé. Si le chemin d’intégration

traverse le conducteur, ^le champ ^{doit être le} champ ^{mesuré dans un}

canal très délié entourant ce chemin. Si l’intégrale n’était pas nulle,

elle mesurerait une f. _{é. m. ;} nous excluons ce cas, qui ^se rapporte ^à

une autre théorie.

Soit donc 0 un point ^d’un conducteur, ^{on trace} des chemins dx, dy, ^dz parallèles ^{aux axes et, dans les canaux} correspondants,

on mesure les composantes tangentielles ^Ex, Ey, ^{Ez des} champs électriques. ^Ces grandeurs définissent un vecteur E, dont elles sont les projections ^{sur les axes. Le vecteur E} ainsi construit est ce que, par définition, j’appelle intensité du champ électrique ^au point ^(..).

Je dis que j’ai :

En effet, je puis ^{faire avec dx,} rly, ^{dz un} chemin brisé ayant ^mêmes

extrémités que ^ds. Soit E’s ^la composante tangentielle ^du champ suivant ds ; j’aurai :

en vertu de l’hypothèse ^{faite sur} l’intégrale ^de ligne, et, ^d’autre

part, le second membre n’est autre que F sds. J’aurai donc :

Et cela sera nul, si le chemin est fermé, ^{d’où la} propriété ^irrota-

tionnelle (26).

Considérons de même au point ^{0 un} tétraèdre élémentaire OABC dont la base oblique par rapport ^{aux axes sera dS et dont les faces}

perpendiculaires respectivement ^à ûx, Oy ^{et Oz seront} dSx,

dsz. ^En réalité, ^{concevons des canaux très déliés entourant les}

arêtes. Et mesurons dans ces canaux l’intensité du champ magné- tique. ^{Alors, le} long ^{du contour de nous aurons :}

Le long ^{des contours} qui ^{bordent et} dS,, ^{on aurait de même :}

J’appellerai vecteur courant le vecteur i qui ^a pour composantes suivant les axes ix, if, ^{et 2~.} Je dis que ^{ce vecteur} jouit de la pro-

priété solénoïdale :

En effet, d’après ^sa définition, j’ai :

in ^{étant la} composante ^{de i normale à dS.}

Mais, ^en additionnant membre à membre les équations (29), (30), (31), ^on remarquera que les ^{termes du} premier membre relatifs aux

arêtes parallèles aux axes se détruisent deux à deux et qu’il ^reste

seulement l’intégrale ^de ligne ^{relative au contour de dS ; soit}

le flux ainsi mesuré, ^{on aura :}

et par suite :

Or, pour ^une surface fermée, ^{on a :}

parce que ^cette intégrale représente ^{une somme} d’intégrales ^de ligne,

relatives au contour de chaque ^{dS, dont} les éléments se détruisent

deux à deux ^comme appartenant ^{à deux contours} contigus. ^{On a}

134

donc, ^{de mêrne :}

ou

Ayant ainsi défini les deux vecteurs E et i à l’intérieur d’un solide conducteur, j’en déduirai, conformément à la théorie de M. Mallard :

Dans cette formule, Eo ^{est le} champ électrostatique qui ^subsiste quand ^il n’y ^a pas ^de courant et pi ^{est une} fonction vectorielle linéaire de i qui représente ^{le f. é. HL au} point O ; ^{on est dans le cas.}

de l’égalité symétrique, et p ^{doit être une fonction} autoconjuguëe.

COMPTES RENDUS DE L’ACADÉMIE DES SCIENCES;

T. CLVII, nos, 18, ^{19 et} 20 ; novembre 1913.

E. BELOT. - La matière zodiacale et la constante solaire.

P. ’T~?.

Théorie.

1B1. COUADE . - Sur un parachute d’aviation.

P. ’7sI .

Ce parachute ^{est enfermé} allongé ^{dans un} fuselage ; il débouche

en arrière des gouvernails ^et porte ^{attaché à son sommet un} petit parachute ^{tracteur: ce} tracteur est normalement maintenu fermé. Un geste ^du pilote ^{le fait ouvrir, et il} tire alors de sa gaine ^le grand pa- rachute qui ^se déploiera. La surface est calculée pour ^une vitesse de descente de 6m ,50. Dessin : détails.

BOHDAN DE SZYSZKOWShI. - Sur le rôle de la molécule neutre des électrolytes.

^{P. 767.}

Perrin (~) explique la loi des réactions monomoléculaires par ^ce

(1) PERRIN, ^1912.